PT LUONG GIÁC cơ bản 11CB

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1... Giải các phương trình sau: 1... Giải các phương trình lượng giác sau đây:... Ta cũng đa phơng trình 4 về phơng trình bậc hai theo ẩn t.. Bài tập minh

Trang 1

Nguyễn Hữu Tuấn- 0963897355

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

A CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Cung liên kết

a) Cung đối: cos   x   cos ; sin x   x   sin ; x

b) Cung bù: cos    x   cos ; sin x    x   sin ; x

2 Công thức lượng giác

sin( ) sin cos cos sin

tan tan tan( )

1 tan tan cot a cot 1 cot( )

sin 2 2sin cos cos 2 cos sin 2cos 1

1 2sin

2 tan tan 2

1 tan

a a a a

sin 3 3sin 4sin

cos3 4cos 3cos

2 1

Trang 3

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1 Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh sin x m (1)

)sin

23

arcsin 23

Trang 4

- Khả năng 1: Nếu m đợc biểu diễn qua cos của góc đặc biệt, giả sử góc Khi đó phơng trình có

3 Giải và biện luận phơng trình lợng giác tan x m c  ( )

Bớc 1: Đặt điều kiện cos 0 ,

Trang 5

4 Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh lîng gi¸c cot x m  ( ) d

Bíc1: §Æt ®iÒu kiÖn sin x   0 x k   k  

NhËn xÐt: Nh vËy víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè ph¬ng tr×nh (d) lu«n cã nghiÖm

Ví dụ minh họa: Giải các phương trình sau:

3) cot 3 cot

7

1) cot 2

Giải các phương trình sau:

1 sin x cos 2x  0 2 cos x sin 2x 02  

Trang 6

Bài tập đề nghị:

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1) sin 2 x1 sin 3 x1 2) cos x 4 cos 2x 2

20) sin 4xcos5x0 21) 2sinx 2 sin2x0

22) sin 22 xcos 32 x1 23) sin 5 cos3x xsin 6 cos2x x

2

x =

2)

1sin2

4

-17)

5 1sin2

-2 Giải các phương trình lượng giác sau đây:

1) sin(x+ =1) sin2x 2) sin(2x- 1)=sin(x+3) 3) sinx+sin2x=0

Trang 7

4) sin(2x- 1)=sin(2x+3) 5) 2sin(2x - 30 ) 1 00 + = 6) sin (22 x p- )=1

7) 2sin(3x - 2)=1 8) sinx=cosx 9) sin4x+cos5x=0

3 Giải các phương trình lượng giác sau đây:

1)

2cos

2

x =

2)

3cos5

4.Giải các phương trình lượng giác sau đây:

1) cos(3x- 1)=cosx 2) cosx+cos2x=0 3) cos(2x+ =1) cos(x- 1)4) cosx=sin2x 5) cos4x+sin5x=0 6) 4cos 22 x =1

7) 2cos(x - 2)= - 1 8) 3cos(2x - 7)+ 3=0 9) cos(3x+ -1) cos2x=010) cosx- cos3x=0 11) cos2x+cos(5x- 1)=0 12) sinx+cos3x=0

10) 3cotx =1 11) cotx =1 12) cot2x =3

19) tan3 tanx x =1 20) tan5 cotx x =1 21) tanx + =2 1 0

Trang 8

1)(2 cos )(3cos2+ x x- 1)=0 2)cos2 cot(x x 4) 0

x- = 6)2tan cosx x+ =1 2cosx+tanx

7)2sin cosx x- 3sin2x=0 8)2sin cosx x+ 3 2cos- x= 3sinx

8 Giải cỏc PTLG sau đõy với điều kiện của x đó được chỉ ra:

với điều kiện - 1200 Ê xÊ 900

2) sin(x - 1)= - 1 với điều kiện

với điều kiện - pÊ xÊ p

Cách giải: Đặt t  sin x , điều kiện | | t  1

Đa phơng trình (1) về phơng trình bậc hai theo t , giải tìm t chú ý kết hợp với điều kiện rồi giải tìm x

ta đa phơng trình (3) về phơng trình bậc hai theo t, chú ý khi tìm đợc nghiệm

x cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay không

Dạng 4:

2

a x b  x c   a  a b c   (4)

Cách giải: Điều kiện sin x   0 x k   k  

Đặt t  cot x ( t   ) Ta cũng đa phơng trình (4) về phơng trình bậc hai theo ẩn t.

Bài tập minh họa:

Vớ dụ 1: Giải cỏc phương trỡnh sau

Trang 9

3 1 0

3 132

Các câu còn lại giải tương tự

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

3  nên phương trình 3cos 2x   vô nghiệm.7 0

Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là , 

Đặt ttanx, ta giải phương trình bậc hai theo t: 7t2 4 12 0t 

VÝ dô 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:

1) 2cos2 x 5cosx 3 0 2) 1 5sin x2cos2 x0

3) 3 cot2x 4 cotx 3 0 4) 2

3

4 tan 2 0cos x x 

Trang 10

(Chú ý: ta có thể không cần đặt ẩn phụ mà coi hàm số lợng giác nh là một ẩn nh ví dụ này)

3) Điều kiện: sinx 0 x k k ,  

1

1tan

k x

1 Giải cỏc phương trỡnh lượng giỏc sau đõy:

1) 2sin2x- 3sinx+ =1 0 2) 3cos2x+5cosx+ =2 0

3) 4cot2x+5cotx+ =1 0 4) sin2x- 5sinx+ =6 0

7) 3sin 22 x+4sin2x+ =1 0 8) 6cos2x- cosx- 1 0=

9)tan 32 x+tan3x- 2=0 10) 4sin 22 x- 2sin2x- 1 0=

11)cos 42 x- cos4x- 6=0 12) 2cos 22 x- cos2x- 1 0=

17)4tan2x- tanx- 3=0 18)2cos2x+ 2cosx- 2=0

19)cot2x- 4cotx+ =3 0 20)3tan4x- 4tan2x+ =1 0

Trang 11

21)4cos2x+4cosx+ =1 0 22)4sin 22 x- 4sin2x- 3=0

25)3sin2x- 4sinx+ =1 0 26)6cos 22 x- 5cos2x- 4=0

1) 4cos2x- 2( 3- 2)cosx- 6=0 2) 3tan2x- 2 3tanx+ =3 0

3) tan 22 x- (1- 3)tan2x- 3=0 4) 2sin2x- (2+ 3)sinx+ 3=0

5) 4cos2x- 2( 3 1)cos+ x+ 3=0 6) 2sin2x- (4+ 7)sinx+2 7=0

7) 2 2sin2x- (2+ 2)sinx+ =1 0 8) 4cos2x+2( 3+ 2)cosx+ 6=0

9) 4sin2x- 2 6sinx+ =1 0 10)4cos 22 x- 2 5cos2x+ =1 0

11)4cos 22 x- 2( 3 1)cos2- x- 3=0 12)2sin2x- 3 3sinx+ =3 0

13)2sin 22 x- 3 2sin2x+ =2 0 14)2cos2x- (2 2 1)cos+ x+ 2=0

15)4sin2x- 2 2sinx- 1 0=

1) cos2x+sinx+ =1 0 2) 8cos2x+6sinx- 3=0

3) 2sin2x=3cosx 4) 2sin2x- cos2x- 4sinx+ =2 0

5) 3sin 22 x+7cos2x- 3=0 6) 5sin (sinx x- 1) cos- 2x=3

7) 9cos2x- 5sin2x- 5cosx+ =4 0 8) 1 5sin- x+2cos2x=0

9) 3sin 22 x+7cos2x- 3=0 10)2cos2x+5sinx- 4=0

11)25sin2x+100cosx=89 12)4 2cos- 2x- 5sinx=0

13)2cos2x+5sinx+ =1 0 14)2sin2x+4sinx- 3cos2x=0

17)7cosx=4cos3x+4sin2x

1) 2cos2x+cosx=1 2) 4cos2x+4sin2x+4sinx=1

Trang 12

3) cos2x+3sinx- 2=0 4) cos 2sin2 1

x

5) cos2x- 2cosx- 3=0 6) cos2x- sinx=0

7) cos2x+5sinx+ =2 0 8) cos2x+9cosx+ =5 0

9)2cos cos2 1 0

x

10)cos(10x+12)+4 2sin(5x+6) 4- =011)

1) cos2x+sin2x+2cosx+ =1 0 2) 4sin 22 x+6sin2x- 3cos2x- 9=0

3) cos2x+sin2x+2cosx+ =1 0 4) 4sin 22 x- 8cos2x+ =3 0

5) 6sin2x+2sin 22 x=5 6) 4cos2x+4sin2x+4sinx=1

9) 8sin4x= +1 cos4x 10)cos 22 x- cos2x=4sin 2 cos2 x 2x

11)2cos3 cosx x+ -4 4sin 22 x=0 12) 10cos2x- 3cos4x- 4=0

1) tanx+cotx=2 2) 7tanx- 4cotx=12

3) 2tanx- 2cotx=3 4) tanx- 3cotx+ =1 3

5) 3tanx+cotx= +1 3 6)

12tan cot 2sin2

Trang 13

3) 2

2 2

5

3) 2cos2x+tan2x=5 4) (1 tan )(1 sin2 )- x + x = +1 tanx

5) 6cos2x- tan2x- 1 0= 6) sin2x+2tanx=3

7)

2cot tan 4sin2

x x

4)tan2x+cot2x+2(1 tan+ x+cot )x =0

5)

2 2

sin x+ x+ x+ x- = 6) tan2x+cot2x+2tanx+2cotx- 6=0

9) sin3x+3sin2x+2sinx=0

III Phơng trình bậc nhất đối với sin ,cos x x

Trang 14

a) Định nghĩa: Phơng trình asinx b cosx c (1) trong đó a, b, c  và a2b2  đợc gọi là ph-0

ơng trình bậc nhất đối với sin ,cosx x

b) Cách giải Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau:

Ví Dụ minh hoạ:

Ví Dụ 1: Giải phơng trình: sin 2x 3cos 2x (1)3

Chia cả hai vế phơng trình (1) cho 12 32  10 ta đợc

Trang 15

VÝ Dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: cos7x sin 5x 3(cos5x sin 7 ) (4)x

k Z k

VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm

VÝ dô: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:

2) Ta cã: 5cos 2x12sin 2x13 12sin 2x5cos 2x13

VËy ph¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1 Giải các phương trình lượng giác sau đây:

1)2sinx- 2cosx= 2 2) cosx- 3sinx=1 3) 3sin2 cos2 2

4) cosx- sinx= - 1 5)2cosx+2sinx= 6 6)sin3x+ 3cos3x= 27)sinx- 3cosx= 2 8) 2cosx- 6sinx= - 2 9) 3sinx- 2cosx=2

Trang 16

13)cos3x+ 3sin3x=3 14)sin2 3cos2 1

-15) 6sinx+ 2cosx=216)2cosx- sinx=1 17)3cos7x+sin7x= 5 18) 6cosx- 8sinx= - 5

19)2sinx- 1 cos= x 20)tan sin6 x cosx 1

21)3sinx+ 3cosx=322)3cosx- 3sinx= 3 23)2sinx- 5sinx=4 24)2cos2x- 12sin2x=1325)2sin2x- 2cos2x= 6 26)3sinx+ 3cosx=1 27)2sinx+5cosx=4

28) 5cosx- 12sinx=13 29) 5sinx+2cosx=4 30) 3cos2x+sin2x= 2Bài 2 Giải cỏc phương trỡnh lượng giỏc sau đõy:

3) 2(cos4x- sin )4x =cosx+sinx 4)sin2x+cos2x= 2sin3x

7) sin8x- cos6x= 3(sin6x+cos8 )x 8)cos3x- sinx= 3(cosx- sin3 )x

IV Phơng trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x.

a) Định nghĩa: Phơng trình thuần nhất bậc hai đối với sin x ,cos x là phơng trình.

asin2x b sin cosx x c cos2x d (1) trong đó a, b, c, d  

b) Cách giải :

Chia từng vế của phơng trình (1) cho một trong ba hạng tử

sin ,cosx x hoặc sin cosx x Chẳng

hạn nếu chia cho cos x2 ta làm theo các bớc sau:

Bớc 1: Kiểm tra:

2

xem nó có phải là nghiệm của phơng trình(1) hay không?

Bớc 2: Với cos x  0 chia cả hai vế cho cos x2 lúc đó phơng trình (1) trở thành

2 1 cos 2 2 1 cos 2 sin 2

Trang 17

đa phơng trình đã cho về phơng trình bsin 2x(c a )cos2x d c a  

Đây là phơng trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải

*Chú ý: Đối với phơng trình đẳng cấp bậc n (n3) với dạng tổng quát

(sin ,cos ,sinn n k cos ) 0h

A x x x x  trong đó k h n k h n   ; , ,  

Khi đó ta cũng làm theo 2 bớc :

Bớc 1: Kiểm tra xem cos x  0 có phải là nghiệm của phơng trình hay không?

Bớc 2: Nếu cos x  0.Chia cả hai vế của phơng trình trên cho cosn x ta sẽ đợc phơng trình bậc n theo

tan Giải phơng trình này ta đợc nghiệm của phơng trình ban đầu.

Ví Dụ Minh Hoạ:

Ví Dụ 1: Giải phơng trình : 2 3 cos2x6sin cosx x 3 3 (1)

Giải: Cách 1: Phơng trình (1) 3(1 cos 2 ) 3sin 2 x  x 3 3 cos 2x 3sin 2x 3

Vậy phơng trình có hai họ nghiệm

* Chú ý: Không phải phơng trình nào cũng ở dạng thuần nhất ta phải thực hiện

một số phép biến đổi thích hợp

Ví dụ: 3 Giải các phơng trình:

1) 2sin2x 5sin cosx x3cos2x0

2) 2sin2x 5sin cosx x cos2x2

Lời giải

1) 2sin2x 5sin cosx x3cos2x0

Nhận xét: nếu

2cos 0

0

Vt x

2) 2sin2x 5sin cosx x cos2x2 2sin2x 5sin cosx x cos2 x2 sin 2xcos2x

Trang 18

Chia cả hai vế cho cos2x  ta đợc phơng trình:0

arctan4

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ BÀI 1 Giải cỏc phương trỡnh lượng giỏc sau đõy:

1) sin2x+3sin cosx x+2cos2x=0 2) 2cos2x+3sin2x- 8sin2x=0

3) sin3x+2sin2xcosx- 3cos3x=0 4) sin2x- 2sin cosx x=3cos2x

5) sin2x- 8sin cosx x+7cos2x=0 6) 3sin2x+4sin2x+4cos2x=0

7) 3cos2x+2sin2x+5sin cosx x=0 8) sin2x- 7sin2x- 5cos2x=0

9) 3sin2x+4sin2x+(8 3 9)cos- 2x=0 10) 3cos2x+2sin2x=5sin cosx x

11)3sin2x+5cos2x- 2cos2x=4sin2x 12) 2cos2x+cos2x+sinx=0

BÀI 2 Giải cỏc phương trỡnh lượng giỏc sau đõy:

1)2sin2x- 5sin cosx x- 8cos2x= - 2 2)

sin sin2 1

2

3)4sin2x+3 3sin2x- 2cos2x=4 4)cos2x- 3sin2x=1

5)3sin2x- sin cosx x- 4cos2x=2 6)cos2x+ 2sin2x+ =1 0

7)3sin2x- 3sin cosx x+2cos2x=2 8) cos2x- 2 3sin cosx x=1

11)4cos2x- 4sin cosx x- 2sin2x+ =1 0 12) 2sin2x+ 3sin2x=3

13)sin2x- 3sin cosx x+cos2x+ =1 0 14)sin2x+cos2x+2sin2x+ =1 0

15)42cos2x- 10sin2x- cos2x+ =1 0 16)6sin2x+sin cosx x- cos2x=2

17) 3sin2x- sin cosx x- 4cos2x=2 18)4cos2x+5sin2x- 6sin2x=4

19)6sin2x- sin cosx x- cos2x=3 20) sin2x+sin2x+3cos2x=3

21) 3 3sin2x- 2cos2x- 2cos2x=2 22) cos2x- 3sin2x= +1 sin2x

Trang 19

23) 4sin2x+4(2 3 3)cos- 2x+ =3 0 24) 3cos2x+2sin2x- sin2x= +2 3

25)

14sin 6cos

13sin cos

cos

x

V-Phơng trình đối xứng đối với sin x và cos x.

a) Định nghĩa: Phơng trình đối xứng đối với sin x và cos x là phơng trình dạng

(sina xcos )x bsin cosx x c 0 trong đó , ,a b c   (1)

Đây là phơng trình bậc hai đã biết cách giải

*Chú ý: Hai cách giải trên có thể áp dụng cho phơng trình a (sin x  cos ) x  b sin cos x x c   0 bằngcách đặt tsinx cosx 

2

1sin cos

2

t

Ví Dụ Minh Hoạ :

Ví Dụ 1: Giải phơng trình sin x  cos x  2sin cos x x   1 0 (1)

Giải:

Cách 1: Đặt sin x  cos x t  điều kiện | | t  2 Lúc đó

2 1 sin cos

Trang 20

z z

cos

32

24

VÝ Dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh tan x  3 cot x  sin x  3 cos x   1 3 0  (3)

Gi¶i:§iÒu kiÖn sin 2 0

2

1

1 sin 22

Trang 21

 (sin 2x 1)(3sin 22 x2sin 2x 2) 0  2

sin 2 1 03sin 2 2sin 2 2 0

Các nghiệm đều thoả mãn điều kiện sin 2x 0.

Ví dụ: Giải phơng trình : 3 sin xcosx4sin cosx x 3 0

1) 3(sinx+cos ) 2sin2x + x+ =3 0 2) sinx+cosx+ =1 sin2x

3) 2(sinx+cos ) 4sin cosx - x x+ =1 0 4) sin2x- 12(sinx+cos ) 12x + =0

5) 5sin2x+12 12(sin= x+cos )x 6) sinx+cosx+sin cosx x=1

7) 2(sinx+cos )x +3sin2x- 2=0 8) 2(sinx+cos )x = +1 sin cosx x

9) sin2x+5(sinx+cos ) 1 0x + = 10) 5sin2x- 11(sinx+cos ) 7x + =0

2sin2x- 3 6(sinx+cos )x + =8 0 sin3x+cos3x=1

Trang 22

13)(2 sin2 )(sin- x x+cos )x = 2 14)2sin2x+ =8 3 6 sinx+cosx

17)2sinx- 2cosx- 2sin2x+ =1 0 18)(sinx+cos )(2sin2x x- 1)=1

Bài 2 Giải các phương trình lượng giác sau đây:

1) cosx- sinx- 4sin cosx x=1 2) sin2x+12 12(sin= x- cos )x

3) sin2x- 12(sinx- cos ) 12x + =0 4) 6(sinx- cos ) sin cosx - x x=6

5) sin2x- 12(sinx- cos )x =0 6) sinx- cosx=2 6sin cosx x

p

9) sin2x- 12(sinx- cos )x =0 10)(1- 2)(1 sin+ x- cos )x =sin2x

11) sinx- cosx +4sin2x=1

Định dạng
Số trang	22
Dung lượng	1,21 MB