PT LUONG GIÁC CƠ BẢN-11

PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1.. Giải và biện luận phương trình sin x m 1... Giải các phương trình lượng giác sau đây:... Giải các phương trình lượng giác sau đây: 7... Ta cũng đưa ph

Trang 1

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

A CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Cung liên kết

a) Cung đối: cos     x cos ; sin x      x sin ; x

b) Cung bù: cos    x    cos ; sin x    x   sin ; x

2 Công thức lượng giác

a) Công thức cộng: b) Công thức nhân đôi

sin( ) sin cos cos sin

tan tan tan( )

1 tan tan cot a cot 1 cot( )

sin 2 2sin cos

2cos 1

1 2sin

2tan tan 2

1 tan

a a a a

2 1

Trang 3

PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC

I PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1 Giải và biện luận phương trình sin x m (1)

Trang 4

3 Giải và biện luận phương trình lượng giác tan x m c  ( )

Bước 1: Đặt điều kiện cos 0 ,

Trang 5

4 Giải và biện luận phương trình lượng giác cot x m  ( ) d

Bước1: Đặt điều kiện sin x    0 x k  k  

Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình (d) luôn có nghiệm

Vớ dụ minh họa: Giải cỏc phương trỡnh sau:

3)cot 3 cot

Bài 1: Giải cỏc phương trỡnh sau:

1) sin 2 x 1 sin 3 1  x  2) cos cos 2

2sin(2x 35 )   3 sin(2x 1) cos(3x 1) 0    

cos2x sin x cos( x)

2 2

2

3x 1 2x 1 k2

10 5 2

Trang 6

16) sin 4x cosx 17) sin 5x sin 2x 18) sin 22 xsin 32 x

19) tan 3 x 2 cot 2 x0 20) sin 4xcos5x0 21) 2sinx 2 sin 2x0

22) sin 22 xcos 32 x1 23) sin 5 cos3x xsin 6 cos2x x

x    sao cho:tan 3 x2 3

Bài 3: Tìm x0;3 sao cho:sin 2 cos 0

2 Giải các phương trình lượng giác sau đây:

1) sin(x 1)sin 2x 2) sin(2x 1) sin(x 3) 3) sinx sin 2x  0

4) sin(2x  1) sin(2x 3) 5) 2 sin(2x 30 ) 10   0 6) sin (22 x )1

7) 2 sin(3x 2)1 8) sinx  cosx 9) sin 4x cos 5x 0

Trang 7

4.Giải các phương trình lượng giác sau đây:

1) cos(3x  1) cosx 2) cosx cos 2x  0 3) cos(2x 1) cos(x 1)

4) cosx sin 2x 5) cos 4x sin 5x 0 6) 4 cos 22 x 1

7) 2 cos(x 2) 1 8) 3 cos(2x 7) 3  0 9) cos(3x  1) cos 2x 0

10)cosx cos 3x  0 11)cos 2x cos(5x  1) 0 12)sinx cos 3x 0

4) 3 tanx   3 5) tanx  2 0 6) 2 tanx  3 0

10) 3 cotx 1 11) cotx 1 12) cot2x 3

19) tan 3 tanx x 1 20) tan 5 cotx x 1 21) tanx  2 1 0

1)(2cos )(3 cos 2x x  1) 0 2)cos 2 cot( ) 0

x  6)2 tan cosx x  1 2 cosx tanx

7)2sin cosx x3 sin 2x 0 8)2 sin cosx x  32 cosx  3 sinx

8 Giải các PTLG sau đây với điều kiện của x đã được chỉ ra:

1) sin(2 15 )0 2

2

x   với điều kiện1200  x 900

2) sin(x 1) 1 với điều kiện 7

2 x 2

Trang 8

x  với điều kiện   x 

6 tan(3x 2) 3  0 với điều kiện

Cách giải: Đặt t  sin x , điều kiện | | t 1 

Đưa phương trình (1) về phương trình bậc hai theo t , giải tìm t chú ý kết hợp với điều kiện rồi giảitìm x

Cách giải: Điều kiện sin x    0 x k  k  

Đặt t  cot x ( t   ) Ta cũng đưa phương trình (4) về phương trình bậc hai theo ẩn t

Bài tập minh họa:

Vớ dụ 1: Giải cỏc phương trỡnh sau

3 1 0

3 132

Cỏc cõu cũn lại giải tương tự

Vớ dụ 2: Giải cỏc phương trỡnh sau:

2

)3sin 2 7 cos 2 3 0

a x x  b)7 tanx4cotx12

Giải

Trang 9

3  nờn phương trỡnh 3cos 2x 7 0 vụ nghiệm.

Kết luận: vậy nghiệm của phương trỡnh đó cho là , 

Điều kiện: sinx0và cosx0 Khi đú:

 1 7 tan 4. 1 12 0 7 tan2 12 tan 4 0

tan

x

Đặt ttanx, ta giải phương trỡnh bậc hai theo t: 7t2 4 12 0t 

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

1) 2cos2 x5cosx 3 0 2)1 5sin x2cos2 x0

3) 3 cot2x4cotx 3 0 4) 32 4 tan 2 0

(Chú ý: ta có thể không cần đặt ẩn phụ mà coi hàm số lượng giác như là một ẩn như ví dụ này)

3) Điều kiện: sinx  0 x k k , 

Ta thấy hai họ nghiệm đều thoả mãn điều kiện Vậy phương trình có hai họ nghiệm

4) Điều kiện: cos 0 ,

Trang 10

tan 1 tan tan

1) 2 sin2x 3 sinx  1 0 2) 3 cos2x 5 cosx  2 0

3) 4 cot2x 5 cotx  1 0 4) sin2x 5 sinx  6 0

7) 3 sin 22 x 4 sin 2x  1 0 8) 6 cos2x cosx  1 0

9)tan 32 x tan 3x  2 0 10) 4 sin 22 x 2 sin 2x  1 0

11)cos 42 x cos 4x 6 0 12) 2 cos 22 x cos 2x  1 0

15)2 sin2x 5 sinx  3 0 16)3 sin 52 x 7 sin 5x  6 0

17)4 tan2x tanx  3 0 18)2 cos2x  2 cosx 2 0

19)cot2x4 cotx  3 0 20)3 tan4x4 tan2x  1 0

21)4 cos2x 4 cosx  1 0 22)4 sin 22 x 4 sin 2x  3 0

23)cot2x 2 3 cotx  3 0 24)2 tan 22 x 2 3 tanx  1 0

25)3 sin2x 4 sinx  1 0 26)6 cos 22 x 5 cos 2x  4 0

1) 4 cos2x 2( 3  2) cosx  6  0 2) 3 tan2x2 3 tanx  3 0

3) tan 22 x  (1 3) tan 2x  3  0 4) 2 sin2x (2 3) sinx  3  0

5) 4 cos2x 2( 3 1) cosx  3  0 6) 2 sin2x (4 7)sinx 2 7  0

7) 2 2 sin2x (2 2)sinx  1 0 8) 4 cos2x 2( 3  2)cosx  6  0

9) 4 sin2x 2 6 sinx  1 0 10)4 cos 22 x2 5 cos 2x  1 0

11)4 cos 22 x2( 3 1)cos 2x  3  0 12)2 sin2x 3 3 sinx  3 0

Trang 11

13)2 sin 22 x 3 2 sin 2x  2 0 14)2 cos2x (2 2 1)cosx  2  0

15)4 sin2x2 2 sinx 1 0

1) cos2x sinx  1 0 2) 8 cos2x 6 sinx 3 0

3) 2 sin2x 3 cosx 4) 2 sin2x cos2x4 sinx  2 0

5) 3 sin 22 x 7 cos 2x  3 0 6) 5 sin (sinx x 1) cos2x 3

7) 9 cos2x 5 sin2x 5 cosx  4 0 8) 1 5 sin x 2 cos2x 0

9) 3 sin 22 x 7 cos 2x  3 0 10)2 cos2x 5 sinx  4 0

11)25 sin2x 100 cosx 89 12)4 2 cos 2x 5 sinx  0

13)2 cos2x 5 sinx  1 0 14)2 sin2x 4 sinx 3 cos2x 0

15)4 cos2x 4 sinx  1 0 16)2 cos (cosx x 2 2 tan ) 5x   0

17)7 cosx 4 cos3x 4 sin 2x

1) 2 cos2x cosx 1 2) 4 cos 2x 4 sin2x 4 sinx 1

3) cos2x 3 sinx  2 0 4) cos 2 sin 1

2

x

5) cos2x 2 cosx  3 0 6)cos2x sinx 0

7)cos2x 5 sinx  2 0 8)cos2x 9 cosx  5 0

1) cos 2x sin2x 2 cosx  1 0 2) 4 sin 22 x 6 sin2x 3 cos 2x  9 0

3) cos 2x sin2x 2 cosx  1 0 4) 4 sin 22 x 8 cos2x  3 0

5) 6 sin2x 2 sin 22 x 5 6) 4 cos 2x 4 sin2x 4 sinx 1

Trang 12

9) 8 sin4x  1 cos 4x 10)cos 22 xcos 2x 4 sin 2 cos2 x 2x

11)2 cos 3 cosx x  4 4 sin 22 x 0 12) 10 cos2x 3 cos 4x  4 0

1) tanx cotx 2 2) 7 tanx 4 cotx 12

3) 2 tanx 2 cotx 3 4) tanx  3 cotx  1 3

5) 3 tanx cotx  1 3 6) 2 tan cot 2 sin 2 1

5) 32 (3 3) tan 3 3 0

cos x   x   

1) 2 sin 2x 8 tanx 9 3 2) 2 cos 6 tan 3 4

5

3) 2 cos 2x tan2x 5 4) (1 tan )(1 x sin 2 )x  1 tanx

5) 6 cos 2xtan2x  1 0 6) sin2x 2 tanx 3

7) cot tan 4 sin 2 2

x x

    4)tan2x cot2x 2(1tanx cot )x 0

2

3 3 tan tan cot 1 0

sin x  x  x  x   6) tan2x cot2x 2 tanx 2 cotx  6 0

Trang 13

10 Giải cỏc phương trỡnh lượng giỏc sau đõy:

1) sin3x 5 sinx 6 2) 1 (2 2)sin 2 22 0

3) tan4x 4 tan2x  3 0 4) 4 sin5xcosx 4 cos5xsinx sin 42 x

5) 4 sin4x 12 cos2x 7 6) cos 2 3 cos 4 cos2

2

x

7) 6 sin 32 x cos12x 7 8) 2 cos (cosx x 2 2 tan )x 5

9) sin3x 3 sin2x 2 sinx 0

III Phương trình bậc nhất đối với sin ,cos x x

a) Định nghĩa: Phương trình asinx b cosx c (1) trong đó a, b, c  và a2b2 0 được gọi làphương trình bậc nhất đối vớisin ,cosx x

b) Cách giải Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau:

Trang 14

Ví Dụ minh hoạ:

Ví Dụ 1: Giải phương trình: sin 2x3cos2x3 (1)

Chia cả hai vế phương trình (1) cho 1 32  2  10 ta được

k Z k

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

1) sinx 3 cosx1 2) 5cos 2 12sin 2x x13

Lời giải:

1) Ta có: 2 2 2  2

a b    Chia hai vế của phương trình cho 2 ta được phương trình:

1sin 3cos 1 sin cos cos sin 1 sin sin

2) Ta có: 5cos 2 12sin 2x x13 12sin 2x5cos 2x13

Trang 15

Vậy phương trình có một họ nghiệm.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1 Giải cỏc phương trỡnh lượng giỏc sau đõy:

1)2 sinx2 cosx  2 2) cosx 3 sinx 1 3) 3 sin cos 2

4)cosx sinx  1 5)2 cosx 2 sinx  6 6)sin 3x  3 cos 3x  2

7)sinx 3 cosx  2 8) 2 cosx 6 sinx  2 9)3sinx 2 cosx 2

10) cosx 2 sinx  2 11) 3 cos 2x sin 2x  3 12)sinx  3 cosx   2

13)cos 3x  3 sin 3x 3 14)sin 3 cos 1

x  x   15) 6 sinx  2 cosx 2

16)2cosx sinx 1 17)3 cos 7x sin 7x  5 18)6 cosx 8 sinx  5

19)2sinx  1 cosx 20)tan sin cos 1

   21)3 sinx  3 cosx  3

22)3 cosx 3 sinx  3 23)2 sinx 5 sinx 4 24)2 cos2x 12 sin 2x 13

25)2 sin 2x 2 cos 2x  6 26)3 sinx  3 cosx 1 27)2 sinx 5 cosx 4

28)5 cosx12 sinx 13 29) 5 sinx 2 cosx 4 30) 3 cos 2x sin 2x  2

Bài 2 Giải cỏc phương trỡnh lượng giỏc sau đõy:

1)(sinx 1)(1cos )x cos2x 2)sin 2 3 sin( 2 ) 1

3) 2(cos4x sin4x) cosx sinx 4)sin 2x cos 2x  2 sin 3x

5) sinx  2 sin 5x cosx 6) sinx cosx 2 2 sin cosx x

7) sin 8x cos 6x  3(sin 6x cos 8 )x 8)cos 3x sinx  3(cosxsin 3 )x

9)2 sin2x  3 sin 2x 3 10) sin4 cos (4 ) 1

4 4

11) 3 sin 3x 3 cos 9x 1 4 sin+ 3x 12) (1 3)sinx  (1 3)cosx 2

13) 9 sinx 6 cosx 3 sin 2x cos 2x 8 14) sin 3x ( 32) cos 3x 1

IV Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x.

Trang 16

a) Định nghĩa: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x ,cos x là phương trình.

sin sin cos cos

a x b x x c x d (1) trong đó a, b, c, d 

b) Cách giải :

Chia từng vế của phương trình (1) cho một trong ba hạng tử sin ,cos2x 2x hoặc sin cos x x Chẳng

hạn nếu chia cho cos x2 ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Kiểm tra:

2

x   x  k  k xem nó có phải là nghiệm của phương trình(1) hay không?

Bước 2: Với cosx  0 chia cả hai vế cho cos x2 lúc đó phương trình (1) trở thành

Đây là phương trình bậc hai theo tan ta đã biết cách giải

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc sin2 1 cos2 ; cos2 1 cos2 ; sin cos sin2

đưa phương trình đã cho về phương trình bsin2x c a ( )cos2x d c a  

Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải

*Chú ý: Đối với phương trình đẳng cấp bậc n (n3) với dạng tổng quát

(sin ,cos ,sin cos ) 0n n k h

A x x x x  trong đó k h n k h n   ; , ,  

Khi đó ta cũng làm theo 2 bước :

Bước 1: Kiểm tra xem cos x  0 có phải là nghiệm của phương trình hay không?

Bước 2: Nếu cos x  0.Chia cả hai vế của phương trình trên cho cosn x ta sẽ được phương trình bậc ntheo tan Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình ban đầu

Ví Dụ Minh Hoạ:

Ví Dụ 1: Giải phương trình : 2 3cos2x6sin cosx x 3 3 (1)

Giải: Cách 1: Phương trình (1) 3(1 cos 2 ) 3sin 2 x  x 3 3 cos 2x 3 sin 2x 3

1cos2 3sin2 3 cos(2 ) 3

* Chú ý: Không phải phương trình nào cũng ở dạng thuần nhất ta phải thực hiện

một số phép biến đổi thích hợp

Ví dụ: 3 Giải các phương trình:

1) 2sin2x5sin cosx x3cos2 x0

2) 2sin2x5sin cosx xcos2x 2

Trang 17

Chia cả hai vế cho cos2x0 ta được phương trình:

2) 2sin2x5sin cosx xcos2x  2 2sin2x5sin cosx xcos2 x 2 sin 2xcos2x

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ BÀI 1 Giải cỏc phương trỡnh lượng giỏc sau đõy:

1) sin2x 3 sin cosx x 2 cos2x 0 2) 2 cos2x 3 sin 2x 8 sin2x 0

3) sin3x 2 sin2xcosx 3 cos3x 0 4) sin2x 2 sin cosx x 3 cos2x

5) sin2x 8 sin cosx x 7 cos2x 0 6) 3 sin2x 4 sin 2x 4 cos2x 0

7) 3 cos2x 2 sin2x 5 sin cosx x 0 8) sin2x 7 sin 2x 5 cos2x 0

9) 3 sin2x 4 sin 2x (8 39)cos2x  0 10) 3 cos2x 2 sin2x 5 sin cosx x

11)3 sin2x 5 cos2x 2 cos 2x 4 sin 2x 12) 2 cos2x cos 2x sinx 0

BÀI 2 Giải cỏc phương trỡnh lượng giỏc sau đõy:

1)2 sin2x5 sin cosx x8 cos2x  2 2)sin2 1sin 2 1

2

3)4 sin2x 3 3 sin 2x2 cos2x 4 4)cos 2x  3 sin 2x 1

5)3 sin2x sin cosx x 4 cos2x 2 6)cos2x  2 sin 2x  1 0

7)3 sin2x  3 sin cosx x 2 cos2x 2 8) cos 2x 2 3 sin cosx x 1

11)4 cos2x 4 sin cosx x 2 sin2x  1 0 12) 2 sin2x  3 sin 2x 3

13)sin2x 3 sin cosx x cos 2x  1 0 14)sin 2x cos 2x 2 sin2x  1 0

15)42 cos2x 10 sin 2x cos 2x  1 0 16)6 sin2x sin cosx x cos2x 2

Trang 18

17) 3 sin2xsin cosx x 4 cos2x 2 18)4 cos2x 5 sin 2x 6 sin2x 4

19)6 sin2x sin cosx x cos2x 3 20) sin2x sin 2x 3 cos2x 3

21) 3 3 sin 2x 2 cos 2x 2 cos2x 2 22) cos2x  3 sin 2x  1 sin2x

23) 4 sin 2x 4(2 3 3) cos2x  3 0 24) 3 cos2x 2 sin 2xsin2x  2 3

V-Phương trình đối xứng đối vớisin x và cos x.

a) Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x là phương trình dạng

(sin cos ) sin cos 0

a x x b x x c  trong đó a b c, ,  (1)

b) Cách giải:

Cách 1: Do a(sinx cosx ) 1 sin cos2   x x nên ta đặt

b x x  c Đây là phương trình bậc hai đã biết cách giải

*Chú ý: Hai cách giải trên có thể áp dụng cho phương trình a (sin x  cos ) x b  sin cos x x c   0

bằng cách đặt tsinxcosx sin cos 1 2

2

t

Ví Dụ Minh Hoạ :

Ví Dụ 1: Giải phương trình sin x  cos x  2sin cos x x   1 0 (1)

Giải:

Cách 1: Đặt sin x  cos x t  điều kiện | | t  2 Lúc đó

2 1 sin cos

Trang 19

z z

Ví Dụ 3: Giải phương trình tan x  3cot x  sin x  3cos x   1 3 0  (3)

Giải:Điều kiện sin 2 0

2

k

x  x  k(3) tan x  sin x  3(cot x  cos ) 1 x   3 0 

1 (sin sin cos cos ) 3 (sin sin cos cos ) 0

  

 

 



Kết hợp với điều kiện (*) thì t   1 2 bị loại

Với t  1 2 ta có 2 cos( ) 1 2 cos( ) 1 2 cos

Các nghiệm của phương trình (4) và (5) đều thoả mãn điều kiện của phương trình

Ví Dụ 3: Giải phương trình: 8 sin6 cos6 tan2 cot2

2

1

1 sin 22

 (8 6sin 2 )sin 2 2 x x 4 2sin 22 x 3sin 23 x  sin 22 x  4sin 2 x   2 0

 (sin 2x1)(3sin 22 x2sin 2x2) 0 

2

sin 2 1 03sin 2 2sin 2 2 0

Trang 20

sin 2 1

1 7sin 2

Các nghiệm đều thoả mãn điều kiện sin 2x0.

Ví dụ: Giải phương trình : 3 sin xcosx4sin cosx x 3 0

1) 3(sinx cos ) 2 sin 2x  x  3 0 2) sinx cosx  1 sin 2x

3) 2(sinx cos ) 4 sin cosx  x x  1 0 4) sin 2x12(sinx cos ) 12x  0

5) 5 sin 2x 1212(sinx cos )x 6) sinx cosx sin cosx x 1

7) 2(sinx cos )x 3 sin 2x  2 0 8) 2(sinx cos )x  1 sin cosx x

9) sin 2x 5(sinx cos ) 1x  0 10)5 sin 2x 11(sinx cos )x  7 0

11)2 sin 2x 3 6(sinx cos )x  8 0 12)sin3x cos3x 1

13)(2sin 2 )(sinx x cos )x  2 14)2 sin 2x  8 3 6 sinx cosx

15)sinx cosx  2 sin 2x 0 16)sin cosx x 2 sinx 2 cosx 2

Trang 21

17)2 sinx2 cosx 2 sin 2x  1 0 18)(sinx cos )(2 sin 2x x  1) 1

Bài 2 Giải các phương trình lượng giác sau đây:

1) cosx sinx4 sin cosx x 1 2) sin 2x 1212(sinx cos )x

3) sin 2x 12(sinx cos ) 12x  0 4) 6(sinx cos ) sin cosx  x x 6

5) sin 2x 12(sinxcos )x 0 6) sinx cosx 2 6 sin cosx x

7) 2 6 sin cosx x sinxcosx 8) sin 2 2 sin 1

4

x  x 



 

9) sin 2x 12(sinxcos )x 0 10)(1 2)(1sinx cos )x  sin 2x

11)sinx cosx 4 sin 2x 1

Định dạng
Số trang	21
Dung lượng	522,16 KB