Về luật số lớn và một số ứng dụng

Xác suất hay giải tích ngẫu nhiên là một nhánh của toánhọc nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên, nghĩa là nghiên cứu các hiện tượng không thể nóitrước nó xảy ra hay không xảy ra khi thực

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 TS Trần Xuân Quý

2 TS Đỗ Thị Phương Quỳnh

THÁI NGUYÊN - 2021

Mục lục

1.1 Biến cố và xác suất 5

1.2 Biến ngẫu nhiên 7

1.3 Xác suất có điều kiện và tính độc lập 13

1.4 Các dạng hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên 15

1.4.1 Hội tụ theo xác suất 16

1.4.2 Hội tụ theo bình phương trung bình 16

1.4.3 Hội tụ theo phân bố 17

Chương 2 Về luật số lớn và một số áp dụng 19 2.1 Luật số lớn 19

2.1.1 Luật yếu số lớn 19

2.1.2 Luật mạnh số lớn 21

2.2 Bất đẳng thức Martingale 24

2.3 Phân phối thực nghiệm 28

2.4 Định lý giới hạn trung tâm 30

2.5 Bất đẳng thức Berry-Esseen 32

Danh sách kí hiệu viết tắt

(Ω, F , P) Không gian xác suất

ϕ∗

Mở đầu

P.S Laplace (1812) đã từng nói “Phần lớn những vấn đề quan trọng của cuộc sống thực

ra chỉ là những bài toán xác suất” Xác suất hay giải tích ngẫu nhiên là một nhánh của toánhọc nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên, nghĩa là nghiên cứu các hiện tượng không thể nóitrước nó xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một lần quan sát, nhưng nếu tiến hành quansát nhiều lần ta có thể rút ra kết luận khoa học về hiện tượng đó Do yếu tố ngẫu nhiên mà

lý thuyết xác suất ứng dụng, từ văn học, vật lý, thị trường chứng khoán, dự báo thời tiết, kinh

tế y học, Luật số lớn là một kết quả của xác suất có nhiều ứng dụng và là cơ sở cho nhiềuhiện tượng thống kê và thực tiễn

Trong thực tế, để xác định giá trị của một biến ngẫu nhiên nào đó người ta thường tiếnhành n lần quan sát (đo đạc) một cách độc lập và lấy trung bình cộng các kết quả đo ấy làmgiá trị ước lượng cho giá trị cần biết Câu hỏi đặt ra là cơ sở nào để khẳng định việc xấp xỉnày là chấp nhận được (hay nói cách khác là sai số của việc xấp xỉ là bao nhiêu và cần thựchiện tối thiểu bao nhiêu phép thử để thu được sai số không vượt quá một giá trị cho trước).Câu trả lời là luật số lớn, hay cụ thể hơn là bất đẳng thức Chebysev Tuy nhiên, một vấn

đề đặt ra là: Nếu áp dụng bất đẳng thức Chebysev trong bài toán chọn cỡ mẫu thì số phépthử quá lớn Lý do cơ bản là đánh giá sai số trong bài toán cỡ mẫu dựa trên bất đẳng thứcChebysev chưa đủ chặt, từ đó tốc độ hội tụ thu được chưa thật chính xác Vậy tốc độ hội tụcủa luật số lớn như thế nào? Bất đẳng thức martingale sẽ giải quyết vấn đề đó Nói cách khác,chọn cỡ mẫu theo bất đẳng thức ước lượng mũ là tối ưu hơn theo bất đẳng thức Chebysev.Trong thực tế chúng ta thường chỉ gặp một số biến ngẫu nhiên có phân phối đặc biệt nhưphân phối nhị thức, phân phối Poisson, phân phối mũ, Đặc biệt là các biến ngẫu nhiên

có phân phối chuẩn hoặc xấp xỉ chuẩn Ví dụ: Xét một quần thể Chọn ngẫu nhiên một nhómgồm n cá thể (mẫu có kích thước n) Giả sử X là số cả thể có đặc tính A trong mẫu Khi đó,người ta thấy rằng nếu n lớn thì X có phân phối xấp xỉ chuẩn Cơ sở lí thuyết của hiện tượng

đó chính là định lý giới hạn trung tâm Áp dụng định lý giới hạn trung tâm cho bài toán chọn

cỡ mẫu ta thấy cách chọn cỡ mẫu theo bất đẳng thức ước lượng mũ và theo định lý giới hạn

trung tâm là tương đương.

Với mục đích hệ thống lại các kiến thức của xác suất, trình bày lại luật số lớn, bất đẳngthức Chebysev, bất đẳng thức Martingale, định lý giới hạn trung tâm và áp dụng cho bàitoán chọn cỡ mẫu trong thống kê, dưới sự hướng dẫn của TS Trần Xuân Quý và TS Đỗ Thị

Phương Quỳnh, tôi chọn đề tài “Về luật số lớn và một số ứng dụng” để làm đề tài luận văn

thạc sĩ

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Chương này nhắc lại một số định nghĩa cơ bảntrong lý thuyết xác suất như biến cố và xác suất, biến ngẫu nhiên, xác suất có điều kiện, badạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên

Chương 2 Về luật số lớn và một số áp dụng Chương này trình bày về các luật số lớn, bấtđẳng thức Chebysev, bất đẳng thức martingale và định lý giới hạn trung tâm, so sánh ba cáchchọn cỡ mẫu và ưu điểm, nhược điểm của từng cách chọn cỡ mẫu

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên dưới sựhướng dẫn của TS Trần Xuân Quý, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới - TS Trần Xuân Quý và TS Đỗ Thị PhươngQuỳnh, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luận vănnày

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Đào tạo, các thầy cô giáo dạy cao họcchuyên ngành Toán ứng dụng, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡtôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân đã luôn độngviên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luậnvăn

Thái Nguyên, ngày 05 tháng 11 năm 2020

Tác giả

Bùi Thị Lan Anh

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng ta nhắc lại một vài định nghĩa cơ bản về lý thuyết xác suất Cụthể ta nhắc lại một số vấn đề sau:

(i) Không gian xác suất, σ− đại số và độ đo;

(ii) Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối của chúng;

(iii) Kì vọng và phương sai;

(iv) σ− đại số sinh bởi biến ngẫu nhiên;

(v) Tính độc lập, xác suất có điều kiện;

(vi) Các dạng hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên

Ví dụ 1.1.2 R được định nghĩa là tập hợp các số thực Họ các tập Borel F = B(R) là σ− đại

số trên R trong đó B(R) là σ− đại số chứa tất cả các đoạn trên R

Định nghĩa 1.1.3 Cho F là một σ− đại số trênΩ Độ đo xác suất P là hàm P : F −→ [0, 1]sao cho

1) P(Ω) = 1;

2) Nếu A1, A2, là tập rời nhau từng đôi một (nghĩa là Ai∩ Aj = ∅ với i , j) ⊂ F thì

P(A1∪ A2∪ .) = P(A1)+ P(A2)+ · · · (Ω, F , P) được gọi là không gian xác suất Tập hợp thuộc F được gọi là biến cố Biến

cố A xảy ra hầu chắc chắn khi P(A) = 1

số F = B([0, 1]) là tập hợp các tập Borel B ⊂ [0, 1] và độ đo Lebesgue P = Leb trên [0, 1].Khi đó (Ω, F , P) là một không gian xác suất Nhắc lại rằng Leb là độ đo duy nhất được địnhnghĩa trên tập Borel sao cho với bất kì [a, b]

Ta có

P(A1∪ A2∪ · · ·+ An)= P(A1∪ (A2\ A1) ∪ (A3\ A2) ∪ · · ·+ P(An\ An−1)

= P(A1)+ P(A2) − P(A1)+ · · · + P(An) − P(An−1)

nếu {ξ ∈ B} ∈ F với mỗi tập Borel B ∈ B(R) Nếu (Ω, F , P) là không gian xác suất thì hàm

ξ được gọi là biến ngẫu nhiên

Chú ý 1.2.2 Để cho ngắn gọn, ta ký hiệu {ξ ∈ B} thay vì viết

{ω ∈ Ω : ξ(ω) ∈ B}

lớp tất cả các tập có dạng {ω ∈Ω : ξ(ω) ∈ B}, trong đó B là tập Borel trong R

định nghĩa là σ− đại số nhỏ nhất chứa tất cả biến cố có dạng {ω ∈Ω : ξi(ω) ∈ B} trong đó B

là tập Borel trong R và i ∈ I

trong R là tập Borel Nếu f là hàm Borel và ξ là biến ngẫu nhiên thì f (ξ) là σ(ξ)− đo được.Thật vậy, nếu B là tập Borel trong R và f : R −→ R là hàm Borel thì f−1(B) cũng là tậpBorel Do đó

Nhận xét dưới đây cho ta biết được một số tính chất của hàm phân phối của biến ngẫu nhiên

lim

x→−∞Fξ(x)= 0, lim

x→ +∞Fξ(x)= 1

Thật vậy, nếu x ≤ y thì {ω ∈ Ω : ξ(ω) ≤ x} ⊂ {ω ∈ Ω : ξ(ω) ≤ y} Do đó

Fξ(x)= P{ω ∈ Ω : ξ(ω) ≤ x} ≤ P{ω ∈ Ω : ξ(ω) ≤ y} = Fξ(y)

Điều đó có nghĩa là Fξkhông giảm

Tiếp theo, ta lấy dãy bất kỳ x1 ≥ x2 ≥ và đặt

thì ξ được gọi là biến ngẫu nhiên với hàm phân phối liên tục tuyệt đối và fξ được gọi là hàmmật độ của ξ Nếu dãy hữu hạn hoặc vô hạn các số thực phân biệt x1, x2, sao cho với bất

thì ξ được gọi là có phân phối rời rạc với giá trị x1, x2, và P{ω ∈ Ω : ξ(ω) = xi}được gọi

là hàm “khối lượng” xác suất của ξ tại xi

suất Pξ 1 , ,ξn ∈ Rn sao cho

Pξ , ,ξ (B) = P{ω ∈ Ω : (ξ1(ω), , ξn(ω)) ∈ B}

với mọi tập Borel B ∈ Rn Nếu đó là hàm Borel fξ 1 , ,ξ n : Rn −→ R sao cho P{ω ∈ Ω :(ξ1(ω), , ξn(ω)) ∈ B}= R

B

fξ1, ,ξn(x1, , xn)dx1 dxnvới bất kỳ tập Borel B ∈ Rn, khi đó

fξ 1 , ,ξ n được gọi là hàm mật độ đồng thời của ξ1, , ξn

phần bùΩ \ A của A Với bất kỳ biến cố A ta có

Đặc biệt, Nhận xét 1.2.14 suy ra rằng nếu ξ có phân phối liên tục tuyệt đối với mật độ fξ

Nhận xét 1.2.16 Nếu ξ là biến ngẫu nhiên bình phương khả tích, thì ξ khả tích.

Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức Schwarz [E(ξη)]2 ≤ E(ξ2)E(η2) với η = 1 Nếu ξ là bìnhphương khả tích thì

[E(|ξ|)]2 = [E(1|ξ|)]2

≤ E(12)E(ξ2)= E(ξ2

) < ∞,nghĩa là ξ khả tích

Khi n → ∞ Do đó (1.3) đúng suy ra điều phải chứng minh.

Định nghĩa 1.3.1 Với hai biến cố bất kỳ A, B ⊂ F sao cho P(B) , 0, xác suất có điều kiện

của A với B được định nghĩa bởi

Nhận xét 1.3.2 Chứng minh công thức xác suất toàn phần

P(A) = P(A|B1)P(B1)+ P(A|B2)P(B2)+ với bất kỳ A ∈ F và dãy bất kỳ các biến cố đôi một rời nhau B1, B2, ∈ F sao cho

Tổng quát, n biến cố A1, , An ∈ F được gọi là độc lập nếu

P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ ∩ Aik)= P(Ai1)P(Ai2) P(Aik)với bất kỳ chỉ số 1 ≤ i1 < i2 < < ik ≤ n

Định nghĩa 1.3.4 Hai biến ngẫu nhiên ξ và η được gọi là độc lập nếu với mọi tập Borel

Khi đó tích ξη cũng khả tích.

Nếu ξ1, , ξn:Ω −→ R là các biến ngẫu nhiên độc lập khả tích thì

E(ξ1, , ξn)= E(ξ1)E(ξ2) E(ξn),khi đó tích ξ1ξ2 ξncũng khả tích

Định nghĩa 1.3.6 Hai σ− đại số G và H con của F được gọi là độc lập nếu hai biến cố bất

Điều kiện đủ: Giả sử ξ, η là độc lập suy ra {ω ∈Ω : ξ(ω) ∈ A} và {ω ∈ Ω : ξ(ω) ∈ B} với tậpBorel A và B bất kỳ trên R độc lập

Suy ra σ(ξ) và σ(η) độc lập

Cho X1, X2, , Xn, là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc vào chỉ số n Mục đíchnghiên cứu xem khi n khá lớn thì Xncó tính chất gì đặc biệt hay không Trước hết ta cần địnhnghĩa sự hội tụ của Xnvề một biến ngẫu nhiên khác có ý nghĩa như thế nào Trong mục nàytrình bày ba kiểu hội tụ cơ bản nhất

1.4.1 Hội tụ theo xác suất

Z khi n → ∞ nếu:

Với mọi ε > 0, P{|Xn− Z|> ε} → 0 khi n → ∞

Khẳng định Xn hội tụ tới Z theo xác suất nghĩa là : với ε, δ cho trước nhỏ tùy ý, thì vớixác suất ít nhất là 1 − δ ta sẽ có |Xn− Z| 6 ε nếu n đủ lớn

(BPTB) tới biến ngẫu nhiên Z nếu

1.4.3 Hội tụ theo phân bố

Cho X1, X2, , Xn, là dãy các biến ngẫu nhiên và Z là một biến ngẫu nhiên khác Ta

sẽ định nghĩa sự hội tụ theo phân bố của Xn tới Z như sau

1 Trường hợp X1, X2, , Xn, , và Z là các biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trịtrên tập đếm được K = {c1, c2 .} Xn được gọi là hội tụ theo phân bố tới Z nếu vớimọi ci ∈ K

lim

n→∞P{Xn = ci}= P{Z = ci}

Như vậy với n khá lớn thì ta có thể xấp xỉ P{Xn = c} bởi P{Z = c}

2 Trường hợp Z là biến ngẫu nhiên liên tục, (Xn) là dãy biến ngẫu nhiên bất kì (liên tụchoặc rời rạc) Xnđược gọi là hội tụ theo phân bố tới Z nếu với mọi x ∈ R :

Như vậy dãy Xn hội tụ tới Z theo phân bố

Tuy nhiên Xnkhông hội tụ tới Z theo xác suất Quả vậy với n= 2m + 1 :

P{|X2m +1− Z|> 1} = P{|2Z| > 1} = P{|Z| > 1

2}= 1

Do đó limm→∞P{|X2m +1− Z|> 1} = 1 , 0

Ví dụ 1.4.4. a) Giả sử X1, X2, và Z là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị C gồmcác điểm cô lập của đường thẳng và Xn hội tụ tới Z theo xác suất Khi đó Xn hội tụ tới

Ztheo phân bố Điều ngược lại không đúng

b) Giả sử Z là biến ngẫu nhiên hằng số P{Z = c} = 1

Khi đó nếu Xn hội tụ theo phân bố tới Z thì Xnhội tụ theo xác suất tới Z

sao cho khoảng (c − ε, c+ ε) không chứa giá trị nào của Z Kí hiệu

Chương 2

Về luật số lớn và một số áp dụng

Trong thực tế, để xác định giá trị của một biến ngẫu nhiên nào đó người ta thường tiếnhành n lần quan sát (đo đạc) một cách độc lập và lấy trung bình cộng các kết quả đo ấy làmgiá trị ước lượng cho giá trị cần biết Cụ thể, xét một phép thử ngẫu nhiênC nào đó, gọi A

là biến cố liên quan tới phép thửC Để đo khả năng hay xác suất xảy ra của biến cố A người

ta tiến hành thực hiện n lần độc lập phép thửC và quan sát số lần biến cố A xảy ra Sau đóngười ta xấp xỉ xác suất xảy ra của biến cố A bằng tỉ số n(A)/n Ta thấy rằng, với số lần thựchiện phép thửC thì tỉ số này sẽ khác nhau

Câu hỏi đặt ra là cơ sở nào để khẳng định việc xấp xỉ này là chấp nhận được (hay nóicách khác là sai số của việc xấp xỉ là bao nhiêu và cần thực hiện tối thiểu bao nhiêu phép thử

để thu được sai số không vượt quá một giá trị cho trước)

Hệ quả 2.1.2 Cho Y là một biến ngẫu nhiên không âm Khi đó, ∀a > 0, ta có

(ii) Cho dãy các biến ngẫu nhiên X, X1, X2, độc lập cùng phân phối, c ∈ R Khi đó haikhẳng định sau là tương đương

2.1.2 Luật mạnh số lớn

cùng phân phối Khi đó, ta có

Sn

n → ah.c.c, a ∈ R khi và chỉ khi E|X1|< ∞ và a = EX1

nhiên độc lập cùng phân phối, Sn = X1+ · · · + Xnvà p ∈ (0; 2) Khi đó

∃csao cho (Sn− nc)/n1/p → 0 h.c.c nếu và chỉ nếu E|X1|p < ∞

Đồng thời, nếu như vậy thì c= EX1 khi 1 6 p < 2 và c là tùy ý khi 0 < p < 1

Bây giờ ta sẽ tìm mối quan hệ giữa hai luật số lớn trên bằng cách lấy trung bình hóa Taxét một khái niệm hội tụ mới của Ryszard Jajte:

(i) h, g > 0, g tăng

(ii) ∃d > 0 sao cho φ tăng thực sự trên [d, ∞), miền giá trị là (0, ∞)

(iii) ∃C, k0 > 0 sao cho φ(y + 1)/φ(y) 6 C, ∀y > k0

(iv) ∃a, b sao cho

1φ(s)2

s

1φ(x)2dx6 as + b, ∀s > d

biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối Khi đó, hai điều kiện sau là tương đương:

(i) (h, g) − lim(Xk− mk)= 0, với mk = E[X; |X| 6 φ(k)]

(ii) E[φ−1(|X|)] < ∞

Chứng minh. (i) ⇒ (2): Giả sử

1g(n)

φ(|X|)−1

dP,nên

φ(k)2 ,nên ta có

Với mỗi x, dãy (ξj(x)) là độc lập, do (Xj) độc lập Hơn nữa, chúng có phân phối Bernoulli,nhận giá trị 1 với xác suất p= F(x) và nhận giá trị 0 với xác suất q = 1 − F(x) Rõ hơn, gọi

Alà biến cố thành công tại phép thử thứ j

1 nếu A xuất hiện tại phép thử thứ j,

0 nếu ngược lại

Nghĩa là, P(ξj = 1) = p, P(ξj = 0) = 1 − p = q Khi đó, số lần xảy ra biến cố A sẽ làn(A)= Pn

P (h.c.c)

Xét bài toán chọn cỡ mẫu

Cho trước sai số ε, độ tin cậy 1 − α Tìm cỡ mẫu n sao cho

n(A)

> ε < 1

4nε2

Tuy nhiên, một vấn đề đặt ra là: Nếu áp dụng bất đẳng thức Chebysev trong bài toán chọn

cỡ mẫu thì số phép thử quá lớn Chẳng hạn, với ε= 0.02; α = 0.05 thì n ∼ 12500 Lý do cơbản là đánh giá sai số trong bài toán cỡ mẫu dựa trên bất đẳng thức Chebysev chưa đủ chặt,

từ đó tốc độ hội tụ thu được chưa thật chính xác Vậy tốc độ hội tụ của luật số lớn như thếnào? Bất đẳng thức martingale sau sẽ giải quyết vấn đề đó

Gọi L1 = L1(Ω, A, P) là không gian tất cả các hàm f đo được trên Ω thỏa mãn

Sử dụng nhiều lần bất đẳng thức trên và tính chất của kỳ vọng có điều kiện ta có

Giả sử (Xn) là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối với

P(Xi = 1) = p, P(Xi = 0) = 1 − p; Ai = σ(X1, X2, , Xi)

Đặt

f = 1n

Trở lại bài toán cỡ mẫu

Theo bất đẳng thức về ước lượng mũ trên thì ta cần chọn α ∼ 2e−2nε 2

= 2α log 2 − 2α log α → 0 khi α → 0

Nói cách khác, chọn cỡ mẫu theo bất đẳng thức ước lượng mũ là tối ưu hơn theo bất đẳngthức Chebysev

2.3 Phân phối thực nghiệm

Trong các phần trên ta đã đề cập đến luật số lớn và tốc độ hội tụ của nó Phần này sẽnghiên cứu một mở rộng của luật số lớn

Nếu (Ω, A, P) là một không gian xác suất, (S, B) là một không gian đo được bất kì,

X :Ω → S là một biến ngẫu nhiên Khi đó, độ đo ảnh P ◦ X−1xác định trên B là một độ đo

và được gọi là luật của X Ký hiệu là L(X)

Với một không gian xác suất bất kì (S , B, µ) tồn tại một không gian xác suất (Ω, P) màtrên đó có xác định các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối X1, X2, nhận giá trị trong

Định lý 2.3.1 Cho (S , d) là một không gian mêtric tách được và µ là luật bất kì trên S Khi

đó, độ đo thực nghiệm µnhội tụ h.c.c tới µ:

P(ω : µn(·, ω) ⇒ µ)= 1

Nhận xét 2.3.2 Nếu S là một không gian topo bất kì, f là một hàm nhận giá trị thực liên

tục, bị chặn trên S Theo luật mạnh số lớn (đã xét ở trước) thì

Z

f dµn = ( f (X1)+ · · · + f (Xn))/n →

Z

f dµ h.c.c,tức là hội tụ ngoài một tập có độ đo 0 Nhưng tập có độ đo 0 này có thể phụ thuộc vào f Vìkhông gian tất cả các hàm liên tục bị chặn là không tách được nên định lý về luật mạnh sốlớn không trực tiếp suy ra định lý trên

Sau đây là một mở rộng (từ hội tụ h.c.c sang hội đều h.c.c) của luật mạnh số lớn chotrường hợp đặc biệt là phân phối thực nghiệm

Cho µ là một độ đo trên đường thẳng thực R có hàm phân phối

F(x) := µ((−∞, x])

Khi đó, độ đo thực nghiệm của nó xác định hàm

Fn(x)(ω) := µn((−∞, x])(ω)được gọi là hàm phân phối thực nghiệm của µ

Sau mở rộng (từ hội tụ h.c.c sang hội h.c.c) luật mạnh số lớn chotrường... data-page="29">

2.3 Phân phối thực nghiệm

Trong phần ta đề cập đến luật số lớn tốc độ hội tụ Phần sẽnghiên cứu mở rộng luật số lớn

Nếu (Ω, A, P) không gian xác suất, (S, B) không gian đo... data-page="26">

Tuy nhiên, vấn đề đặt là: Nếu áp dụng bất đẳng thức Chebysev tốn chọn

cỡ mẫu số phép thử lớn Chẳng hạn, với ε= 0.02; α = 0.05 n ∼ 12500 Lý cơbản đánh giá sai số toán cỡ mẫu dựa bất đẳng thức