Đặc trưng euler và một số ứng dụng

Đặc trưng Euler X S của một đa giác phẳng S được chia thành các tamgiác bằng số đỉnh trừ đi số cạnh cộng với số mặt của tam giác trong đa... Đồ thị graph G = V, E là một bộ gồm các đỉnh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Tạ Duy Phƣợng

THÁI NGUYÊN - 2018

Mục lục

1.1 Định nghĩa đồ thị 5

1.1.1 Định nghĩa 1 5

1.1.2 Định nghĩa 2 6

1.1.3 Định nghĩa 3 7

1.1.4 Định nghĩa 4 7

1.2 Chu trình 7

1.3 Một số dạng đồ thị 8

1.3.1 Đồ thị phẳng 8

1.3.2 Đồ thị đối ngẫu 8

1.3.3 Đồ thị liên thông 10

1.3.4 Đơn đồ thị 11

1.3.5 Đồ thị đầy đủ 11

1.3.6 Đồ thị phân đôi đầy đủ 11

1.4 Cây 12

2 Một số cách chứng minh công thức đặc trưng Euler 14 2.1 Chứng minh dựa trên lý thuyết đồ thị 14

2.2 Chứng minh sử dụng phương pháp điện tích 19

2.2.1 Điện tích 20

2.2.2 Điện tích đối ngẫu 20

2.3 Chứng minh dựa trên phương pháp sử dụng góc 21

2.3.1 Tổng của góc 21

2.3.2 Góc hình cầu 22

2.4 Chứng minh của Euler 27

2.5 Một số chứng minh khác 30

2.5.1 Phương pháp loại bỏ tam giác 30

2.5.2 Chu trình Euler 32

3 Một số ứng dụng và bài toán liên quan 35 3.1 Khối đa diện Platon 35

3.2 Trái bóng đá và bài toán phủ mặt cầu 38

3.3 Đặc trưng Euler và một số ứng dụng trong lý thuyết đồ thị 39 3.4 Định lí Pick 44

3.5 Định lí Sylvester-Gallai 47

3.6 Định lí về các đường thẳng đơn sắc 49

Lời nói đầu

Xét các khối đa diện đều sau

và có nhiều ứng dụng (xem thí dụ, [6])

Đặc trưng Euler (còn được gọi là bất biến Euler, công thức Euler, hoặc đặctrưng Euler-Poincaré ) là một bất biến tôpô, là số không đổi đặc trưng chohình dạng hoặc cấu trúc của một không gian tôpô không phụ thuộc vàocách nó bị biến dạng Đặc trưng Euler thường được ký hiệu là X

Đặc trưng Euler X (S) của một đa giác phẳng S được chia thành các tamgiác bằng số đỉnh trừ đi số cạnh cộng với số mặt của tam giác trong đa

giác đó:

X (S) = V − E + F

Bất kỳ đa diện lồi cũng có đặc trưng

X = V − E + F = 2,trong đó V , E và F tương ứng là số đỉnh (góc), số cạnh và số mặt củakhối đa diện

Leonhard Euler, tên của ông được đặt cho khái niệm này, đã có các côngtrình nghiên cứu đầu tiên về đặc trưng này

Ta cũng có thể mở rộng đặc trưng Euler (tức công thức X = 2) cho hìnhcầu và áp dụng cho các khối đa diện cầu

Luận văn được chia làm ba chương

Chương 1 Một số kiến thức sơ lược về lý thuyết đồ thị

Chương 2 Một số cách chứng minh công thức đặc trưng Euler

Chương 3 Một số ứng dụng và bài toán liên quan

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến PGS TS Tạ DuyPhượng, người thầy đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn đểtôi có thể hoàn thành luận văn này

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các Thầy cô giáo thuộc khoaToán - Tin, Phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Tôi cũng xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến trường trung học phổ thông LêChân đã quan tâm và tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình học tập vàcông tác

Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp đã cổ

vũ, động viên và tạo điều kiện để tôi hoàn thành luận văn này

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2018

Tác giả

Trần Thị Ánh Dương

Đồ thị (graph) G = (V, E) là một bộ gồm các đỉnh V và các cạnh E,trong đó V 6= ∅ và mỗi cạnh nối với hai đỉnh (không nhất thiết phân biệt).Nếu cạnh e tương ứng với hai đỉnh u, v thì ta nói u và v là hai đỉnh kềnhau Ký hiệu e = (u, v) hay e = (v, u) Cạnh (u, u) tương ứng với haiđỉnh trùng nhau gọi là một vòng hay khuyên(loop) tại u Hai cạnh phânbiệt cùng tương ứng với một cặp đỉnh được gọi là hai cạnh song song haycạnh bội.

Cặp đỉnh không sắp thứ tự được gọi là cạnh vô hướng (cạnh) Cặp đỉnhsắp thứ tự được gọi là cạnh có hướng (cung)

Bậc của một đỉnh trong đồ thị vô hướng là số các cạnh liên thuộc với

nó, riêng khuyên tại một đỉnh được tính hai lần cho bậc của nó

Kí hiệu là: deg(v)

- Đỉnh bậc 0 được gọi là đỉnh cô lập

- Đỉnh có bậc bằng 1 được gọi là đỉnh treo

Ví dụ Cho đồ thị sau:

Hình 1.3

Ta có: deg(a) = 4, deg(b) = 5, deg(c) = 4, deg(d) = 0, deg(e) = 1,

Đường đi có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối gọi là chu trình.

Đường đi (Chu trình) không qua cạnh nào lần thứ hai gọi là đường điđơn (Chu trình đơn)

Chu trình đơn chứa tất cả các cạnh của đồ thị được gọi là chu trìnhEuler

Đồ thị vô hướng được gọi là đồ thị Euler nếu nó có chu trình Euler

Ví dụ Trong Hình 1.5, đồ thị G1 có chu trình Euler: a, e, c, d, e, b, a Cả

một đỉnh tương ứng cho mỗi miền mặt phẳng của đồ thị G và có mỗi cạnhtương ứng với mỗi cạnh của G kết nối hai miền kề nhau của G

Hình 1.7: Đồ thị đối ngẫu

Xác định đồ thị đối ngẫu từ một đồ thị phẳng

Bước 1: Xác định các miền của đồ thị phẳng

Ta có đồ thị phẳng G, xác định các miền như sau:

• Miền trong 1: Miền bị giới hạn bởi tam giác CDE

• Miền trong 2: Miền bị giới hạn bởi tam giác BCE

• Miền trong 3: Miền bị giới hạn bởi tam giác ABE

• Miền ngoài: Miền không bị giới hạn bởi hình ngũ giác ABCDE

Hình 1.8: Nối miền trong tam giác CDE với miền mà 3 cạnh DE, CD và CE tiếp xúc

Bước 2: Xác định miền tiếp xúc với mỗi miền vừa xác định ở bước 1.Xét tam giác CDE (miền trong 1) ta thấy:

• Cạnh DE, CD tiếp xúc với miền ngoài

• Cạnh CE tiếp xúc với tam giác BCE (miền trong 2)

Ta thực hiện vẽ các đường cong nối từ tam giác CDE sang miền ngoài vàtam giác BCE

Tương tự ta xét với tam giác BCE và tam giác ABE.

Hình 1.9: Nối miền trong tam giác BCE với miền mà 3 cạnh BC, BE và CE tiếp xúc

Bước 3: Gọi H là đồ thị mới vừa tìm được, ta có H là đồ thị đối ngẫu củaG

Hình 1.10: Nối miền trong tam giác ABE với miền mà 3 cạnh AB, AE và BE tiếp xúc

Hình 1.11

Đồ thị không có khuyên và cạnh bội được gọi là đơn đồ thị

Ngược lại, được gọi là đa đồ thị

- Các đỉnh của đồ thị chia làm hai tập con

- Mỗi cạnh nối một đỉnh từ tập này đến một đỉnh ở tập kia

Cây bao trùm (spanning tree) còn được gọi là cây khung của đồ thị

G là cây con của đồ thị G , chứa tất cả các đỉnh của G

Hay nói cách khác, cây bao trùm của một đồ thị G là một đồ thị con của

G, chứa tất cả các đỉnh của G, liên thông và không có chu trình

Cây khung của đồ thị liên thông G là một đồ thị con liên thông nhỏ nhấtcủa G

Hình 1.15: Cây khung

Chương 2

Một số cách chứng minh

công thức đặc trưng Euler

Chương này trình bày một số cách chứng minh công thức đặc trưngEuler

Biểu diễn phẳng của một đồ thị chia mặt phẳng thành các miền, kể cảmiền vô hạn Ví dụ biểu diễn phẳng của đồ thị trên hình 2.1 chia mặtphẳng thành 6 miền Chúng được gán nhãn như hình vẽ

Hình 2.1

Euler đã chứng minh rằng tất cả các biểu diễn phẳng của một đồ thịđều chia mặt phẳng thành cùng một số miền như nhau Ông đã tìm ra mốiquan hệ giữa số miền, số đỉnh và số cạnh của một đồ thị phẳng Khi đócông thức đặc trưng Euler đối với đồ thị phẳng được phát biểu như sauĐịnh lí Nếu G là một đồ thị phẳng liên thông có V đỉnh, E cạnh và F

Trước tiên ta xác định biểu diễn phẳng của G Ta sẽ chứng minh bằng

thêm một cạnh vào đồ thị ở bước trước Điều này làm được khi sử dụngphương pháp quy nạp toán học như sau

này làm được vì G liên thông G sẽ nhận được sau khi e cạnh được ghép

sinh ra

Hình 2.2

Khi đó chúng phải ở trên biên của miền chung R nếu không thì không

là phẳng) Cạnh mới này sẽ chia miền R thành hai miền con

được sau khi thêm e cạnh, Định lí được chứng minh.

Công thức Euler được minh họa trong ví dụ sau:

Ví dụ 2.1.1 Giả sử đơn đồ thị phẳng liên thông có 20 đỉnh, mỗi đỉnh đều

có bậc bằng 3 Biểu diễn phẳng của đồ thị này chia mặt phẳng thành baonhiêu miền?

Giải Đồ thị phẳng này có 20 đỉnh, mỗi đỉnh đều có bậc bằng 3, do

vậy V = 20 Vì tổng số bậc của các đỉnh, 3V = 3.20 = 60, bằng hai lần sốcạnh, tức là 2E, ta có E = 60 : 2 = 30 Do vậy theo công thức Euler, sốcác miền là

số cạnh 1 đơn vị

Ta dùng cách loại bỏ các cạnh ra khỏi đồ thị để chứng minh định lí.Xét một đồ thị phẳng liên thông Chọn một cạnh bất kì Cạnh có thểliên thuộc hai đỉnh hoặc là một khuyên

Hình 2.6

Giả sử cạnh liên thuộc hai đỉnh Ta thu nhỏ cạnh cho đến khi nó biếnmất hoàn toàn và trở thành một đỉnh Điều này có thể thực hiện trong đồthị phẳng (xem loại bỏ cạnh a, c, d trong Hình 2.6) Như vậy sẽ làm cho sốcạnh và số đỉnh giảm đi 1 đơn vị Số miền không đổi Do đó, giá trị củabiểu thức V − E + F không thay đổi.

Giả sử cạnh là một khuyên Ta loại bỏ các cạnh b, e Do đó, số cạnh và

số miền giảm đi 1 đơn vị Số đỉnh không thay đổi Vì vậy, giá trị của biểuthức V − E + F không thay đổi

Tiếp tục quá trình loại bỏ cạnh cho đến khi còn lại một đỉnh duy nhất,không có cạnh và có một miền (miền ngoài) Do đó V − E + F = 2.Bởi vì V − E + F không đổi trong suốt quá trình nên V − E + F = 2đúng với đồ thị ban đầu

Chứng minh 2.1.3 (xem [5]) Gọi G là một đơn đồ thị phẳng liên thôngvới E cạnh, V đỉnh và F miền

Giả sử T ⊆ E là tập hợp các cạnh của cây bao trùm trong G, tức làmột đồ thị con nhỏ nhất liên thông với tất cả các đỉnh của G Đồ thị nàykhông chứa chu trình bởi vì nó là nhỏ nhất Ta xác định đồ thị đối ngẫu

- Đặt một đỉnh vào mỗi miền của G

- Thêm một cạnh cho mỗi cạnh trong G tách hai miền liền kề và nối 2

một số cạnh liên thông trong đồ thị đối ngẫu

Đối với mọi cây, số đỉnh hơn số cạnh 1 đơn vị nên ta có:



Ngoài ra ta còn có thể sử dụng phương pháp điện tích để chứng minhcông thức đặc trưng Euler Kết quả được tham khảo từ tài liệu [5]

2.2.1 Điện tích

Đặt khối đa diện trong không gian sao cho không có cạnh nằm ngang.Bởi vậy, chỉ có duy nhất một đỉnh cao nhất U và một đỉnh thấp nhất L.Đặt một điện tích dương tại mỗi đỉnh, một điện âm tại chính giữa mỗicạnh và một điện tích dương ở giữa mỗi mặt

Hình 2.8

Ta cần chỉ ra rằng, mọi điện tích đều bị khử, trừ hai điện tích tại U và

L Bỏ mọi điện tích ở đỉnh và cạnh vào mặt kế bên, sau đó nhóm hết điệntích trong mỗi mặt lại với nhau Hướng di chuyển được xác định theo quyluật: mỗi điện tích di chuyển theo phương ngang, ngược chiều kim đồng

hồ Như vậy, mỗi mặt nhận một tổng điện tích từ khoảng không gian dọctheo giới hạn của nó Vì điện tích đầu tiên và cuối cùng là ở cạnh, sẽ có

dư một điện tích âm Cho nên tổng điện tích trong mỗi mặt đều bằng 0

Và tất cả chỉ còn lại + 2 cho đỉnh U và L

Xoay khối đa diện sao cho không có cạnh nào nằm dọc

Tương tự cách chứng minh trên, đặt một điện tích dương ở mỗi đỉnh vàgiữa các mặt; điện tích âm ở chính giữa các cạnh

Ta cần chỉ ra rằng, tất cả mọi điện tích đều bị khử, trừ hai điện tíchdương Di chuyển điện tích trên mỗi cạnh đến điểm tận cùng bên phải của

Hình 2.9

nó; di chuyển điện tích trên mỗi mặt (ngoại trừ mặt ngoài cùng) đến đỉnhgần nhất bên phải của nó Mọi đỉnh (ngoại trừ đỉnh ngoài cùng bên trái)lần lượt nhận điện tích của các cạnh và mặt; triệt tiêu với điện tích banđầu của nó Chỉ còn lại duy nhất 2 điện tích dương ở mặt ngoài cùng vàđỉnh ngoài cùng bên trái là chưa triệt tiêu

Kết quả được tham khảo từ tài liệu [5,8]

Phương pháp này dựa trên cơ sở một đồ thị phẳng được tạo bởi một đadiện được trải trên mặt phẳng, nên các cạnh của nó đều là những đoạnthẳng

Ta có tổng các góc của mỗi mặt k - diện của đồ thị (tính cả mặt ngoài)

là (k − 2) π Mà mỗi cạnh là cạnh chung của hai mặt nên tổng các góc của

Tổng các góc ngoài của mỗi đa giác là 2π nên tổng các góc của đồ thị là

Chúng ta xác định một tam giác trên hình cầu được tạo thành bởi

ba đường tròn lớn (Hình 2.10), được gọi là tam giác trắc địa (geodesictriangle)

Hình 2.10: geodesic triangle

Nhiều định lí đối với tam giác phẳng cũng đúng đối với tam giác trắcđịa, chẳng hạn: tổng hai cạnh của tam giác luôn lớn hơn cạnh còn lại.Nhưng có một tính chất không đúng Đó là, trong hình học phẳng tổng

tam giác trắc địa luôn lớn hơn 1800.

Vào thế kỉ 17, Thomas Harriot (1560-1621) và Albert Girard 1632) đã chứng minh định lí sau

(1595-Định lí Harriot−Girard đối với tam giác Tam giác trắc địa trên mặtcầu đơn vị với ba góc trong a, b, c có diện tích

S = a + b + c − π

Bởi vì tổng các góc trong tam giác phẳng là π nên có thể viết lại côngthức trên như sau: S = (a + b + c) − tổng các góc trong tam giác phẳng.Chứng minh Xét hình cầu đơn vị có bán kính R = 1 Khi đó diện

Hình 2.11: lune

Ta sử dụng một vật được gọi là lune (lưỡi liềm) Lune là miền được giớihạn bởi hai đường tròn lớn Hai đường tròn lớn luôn cắt nhau tại hai điểmđối xứng trên mặt cầu

Khi đó diện tích lưỡi liềm là

Hình 2.13: tam giác trên bán cầu

Chứng minh Tổng các góc trong của đa giác phẳng n− cạnh là(n − 2) π.

Do đó, tương tự đối với tam giác, diện tích của đa giác trắc địa là hiệucủa tổng các góc trong của nó với tổng các góc trong của đa giác phẳng

có cùng số cạnh

Ta chia đa giác trắc địa thành các tam giác trắc địa bằng cách thêm cácđường chéo, ta được (n − 2) tam giác Tổng diện tích các tam giác bằngdiện tích đa giác và tổng các góc của các tam giác bằng tổng các góc của

đa giác

Hình 2.14: Một đa giác trên mặt cầu được phân chia thành các tam giác

Áp dụng định lí Harriot - Girard đối với (n − 2) tam giác ta được

Hình 2.15

Hình dung đa giác như Hình 2.15 Đặt thước đo góc tại mỗi góc, thêm

−π trên mỗi cạnh và thêm 2π giữa mỗi mặt Diện tích đa giác bằng tổngcác số trên hình.

Với một đa diện lồi có V đỉnh, E cạnh và F mặt Gọi x là điểm bất kìbên trong Như Hình 2.16, xây dựng một hình cầu tâm x bao quanh đadiện Ta có thể chọn hình cầu có bán kính bằng 1

Hình 2.16: Phép chiếu một hình đa diện lên một mặt cầu

Sử dụng các tia phát ra từ x, ta chiếu đa diện trên mặt cầu Tưởngtượng rằng đa diện là một mô hình khung dây và x là một bóng đèn Hìnhchiếu là bóng của khung dây trên bề mặt của mặt cầu Khi đó các mặtcủa đa diện trở thành các đa giác trắc địa

Ta tính diện tích mặt cầu bằng hai cách Trước hết, ta sử dụng côngthức tính diện tích nổi tiếng để tìm ra diện tích mặt cầu đơn vị là S = 4π.Sau đó tính tổng diện tích các mặt đa giác trên mặt cầu

Hình 2.17

Theo định lí Harriot − Girard, diện tích của mỗi mặt n− biên bằng

tổng các góc trong trừ đi nπ − 2π Gán tất cả các góc, cạnh và mặt trênmặt cầu, đặt các thước đo ở mỗi góc, thêm −π trên cả hai biên của mỗicạnh và thêm 2π ở giữa mỗi mặt, tạo ra một mặt cầu như Hình 2.17.Mặc dù, tổng các góc tại mỗi đỉnh của đa diện nhỏ hơn 2π nhưng khichiếu trên mặt cầu thì tổng các góc bằng 2π Vì có V đỉnh nên ta có tổngcác góc bằng 2πV Mỗi cạnh thêm −2π mà có E cạnh nên tổng ta có

−2πE Mỗi mặt thêm 2π mà có F mặt nên tổng ta có 2πF

Vậy ta có

4π = 2πV − 2πE + 2πF ⇒ 2 = V − E + F

Euler đã đề xuất chứng minh công thức X = 2 bằng cách loại bỏ cácđỉnh của khối đa diện lồi, mỗi lần loại bỏ một đỉnh cho đến khi chỉ còn lạimột hình chóp tam giác gồm bốn đỉnh (xem [8])

Ta bắt đầu với một khối đa diện lồi có V đỉnh, E cạnh và F mặt Đầutiên ta loại bỏ một đỉnh từ khối đa diện sao cho khối đa diện còn lại có íthơn một đỉnh Cần xác định số mặt và số cạnh Gọi O là đỉnh sẽ được loại

bỏ và giả sử có n mặt (do đó có n cạnh) có chung đỉnh O Ta thấy đỉnh

O có thể được loại bỏ bằng cách cắt đi n − 2 khối chóp có đỉnh O Ví dụ,khối đa diện ở Hình 2.18 có đỉnh O là giao của 5 mặt Do đó nó được loại

bỏ bằng cách cắt đi 3 khối chóp

Hình 2.18: Loại bỏ đỉnh O bằng cách cắt đi các khối chóp.

Ta phải xét ba trường hợp đặc biệt

Trường hợp 1 Giả sử n mặt có chung đỉnh O đều là hình tam giác.Bằng cách cắt bỏ O, ta đồng thời loại bỏ n mặt này, hệ quả là tạo ra n − 2mặt tam giác mới Giả sử các mặt này không đồng phẳng, ta có số mặtcủa khối đa diện mới là

(với E là số cạnh ban đầu)

Ví dụ trong Hình 2.18, ban đầu khối đa diện có 11 mặt và 20 cạnh Saukhi loại bỏ đỉnh O ta được khối đa diện mới có 9 mặt và 17 cạnh

Trường hợp 2 Giả sử một trong số các mặt giao nhau tại O khôngphải là hình tam giác (ví dụ mặt tô đen trong Hình 2.19) Khi khối chóptam giác chia mặt đó bị loại bỏ thì mặt đó không hoàn toàn bị biến mất.Hơn nữa một cạnh mới sẽ được thêm vào khi mặt đó bị cắt làm hai Do

đó số cạnh và số mặt của khối đa diện mới đều lớn hơn 1 so với ban đầu

Ngồi ta cịn sử dụng phương pháp điện tích để chứng minhcơng thức đặc trưng Euler Kết tham khảo từ tài liệu [5]