De cuong toan 10

Giải hệ bất phương trình bậc 1 hai ẩn Cách xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn - Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN LỚP 10

PHẦN I: ĐẠI SỐ

1 Xét dấu:

• Nhị thức ax + b:

Pp:

+ Cho ax + b = 0 giải tìm nghiệm của nhị thức x =

a

b

−

+ Lập bảng xét dấu:

• Tam thức ax2 + bx + c :

Pp: Cho ax2 + bx + c = 0

+ Nếu tìm được 2 nghiệm x1, x2 (x1 < x2) thì lập bảng xét dấu:

ax2 + bx + c Cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

+ Nếu tìm được 1 nghiệm kép thì tam thức luôn cùng dấu với a, tam thức = 0 khi x =

a

b

2

−

+ Nếu vô nghiệm thì tam thức luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x ∈ R

Bài tập áp dụng Xét dấu các biểu thức sau:

1 ( ) (2 1)( 3)

2 ( )

f x

−

2

f x x

2 2

= − + −

2

2

2 2

= − + −

2

11 ( ) (3 10 3)(4 5)

13 ( ) (4f x = x − −1)( 8x + −x 3)(2x+9) 14 ( ) (3 2 2 )(3 2)

f x

x x

=

+ −

2 Giải bất phương trình bậc 1 một ẩn

• Dạng 1: bpt chứa ẩn ở mẫu

Pp:

- Chuyển bpt về dạng sao cho vế phải = 0, vế trái là một phân thức (chuyển vế, quy đồng mẫu)

- Lập bảng xét dấu các nhị thức để tìm tập nghiệm của bpt

• Dạng 2: bpt chứa biểu thức trong giá trị tuyệt đối

Cách 1: Dùng định nghĩa trị tuyệt đối

Cách 2: Bình phương hai vế đề làm mất trị tuyệt đối (chỉ dùng khi biểu thức bậc 1)

Bài tập áp dụng Giải các bất phương trình sau

1)

x+ −x− < − x 1 2 3

2)

x+ x < x

3)

x ≤ x

4)

x < x

3

2

x >

−

6)

x < x

3

2

x >

−

2 12) x −5x+ = +4 x 4

x

- ∞ b

a

− +∞ ax+b Trái dấu với a 0 cùng dấu với a

8) 2 1 3 5

− + + − <

− + >

− + ≤ −

− ≤ +

2

x x

− − <

− + + >

+ > −

3 Giải bất phương trình bậc 1 hai ẩn: ax + by + c < 0 (1) , a2 + b2 ≠0

Pp: Dùng phương pháp đồ thị:

- Vẽ đường thẳng ax + by + =0 bằng cách xác định hai điểm của đường thẳng trên đồ thị

- Lấy điểm M(x0;y0) d∉

Nếu ax0 + by0 + c < 0 thì nửa mặt phẳng ( không kể bờ (d)) chứa điểm M là miền nghiệm của (1)

Nếu ax0 + by0 + c > 0 thì nửa mặt phẳng ( không kể bờ (d)) không chứa điểm M là miền nghiệm của (1)

Chú ý: Đối với bất phương trình ax + by + c ≤ 0(a2 + b2 ≠0) thì cách xác định miền nghiệm cũng tương tự, nhưng miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ

4 Giải hệ bất phương trình bậc 1 hai ẩn

Cách xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miển còn lại

- Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ và trên cùng một mặt phẳng tọa

độ, miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho

5 Giải bất phương trình bậc 2

Bài tập Giải các bpt sau:

2

1) x −7x+ <10 0 2) 4x2 − + ≥x 1 0 3) 3x2+ + ≥x 4 0 4) 2 2 1

1 2

x x

x x

+ ≥ −

−

5)

− > −

9

2

x x

+

2 2 5

4

x x

+

2 3 1 8)

2

x x

+ − > −

−

9) − +x 3x−2 x −5x+ ≥6 0 10) 2 3 0

1 2

x x x

+ + <

−

2

30

x x

− + >

− −

2

15

1

x x

14)

x < x x

2 2

4

x− + <

−

6 Công thức lượng giác cơ bản:

sin α+k2π =sinα cos(α+k2π) =cosα tan(α+kπ) =tanα cot(α+kπ) =cotα

cos

cot

sin

α α

α

cos

α α

α

2

1

1 tan

cos

α

α

2

1

1 cot

sin

α

α

Giá trị lượng giác của các góc ( cung có liên quan dặc biệt)

( )

( )

( )

− = −

− =

− = −

− = −

− = −

+ = − + = −

2

2

2

 − =

 − =

 − =

Công thức biến đổi tích thành tổng

1

2 1

2 1

2

Công thức biến đổi tổng thành tích:

a b a b

a b a b

a b a b

a b a b

Công thức nhân đôi:

2

sin 2 2sin cos

2

tga

tg a

=

Công thức hạ bậc:

2

2

cos 2 1 cos

2

1 cos 2 sin

2

a a

a a

+

=

−

= Công thức cộng:

Bài tập

1 Cho sinα =

5

3

; và 2

π α π< <

a) Cho Tính cosα, tanα, cotα

b) Cho tanα = 2 và

2

3π α

π < < Tính sinα, cosα

2 Chứng minh rằng:

a) (cotx + tanx)2 - (cotx - tanx)2 = 4;

b) cos4x - sin4x = 1 - 2sin2x

3 Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:

a) sin(A + B) = sinC









 + 2

B A

= cos 2

C

4 Tính: cos105°; tan15°

5 Tính sin2a nếu sinα - cosα = 1/5

6 Chứng minh rằng: cos4x - sin4x = cos2x

7 Tính giá trị trung bình, trung vị, mốt

PHẦN II: HÌNH HỌC

1 Vectơ pháp tuyến của đt (d) là ( ; ) 0n a br ≠r có giá vuông góc với đt (d)

Vecto chỉ phương của đt (d) là u u ur( ; )1 2 có giá song song hoặc trùng với đt (d)

Chuyển đổi qua lại giữa VTCP và VTPT như sau:

Biết ( ; )n a br  ( ;u b ar − ) hoặc ( ; )u b ar −

Biết u u ur( ; )1 2  n ur( ;2 −u1) hoặc n u ur(− 2; )1

2 Phương trình đường thẳng

- Viết Ptđt dạng tổng quát:

+ Tìm 1 VTPT nr=( ; )a b của đường thẳng

+ Tìm 1 điểm M x y thuộc đường thẳng( ; )0 0

+ Thay vào công thức : a x x( − 0)+b y y( − 0) 0=

- Viết ptđt dạng tham số:

+ Tìm 1 VTCP ur=( ; )u u1 2 của đường thẳng

+ Tìm 1 điểm M x y thuộc đường thẳng( ; )0 0

0 2

x x u t

t R

y y u t

= +



∈

 = +



Bài tập Bài 1: Cho tam giác ABC biết A(1;3) ; B(-5;1) ; C(3;7) Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng

chứa cạnh, đường cao AH, đường trung tuyến AM

Bài 2: Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong các trường hợp sau:

a) d di qua diểm M(-2;3) và có véc tơ chi phương là ur=(3;4)

b) d đi qua hai điểm A(1 ;4) và B(3 ;-1)

c) d đi qua M(1 ;3) và có véc tơ pháp tuyến n =(4 ;-5)

d) d đi qua M(-3 ;4) và có hệ số góc k=3

Bài 3: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

a) d1: 3x + 2y – 2 = 0 và d2: 2x + y – 3 = 0

b) d1:







−

=

+

=

t y

t x

3 1

2 2

và d2: 6x + 4y – 5 = 0

Bài 4: Tính khoảng cách từ điểm M(1 ; 2) đến đường thẳng ∆: 3x – 4y + 1 = 0

Bài 5: Cho tam giác ∆ABC biết A(3;2), B(1;-2), C(5;-1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC a) Viết phương trình đường cao AH và đường trung bình MN

b) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường trung bình MN

3 Phương trình đường tròn

Bài tập

Bài 1: Tìm tâm và bán kính phương trình đường tròn: x2 + y2 + 4x – 6y + 4 = 0

Bài 2: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp Sau:

a/ Có tâm I( 2;–3) và qua điểm A(4;–5)

b/ Có tâm I( 2;–3) và tiếp xúc với đường thẳng d: 2x – 3y – 8 = 0

c/ Nhận MN làm đường kính, biết M(4;–5) và N(2;3)

4 Phương trình elip