ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 HKII

Véctơ u được gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng d nếu u 0và giá của u song song hoặc trùng với đường thẳng d.. 6/ Véctơ pháp tuyến của đường thẳng, liên hệ giữa vtcp và vtpt: 1.. V

Chương

IV

Chương

IV

BẤT PHƯƠNG TRÌNH

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 10 - HKII

I Dấu của nhị thức: f x axb ( a 0 )

x   -b/a +

f x Trái dấu a 0 Cùng dấu a

II Dấu của tam thức:   2 ( 0 )







ax bx c a x

f

2

1

x x

x x c

bx















x   x1 x2 +



f x Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a

2/   0: ax bx c x b a

2 0

2





























a

b

R

x

2

\

x   -b/2a +



f x Cùng dấu a 0 Cùng dấu a

3/   0: 2 0





bx c

ax vô nghiệm khi đó:f(x) cùng dấu với a

R

x 



x   +



f x Cùng dấu a

4/ f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt 0

0

a 



 

 



Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của pt 2 0





bx c

1 2

b

S x x

a c

P x x

a



  







5/ f(x) = 0 có hai nghiệm trái dấu P x x1 2 0 c 0 a c 0

a

6/ f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

0

a

 



7/ f(x) = 0 có hai nghiệm dương phân biệt

0

0

c

a

b a



 

 





8/ f(x) = 0 có hai nghiệm âm phân biệt

0

0

c

a

b a



 

 





9/  



















0 0

x f

10/  



















0 0

x f

1/ Công thức lượng giác cơ bản:

2 2

2

x x x k x k  k Z 

2

2

1

x





sin

2/ Công thức nhân đôi:

sin 2a 2sin cosa a cos 2a cos2a  sin2a2cos2a1 1 2sin  2a 2

2.tan tan 2

1 tan

a a

a





3/ Công thức hạ bậc:

2 1 cos 2

sin

2

a

cos

2

a

a  tan2 1 cos 2

1 cos 2

a a

a







4/ Các công thức khác (sgk)

Chương II TÍCH VÔ HƯỚNG

Bài 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

1/ Định lý côsin:

Trong tam giác ABC với BC = a, AB = c, AC = b ta có :

2 2 2 2 cos

a b c  bc A b2 a2 c2 2 cosac B c2 a2b2  2 cosab C

2/ Định lí sin:

Trong tam giác ABC bất kì với BC=a,CA=b,AB=c và R là bán kính đường tròn

ngoại tiếp tam giác đó ta có:

2 sin sin sin

R

A B  C 

Chương VI

3/ Công thức tính độ dài đường trung tuyến:

ma2 = 2( 2 2) 2

4

b c  a mb2 = 2( 2 2) 2

4

a c  b mc2 = 2( 2 2) 2

4

a b  c

4/ Công thức tính diện tích tam giác :

S =1 sin

2ac B =1 sin 1 sin

2ab C2bc A S = a h a b h b c.h c

2

1

2

1

2

1





S =

4

abc









 2

p S = p p a p b p c(  )(  )(  ) (Hê-rông)

1/ Tọa độ điểm và véctơ:

Trong hệ tọa độ Oxy:

1/ Cho A(xA ; yA) và B(xB ; yB) khi đó: ABx B  x A;y B  y A 

(

A

B x y y x

AB

2/ MN a; b khi đó độ dài đoạn MN MN  a2 b2









  

2

; 2

B A B

A x y y x









    

3

; 3

C B A C B

A x x y y y x

2/ Các phép toán của véctơ:

Trong hệ tọa độ Oxy cho aa1; a2 , bb1;b2

 a b a1 b1;a2b2 ; k.a ka1 ;ka2 ;













2 2 1 1

b a b a b

a

 Tích vô hướng theo tọa độ a .b a1 b1 a2 b2

Chương III

:

 Tích vô hướng theo độ dài và góc

a b

b a b

 a và b cùng phương kR: a k b

3/ Góc giữa hai véctơ:

 0 0 a b 180 0 ; a và b vuông góc  a b  . 0

b a

b a b

a

.

.

; cos  (với a0 , b0)

4/ Phương trình đường tròn:

1 Đường tròn (C) có tâm I(a; b) , bán kính r có phương trình (C): (x –

a )2 +( y – b)2 = r2

2 Đường tròn (C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 với a2b2 c 0

Có tâm I (a ; b ) , bán kính r = a2b2 c

3 Đường tròn (C) qua gốc tọa độ O(0 ; 0) có pt: x2 + y2 – 2ax – 2by = 0 với a2b2 0

Có tâm I (a ; b ) , bán kính r = a2b2

5/ Véctơ chỉ phương của đường thẳng:

1 Véctơ u được gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng d nếu u 0và giá của u song song hoặc trùng với đường thẳng d.

2 Nếu đường thẳng d có véctơ chỉ phương u u1;u2thì d có hệ số góc

1

2

u

u

k 

3 Nếu đường thẳng d có hệ số góc k thì đường thẳng d có véctơ chỉ phương u   1 ; k

6/ Véctơ pháp tuyến của đường thẳng, liên hệ giữa vtcp và vtpt:

1 Véctơ n được gọi là Véctơ pháp tuyến của đường thẳng d nếu n 0và giá của n vuông góc với đường thẳng d.

2 Vtcp và vtpt của đường thẳng d vuông góc với nhau và u.n 0

3 Nếu đường thẳng d có véctơ chỉ phương u  a;b khi đó ta có thể xác

định vtpt của đường thẳng d như sau: n b;  a hoặc n    b;a

7/ Phương trình tổng quát của đường thẳng :

 Định nghĩa :

Phương trình có dạng Ax + By + C = 0 , trong đó A, B

không đồng thời bằng 0 ,

được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng

8/ Phương trình tham số của đường thẳng :

 Định nghĩa :

Phương trình có dạng 











bt y

y

at x

x

0 0

, trong đó a, b không đồng thời bằng 0 ,

được gọi là phương trình tham số của đường thẳng

9/ Vị Trí tương đối của hai đường thẳng:

Ta xét một trường hợp cụ thể sau :

Cho hai đường thẳng có pttq: d1 :A1xB1yC1  0 ;

; 0

2 A xB yC 

d

Số giao điểm giữa d1 và d2 là số nghiệm của hệ pt :

















0 0

2 2

2

1 1

1

C y B

x

A

C y B

x

A

(I)

 d1 // d2  Hệ phương trình (I) vô nghiệm

 d ≡ d’  Hệ phương trình (I) vô số nghiệm

 d1 cắt d2  Hệ phương trình (I) có một nghiệm

10/ Góc giữa hai đường thẳng :

 Đường thẳng d qua Mx0; y0 có vtpt n  A;B có pttq là:

A(x - x 0 ) + B(y - y 0 ) = 0.

 Từ pttq của d: Ax + By + C = 0 ta có véctơ pháp tuyến của d là

A B

 Đường thẳng d qua Mx0; y0 có vtpt u a;b có ptts là:













bt y

y

at x

x

0 0

 Từ ptts là: 











bt y

y

at x

x

0 0

ta có véctơ chỉ phương của d là

a b

Bài 1: Xét dấu các biểu thức sau:

a/  

x

x x f





 5

6 3

b/ f x 9  3x4x 7 c/

f x   x x

Bài 2: Giải các bất phương trình sau:

a/  2x2  3x 1  0 b/ 0

2 4

9 6

2









x

x x

c/ x 21  3x 0

d/ 2 2 0

1

x

x   e/

x x

6 3

2







f/

0 1

x





g/ 2x25x 2 0 h/ 2

3 2

3 2

2









x

x x

i/ ( 2)(22 3 2) 0

9

x





Bài 3: Bài toán về tam thức

1/ Cho biểu thức:   2 10 5





mx x x

a/ Định m để f x  0 xR

b/ Định m để f x  0 có hai nghiệm trái dấu

2/ Cho biểu thức:    5 2 4 1







m x mx x

a/ Với m = -2, giải bất phương trình f x  0

b/ Định m để f x  0 xR

3/ Cho tam thức:   2 2 1 2 2











x m x m m x

a/ Định m để f x  0 có hai nghiệm trái dấu

b/ Định m để f x  0 xR

 Cho hai đường thẳng có pttq: d1:A1xB1yC1 0 có vtpt

 1 1

1 A ; B

n 

d2:A2xB2yC2  0 có vtpt

 2 2

2 A ; B

n 

Khi đó góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 được tính dựa vào:

2 1

2 1 2

1 2

1

.

.

; cos

; cos

n n

n n n

n d

2 1

0 d d  ; d1d2  n1n2  n1.n2  0

 Nếu d1 :yk1xm1và d2 :yk2xm2 Khi đó d1 d2  k1.k2   1

4/ Cho biểu thức:    3 2 2 4







m x mx x

a/ Định m để f x  0 xR

b/ Với m = 2, giải bất phương trình f x  0

5/ Cho biểu thức:    2 2 2 1







m x mx x

a/ Định m để f x  0 xR

b/ Định m để f x  0 có hai nghiệm cùng dấu

6/ Cho tam thức:   3 2 2 1 1











x

a/ Định m để f x  0 xR

b/ Định m để f x  0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương 7/ Cho biểu thức:   2 3 4 8









 mx x m x

f

a/ Định m để phương trình f x  0 có nghiệm

b/ Định m để phương trình f x  0 có hai nghiệm trái dấu

8/ Cho biểu thức: f x  m2x22m1x1

a/ Chứng minh rằng phương trình f x  0 có hai nghiệm phân biệt với mọi m b/ Định m để phương trình f x  0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

Bài 4: Hệ trục tọa độ

1/ Trên hệ trục tọa độ Oxy cho ABC có A(2 ; -1), B(-2 ; -2), C(3 ; 2) a/ Viết phương trình tham số của đường thẳng AB

b/ Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d qua A và d // BC

c/ Viết phương trình đường tròn qua 3 điểm O, A, C

d/ Viết phương trình tham số của đường thẳng a qua C và có hệ

số góc k = -3

e/ Viết phương trình tổng quát của đường thẳng b qua B và có vtcp u    1 ; 4 

2/ Trên hệ trục tọa độ Oxy cho A(2 ; -1), B(3 ; -2) , đường thằng d: x

- 3y + 2 = 0

a/ Viết phương trình tham số của đường thẳng AB

Tìm tọa độ giao điểm giữa đường thằng AB và d

b/ Viết phương trình tổng quát của đường thẳng a qua B và a  d

c/ Viết phương trình đường tròn tâm A và tiếp xúc với đường thằng d

3/ Trên hệ trục tọa độ Oxy cho A(3 ; 0), B(1 ; -2) , đường thằng d:













3 2

y

t x

a/ Viết phương trình tham số của đường thẳng AB

b/ Viết phương trình tổng quát của đường thẳng a qua B và a  d Tìm tọa độ giao điểm giữa đường thằng a và d

c/ Viết phương trình đường tròn nhận AB làm đường kính

d/ Tìm tọa độ điểm M trên đt d sao cho độ dài đoạn BM nhỏ nhất

4/ Trên hệ trục tọa độ Oxy cho ABC có A(2 ; -1), B(-2 ; -2), C(3 ; 2) Đường tròn (C):  32 2 4





a/ Viết phương trình tham số của đường thẳng a qua A và vuông góc với d

b/ Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB

c/ Chứng minh rằng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt

d/ Viết phương trình tổng quát đường phân giác trong tại góc A của ABC

Bài 5: Giá trị lượng giác

1/ Cho       

2

, 3

2

2/ Cho

2

3 ,

3

1 cos         Tính sin  , cot  , sin 2 

3/ Cho

2 0

, 3 tan      Tính cos  , sin  , sin 2  4/ Chứng minh rằng : tan 2x sin 2x tan 2x sin 2 x

5/ Rút gọn biểu thức:

2

1 cos

sin

x

x

6/ Biết sinx + cosx =

2

1

Tính sin2x











 3 cos x  biết sin x 31 và  x 

8/ Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x :

2

2 2

1 sin

2 tan

1 sin

x

x





9/ Chứng minh rằng : 1  sinx 2 tanx.1  sinx  sin 2x

10/ Rút gọn biểu thức: A cos 2a cos 2a cot 2a

x

x x

x

cos cot

sin sin

tan





x

x tan 1 sin cos 2

cos

1













13/ Rút gọn biểu thức: Asinx cosx2  sin 2x

Bài 6: Giải tam giác:

1/ Cho ABC có  3 ,  5 ,  60 0



B BC

AB tính AC , A , SABC , R ,h a

2/ Cho ABC có  6 ,  45 0 ,  60 0





B C

BC tính AB , SABC , r ,h c

3/ Cho ABC có  4 ,  60 0 ,  45 0





C B

a tính b , SABC , R ,h b

4/ Cho ABC có a  3 ,b 4 , c 6 tính A , R, SABC ,h a

Bài 7: Chứng minh rằng trong tam giác ABC có:

1/ b2 c2 a b cosC c cosB

2/ b2 c2cosA a c  cosC b cosB

3/ sinC sin cosA B sin cosB A