Bổ trợ lượng giác (Cơ bản)

sin sincos cos .

Cô nằm , sin đứng

α

Nhắc lại kiến thức đã học

sin đi học

cứ khóc hoài

thôi đừng khóc

có khó đâu

Chỉ áp dụng cho tam giác vuông

C

cứ khóc hoài

sin đi học

thôi đừng khóc

có khó đâu

sin cos

cotg tg

OP Giá trị đại số của OP

Khi điểm M di chuyển trên đường (O) với bán kính bằng 1 đơn vị, hình chiếu vuông góc của M lên trục cos là P có thể nằm về phần âm hay dương của trục tính từ tâm O.

Vì v y, GIÁ TRỊ ĐẠI SỐ có thể ậy, GIÁ TRỊ ĐẠI SỐ có thể âm hay dương

tg 

OQ OM

1

AH

AH OA

BK OB

Vận dụng vào tam giác OPM vuông tại P:

Xét tam giác OBK vuông tại B :

Xét tam giác OAH vuông tại A :

B’

α

tg   PM OP OQ OP

sin cos

cos sin

Đối với trục tg ta nhớ gốc đặt tại A , chiều dương hướng theo

chiều mũi tên

Đối với trục cotg ta nhớ gốc đặt tại B , chiều dương hướng theo chiều mũi tên

Xét tam giác OPM vuông tại P :

cos 2 α sin 2 α

+

(sinα) 2 (cosα) 2

Xét tam giác OPM vuông tại P :



Một số công thức cơ bản :

Áp dụng định lý Pitago , ta có :

Chia 2 vế của pt (*) cho cos2α ≠ 0

2 2

sin cos



1 cos 

2

2

1 1





2 2

cos sin



1 sin 

2

2

1 1

tg x tg x tgx x

Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau độc lập với x

Ví dụ : Tính cosx,tgx,cotgx Biết :

x tgx

x



17

4 37

7

x 

0

0

0

6



3



4



2



0



sin 

cos 

tg 

cotg 

HSLG

Sin 3 cos 6 nửa phần Cos 3 sin 6 nửa phần căn ba

M

sin   0 cos   1

Khi từ A, điểm M quay thêm

nhiều vòng theo chiều dương

hoặc âm để trở về A, góc α

có giá trị là:

Khi từ A’, điểm M quay thêm

nhiều vòng theo chiều dương

hoặc âm để trở về A’, góc α

có giá trị là:

sin   1 cos   0

Khi từ B, điểm M quay thêm

nhiều vòng theo chiều dương

hoặc âm để trở về B, góc α

có giá trị là:

thì:

Hay :

hay

Khi từ B’, điểm M quay thêm

nhiều vòng theo chiều dương

hoặc âm để trở về B’, góc α

có giá trị là:

(k  )

M

O B

Các cung liên kết

sin(α + k2π) = sinα

cos(α + k2π) = cosα

tg(α + k2π) = tgα

cotg(α + k2π) = cotgα

1.Cung sai kém k2π:

Nhớ : nghĩa là : sin bằng sin

cos bằng cos

tg bằng tg

cotg bằng cotg

Sai thì bằng

(α+ k2π) α

(α+ k2π)

M M’

P P’

Q Q’

2.Cung phụ :

Ta có công thức sau về cung phụ với :

Nhớ : nghĩa là :

sin bằng cos

cos bằng sin

sin(-α ) = - sinα

cos(-α ) = cosα

tg(-α ) = - tgα

cotg(-α ) = - cotgα

Từ đó suy ra các công thức về cung đối: (-α)

Nhớ : nghĩa là :

sin bằng - sin

cos bằng cos

tg bằng - tg

cotg bằng - cotg

Đối “-” bỏ cos

M M’

P P’

sin(π-α ) = sinα

cos(π-α ) = - cosα

tg(π-α ) = - tgα

cotg(π-α ) = - cotgα

Ta có công thức sau về cung bù: (π-α)

Nhớ : nghĩa là :

sin bằng sin

cos bằng - cos

tg bằng - tg

cotg bằng - cotg

Bù “-” bỏ sin

(π-α ) α

5.Cung hơn kém nửa pi:

sin = cosα cos = - sinα

tg = - cotgα cotg = - tgα Nhớ :

Nghĩa là :

sin bằng cos

cos bằng - sin

sin bằng - sin

cos bằng - cos

tg bằng tg

cotg bằng cotg

Nguyên pi hai đối, kỳ dư thì bằng

Sai thì bằng, phụ thì chéo

Đối “-” bỏ cos, bù “-” bỏ sin.

Nửa pi sin cos chéo “-”

Nguyên pi hai đối, kỳ dư thì bằng.

Nhớ :

Với các cung nửa pi và nguyên pi ta nhớ giữa là dấu “+”, nghĩa là π/2+α và π+α

Đồ thị của các hàm số lượng giác:

1 Hàm số y = sinx

Hàm y = sinx là một

hàm lẻ và tuần hoàn

với chu kỳ T=2π

Bảng biến thiên:

Đồ thị :

-3 -2 -1

1 2 3

-3π -5π/2 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π

-3 -2 -1

1 2 3

x

y

y=cosx y=1

2 Hàm số y = cosx

Hàm y = cosx là một

hàm chẵn và tuần

hoàn với chu kỳ T=2π

Bảng biến thiên:

Đồ thị :

X 0 π/2

y = tgx

0

||

3 Hàm số y = tgx

Hàm y = tgx là một

hàm lẻ và tuần hoàn

với chu kỳ T = π

Bảng biến thiên:

Đồ thị :

-3 -2 -1

1 2 3

x

y

y=tgx y=tgx

y=tgx 0

X 0 π/2 Π

y=cotgx ||

0

||

4 Hàm số y = cotgx

Hàm y = cotgx là một

hàm lẻ và tuần hoàn

với chu kỳ T = π

Bảng biến thiên:

Đồ thị :

-3 -2 -1

1 2 3

x

y

y=cotgx y=cotgx

y=cotgx

y=cotgx

0

Tính chất của các hàm số lượng giác

Hàm số y = f(x) có miền xác định D được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại ít nhất một số L≠0 sao cho, với mọi x Є D ta có :

x ± L Є D f(x ± L) = f(x)

Giá trị dương nhỏ nhất của L, nếu có, được ký hiệu là T và được gọi là chu kỳ của hàm số

1 Tính tuần hoàn:

a Định nghĩa :

Định lý :

• Các hàm số y = sinx và y = cosx là hàm tuần hoàn và

có chu kỳ 2π

• Các hàm số y = tgx và y = cotgx là hàm tuần hoàn và

có chu kỳ π

Vận dụng cung sai kém k2π :

Xét ngoài giá trị 2π còn giá trị nào nhỏ hơn thỏa mãn

sin(x±L) = sinx hay không?

Ta có :

Nhưng : ( Vì định nghĩa , số L ≠ 0, nên

ta chỉ xét 0<x<2π )Áp dụng tương tự cho hàm y = cosx

Xét hàm số : y tgx 

tg x    tgx

Vận dụng cung nguyên π cho tg(x+π) : tg x (   )  tgx

Vận dụng cung đối và cung bù cho tg(x-π) :

2 Tính chẵn lẻ của một hàm số lượng giác:

Định lý:

y = cosx là hàm số chẵn

y = sinx , y = tgx, y = cotgx là các hàm số lẻ

Chứng minh :

a Hàm số y = cosx có D=R nên :  x D   ( x )  D

cos(  x ) cos  x f (  x )  f x ( ) hàm chẵn

b Hàm số y = sinx, y= tgx,

y = cotgx có miền xác định D :   x D   ( x )  D

• Hàm số y = sinx tăng trên

[0;π/2] và giảm trên

P P’

Q Q’

(M tăng dần từ 0 đến π/2)

(M’ tăng dần từ π/2 đến π)



M   BA 

 

       

sin

cos

x tgx

(M tăng dần từ 0 đến π/2)

(M tăng dần từ π/2 đến π )

Hàm tgx tăng, vì:

Hàm cotgx giảm, vì:

b Miền giá trị của các hàm số lượng giác:

Với mọi x Є D , ảnh của x là y = f(x) có các giá trị thuộc về một tập hợp T , thì T được gọi là miền giá trị của hàm số f

cos

cotg tg

sin

Khi M di chuyển trên đường

tròn (0) với R=1 đvị, thì hình

chiếu của nó lên các trục sin

và cos là P và Q luôn nằm

trong giá trị từ -1 đến +1 Do

đó :   1 sin x  1

1 cos x 1



Đối với các điểm H và K lần lượt

xác định trên trục tg và cotg khi kéo

dài OM (trừ M≡B đối với tg và M≡A

đối với cotg) nên : T = (-∞;+∞)

H K

α

0 cos135 

tg

1

1 1



Tương tự : Áp dụng cung sai kém k3600 (hay sai kém k2π) vào góc 13050 đối với các hàm cos , tg và cotg.

2.

i Tính : 17π và -13π/6

sin17  sin 16    sin 2.8    sin  0

cos17  cos 16    cos 2.8    cos  1

17 16 2.8

117

ii Tính giá trị biểu thức :

sin sin sin

cos cos

1 2 2

sin sincos cos



iii Đơn giản biểu thức :

iv Cho A, B, C là ba góc của một tam giác Chứng minh rằng :

Vài cảm nghĩ:

• Khi học Lượng giác, các em chú ý học kỹ

đường tròn của bài này.

• Những công thức các em học sẽ dễ dàng hơn nếu đưa những dòng thơ gần gũi vào nơi cần thiết.

• Chúc các em học tốt !

Thầy Tuấn , KP5, F Trung Mỹ Tây, Q.12, TP.HCM-Tel : 0939.889.444