Một số ứng dụng của công thức nội suy lagrange và hermite

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCHOÀNG THỊ NGA MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CÔNG THỨC NỘI SUY LAGRANGE VÀ HERMITE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCHOÀNG THỊ NGA MỘT SỐ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HOÀNG THỊ NGA

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CÔNG THỨC NỘI SUY LAGRANGE VÀ HERMITE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HOÀNG THỊ NGA

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CÔNG THỨC NỘI SUY LAGRANGE VÀ HERMITE

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu

THÁI NGUYÊN - 2018

MỤC LỤC

1.1 Bài toán nội suy Lagrange 11.2 Bài toán nội suy Hermite 91.3 Bài toán nội suy Lagrange - Newton 18Chương 2 Ứng dụng nội suy tính nguyên hàm và tích phân các hàm

2.1 Nguyên hàm của hàm phân thức với các cực điểm đơn 212.2 Nguyên hàm của hàm phân thức với các cực điểm bậc tùy ý 26

3.1 Một số bài toán về đa thức nhận giá trị nguyên 433.2 Một số bài toán xác định đa thức 503.2.1 Tìm đa thức khi biết các nghiệm của nó 503.2.2 Sử dụng công thức nội suy Lagrange để xác định hệ số của

đa thức 533.2.3 Một số bài toán xác định đa thức khác không liên quan đến

các công thức nội suy 56

MỞ ĐẦU

Trong các kì thi học sinh giỏi toán các cấp, Olympic Toán sinh viên, các bàitoán liên quan tới đa thức thường xuyên được đề cập Những dạng toán nàythường được xem là thuộc loại khó, hơn nữa phần kiến thức về nội suy đa thứclại không nằm trong chương trình chính thức của giáo trình Đại số và Giải tíchbậc trung học phổ thông

Như ta đã biết, công thức nội suy Lagrange đã được đề cập ở bậc phổ thông.Tuy nhiên công thức nội suy Hermite chỉ có trong các tài liệu chuyên khảo Vìvậy, tôi chọn đề tài luận văn ”Một số ứng dụng của công thức nội suy Lagrange

và Hermite”

Luận văn nhằm cung cấp một số ứng dụng của công thức nội suy Lagrange vàHermite để tìm nguyên hàm của hàm phân thức

Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận và 3 chương

Chương 1 Nội suy Lagrange và nội suy Hermite

Chương 2 Ứng dụng nội suy tính nguyên hàm và tích phân các hàm phân thứcChương 3 Một số dạng toán liên quan

Tiếp theo, trong các chương đều trình bày một hệ thống bài tập áp dụng giảicác đề thi HSG quốc gia và Olympic liên quan

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học, Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Xin được gửilời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến Thầy, người đã tận tình hướng dẫn và chỉđạo tác giả tập dượt nghiên cứu khoa học trong suốt quá trình tìm hiểu tài liệu,viết và hoàn thiện Luận văn Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các quý thầy

cô trong Bộ môn toán, Khoa Khoa học Tự nhiên, các Thầy Cô trường Đại họcKhoa học Tự nhiên Hà Nội, các Thầy Cô Viện Toán học đã tận tình giảng dạy,quan tâm và tạo mọi điều kiện thuận lợi về thủ tục hành chính để em hoàn thànhkhoá học và bảo vệ luận văn Thạc sĩ Tôi cũng chân thành cảm ơn gia đình, bạn

bè và cơ quan, đoàn thể nơi tôi công tác là Trường Trung học Phổ thông ThuỷSơn, Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng, đã tạo mọi điều kiện về vật chất lẫntinh thần trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận văn

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2018

Tác giả

Hoàng Thị Nga

Chương 1 Nội suy Lagrange và nội suy Hermite

Chương này được dành để trình bày về các bài toán nội suy Lagrange, bài toánnội suy Hermite và bài toán nội suy Lagrange-Newton, từ định lí, hệ quả cho đếnmột số ví dụ tính toán cụ thể

Trong một số trường hợp, để tính tổng hữu hạn các phân thức, người ta thường

sử dụng một số tính chất của đa thức, đặc biệt là công thức nội suy Lagrange.Dưới đây là một số đồng nhất thức cơ bản và áp dụng của chúng

Định lý 1.1 (Đồng nhất thức Lagrange) Nếu x1, x2, , xm là m giá trị tuỳ ý,đôi một khác nhau và f (x) là đa thức bậc nhỏ thua m thì ta có đồng nhất thứcsau

f (x) = f (x1) (x − x2)(x − x3) (x − xm)

(x1 − x2)(x1 − x3) (x1 − xm)++f (x2) (x − x1)(x − x3) (x − xm)

(x2 − x1)(x2 − x3) (x2 − xm)+ · · · + f (xm) (x − x1)(x − x2) (x − xm−1)

(xm − x1)(xm − x2) (xm− xm−1). (1.1)Chứng minh Ta cần chứng minh công thức

Nhận xét rằng vế trái của công thức là một đa thức bậc không quá m − 1 và có

ít nhất m nghiệm phân biệt là x1, x2, , xm Vậy đa thức trên phải đồng nhấtbằng 0

Hệ quả 1.1 Từ Định lý 1.1, ta thu được các đồng nhất thức sau đây

(x −√

3)(x −√

5)(x −√

7)(√

√2)(x − √

3)(x −√

7)(√

2(x − a)(x − b)(c − a)(c − b) ≡ x2 (a < b < c).Định lý 1.2 Giả sử f (x) là một đa thức bậc nhỏ thua hoặc bằng m − 2 (m > 2)

và x1, x2, , xm là m giá trị đôi một khác nhau cho trước tuỳ ý Khi đó, ta

có đồng nhất thức

f (x1)(x1 − x2)(x1 − x3) (x1 − xm) +

f (x2)(x2 − x1)(x2 − x3) (x2 − xm)

(xm − x1)(xm − x2) (xm− xm−1) ≡ 0

Chứng minh Nhận xét rằng vế trái của đẳng thức đã cho chính là hệ số củahạng tử ứng với bậc m − 1 trong cách viết chính tắc của đa thức f (x) Đồng nhấtcác hệ số đồng bậc ta có ngay điều phải chứng minh

Dưới đây, ta xét một số ứng dụng trực tiếp của đồng nhất thức Lagrange

c + d + a(c − b)(d − b)(a − b)(x − b)+

d + a + b(d − c)(a − c)(b − c)(x − c) +

a + b + c(a − d)(b − d)(c − d)(x − d)

≡ x − a − b − c − d(x − a)(x − b)(x − c)(x − d).

Lời giải Thật vậy, ta cần chứng minh

(a + b + c + d) − a(a − b)(a − c)(a − d)(a − x) +

(a + b + c + d) − b(b − a)(b − c)(b − d)(b − x)+

+ (a + b + c + d) − c

(c − a)(c − b)(c − d)(c − x) +

(a + b + c + d) − d(d − a)(d − b)(d − c)(d − x)+

+ (a + b + c + d) − x(x − a)(x − b)(x − c)(x − d) = 0.

Ta có, với đa thức bậc nhất

f (y) = a + b + c + d − y, y1 = a, y2 = b, y3 = c, y4 = d, y5 = x,

theo Định lý 1.2 ta sẽ thu được ngay điều phải chứng minh

Định lý 1.3 Cho x1, x2, , xm là m giá trị tuỳ ý đôi một khác nhau Đặt

n 1

(x1 − x2)(x1 − x3) (x1 − xm) +

xn2(x2 − x1)(x2 − x3) (x2 − xm)

n m

(xm− x1)(xm− x2) (xm − xm−1).Khi đó

c) Để tính Sn khi n > m − 1 ta làm như sau:

Giả sử x1, x2, , xm thoả mãn phương trình bậc m

αm+ p1.αm−1+ p2.αm−2 + · · · + pm−1.α + pm = 0,

(−1)k.pk = x1x2x3 xk+ · · ·Nhân cả hai vế của phương trình trên với αk, ta được

αm+k+ p1.αm+k−1 + p2αm+k−2+ · · · + pm−1.αk+1 + pm.αk = 0

Thay α trong đẳng thức này lần lượt bởi x1, x2, , xm; và lần lượt chia đẳngthức thứ nhất cho

(x1 − x2)(x1 − x3) (x1 − xm),đẳng thức thứ hai cho

(x2 − x1)(x2 − x3) (x2 − xm) ., rồi cộng vế với vế các đẳng thức mới vừa nhận được, ta thu được

Sm+k+ p1.Sm+k−1 + · · · + pm−1.Sk+1 + pm.Sk = 0 (1.2)Đặt k = 0, ta thu được Sm + p1Sm−1 = 0

Do đó Sm = −p1 = x1 + x2 + · · · + xm

Nhờ đẳng thức (1.2) ta sẽ lần lượt tính tiếp các biểu thức Sm+1, Sm+2,

Ta đặt lần lượt

1(x1 − x2)(x1 − x3) (x1 − xm) = α1;

1(x2 − x1)(x2 − x3) (x2 − xm) = α2;

1(xm − x1)(xm − x2) (xm− xm−1) = αm.Khi đó ta có

Sn = xn1α1 + xn2α2 + · · · + xnmαm.Xét

|x1z| < 1, |x2z| < 1, , |xmz| < 1,

ta khai triển tổng P thành chuỗi vô hạn như sau:

P = α1(1 + x1z + x21z2 + · · · ) + α2(1 + x2z + x22z2 + · · · )+

+ · · · + αm(1 + xm.z + x2mz2 + · · · )hay

P = (α1 + α2 + · · · + αm) + (x1α1 + x2α2 + · · · + xmαm)z +

+(x21α1 + x22α2 + · · · + x2mαm)z2 + · · ·tức là

δ1 = x1 + x2 + · · · + xm,

δ2 = x1x2 + x1x3 + · · · + xm−1xm

.Tiếp theo, nhân cả hai vế của đẳng thức thứ hai với

Thật vậy, biểu thức P Q − zm−1 triệt tiêu khi

1 − δ1z + δ2z2 − + (−1)mδmzm = S0 + S1z + · · · + Sm−1zm−1 + · · ·

Nếu khai triển vế trái thành chuỗi vô hạn theo luỹ thừa của z thì chuỗi này bắtđầu bằng hạng tử chứa zm−1 Vì vậy, hệ số của các hạng tử bậc 0, 1, 2, , m − 2trong vế phải bằng không, tức là

1

1 − δ1z + δ2z2 − · · · + (−1)mδmzm = 1 + Smz + Sm+1z2 + · · ·

hoặc

1 = (1 − δ1z + δ2z2 − · · · + (−1)mδm.zm)(1 + Smz + Sm+1z2 + · · · )

Khai triển vế phải theo lũy thừa của z và so sánh các hệ số ở hai vế, ta được

Sm− δ1 = 0,

δ2 − δ1.Sm + Sm+1 = 0,

.Như vậy, ta có thể tính được Sm, Sm+1, Sm+2,

Nhằm thiết lập được mệnh đề mở rộng cấu trúc của Sm+k, ta xét

Vì vậy, ta thu được kết quả cuối cùng Sm+k bằng tổng các tích, mỗi tích có

k + 1 thừa số (giống nhau hoặc khác nhau) lấy trong các số x1, x2, , xm Nóiriêng

ck(c − a)(c − b).Khi đó

S0 = S1 = 0 , S2 = 1 , S3 = a + b + c,

S4 = a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca,

S5 = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 + abc

ck(c − a)(c − b)(c − d)+

k

(d − a)(d − b)(d − c).Khi đó

T0 = T1 = T2 = 0 , T3 = 1 , T4 = a + b + c + d

Bây giờ ta chuyển sang khảo sát bài toán nội suy Lagrange dưới ngôn ngữ tổngquát

Bài toán 1.1 (Bài toán nội suy Lagrange) Cho xi, ai ∈ R, với xi 6= xj ∀i 6=

j, (i, j = 1, 2, , N ) Hãy xác định đa thứcL(x) có bậc deg L(x) 6 N − 1 thỏamãn điều kiện

L(xi) = ai, ∀i = 1, 2, , N (1.3)Lời giải Để đơn giản, ký hiệu

Tiếp theo, ta chứng minh rằng đa thức

là đa thức duy nhất thỏa mãn điều kiện của bài toán nội suy Lagrange (1.3), và

ta gọi đa thức này là đa thức nội suy Lagrange

P (xi) = 0, ∀i = 1, 2, , N.

Tức là P (x) là đa thức có bậc deg P (x) với deg P (x) 6 N − 1 mà lại có ítnhất N nghiệm phân biệt x1, x2, , xN, nên P (x) ≡ 0, và do đó L(x) = L∗(x)

Từ bài toán nội suy Lagrange ta có nhận xét sau:

Nhận xét 1.1 Về mặt hình học, việc xây dựng đa thức nội suy Lagrange (1.3)

có nghĩa là xây dựng một đa thức một biến bậc không quá N − 1 đi qua tất cảcác điểm Mi(xi, yi), ∀i = 1, 2, , N cho trước

Bài toán nội suy Newton là một mở rộng tự nhiên của đồng nhất thứcTaylor và tương ứng, khai triển Taylor - Gontcharov là mở rộng khai triển Taylor

cổ điển Bây giờ ta chuyển sang xét bài toán nội suy Hermite là một mở rộng tựnhiên của bài toán nội suy Lagrange và Taylor Với đa thức

Rõ ràng đa thức H(x) có deg H(x) = α1 + α2 + · · · + αn và

H(k)(xj) = 0, k = 0, 1, , αj − 1; j = 1, 2, , n

Vì thế, ta có thể phát biểu bài toán nội suy Hermite dưới dạng sau

Bài toán 1.2 (Nội suy Hermite) Cho xi, aki ∈ R, với i = 1, 2, , n; k =

0, 1, , pi − 1 và xi 6= xj ∀i 6= j, trong đó p1 + p2 + · · · + pn = N

Hãy xác định đa thức H(x) có bậc deg H(x) 6 N − 1 thỏa mãn điều kiện

H(k)(xi) = aki, ∀i = 1, 2, , n; ∀k = 0, 1, , pi− 1 (1.5)Lời giải Ký hiệu

= l!αli

h 1

Wi(x)

i(l−k) (x=x i )

1(x − xi)pi−l

h 1

Wi(x)

i(l−k) (x=x i )

1(x − xi)p i −l.Suy ra

h 1

Wi(x)

i(l−k) (x=x i )

1(x − xi)p i −l

(x − xi)l−k(l − k)! .Đổi chỉ số ở tổng cuối cùng của đẳng thức trên, ta thu được

(x − xi)ll!

Tn 1

Wi(x)

o(pi−1−k) (x=xi) =

(x − xi)ll!

là đoạn khai triển Taylor đến cấp thứ (pi− 1 − k) tại x = xi của hàm số 1

.Khi đó, dễ thấy rằng

deg Hki(x) 6 k + (N − pi) + (pi − 1 − k) = N − 1,

Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng

n 1

wi(x)

o(pi−1−k) (x=x i )

(1.6)hay

là đa thức duy nhất thỏa mãn điều kiện của bài toán nội suy Hermite 1.5 và tagọi đa thức (1.6) là đa thức nội suy Hermite

Thật vậy, dễ thấy rằng deg H(x) 6 N − 1 và

Suy ra

Hk1(x) = (x − x1)

k

k! .Vậy nên

Wi(x)

o(pi−1−k) (x=x i ) ,trong đó

Tn 1

Wi(x)

o(p i −1−k) (x=x i )

(x − xi)ll! .

Ta xét một trường hợp khi hệ điều kiện chỉ chứa đạo hàm bậc nhất

Trong đa thức nội suy Hermite (1.5), nếu pi = 2, ∀i = 1, 2, , n thì khi đó

.Suy ra

Wi(x)

o(0) (x=xi)

i

.Nếu k0 = p0 − 1 và chọn ak0i0 = (pi0 − 1)!Wi0(xi0) thì ta có

H(x) = W (x)

x − xi0.Vậy, trong trường hợp đặc biệt

Ngược lại, mọi đa thức có dạng

H(x) = (x − x1)α1(x − x2)α2· · · (x − xn)αn, xi 6= xj ∀i 6= j, i, j = 1, 2, , nđều là nghiệm của các bài toán Hermite

Tiếp theo, trong phần này ta sẽ nêu một số ví dụ áp dụng các kỹ thuật cơ bản

để xác định các đa thức khi biết một số đặc trưng của chúng dưới dạng nút nộisuy

Bài toán 1.3 Cho 0 < α < 1 Xác định tất cả các đa thức f (x) bậc n (n > 2)sao cho tồn tại dãy số r1, r2, , rn (r1 < r2 < < rn) thoả mãn các điều kiệnsau

Do vậy p > 0 khi và chỉ khi α > 1

trong đó P (0), P (1), , P (n − 1) là các giá trị tùy ý.

Tiếp theo ta xét một số bài toán liên quan đến nội suy theo xấp xỉ Diophane.Bài toán 1.5 Chứng minh rằng tồn tại đa thức Pn(x) bậc n (n > 1) với hệ sốnguyên sao cho

Pn(x) − 1

2

< 1

1000 ∀x ∈ h 1

10,

910

i.Lời giải Xét đa thức

ta có

Pn(x) − 1

2

...

đó tốn nội suy Lagrange - Newton toán nội suy Lagrange quenbiết

Nếu i = 1, tương ứng r1 = r2 = · · · = rn = 1, sk = k Khi tốn nộisuy Lagrange. .. data-page="30">

Từ đây, ta suy nguyên hàm hàm số cần tìm là

Như vậy, thấy để tính ngun hàm hàm phân thức với cáccực điểm đơn ta sử dụng công thức nội suy Lagrange để tính Vậy với hàmphân thức có cực điểm... pháp:

- Bước 1: Xác định nút nội suy nghiệm đơn nghiệm bội mẫuthức

- Bước2: Biểu diễn đa thức cho theo nút nội suy theo công thức Hermite

- Bước 3: Tính hệ số cơng cụ đạo hàm biểu diễn