Tọa độ tỷ cự và một số ứng dụng hình học phẳng

Một số ứng dụng của tọa độ tỷ cự trong hình học phẳng 14 2.1 Chứng minh các hệ thức hình học... Tọa độ tỷ cự trong hình học phẳng là đề tài lý thú, hấp dẫn nhiều chuyêngia toán học, thầy

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

TS NGUYỄN VĂN NGỌC

THÁI NGUYÊN, 10/2017

Mục lục

1.1 Khái niệm về tâm tỷ cự 3

1.1.1 Tọa độ tâm tỷ cự của hệ hai điểm 3

1.1.2 Tọa độ tâm tỷ cự của hệ ba điểm 5

1.1.3 Tọa độ tâm tỷ cự đối với hệ nhiều điểm 6

1.2 Ví dụ về tâm tỷ cự 7

Chương 2 Một số ứng dụng của tọa độ tỷ cự trong hình học phẳng 14 2.1 Chứng minh các hệ thức hình học 14

2.2 Cực trị độ dài vectơ 25

2.3 Cực trị độ dài bình phương của vô hướng 30

2.4 Phương tích 34

2.4.1 Khái niệm 34

2.4.2 Một số bài tập vận dụng 35

2.5 Bất đẳng thức Klamkin và tọa độ tỷ tâm tỷ cự 49

2.5.1 Bất đẳng thức Klamkin 49

2.5.2 Các hệ quả của bất đẳng thức Klamkin 49

2.6 Bất đẳng thức Klamkin mở rộng 51

2.6.1 Khái niệm 51

2.6.2 Kết quả chính 52

2.6.3 Một vài ứng dụng 52

Danh sách hình vẽ

1.1 I là tâm tỷ cự của AB với bộ số (x, y) và (x0, y0) 4

1.2 I là tâm tỷ cự của ABC ứng với bộ số (a, b, c) 8

1.3 H là tâm tỷ cự của ABC ứng với bộ số (tan A, tan B, tan C) 9

1.4 Điểm I nằm trong tam giác ABC 12

1.5 O(sin 2A, sin 2B, sin 2C) là tâm tỷ cự của ABC 13

2.1 Điểm M cần tìm thỏa mãn AP M Q là hình bình hành 15

2.2 Điểm M cần tìm là trung trực của GI 16

2.3 I là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABEI 17

2.4 Quỹ tích điểm M là đường tròn tâm I bán kính bằng AB 2 19

2.5 Quỹ tích của M chính là đường trung trực của đoạn thẳng GF 19

2.6 Quỹ tích điểm M là đường trung trục của P Q. 20

2.7 I(1, 3, −2) là tâm tỷ cự của ABC, D(3, −2) là tâm tỷ cự của BC 21

2.8 BCEI là hình bình hành 21

2.9 A, I, D thẳng hàng 22

2.10 Quỹ tích điểm M là đường tròn tâm I bán kính AJ 23

2.11 Phương tích của P với (O; R) là PP/(O) = OP2− R 2 34

2.12 Phương tích của P với (O) là PP/(O) = P T2 35

2.13 Đường tròn chín điểm Euler (E) của ABC 47

Mở đầu

Các bài toán hình học nói chung và hình học phẳng nói riêng là chuyên mụckhó trong lĩnh vực toán phổ thông, nhưng lại có sức hấp dẫn kì lạ, bởi vì nhữngbài toán này không những trực giác về hình học mà còn đòi hỏi nhiều tư duysáng tạo

Tọa độ tỷ cự trong hình học phẳng là đề tài lý thú, hấp dẫn nhiều chuyêngia toán học, thầy cô dạy toán trong các trường cấp trung học phổ thông và họcsinh yêu toán Tọa độ tâm tỷ cự thể hiện tọa độ của các điểm xác định nhờ mộthình cơ sở thông qua các đại lượng vectơ Nó là cầu nối, thể hiện mối quan hệmật thiết giữa hình học và đại số Nhờ có các công thức, các kết quả xây dựng

từ trước mà những tính toán và biến đổi hình học thông thường đã được môhình hóa thành một lớp các đại lượng và các quan hệ ràng buộc mang chất hìnhhọc giữa chúng

Ngoài một số dạng bài toán được nêu ra là tìm tọa độ tâm tỷ cự thỏa mãn

bộ số cho trước hoặc điều kiện nào đó, các bài tập về tâm tỷ cự liên quan đếnnhiều dạng bài toán của hình học như dựa vào tâm tỷ cự chứng minh các hệthức vectơ hình học, tìm cực trị độ dài vectơ, cực trị độ dài bình phương vôhướng, tính phương tích với đường tròn Bài toán về ứng dụng tâm tỷ cự cũngxuất hiện nhiều trong bài toán khó trong đề thi học sinh giỏi, đề thi Olympic.Các tài liệu về tọa độ tâm tỷ cự xuất hiện dưới nhiều tài liệu tổng hợp từcác chuyên gia quốc tế, như của Z Abel [5], M Schindler and E Chan [7], vàcủa V, Prasolov [6] Ở trong nước, tạp trí Toán học Tuổi trẻ cũng dành các số

để đăng vấn đề toán học liên quan về tâm tỷ cự trong hình học phẳng [1] Qua

đó, chúng ta có thể thấy sự thú vị và quan trọng của chủ đề này trong toán họcđối với giáo viên dạy phổ thông và học sinh phổ thông yêu thích hình học Tìmhiểu và học tập về tâm tỷ cự là cần thiết cho việc nâng cao kiến thức của giáoviên trong công việc giảng dạy và bồi dưỡng cho học sinh ở các trường THPT.Với mong muốn cung cấp thêm một tài liệu tổng hợp kiến thức về tâm tỷ cự,

giúp cung cấp thêm một phương pháp hay và rất bổ ích để rèn luyện hình họcphẳng, chúng tôi chọn chủ đề “Tọa độ tỷ cự và một số ứng dụng hình họcphẳng” để làm đề tài luận văn cao học.

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 2 chương:

Chương 1 Các khái niệm cơ bản Trong chương này, chúng tôi trình bàymệnh đề về sự tồn tại duy nhất, khái niệm, ví dụ về tọa độ tâm tỷ cự của hệhai điểm, của hệ ba điểm, và hệ nhiều điểm Sau đó chúng tôi trình bày một số

ví dụ chi tiết tìm tâm tỷ cự của các hệ điểm cùng các bài toán liên quan tâm tỷ

cự để hiểu rõ hơn và vận dụng khái niệm tâm tỷ cự cho các vấn đề ở Chương 2.Chương 2 Một số ứng dụng của tọa độ tỷ cự trong hình học phẳng.Chương 2 trình bày nhiều bài toán ứng dụng của tọa độ tỷ cự trong hình họcphẳng và hình không gian bao gồm các bài toán tìm tọa độ tâm tỷ cự thỏa mãn

bộ số cho trước hoặc điều kiện nào đó, dựa vào tâm tỷ cự chứng minh các hệthức vectơ hình học, tìm cực trị độ dài vectơ, tính phương tích với đường tròn,cuối cùng một số bài toán liên quan bất đẳng thức Klamkin

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học TháiNguyên Lời đầu tiên tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo

TS Nguyễn Văn Ngọc Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giảiđáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn toàn thể các thầy cô trong Khoa Toán - Tin,trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình hướng dẫn, truyềnđạt kiến thức trong suốt thời gian theo học, thực hiện và hoàn thành luận văn.Cảm ơn sự giúp đỡ của bạn bè, người thân và các đồng nghiệp trong thời gianlàm luận văn

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017

Người viết luận văn

Nguyễn Thị Trang

Chương 1

Các khái niệm cơ bản

Trong chương này, đầu tiên chúng tôi trình bày mệnh đề về sự tồn tại duynhất, khái niệm, ví dụ về tọa độ tâm tỷ cự của hệ hai điểm, của hệ ba điểm, và

hệ nhiều điểm Sau đó chúng tôi trình bày nhiều ví dụ chi tiết tìm tâm tỷ cựcủa các hệ điểm cùng các bài toán liên quan tâm tỷ cự Nội dung của Chươngđược tham khảo từ các tài liệu [1, 2, 3]

1.1.1 Tọa độ tâm tỷ cự của hệ hai điểm

Mệnh đề 1.1.1 ([3]) Cho hai điểm A, B và hai số thực x, y không đồng thờibằng 0 Khi đó, tồn tại duy nhất điểm I sao cho

Định nghĩa 1.1.2 ([3]) Các số x, y (x + y 6= 0) được gọi là tọa độ tỷ cự củađiểm I và viết I(x, y) đối với hệ hai điểm A, B (đối với đoạn thẳng AB), nếu có

−−→

M A + −−→

M B = 2 − →

là công thức trung điểm quen thuộc trong hình học

Mệnh đề 1.1.6 ([3]) Giả sử (x, y) và (x0, y0) là các tọa độ tỷ cự của cùng điểm

I đối với đoạn thẳng AB. Khi đó,

1.1.2 Tọa độ tâm tỷ cự của hệ ba điểm

Mệnh đề 1.1.7 ([3]) Cho ba điểm A, B, C và ba số thực x, y, z thỏa mãn điềukiện x + y + z 6= 0 Khi đó, tồn tại duy nhất điểm I = I(x, y, z) sao cho

AC + − → IA) = − →

Định nghĩa 1.1.8 ([3]) Các số x, y, z (x + y + z 6= 0) được gọi là tọa độ tỷ cựcủa điểm I và viết I(x, y, z) đối với hệ ba điểm A, B, C (đối với tam giác ABC

nếu A, B, C không thẳng hàng), nếu có hệ thức (1.5)

Nhận xét 1.1.9 Nếu I(x, y, z) là tâm tỷ cự của hệ 3 điểm A, B, C thì với mọiđiểm M, ta có

là công thức trọng tâm quen thuộc đối với tam giác

Mệnh đề 1.1.11 ([3]) Giả sử (x, y, z) và (x0, y0, z0) là các tọa độ tỷ cự của cùngđiểm I đối với hệ ba điểm A, B, C. Khi đó,

thỏa mãn điều kiện k1+ k2+ + kn 6= 0 Khi đó, tồn tại duy nhất một điểm

I(k1, k2, , kn), sao cho

Định nghĩa 1.1.13 ([3]) Các số k1, k2, , kn (k1+ k2+ + kn 6= 0) được gọi

là tọa độ tỷ cự của điểmI và viết I(k 1 , k 2 , , k n )đối với hệ điểm A 1 , A 2 , , A n,nếu có hệ thức (1.9)

Nhận xét 1.1.14 NếuI(k1, k2, , kn)là tâm tỷ cự của hện điểmA1, A2, , An

thì với mọi điểm M, ta có

Hình 1.2: I là tâm tỷ cự của ABC ứng với bộ số (a, b, c).

Chứng minh Ta phải chứng minh a − →

− → IA

− → IA

Ví dụ 1.2.2 Cho ∆ABC không vuông Chứng minh rằng trực tâm H của

∆ABC là tâm tỷ cự của bộ ba điểm A, B, C ứng với bộ số (tan A, tan B, tan C)

Hình 1.3: H là tâm tỷ cự của ABC ứng với bộ số (tan A, tan B, tan C).

Chứng minh Ta phải chứng minh

Vì −−→HB và −−→HB0 đối nhau nên

Ta luôn cótan A + tan B + tan C 6= 0, do đó từ định nghĩa và đẳng thức (3) ta suy

ra H là tâm tỷ cự của hệ ba điểm A, B, C ứng với bộ ba số (tan A, tan B, tan C).Trong trường hợp ∆ABC có một góc tù được chứng minh hoàn toàn tươngtự

Ví dụ 1.2.3 ([2]) Cho tam giác ABC và một điểm M bất kì trong mặt phẳngtam giác Đặtm1= SM BC, m2= SM CA, m3= SM AB,trong đóSM BC, SM CA, SM AB

lần lượt là diện tích các tam giác M BC, M CA và M AB Chứng minh rằng

M (m1, m2, m3) là tâm tỷ cự đối với tam giác ABC, nghĩa là

i) Nếu I nằm trong tam giácABC thì α, β, γ luôn cùng dấu, hãy xét dấu của

α, β, γ trong các miền còn lại của mặt phẳng

ii) Khi I nằm trong tam giác hãy chứng minh rằng α

I

Hình 1.4: Điểm I nằm trong tam giác ABC.

C0(α, β) là tọa độ tỷ cự trên AB Như vậy I ở trong tam giác ABC khi và chỉkhi A0 ∈ [BC], C0 ∈ [AB], B0∈ [CA] hay α, β, γ cùng dấu

ii) Khi I nằm trong tam giác thì như câu i) trên, đường thẳng IA giao BC

tại A0 thì A0(β, γ) trên BC Mặt khác dễ chứng minh A0(A0B, A0C) trên BC mà

Theo Ví dụ 1.2.3, O(m1, m2, m3) là tâm tỷ cự đối với tam giác ABC, trong đó

m 1 = SOBC, m 2 = SOCA, m 3 = SOAB Tức là,

Chương 2

Một số ứng dụng của tọa độ tỷ cự trong hình học phẳng

Chương 2 nêu ra nhiều bài toán ứng dụng của tọa độ tỷ cự trong hình họcphẳng, ngoài ra có cả một số bài toán trong hình không gian Một số dạng bàitoán được nêu ra là tìm tọa độ tâm tỷ cự thỏa mãn bộ số cho trước hoặc điềukiện nào đó, chứng minh các hệ thức vectơ hình học, cực trị độ dài vectơ, cựctrị độ dài bình phương vô hướng, tính phương tích với đường tròn và một số bàitoán liên quan bất đẳng thức Klamkin Nội dung của Chương 2 được tổng hợp

và tham khảo từ các tài liệu [1, 2, 4, 5, 6]

Giải Theo giả thiết Glà trọng tâm của tam giác ABD nênG là tâm tỷ cự của

bộ ba điểm A, B, D ứng với bộ số (1, 1, 1) Nghĩa là

a) −−→M A + 2 −−→

M B + 3 −−→

M C = − →

0.b) −−→M A + 2 −−→

M B − 3 −−→

M C = − →

0.Giải a) Cách 1: Theo tính chất về tâm tỷ cự của ba điểm thì với bộ ba số

α = 1, β = 2, γ = 3, tồn tại duy nhất điểm M sao cho −−→M A + 2 −−→

M B + 3 −−→

M C = − →

0.Với mỗi điểm O, ta có

Vậy M là trung điểm của đoạn IC.

b) Theo kết quả của Bài toán về tâm tỷ cự của ba điểm thì với bộ ba số

α + β + γ = 1 + 2 − 3 = 0 ta suy ra không có điểm M nào thỏa mãn điều kiện Bài toán 2.1.3 Cho tam giác ABC Tìm điểm M sao cho

Hình 2.2: Điểm M cần tìm là trung trực của GI.

Giải Chọn G là trọng tâm tam giác ABC Ta có

GọiI là điểm sao cho−IA + 2→ − →

1 Hãy dựng điểmIlà tâm tỷ cự của ba điểmA, B, Cứng với bộ ba số(3, −2, 1)

2 Chứng minh rằng đường thẳng nối hai điểm M N được xác định được xácđịnh từ hệ thức−−→M N = 3 −−→

M A − 2 −−→

M B + −−→

M C luôn đi qua một điểm cố định

3 Tìm quỹ tích của M sao cho |3−−→M A − 2 −−→

nên điểm I cần tìm thỏa mãn hệ thức sau

I

Hình 2.3: I là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABEI.

Suy ra, I là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABEI (với E là trung điểm của

E

F G

I

Hình 2.5: Quỹ tích của M chính là đường trung trực của đoạn thẳng GF

5) GọiP là tâm tỷ cự của hai điểm A, B ứng với bộ số (2, 1) và K là trung điểmcủa cạnh AB Khi đó, P thỏa mãn đẳng thức vectơ sau

Tương tự gọi Q là tâm tỷ cự của hai điểm B, C ứng với bộ số (4, −1) Khi đó, Q

thỏa mãn đẳng thức vectơ sau

⇔−QB =→ 1

3

− → BC.

A

C

P K

d M

1 Xác định điểmI sao cho nó là tâm tỷ cự của ba điểm A, B, C ứng với bộ ba

số (1, 3, −2) Xác định điểm D sao cho nó là tâm tỷ cự của hai điểm B, C

ứng với bộ số (3, −2)

2 Chứng minh rằng A, I, D thẳng hàng

3 Gọi E là trung điểm đoạn AB và N là một điểm sao cho −−→AN = k −→

AC hãyxác định k sao cho AD, EN, BC đồng quy

4 Tìm quỹ tích điểm M sao cho

B

C

E I

N H

Suy ra, A, I, D thẳng hàng

3) Theo chứng minh trên, ta có AD và BC giao nhau tại D Giả sử DE cắt AC

tại N nên N thuộc AC Theo giả thiết −−→AN = k −→

AC, do đó k > 0 Kẻ BH songsong với AC, H thuộc DN Ta có

BH = 2

3CN

AN = 2

3N C.

N H

J M

Hình 2.10: Quỹ tích điểm M là đường tròn tâm I bán kính AJ

Mệnh đề 2.1.6 Cho đoạn thẳng AB và điểm I nằm trên đường thẳng AB Khiđó:

P I + − → IB)2

⇔ (α2+ αβ)IA2+ (β2+ αβ)IB2 = αβAB2

⇔ (α + β)αIA2+ (α + β)βIB2= αβAB2

⇔ αIA2+ βIB2 = αβ

α + βAB

2

Thay lại (2.3) ta được

αP A2+ βP B2 = (α + β)P I2+αβAB

2

α + β .

3 Áp dụng vào tam giác ABC ta dễ thấy với M nằm trên đường thẳng BC thì

M (M B, −M C) Do đó áp dụng hệ thức Jacobi phần (ii) ta dễ suy ra

M B.AC2− M C.AB2= (M B − M C).AM2−M B.M C.BC

2

M B − M C

⇔ M B.AC2− M C.AB2= CB.AM2+ M B.M C.BC.

Khi M thuộc đoạn thẳng ta chọn vectơ chỉ phương trục cùng hướng −BC→ để bỏdấu của độ dài đại số, suy ra

M B.AC2+ M C.AB2 = BC.M A2+ M B.M C.BC.

Nhận xét 2.1.7 Qua chứng minh ta còn thấy được công thức Sterwartz tổngquát với độ dài đại số

M B.AC2− M C.AB2 = CB.AM2+ M B.M C.BC.

=

= |5 −−→

M G| = 5M G.

− → CB

⇔−→CG = 1

5(

−→

CA + − → CB) = 2

5

− →

CI (với I là trung điểm của AB).

Vậy với điểm G sao cho −→CG = 2

M I + − → IB) + 2( − →

M I + − → IC)

Bài toán 2.2.3 ([4]) Cho hệ n điểm A1, A2, , An và n số k1, k2, , kn thỏamãn điều kiện k 1 + k 2 + + k n 6= 0 và đường thẳng d (hoặc mặt phẳng (P )).Tìm điểm M trên đường thẳng d (hoặc mặt phẳng (P )) sao cho

I lên đường thẳng d (hoặc mặt phẳng (P )) Bài toán 2.2.4 Cho hình vuông ABCD. Tìm điểm M thỏa mãn:

Cách 2 Gọi G là điểm sao cho

Ta cần phải định G từ (2.5) Với mỗi O, ta có

− → AD.

Bài toán 2.2.5 ([4]) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có

A(−1; 0), B(2; 3), C(3; −6) và đường thẳng ∆ : x − 2y − 3 = 0 Tìm điểm M trên

G = −1 + 2 + 3

3 ;

0 + 3 − 6 3

y = −13

15.

Bài toán 2.2.6 ([4]) Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A(3; 1; 1) và B(7; 3; 9)

Bài toán 2.3.1 ([4]) Cho đa giác A1A2 An và n số thực k1, k2, , kn mà

k1+ k2+ + kn = k > 0 Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (thuộc đường thẳng)sao cho tổng

Chú ý 2.3.2 Bài toán cho đa giác A1A2 An và n số thực k1, k2, , kn mà

k 1 + k 2 + + k n = k < 0 Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (thuộc đường thẳng)sao cho tổng

S = k1M A21+ k2M A22+ + knM A2n

đạt giá trị lớn nhất có cách giải tương tự như trên

Bài toán 2.3.3 ([4]) Tìm điểm M trên mặt phẳng chứa tam giác ABC sao chotổng M A2+ 2M B2+ 3M C2 nhỏ nhất

Giải Gọi I là điểm thỏa mãn −IA + 2→ − →

M I + − → IB)2+ 3( − →

M I + − → IC)2

= 6M I2+ (IA2+ 2IB2+ 3IC2) + 2 − →

sao cho tổng M A2+ 2M B2− 6M C 2 đạt giá trị lớn nhất

Giải Gọi I là điểm thỏa mãn −IA + 2→ − →

M I + − → IB)2− 6(−M I +→ − →

Xét hàm số f (y) = 2y2+ 14y + 9 có đồ thị là Parabol, bề lõm quay lên trên nên

f (y) = 2y2+ 14y + 9 đạt giá trị nhỏ nhất khiy = −7

2 suy ra x = 3

2 nênM3

2; −

7 2

.Vậy M A2+ M B2− M C2 nhỏ nhất khi M

3

2; −

7 2

.Cách 2: Giải theo phương pháp tâm tỷ cự Gọi I(x; y) là điểm thỏa mãn

M I + − → IB)2− (−M I +→ − →

1(x − 0) − 1(y + 5) = 0

.

So sánh hai cách giải thì cách giải thứ hai là cách giải hình học thuần túy, đốivới cách giải thứ nhất thì học sinh cần phải nắm vững cả kiến thức đại số vềhàm bậc hai có đồ thị là parabol 

Ví dụ sau đây chỉ ra rằng phương pháp tâm tỷ cự không chỉ là phương pháphữu hiệu để giải bài toán cực trị trong mặt phẳng Oxy đã nói ở trên mà cả giảibài toán cực trị trong không gian Oxyz

Bài toán 2.3.6 ([4]) Trong không gianOxyz cho mặt phẳng (P ) : x − y + 2z = 0

và các điểmA(1; 2; −1), B(3; 1; −2), C(1; −2; 1) Tìm điểmM thuộc mặt phẳng(P )

= −M I2+ (IA2− IB2− IC2) (vì −IA −→ − →

IB − − →

IC = − →

0 ).

Do các điểm I, A, B, C xác định nên M A2− M B2− M C2 lớn nhất khi và chỉ khi

M I nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P )

Ta tìm tọa độ M Đường thẳng M I đi qua điểm I(3; −3; 0) và có vectơ chỉphương là −→np(1; −1; 2) Phương trình đường thẳng M I

Ví dụ sau phương pháp tâm tỷ cự không phương pháphữu... để giải toán cực trị mặt phẳng Oxy nói mà giảibài tốn cực trị khơng gian Oxyz

Bài tốn 2.3.6 ([4]) Trong khơng gianOxyz cho mặt phẳng (P...

M I nhỏ hay M hình chiếu vng góc I lên mặt phẳng (P )

Ta tìm tọa độ M Đường thẳng M I qua