Một số ứng dụng của đa thức trong đại số tổ hợp

Luận văn trình bày một số tính chất của đa thức quân cờ và vậndụng vào tìm hiểu một số bài toán đếm cơ bản, bài toán đếm số hoán vị,hoán vị cấm Derangement problem, Ménage problem, bài t

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẶNG THỊ QUỲNH

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC

TRONG ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS TRẦN NGUYÊN AN

THÁI NGUYÊN - 2021

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Đa thức và nghiệm của đa thức 3

1.2 Chuỗi lũy thừa hình thức 6

Chương 2 Đa thức quân cờ và ứng dụng 10

2.1 Đa thức quân cờ 10

2.2 Ứng dụng trong tổ hợp 18

2.2.1 Hoán vị và xáo trộn 18

2.2.2 Hoán vị với vị trí cấm 19

2.2.3 Bài toán đếm số hoán vị với khối ô vuông Latinh 29

Chương 3 Một số ứng dụng khác của đa thức trong tổ hợp 32 3.1 Lũy thừa đa thức, chuỗi lũy thừa hình thức và ứng dụng 32

3.2 Nghiệm của đa thức và bài toán phủ bảng các ô vuông 42

KẾT LUẬN 47

Tài liệu tham khảo 47

MỞ ĐẦU

Đa thức có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toánhọc cũng như trong giải toán sơ cấp Luận văn tìm hiểu một số ứngdụng của đa thức trong giải toán tổ hợp

Mục đích chính thứ nhất của luận văn là nghiên cứu về đa thứcquân cờ (rook polynomial) và ứng dụng trong giải toán tổ hợp Lý thuyếtcác quân cờ (Rook Theory) mà đối tượng của nó là đa thức quân cờ đượcnghiên cứu đầu tiên bởi Kaplansky và Riordan vào năm 1946 ([10]), vàsau đó là các mở rộng của Goldman ([6], [7]) với sự ứng dụng của nhiềuphương pháp tổ hợp hiện đại từ những năm 1970 Trong những nămgần đây Haglund đạt được nhiều thành công trong việc gắn kết đa thứcquân cờ với nhiều lĩnh vực khác như bài toán đếm ma trận trên trườnghữu hạn, lý thuyết biểu diễn nhóm Lý thuyết các quân cờ cũng có quan

hệ gần gũi với nhiều ứng dụng trong lý thuyết đồ thị, người ta cũng đãvận dụng đa thức quân cờ cùng với cơ học lượng tử và đại số Weyl Còntrong tổ hợp đếm nói riêng, đa thức quân cờ liên quan đến hàng loạtcác bài toán đếm về hoán vị, hoán vị với vị trí cấm, hình vuông Latin, Luận văn trình bày một số tính chất của đa thức quân cờ và vậndụng vào tìm hiểu một số bài toán đếm cơ bản, bài toán đếm số hoán vị,hoán vị cấm (Derangement problem, Ménage problem), bài toán đếmliên quan đến hình vuông Latin Luận văn trình bày định nghĩa, một

số tính chất cơ bản và một số ứng dụng của đa thức quân cờ theo [13,Chapter 2], [3] và [2] Một số ứng dụng và ví dụ tham khảo theo [11],[12], [5] và [2]

Mục đích chính thứ hai tìm hiểu một số ứng dụng khác của đathức trong giải toán tổ hợp Trong rất nhiều ứng dụng luận văn chọntìm hiểu ứng dụng trong bài toán đếm khi khai triển lũy thừa đa thức,

ứng dụng nghiệm của đa thức liên quan đến bài toán phủ bảng các ôvuông Đa thức là trường hợp đặc biệt của chuỗi lũy thừa hình thức.Luận văn trình bày khai triển chuỗi lũy thừa hình thức ứng dụng trongbài toán đếm (Bài toán chia kẹo Euler) Bên cạnh việc tổng hợp một sốkiến thức liên quan, luận văn trình bày ứng dụng qua hệ thống các vị

dụ được lấy từ các kỳ thi học sinh giỏi của các nước, IMO, Bay AreaMath Circle, Olympic sinh viên,

Luận văn được chia làm ba chương Chương 1 trình bày một sốkiến thức cơ sở về đa thức, chuỗi lũy thừa hình thức Chương 2 trìnhbày về đa thức quân cờ, các tính chất phổ biến và ứng dụng trong một

số bài toán tổ hợp Chương 3 trình bày một số ứng dụng khác của đathức trong một số bài toán đếm, bài toán phủ bảng các ô vuông

Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi nhận được sự hướng dẫn

và giúp đỡ tận tình của TS Trần Nguyên An Tôi xin được bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc đến thầy

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớpCao học toán khoá 12 đã truyền thụ đến cho tôi nhiều kiến thức và kinhnghiệm nghiên cứu khoa học

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 01 năm 2021

Đặng Thị Quỳnh

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong suốt chương này, luôn giả thiết R một vành giao hoán cóđơn vị

1.1 Đa thức và nghiệm của đa thức

Định nghĩa 1.1.1 Một đa thức một biến với hệ số trên R có thể đượcviết dưới dạng f (x) = anxn + an−1xn−1 + + a1x + a0, trong đó

a0, , an ∈ R và x là một kí hiệu gọi là biến (hay biến không xác định)

Ta cũng viết đa thức này dưới dạng f (x) =

aixi và P

bixi là bằngnhau nếu ai = bi với mọi i

Kí hiệu là R[x] là tập các đa thức một biến x với hệ số trên R.Cho f (x) = anxn+ an−1xn−1+ + a1x + a0 ∈ R[x] Ta gọi a0 là hệ số

tự do của f (x) Nếu an 6= 0 thì n được gọi là bậc của f (x) và được kíhiệu là deg f (x) Trong trường hợp này, an được gọi là hệ số cao nhấtcủa f (x) Nếu an = 1 thì f (x) được gọi là đa thức dạng chuẩn (monicpolynomial) Ta không định nghĩa bậc cho đa thức0 Nếuf (x) = a ∈ R

thìf (x) được gọi là đa thức hằng Các đa thức bậc 1được gọi là đa thứctuyến tính

Định nghĩa 1.1.2 Với hai đa thức f (x) = P

aixi và g(x) = P

bixi

Khi đó R[x] là vành giao hoán với phép cộng và nhân đa thức Vành

R[x] được gọi là vành đa thức một biến x với hệ số trong R Phần tửkhông của vành là đa thức 0, phần tử đơn vị là đa thức 1

Để định nghĩa đa thức nhiều biến trước hết ta định nghĩa đơnthức Mỗi bộ n số nguyên không âm i = (i1, · · · , in) ∈ Nn cho ta mộtđơn thức xi1

1 · · · xin

n của n biến x1, , xn với bậc là i1 + · · · + in Chúng

ta thường viết đơn thức này dưới dạng xi

Với j = (j1, , jn) ∈ Nn, hai đơn thức xi và xj là bằng nhau nếu

i = j, tức là ik = jk với mọi k

Một từ là một biểu thức có dạngaxi với a ∈ R (được gọi là hệ sốcủa từ) và xi là một đơn thức được gọi là đơn thức của từ Hai từ đượcgọi là đồng dạng nếu hai đơn thức của chúng bằng nhau Hai từ đượcgọi là bằng nhau nếu chúng đồng dạng và có cùng hệ số

Một đa thức là một tổng của hữu hạn từ Nếu u = axi và v = bxi

là hai từ đồng dạng thì ta có thể ước lược tổng của chúng:

Hai đa thức

i∈N n

aixivà

i∈N n

bixilà bằng nhau nếuai = bivới mọii ∈

Nn Bậc của một từ khác 0là bậc của đơn thức của từ đó Bậc (hay bậctổng thể) của đa thức f (x1, , xn) 6= 0, kí hiệu bởi deg f (x1, , xn),

là số lớn nhất trong các bậc của các từ khác không của f (x1, , xn)

Ta không định nghĩa bậc cho đa thức 0 Đa thức hằng là đa thức 0hoặc

đa thức bậc 0 Các đa thức bậc 1 được gọi là đa thức tuyến tính Đathức thuần nhất bậc m (hay một dạng bậc m) là một đa thức mà các

từ khavs không của nó đều có bậc m Đa thức thuần nhất bậc hai đượcgọi là dạng toàn phương Với mỗi k ∈ {1, , n}, bậc theo biến xk củamột đa thức là số lớn nhất trong các số mũ của xk xuất hiện trong các

từ của đa thức đó

Định nghĩa 1.1.3 Kí hiệu R[x1, , xn] là tập các đa thức n biến

x1, , xn với hệ số trong R Với i, j ∈ Nn, trong đó i = (i1, , in) và

được gọi là vành đa thức n biến x1, , xn với hệ số trong R

Nhận xét 1.1.4 Bằng quy nạp, vành đa thức n biến R[x1, , xn] với

hệ số trong R chính là vành đa thức một biến xn với hệ số trong vành

R[x1, , xn−1]

Định nghĩa 1.1.5 Giả sử R là vành con của vành S,và f (x) = anxn+

· · · + a1x + a0 là một đa thức trong R[x] Với mỗi phần tử α ∈ S, ta

kí hiệu f (α) = anαn + · · · + a1α + a0 ∈ S Phần tử α ∈ S được gọi

là nghiệm của f (x) nếu f (α) = 0 Trong trường hợp này ta cũng nói α

là một nghiệm của phương trình f (x) = 0 trên S Tìm các nghiệm của

f (x) trên S được gọi là giải phương trình đa thức f (x) = 0 trên S

Định lý 1.1.6 (Định lý Bézout) Cho R là một miền nguyên và đa thức

f (x) ∈ R[x], α ∈ R Điều kiện cần và đủ để α là một nghiệm của f (x)

là f (x) chia hết cho (x − α)

Định nghĩa 1.1.7 (Nghiệm bội) Cho f (x) ∈ R[x], α ∈ R, k ∈ Z, k ≥

1 Ta gọi α là nghiệm bội k của f (x) nếu f (x) chia hết cho (x − α)k

nhưng không chia hết cho (x − α)k+1 nghĩa là:

(

f (x) = (x − α)kg(x), ∀x ∈ R,g(α) 6= 0

Nếu k = 1, ta gọi α là nghiệm đơn hay còn gọi nghiệm, nếu k = 2, tagọi α là nghiệm kép

Bổ đề 1.1.8 Cho f (x) ∈ R[x] Phần tử a ∈ R là nghiệm bội k của

f (x) nếu và chỉ nếu f (x) = (x − a)kg(x) với g(x) ∈ R[x] và g(a) 6= 0

Định lý 1.1.9 Cho R là một miền nguyên Cho 0 6= f (x) ∈ R[x] và

a1, a2, , ar ∈ R là các nghiệm phân biệt của f (x) Giả sử ai là nghiệmbội ki của f (x) với i = 1, 2, , r Khi đó ta có

f (x) = (x − a1)k1(x − a2)k2 (x − ar)krg(x)

trong đó g(x) ∈ R[x] và g(ai) 6= 0 với mọi i = 1, , r

Hệ quả 1.1.10 Cho R là một miền nguyên và f (x) ∈ R[x] là một đathức khác 0 Khi đó số nghiệm của f (x), mỗi nghiệm tính với số bội của

nó, không vượt quá bậc của của f (x)

1.2 Chuỗi lũy thừa hình thức

Định nghĩa 1.2.1 Một chuỗi lũy thừa hình thức trênRlà một biểu thức

X

j=0

bjxj là hai chuỗi lũy thừa hình thức thì a(x) = b(x) khi và chỉ khi

aj = bj với mọi j Tập các chuỗi lũy thừa hình thức trên R kí hiệu là

Nếu vớin ∈ N, chuỗi lũy thừa hình thức a(x) có an 6= 0 và aj = 0

cho mọi j > n, thì a(x) chính là đa thức bậc n và được đơn giản viếtlà

n

X

j=0

ajxj hay a0 + a1x + + anxn Hơn thế nữa, nếu ai = 0 cho một

i nào đó của tập 0, 1, 2, , n − 1, thì số hạng aixi cũng không cần viết;còn nếu ai = 1 cho một i nào đó của tập {0, 1, 2, , n − 1} , thì aixi

được đơn giản viết là xi Phần tử 0(x) =

n

X

j=0

0xj, mà ta đơn giản kíhiệu là 0, là phần tử 0 của R[[x]]

Mệnh đề 1.2.2 Chuỗi a(x) ∈ R[[x]] là khả nghịch khi và chỉ khi a0

khi hệ phương trình sau có nghiệm:

cho mọi số nguyên dương n

Vớiz ∈ R và 0 6= n, k ∈ N, đa thức (1 − zxn)k là khả nghịch theoMệnh đề 1.2.2 Ta có một số tính chất sau

!

zjxnj

Ta chứng minh đẳng thức (ii) bằng quy nạp theo k Với k = 1,

đẳng thức (ii) chính là đẳng thức (i) Giả sử đẳng thức (i) đã được chứngminh là đúng cho k = t ≥ 1 khi đó,

1(1 − zxn)t+1 = 1

!

xj

đa thức quân cờ theo [13, Chapter 2], [3] và [2] Một số ứng dụng và ví

dụ tham khảo theo [11], [12]

Định nghĩa 2.1.1 Một bàn cờ là một tập con của N∗ ×N∗ Ta đánhnhãn các dòng từ dưới lên trên, các cột từ trái sang phải bởi 1, 2, 3,

và (i, j) ký hiệu ô vuông (ô cờ) ở dòng i, cột j

Đôi khi để đơn giản ta có thể bỏ các chỉ số cột dòng và hiểu mộtbàn cờ là tập hợp các ô vuông bất kì, với đánh nhãn các dòng từ trênxuống dưới, các cột từ trái qua phải

Hai bàn cờ A, B được gọi là độc lập nếu không có ô nào của A và

B chung hàng hoặc chung cột Ví dụ như các bàn cờ bên dưới thì A và

B là hai bàn cờ độc lập

A B

Quân cờ (rook), còn gọi là quân xe có thể đặt vào các ô của bàn cờ.Quân cờ di chuyển theo hàng ngang hoặc cột dọc, có thể nhảy qua các

ô trên cùng hàng, cùng cột không thuộc bàn cờ Hai quân cờ được gọi

là không ăn nhau (non attacking rooks) nếu chúng không chung hànghoặc chung cột

Định nghĩa 2.1.2 Cho bàn cờ C, miền ô vuông S được gọi là mộtblock của bàn cờ C nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) Với bất kì hai dòng i, i0 chứa ô S và cột j không chứa ô nào của S

thì hai ô (i; j) và (i0; j) hoặc cùng là ô vuông củaC hoặc không cùng là

ô vuông của C

(ii) Với bất kì hai cộtj, j0 chứa ô của S và dòng i không chứa ô nào của

S thì hai ô (i; j) và (i; j0) hoặc cùng là ô vuông của C hoặc không cùng

Định nghĩa 2.1.5 Cho bàn cờ C bất kì gồm m hàng và n cột, đa thứcquân cờ của bàn cờC là R (C, x) = r0(C) + r1(C) x + + rk(C) xk+ =

(i) Hệ sốr0(C) = 1 vì có một cách đặt 0quân cờ lên bàn cờC và r1(C)

là số ô vuông của C vì đây là cách đặt một quân cờ trên C

(ii) Nếu C có m dòng và n cột thì rk(C) = 0 với mọi số nguyên k >min {m, n}

Ví dụ 2.1.7 Cho bàn cờ như hình vẽ sau

cách chọn k dòng trong

mdòng và có



nk

cách chọn k cột trongn cột Với dòng thứ nhất trong

k dòng đã chọn ta có k cách đặt quân cờ trên k cột đã chọn, với dòng

thứ hai ta có k − 1 cách đặt quân cờ trên k − 1 cột còn lại (trừ cột đãchứa quân cờ ở dòng đã chọn đầu tiên) Tiếp tục cách chọn như vậy,suy ra số cách đặt k quân cờ trên bàn cờ sao cho các quân này không

ăn nhau là rk(C) =



nk

 

mk

2

k!xk

Theo cách làm trên, việc tìm đa thức quân cờ của bàn cờ như hìnhchữ nhật, hình vuông là tương đối đơn giản, nhưng đối với bàn cờ phứctạp ta cần nhiều phép biến đổi trên các dòng và cột để đưa về các bàn

cờ đơn giản hơn để tính Các tính chất sau đây cho phép chúng ta thựchiện được điều này Sau đây luận văn trình bày một số tính chất quantrọng của đa thức quân cờ

Mệnh đề 2.1.10 Cho bàn cờ C Gọi Cd, Cc lần lượt là bàn cờ tươngứng có được khi đổi chỗ hai dòng bất kì và hai cột bất kì của C Khi đó

R (C, x) = R (Cd, x) = R (Cc, x)

Chứng minh Vì với mỗi cách đặt k quân cờ trên bàn cờ C thì trên mỗidòng và cột chứa quân cờ có duy nhất 1 quân cờ của C trong k quânnên với các phép đổi hai dòng cho nhau hay hai cột cho nhau ta vẫnnhận được một cách sắp đặt cho các bàn cờ Cd, Cc Do đó ta có điềucần chứng minh

Mệnh đề 2.1.11 Nếu A, B là hai bàn cờ độc lập thì

R (A ∪ B, x) = R (A, x) R (B, x)

Chứng minh Sắp xếp k quân cờ trên bàn cờ A ∪ B, có rs(A) cách sắp

s (1 ≤ s ≤ k) quân cờ trong A và có rk−s(B) cách sắp k − s quân còn

lại trong B nên số cách sắp k quân cờ trên bàn cờ A ∪ B là

Mệnh đề 2.1.12 Cho C là bàn cờ các ô vuông có block S nằm trên m

dòng và n cột, đặt p = min {m; n} Với mỗi 0 ≤ k ≤ p, kí hiệu Dk(S)

là bàn cờ có được từ bàn cờ C sau khi thực hiện các bước sau:

(i) Bỏ tất cả các ô của S

(ii) Bỏ tất cả các ô thuộc k dòng tùy ý trong số m dòng chứa các ô của

S

(iii) Bỏ tất cả các ô thuộc k cột tùy ý trong số n cột chứa các ô của S

Khi đó, đa thức quân cờ của bàn cờ C là

Chứng minh Vì S là một block nên với hai bộ bất kì mỗi bộ gồm

k (0 ≤ k ≤ p)ô vuông chứa k quân cờ không ăn nhau trongS thì nhữngbàn cờ mới sinh ra vẫn không thay đổi khi thực hiện các phép bỏ đi tất

cả các ô của S, k dòng và k cột chứa các ô này, đó chính là bàn cờ

Dk(S) Do đó nếu sắp t quân cờ trên bàn cờ C, thì có rk(S) cách sắpxếp k (0 ≤ k ≤ t) quân cờ vào S tương ứng với mỗi cách sắp xếp này

có rt−k(Dk(S)) cách sắp xếp các quân còn lại vào bàn cờ Dk(S) Vậy

Hệ quả 2.1.13 Cho a là ô vuông bất kì trong C Gọi Υ là bàn cờ cóđược từ C bằng cách xóa đi hàng cột chứa a, và X là bàn cờ có được từ

C bằng cách xóa đi ô a Khi đó, ta có R (C, x) = R (X, x) + xR (Υ, x)

Ví dụ 2.1.14 Tìm đa thức quân cờ của bàn cờ C

CLời giải Đánh dấu ô ở vị trí(2; 2)như hình vẽ thì R (C, x) = R (A, x)+

xR (B, x) Trong đó các bàn cờ A, B được đánh dấu các ô và biến đổinhư hình vẽ sau

B

Lời giải Gọi M2n là bàn cờ tạo bởi các ô được tô, với k = 1, 2, , n, gọi

Ak là bàn cờ tạo bởi 4 ô có vị trí như sau

(k; k), (k; 2n − k + 1), (2n − k + 1; k), (2n − k + 1; 2n − k + 1)

Khi đóA1,A2, , Anlà các bàn cờ vuông kích thước2×2đôi một độc lập

Đa thức quân cờ của bàn cờ M2n là R (M2n, x) = 1 + 4x + 2x2
n

Ví dụ 2.1.17 Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 quân cờ lên bàn cờ 8 × 8 ôsao cho không có 2 quân cờ nào ăn nhau và không có quân cờ nào nằmtrên một trong hai đường chéo của bàn cờ ?

Lời giải Số cách xếp 8 quân cờ lên bàn cờ sao cho không có hai quân

cờ nào ăn nhau là 8! (có 8 cách xếp con thứ nhất ở hàng 1; có 7 cáchxếp con thứ 2 ở hàng 2; ; cuối cùng còn 1 cách xếp con thứ 8 ở hàng

8) Gọi S là tập hợp các ô vuông nằm trên hai đường chéo của bàn cờ.Gọi Ai là tập hợp các cách sắp xếp 8 quân cờ ở hàng thứ i nằm trong

S Vậy số cách xếp 8 quân cờ trên bàn cờ là

13 16 14 13 9 5 1

12 8 4

10 6 2

2.2 Ứng dụng trong tổ hợp

2.2.1 Hoán vị và xáo trộn

Trước hết ta nhắc lại khái niệm hoán vị

Định nghĩa 2.2.1 Cho số nguyên dương n Một hoán vị σ có độ dài n

là một song ánh từ tập {1, 2, , n} đến chính nó

Kí hiệu Sn là tập hợp tất cả các hoán vị có độ dài n Hoán vị

σ ∈ Sn sao cho σ (i) 6= i với mọi i thoả mãn1 ≤ i ≤ n được gọi là mộtxáo trộn của tập {1, 2, , n}

Số tất cả các hoán vị đã biết là Pn = n! Với σ ∈ Sn thỏa mãn

σ (i) = j thì ta đặt tương ứng một quân cờ ở vị trí (i; j) (tức dòng i cột

j) trên bàn cờ ô vuông n × n Như vậy mỗi hoán vị σ có độ dài n chotương ứng với một cách đặt n quân cờ sao cho không ăn lẫn nhau trênbàn cờ ô vuông kích thước n × n

Mệnh đề 2.2.2 Cho bàn cờ ô vuông kích thước n × n Số cách đặt n

quân cờ sao cho không ăn lẫn nhau trên bàn cờ đó là n!

Ta cũng dễ dàng nhận thấy mỗi xáo trộn có độ dài n là cách đặt

n quân cờ trên bàn cờ ô vuông n × n sao cho không có hai quân cờ nào

“ăn nhau” và không có quân cờ nào nằm trên đường chéo chính của bàn

cờ Bây giờ ta sẽ tìm tất cả các xáo trộn σ của tập {1,2, , n}

Bổ đề 2.2.3 (Bài toán bì thư) Có n bì thư và n thùng thư được đánh

số từ 1, 2, , n Bỏ ngẫu nhiên các bì thư vào các thùng thư sao cho mỗithùng thư chỉ chứa một bì thư Khi đó xác suất để xảy ra mọi bì thư đềucho vào thùng thư sai địa chỉ là

1 − 11! +

12! − 13! + (−1)

n 1n!.

Chứng minh Gọi X là tập hợp tất cả các cách bỏ bì thư vào thùng thư(mỗi thùng thư chứa đúng một bì thư) và Ak là tập các cách bỏ n bìthư vào n thùng thư (mỗi thùng thư chứa đúng một bì thư) mà bì thư

thứ k bỏ vào thùng thư có đánh số k Khi đó X \ (A1 ∪ ∪ An) là tậpcác cách bỏ n bì thư vào n thùng thư (mỗi thùng thư chứa đúng một bìthư) sao cho không có bì thư nào gửi đúng địa chỉ Đặt N = |X|, ta có

N = n! Đặt N = |X \ (A1 ∪ ∪ An)| Đặt Nk là số cách mà có k bìthư bỏ đúng địa chỉ Ta có

2.2.2 Hoán vị với vị trí cấm

Cho bàn cờ hình chữ nhật C kích thước m × n và tập M 6= ∅

thỏa mãn M ⊂ C Tìm số hoán vị σ ∈ Sn sao cho σ (i) 6= j với mọi

(i; j) ∈ M Hoán vị σ thỏa mãn yêu cầu bài toán được gọi là hoán vịvới vị trí cấm, tập M gọi là tập cấm của bàn cờ C, ô (i; j) ∈ M gọi

là vị trí cấm trên C Như vậy bài toán trên chính là tìm số cách sắp n

quân cờ trên bàn cờ C sao cho không có hai quân cờ nào ăn nhau vàkhông có quân cờ nào ở các vị trí cấm, đó chính là hệ sốrn(C\M ) Tuynhiên, để tìm số cách sắp đặt các quân cờ này rất phức tạp, trong khi

đó nếu xét bàn cờ tạo bởi các ô bị cấm M thì ta dễ dàng tìm được các

hệ số của đa thức quân cờ R (M, x) từ đó suy ra số cách sắp theo yêucầu qua định lí sau đây

Định lý 2.2.5 Cho bàn cờ hình chữ nhật C kích thước m × n với M làtập hợp các vị trí cấm Đặt p = min {m, n}, gọi rk(M ) là số cách đặt

k quân cờ không ăn nhau trên bàn cờ M, khi đó

Chứng minh Với 1 ≤ k ≤ p, ta xét đặt k quân cờ trên C Giả sử có s

dòng trong bàn cờ C chứa các ô bị cấm là d1, d2, , ds Với mỗi i thoảmãn 1 ≤ i ≤ s ≤ min {m, n}, gọi Ai(k) là cách sắp k quân cờ trên bàn

cờ C sao cho có quân cờ trên dòng di ở vị trí cấm và ti là số ô vuông bịcấm trên dòng di Khi đó số cách sắp k quân cờ trên bàn cờ C\M là

rk(C\M ) = rk(C)−

= m!n!

(m − k)! (n − k)! (k − 1)!−

... data-page="21">

2.2 Ứng dụng tổ hợp< /p>

2.2.1 Hoán vị xáo trộn

Trước hết ta nhắc lại khái niệm hoán vị

Định nghĩa 2.2.1 Cho số nguyên dương n Một hoán vị σ có độ... dễ dàng tìm

hệ số đa thức quân cờ R (M, x) từ suy số cách theo yêucầu qua định lí sau

Định lý 2.2.5 Cho bàn cờ hình chữ nhật C kích thước m × n với M làtập hợp vị trí cấm Đặt p =... vng, vị trí cấm bàn cờ rơi vào trườnghợp đặc biệt hai đường chéo bàn cờ vịtrí theo quy luật định, cách tổng quát, ta tính đathức qn cờ bàn cờ tạo bị cấm từ suy số cách đặtcác quân cờ bàn cờ cho