Kinh nghiem giai PT luong giac co chua cos2x

www.facebook.com/toihoctoan

KINH NGHIỆM VỀ CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CHỨA cos2x

Vì cos 2x c os2x sin2x2cos2x  1 1 2sin2x Vì vậy khi gặp phương trình lượng giác có chứa cos 2x  cos2x sin2x  cos2x  sin2 x ta gọi chung là dạng phương trình có chứa os2 c x

▼Chú ý: Đối với các phương trình có chứa cos2x và sinx hoặc cos2x và cosx ta có cách giải quen thuộc như sau:

 acos 2x b sinx c  0 a(1 2sin ) 2x bsinx c 0

2

2 sina x bsinx c a 0

     (Phương trình bậc 2 theo sinx)

 acos 2x bc x c os   0 a c(2 os2x 1)bsinx c 0

2

2 cosa x bsinx c a 0

     (Phương trình bậc 2 theo cosx)

TRƯỜNG HỢP 1): Phương trình có chứa c os2 x và đồng thời có chứa sinx, cosx

Cách giải: Biến đổi cos2x thích hợp để đưa về phương tình tích.

Ví dụ và nhận xét:

Ví dụ 1): Giải phương trình: cos 2x 2cosx 4sinx 3 0 (1)

Giải:

(1)  cos2x sin2 x 2 cosx 4sinx 3 0

 ( osc 2x 2cosx1) (sin 2x4sinx4) 0 (cosx1)2 (s inx 2) 2 0

(cos sin 3)(cos sinx 1) 0 (cos sin 1) 0 2 os 1

4

3

2 2

3









 



  



 Nhận xét: Đã biến đổi cos 2x c os2x sin2 x, sau đó nhóm các hạng tử để được các tam thức bậc hai theo cosx , theo sinx Sử dụng hằng đẳng thức:

a2 – b2 = (a – b)(a + b) để phân tích thành tích.

Ví dụ 2): Giải phương trình: 2cos2 x4cosx2sinx 2 0 (2)

Giải:

(2)  1 cos2x4cosx2sinx  2 0 cos2x sin2x4cosx2sinx 3 0

 ( osc 2x4cosx4) (sin 2x 2sinx1) 0 (cosx2)2 (s inx 1) 2 0

(cos sinx 1)(cos s inx 3) 0 (cos sinx 1) 0 2 cos 1

4

2

3

2









 



  



 Nhận xét: Đã biến đổi 2cos2x 1 cos2x 1 cos2x sin2x, sau đó nhóm các hạng tử để được các tam thức bậc hai theo cosx , theo sinx Sử dụng

Ví dụ 3): Giải phương trình: cosx3sinx 1 2sin2x (3)

Giải:

(3)  cosx3sinx  1 1 cos2x cos2x sin2xcosx3sinx 2 0

(cos sinx 1)(cos sin 2) 0 cos sinx 1 0 os 1

4

4 4

2

x k

 



















 Nhận xét: Đã biến đổi: 2sin2x 1 cos2x 1 ( osc 2x sin2x), sau đó cũng làm như hai nhận xét ở 2 ví dụ trên

Ví dụ 4): Giải phương trình: 2sin3 sin sinx 2cos 0

x x

x

Giải:

(4)  cosx c os2x sinx 2cos x 0 cos2x sin2xcosxsinx0

 (cosxsin )(cosx x sin ) (cosx  xsin ) 0x   (cosxsin )(cosx x sinx1) 0

 cosxsinx0 (4.1)  cosx sinx 1 0 (4.2)

c x   x   k x  k

c x   c x   c x   c 

Kết luận phương trình (4) có ba nghiệm là:

3

4

x  k ; 2 ; 2

2

x k  xk 

x x

x c x

cos2x c os2x sin2x, sau đó nhóm hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung rồi biến đổi về phương trình tích.

▼Nhận xét chung: Ở 4 ví dụ trên ta thấy có một đặc điểm chung đó là: Biến

đổi đại lượng liên quan đến cos2x về cos2x – sin2x rồi sau đó nhóm hạng tử thích hợp để đua về phương trình tích Việc biến đổi thích hợp cos2x ở đây là: cos2x = cos2x – sin2x

TRƯỜNG HỢP 2): Phương trình có chứa cos2x và đồng thời có chứa sinx, cosx ngoài ra còn chứa thêm một vài hàng tử khác lượng giác khác.

Cách giải: Biến đổi cos2x thích hợp để đưa về phương tình tích.

Ví dụ và nhận xét:

Ví dụ 5): Giải phương trình: 3 sin 2x c os2x 3 sinx5cosx 3 (5)

Giải:

(5)  (2 3 sin cosx x 3 sin ) (2 osx  c 2x 5cosx2) 0

 3 sin (2cosx x1) (cos x 2)(2 osc x1) 0  (2 osc x1)( 3 sinxcosx 2) 0

2 os 1 0 3 sin cos 2 0 os 1 3sin 1cos 1

x  k  x   x  k  x   k 

x  k  x  k  x  k 

3

x  k  , (k Z )

 Nhận xét: Đã biến đổi: cos2x2cos2x1 để tạo ra tam thức bậc hai theo cosx và dễ dàng nhẩm nghiệm và phân tích thành tích đó là tam thức:

(2 osc 2x 5cosx2) (cos x1)(2 cosx1) Các hạng tử còn lại trong PT là:

3 sin 2 & 3 sinx x được nhóm lại và biến đổi thành tích:

(2 3 sin cosx x 3 sin )x  3 sin (2cosx x1)

Khi đó trong phương trình có hai hạng tử và giữa chúng có nhân tử chung là (2cosx 1) nên ta tiếp tục biến đổi thành phương trình tích.

 Nhận xét: Nếu biến đổi cos2x 1 2sin2x thì ta thu được phương trình:

2

2sin x 3 sin 2x 3 sinx5cosx 4 0 Ta nhóm lại tam thức bậc hai theo sinx thì không thể biến đổi tiếp thành phương trình tích.

Ví dụ 6): Giải phương trình: sinx3cosx c os2xsin 2x2 (6)

Giải:

(6)  2 osc 2x 1 2sin cosx x sinx 3cosx 0 (2 osc 2x 3cosx 1) (2sin cosx x sin ) 0x 

 (cosx1)(2 osc x1) sin (2cos x x1) 0  (2 osc x1)(cosxsinx1) 0

2 os 1 0 cos sin 1 os 1 cos 2

x  k  x   k  x  k  x  k  x k 

x  k  x k  x k  , (k Z )

 Nhận xét: Nếu ta biểu diễn cos2x 1 2sin2x và tạo ra một tam thức bậc hai theo sinx thì xem kết quả như thế nào !

(6)sinx3cosx 1 2sin x2sin cosx x 2 (2sin xsinx3) (3cos x 2sin cos ) 0x x  (sinx 1)(2sinx 3) cos (2sinx x 3) 0

đổi được về phương trình tích.

Ví dụ 7): Giải phương trình: cos2x sin 2x3sinx cosx 1 0 (7)

Giải:

(7) 1 2sin2x 2sin cosx x3sinx cosx  1 0 (2sin2x3sinx 2) cos (2sin x x1) 0

 (2sinx1)(sinx 2) cos (2sin x x1) 0  (2sinx1)(sinxcosx 2) 0

4

x x x    x x 

 Nhận xét: Ta đã biểu diễn cos2x 1 2sin2x và tạo ra một tam thức bậc hai theo sinx, đó là: (2sin2x 3sinx 2), tam thức này dễ dàng nhẩm nghiêm và phân tích được thành tích: (2sinx1)(sinx 2) và nhóm các hạng tử còn lại để biến đổi thành tích là:

cos (2sinx x 1), sau đó biến đổi được thành phương trình tích.

 Nhận xét: Nếu biến đổi cos2x2cos2x1thì ta thu được phương trình:

2

2 osc x sin 2x3sinx cosx0 thì phương trình này không thể biến đổi tiếp thành phươg trình tích.

TÓM TẮT:

1) Khi phương trình lượng giác có chứa cos2x và cosx, sinx thì ta biến đổi: cos2x = cos2x – sin2x, sau đó nhóm thành hai nhóm, một nhóm theo tam thức bậc hai cosx và một nhóm theo tam thức bậc hai sinx, mỗi nhóm này đều có dạng bình phương của tổng hoặc hiệu của nhị thức Tiếp tục biến đổi thành tích dựa vào hằng đẳng thức:

A2 – B2 = (A – B)(A+B), ta thu được phương trình tích

2) Khi phương trình lượng giác có chứa cos2x, cosx, sinx và một hạng tử lượng giác khác (thường là sin2x) thì ta biến đổi: cos2x = 2cos2x -1 hoặc

biến đổi cos2x = 1 – 2sin2x, sau đó nhóm một tam thức bậc hai theo cosx (hoặc một tam thức bậc hai theo sinx) với điều kiện là sau khi phân tích nhóm tam thức bậc hai đó thành tích và hai hạng tử còn lại biến đổi thành tích thì giữa chúng phải có nhân tử chung.

►Chú ý: Nếu biến đổi cos2x = 2cos2x -1 (hoặc cos2x = 1 – 2sin2x) mà không biến đổi được thành phương trình tích thì ta thay đổi lại cách biến đổi cos2x = 1 – 2sin2x (hoặc cos2x = 2cos2x -1)