Một số ứng dụng của phương trình sai phân giải toán sơ cấp

Lời nói đầuPhương trình sai phân là một lĩnh vực được nhiều nhà khoa học quantâm bởi tính hữu hiệu của nó khi giải số các mô hình đề xuất, ta có thểtham khảo ứng dụng đa dạng của phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

PHAN THỊ THU HUYỀN

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN GIẢI TOÁN SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

PHAN THỊ THU HUYỀN

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS: Nguyễn Thị Ngọc Oanh

THÁI NGUYÊN - 2019

Mục lục

Trang

1.1 Định nghĩa 5

1.2 Nguồn gốc phương trình sai phân 8

1.3 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm 12

1.4 Toán tử ∆ và E 13

1.5 Các tính chất cơ bản của toán tử sai phân 16

1.6 Toán tử ∆−1 và phép lấy tổng 20

Chương 2 Phương trình sai phân tuyến tính và ứng dụng 24 2.1 Các định nghĩa 24

2.2 Cách tìm nghiệm tổng quát và nghiệm riêng 26

2.3 Một số phương pháp khác giải phương trình sai phân tuyến tính cấp một 28

2.3.1 Phương trình tuyến tính tổng quát 28

2.3.2 Phương trình dạng yk+1 − yk = (n + 1)kn 31

2.3.3 Phương trình dạng yk+1 = Rkyk 35

2.4 Một số ứng dụng trong giải toán sơ cấp 35

2.4.1 Tính tổng 35

2.4.2 Dãy Số Fibonacci 42

2.4.3 Đa thức Chebyshev 44

2.4.4 Một số dạng toán liên quan tới dãy số 47

Lời nói đầu

Phương trình sai phân là một lĩnh vực được nhiều nhà khoa học quantâm bởi tính hữu hiệu của nó khi giải số các mô hình đề xuất, ta có thểtham khảo ứng dụng đa dạng của phương trình sai phân trong tài liệu[3] và các tài liệu tham khảo của nó Bên cạnh những ứng dụng mạnh

mẽ của phương trình sai phân khi nghiên cứu các mô hình phức tạp thìphương trình sai phân có nhiều ứng dụng hiệu quả khi giải các bài toántrong chương trình phổ thông như: tính tổng chuỗi, tìm số hạng tổngquát, chứng minh bất đẳng thức,

Luận văn gồm có trong hai chương

Chương 1 trình bày lại một số kiến thức liên quan tới phương trìnhsai phân như định lý tồn tại và duy nhất nghiệm, toán tử ∆ và toán tử

E, toán tử ∆−1,

Chương 2 nghiên cứu phương trình sai phân tuyến tính, cách tìmnghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính, đồng thời giớithiệu một số phương pháp khác tìm nghiệm phương trình sai phân tuyếntính cấp một Phần cuối của chương trình bày một vài ứng dụng củaphương trình sai phân trong việc tính tổng dãy số, tìm số hạng tổngquát của dãy số và một số bài toán liên quan

Để thực hiện và hoàn thành đề tài Luận văn này, em xin gửi lời cảm

ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, bộ phận Sau đại học - Phòng đàotạo, Khoa Toán- Tin trường Đại học Khoa học – Đại Học Thái Nguyêncùng quý thầy cô trong trường đã giảng dạy và giúp đỡ em trong suốtquá trình hoc tập và nghiên cứu

Đồng thời xin chân thành cảm ơn tới gia đình, người thân, bạn bè vàcác anh chị trong lớp đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong quá trình họctập và nghiên cứu đề tài của mình.

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn ThịNgọc Oanh người hướng dẫn khoa học đã trực tiếp dành thời gian, côngsức hướng dẫn em trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn

Em xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 01 tháng 11 năm 2019

Học viên

Phan Thị Thu Huyền

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản về phép tính sai phân

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ bản nhấtliên quan tới phép tính sai phân, các định nghĩa và định lý về nghiệm,

sự tồn tại và duy nhất nghiệm; toán tử sai phân ∆ cùng các tính chất

cơ bản, toán tử dịch chuyển E Nội dung của chương này được thamkhảo chính trong các Chương 1 và Chương 2 tài liệu [2], Chương 1 tàiliệu [3]

1.1 Định nghĩa

Một dãy số là một hàm mà miền xác định của nó là tập các số nguyên.Trong phần này, chúng ta sẽ xét các dãy mà miền xác định là các số

dụng ký hiệu {yk} để biểu diễn dãy y0, y1, y2,

Khi cho trước giá trị ban đầu thì ta có thể tính toán được các giá trịcòn lại Như vậy, từ phương trình (1.1), rõ ràng nếu n giá trị liên tiếp

duy nhất Các giá trị cụ thể này được gọi là các điều kiện ban đầu

Định nghĩa sau đây cho ta sự liên hệ giữa dãy và phương trình saiphân.

Định nghĩa 1.1 Một phương trình sai phân thường là một quan hệ códạng cho trước bởi phương trình (1.1)

Định nghĩa 1.2 Cấp của phương trình sai phân là hiệu giữa chỉ số caonhất và chỉ số thấp nhất xuất hiện trong phương trình

Phương trình cho dưới dạng (1.1) là một phương trình sai phân cấp n

ý rằng dịch chuyển trong các chỉ số không đổi cấp của phương trình saiphân Chẳng hạn như với số nguyên r

yk+n+r = F (k + r, yk+n+r−1, yk+n+r−2, , yk+r) (1.2)

là một phương trình sai phân cấp n và tương đương với phương trình(1.1)

Định nghĩa 1.3 Một phương trình sai phân được gọi là tuyến tính nếu

nó được cho dưới dạng

yk+n + a1(k)yk+n−1+ a2(k)yk+n−2+ · · · + an−1(k)yk+1+ an(k)yk = Rk,

(1.3)

Định nghĩa 1.4 Một phương trình sai phân được gọi là phi tuyến nếu

Ví dụ 1.1 Xét một số phương trình sau

Gọi c1 và c2 là hai hằng số tùy ý Bây giờ, ta thấy hàm

ϕ(k) = c1ϕ1(k) + +c2ϕ2(k) = c1(−1)k + c2cũng là một nghiệm Thật vậy, thế ϕ(k) phương trình (1.5) ta được

c1(−1)k+1+ c2 − c1(−1)k−1− c2 = 0

1.2 Nguồn gốc phương trình sai phân

Theo giả thiết, ta có

và

yk+1 = f (k + 1, c1, c2, , cn),

Đây là một phương trình sai phân cấp n Như vậy, nếu phần tử tổng

Ví dụ 1.5 Các đa thức Chebyshev được xác định bởi biểu thức sau

Định nghĩa toán tử L như sau:

trong đó A, B và C là các hằng số độc lập với k và θ; tuy nhiên, chúng

có thể phụ thuộc vào φ Do đó,

L cos(kθ) = A cos(k + 1)θ + B cos(kθ) + C cos(k − 1)θ

= [(A + C) cos θ + B] cos(kθ) − [(A − C) sin θ] sin(kθ)

(1.13)

Nếu lấy A = C, B = −2A cos φ và đặt A = 1, vậy thì phương trình(1.13) trở thành

L cos(kθ) = 2(cos θ − cos φ) cos(kθ),đại lượng này tỷ lệ với mẫu số trong biểu thức tích phân của phươngtrình (1.11)

Bây giờ, áp dụng toán tử L vào cos(kφ) ta được kết quả

truy hồi trên với bất kỳ giá trị nguyên dương nào của k

Ví dụ 1.7 Giả sử phương trình vi phân sau đây:

gian t cố định, còn k là số nguyên Tiếp theo ta thay thế đạo hàm bằngxấp xỉ,

Cuối cùng, thay thế vế bên phải của phương trình (1.15) bằng

Lược đồ (1.16) được gọi là lược đồ Euler được sử dụng để tìm nghiệm

số của phương trình (1.15)

sau

yk = A2k,trong đó A là một hằng số nào đó Vì chỉ có một hằng số nên phươngtrình sai phân có nghiệm cho bởi công thức (1.8) là phương trình cấpmột Ta có thể tìm được như sau

yk = c12k+ c25k,

= 0

là phương trình vi phân cấp một phi tuyến tổng quát.

1.3 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Rõ ràng với một phương trình sai phân cho trước, nếu một nghiệmtồn tại thì không có gì đảm bảo rằng nghiệm này là duy nhất Nghiệmphải bị hạn chế bởi các điều kiện ban đầu thêm vào với số lượng bằngvới cấp của phương trình Định lý sau đây phát biểu về sự tồn tại vàtính duy nhất của nghiệm

Định lý 1.1 Cho

yk+n = f (k, yk, yk+1, , yk+n−1), k = 0, 1, 2, 3, (1.19)

là một phương trình sai phân cấp n Phương trình này có một và chỉmột nghiệm tương ứng với bộ n giá trị đầu y0, y1, , yn−1

1.4 Toán tử ∆ và E

Toán tử ∆ được xác định như sau

cho như sau

=yk+2− 2yk+1+ yk.Một cách tổng quát, với n nguyên dương, ta định nghĩa

iii ∆(c1xk+ c2yk) = c1∆xk + c2∆yk, với c1 và c2 là các hằng số.Định lý sau đây sẽ cho ta công thức tính sai phân cấp n

Định lý 1.2

∆nyk =yk+n− nyk+n−1 + n(n − 1)

2! yk+n−2+ · · · + (−1)in(n − 1) (n − i + 1)

i! yk+n−i+ · · · + (−1)nyk

n + 1 Như vậy định lý đã được chứng minh

Sử dụng định nghĩa về hệ số nhị thức dưới đây

ni

f (r) = a0rm+ a1rm−1+ · · · + am,

trong đó, a0, a1, , am là các hằng số Hàm toán tử f (∆) được xác địnhnhư sau

(α2 + β2∆)(α1 + β1∆)yk = α1α2yk+ (α1β2 + α2β1)∆yk+ β1β2∆2yk

hàm đa thức bậc m, thì ta có thể phân tích thành nhân tử dưới dạng

Tiếp theo, với p số nguyên bất kỳ, ta định nghĩa toán tử dịch chuyển E

ii E ≡ 1 + ∆.

iii Nếu f (r) và g(r) là các đa thức của biến r thì

f (E) = f (1 + ∆)g(∆) = g(E − 1)

!

∆iyk.Như vậy ta có điều phải chứng minh

1.5 Các tính chất cơ bản của toán tử sai phân

a Sai phân của tích

Ta có

∆(xkyk) = xk+1∆yk+ yk∆xk.Thật vậy,

b Định lý Leibnitz cho sai phân

Ta có công thức sau đây

n

!(∆nxk)(yk+n)

Đây chính là kết quả trình bày trong phương trình (1.32)

c Sai phân của thương

Sai phân của thương được cho bởi công thức sau

∆ cos(ak) = cos(ak + a) − cos(ak)

= cos a cos(ak) − sin a sin(ak) − cos(ka)

= (cos a − 1) cos(ak) − sin a sin(ak)

Ví dụ 1.12 Cho đa thức bậc n

Pk = a0kn+ a1kn−1+ + an.Khi đó

Do đó, mỗi lần áp toán tử sai phân lại giảm bậc đi một và thêm mộtthừa số vào tích liên tiếp n(n − 1)(n − 2) Thực hiện quá trình này

zk+1− z1 = y1 + y2 + + yk−1+ ykhay

quả trên bởi công thức

Công thức (1.37) được gọi là công thức tổng từng phần.

Ta có đinh lý dưới đây, thường được biết đến với tên gọi định lý cơbản của phép tính tổng

Sử dụng công thức tổng từng phần bởi phương trình (1.37) và định lý

cơ bản của phép tính tổng, ta thu được:

Thế những kết quả này vào phương trình (1.40) được

có dạng như sau:

Lhxn = a0xn+k+ a1xn+k−1 + · · · + akxn = fn, (2.2)trong đó

các hệ số a0, , ak, a0 6= 0, ak 6= 0 là các hằng số hay hàm số của n;

lưới có bước lưới h;

trình sai phân tuyến tính thuần nhất;

tuyến tính không thuần nhất;

Lhxn = a0xn+k + a1xn+k−1+ · · · + akxn = 0 (2.3)được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc k với hệ sốhằng số;

Nếu a0, a1, a2, , ak là các hàm của n thì (2.2) là phương trình saiphân tuyến tính với hệ số biến thiên

với biến n, thỏa mãn phương trình (2.2) được gọi là nghiệm của phươngtrình sai phân tuyến tính (2.2)

quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất (2.3), nếu với mọi

tức là vừa thỏa mãn (2.3) vừa thỏa mãn ˜x0 = x0, ˜x1 = x1, , ˜xk−1 =

xk−1

phải chứng minh.

2.2 Cách tìm nghiệm tổng quát và nghiệm riêng

được

Phương trình (2.4) được gọi là phương trình đặc trưng của (2.3) (cũng

có thể coi là phương trình đặc trưng của (2.2))

trong đó Ci, i = 1, , k là các hằng số tùy ý;

s − 1 nghiệm dạng nλnj, n2λnj, , ns−1λnj, cũng là các nghiệm độc lậptuyến tính của (2.3) và do đó

các hằng số tùy ý;

Trong một số trường hợp khi vế phải là hàm có dạng đặc biệt ta có

Dạng tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp một là

Bây giờ ta sẽ chứng minh nghiệm tổng quát của phương trình (2.5)

có thể tìm dưới dạng hữu hạn

Đầu tiên ta xét phương trình thuần nhất (2.6) Chú ý rằng nếu y1cho trước thì

tổng quát của phương trình (2.6)

Bây giờ ta xét phương trình không thuần nhất (2.5) Chia cả hai vế

và ta có thể viết lại như sau

Nghiệm tổng quát của (2.5) là tổng của nghiệm thuần nhất và nghiệmkhông thuần nhất có dạng sau

cho ta yk là đa thức bậc (n + 1).

sai phân sau đây

thỏa mãn phương trình (2.15) Do đó, ngoại trừ hằng số A chưa biết,các nghiệm của phương trình sai phân được cho bởi các phương trình(2.10)-(2.13) là ba đa thức Bernoulli đầu tiên

Các đa thức Bernoulli tương ứng là

Từ đây, ta có thể viết lại phương trình sai phân không thuần nhất nhưsau

theo các đa thức Bernoulli

Ta chú ý rằng các đa thức Bernoulli có thể biểu diễn như là các hàm

thức Bernoulli Sử dụng các kết quả đã cho phía trên, ta thu được



Ví dụ 2.3 Phương trình

đây là phương trình sai phân xác định đối với các đa thức Bernoulli.

(2.25)

trong đó f (n) là một hàm cho trước của n Bây giờ, ta trình bày một

phương trình vi phân bậc nhất, tuyến tính, không đồng nhất sau:

Điều này cho c giá trị

Ví dụ 2.7 Sử dụng Định lý 1.4, tính tổng

Bài giải

Bài giải Ta có A2n = n!

1

A2 n

quy tắc đó là số thứ k bằng tổng của hai số trước với số ban đâu là

52

Thay giá trị C1, C2 vào phương trình (2.37) ta thu được công thức tổngquát cho số Fibonacci thứ k như sau

!k

√52

Do

... văn trình bày cách có hệ thống kiến thức liênquan toán tử sai phân, toán tử dịch chuyển tính chất, đồng thờichỉ vài phương pháp để ứng dụng phương trình sai phânvào giải tốn tính tổng dãy số, ... yk đa thức bậc (n + 1).

sai phân sau

thỏa mãn phương trình (2.15) Do đó, ngoại trừ số A chưa biết,các nghiệm phương trình sai phân cho phương trình( 2.10)-(2.13) ba đa thức Bernoulli... gọi phương trình sai phân tuyến tính bậc k với hệ sốhằng số;

Nếu a0, a1, a2, , ak hàm n (2.2) phương trình saiphân tuyến tính với hệ số biến