cong thuc giai tich 2

TÍCH PHÂN BỘI HAI 2... CHƯƠNG II : TÍCH PHÂN ĐƯỜNGI... Cách tính tích phân đường loại 2... Khi đó ta có công thức tínhdiện tích S của miền D là : 1∫ , trong đó cung ¼AB nằm trong D, chỉ

CHƯƠNG I : TÍCH PHÂN BỘI

I TÍCH PHÂN BỘI HAI

2 Đổi biến trong hệ toạ độ cực

Công thức liên hệ giữa toạ độ Descartes ( )x y; và toạ độ cực ( )r;ϕ của cùng một điểm M là :

cossin

x r

y r

ϕϕ

Các phép đổi biến mở rộng của tích phân bội hai trong toạ độ cực :

a) Kết hợp với phép tịnh tiến và phép đổi biến sang toạ độ cực :

 = +

 = +

 Khi đó : J = r Suy ra: Miền D/ ={ ( )r;ϕ : 0≤ ≤ϕ 2 ; 0π ≤ ≤r R}

b) Kết hợp với phép co giãn và phép đổi biến sang toạ độ cực :

 =

 =

 Khi đó : J = abr Suy ra: Miền D/ ={ ( )r;ϕ : 0≤ ≤ϕ 2 ; 0π ≤ ≤r 1}

3 Một số ứng dụng của tích phân bội hai

e) Momen quán tính của bảng phẳng :

- Momen quán tính đối với trục Ox : x 2 ( );

f) Momen tĩnh và toạ độ trọng tâm của bảng phẳng :

- Momen tĩnh của bảng phẳng D đối với trục Ox : x ( );

D x

II TÍCH PHÂN BỘI BA

x r

y r

z z

ϕϕ

sin cos sin sin cos

sin sin sin sin 0

Công thức tích phân bội ba trong hệ toạ độ cầu :

Z c

Khi đó : J = −abcr2 sinθ Suy ra : V/ ={ (r; ;ϕ θ) : 0≤ ≤ϕ 2 ; 0π ≤ ≤θ π; 0≤ ≤r 1}

5 Một số ứng dụng của tích phân bội ba

a) Tính thể tích vật thể :

V

b) Khối lượng, toạ độ trọng tâm :

Cho vật thể V có khối lượng riêng tại M x y z( ; ; ) ∈V là ρ(x y z; ; )

- Khối lượng của V : ( ; ; )

CHƯƠNG II : TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

I TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1

1 Cách tính tích phân đường loại 1

a) Trường hợp 1 : Cung ¼ AB có phương trình tham số ( )

AB

ϕ ϕ

f x y ds= f x y x  + y dx

d) Trường hợp 4 : Cung ¼ AB trong không gian ¡ có phương trình dạng tham số 3

( ) ( ) ( )

f x y ds= f x t y t z t  x + y + z dt

e) Phương trình tham số của đường tròn, elip :

* x2+ y2 = R2 có phương trình tham số cos

2 Ứng dụng của tích phân đường loại 1

a) Cho dây phẳng L đi từ A đến B, có khối lượng riêng tại M x y( ); ∈ L là ρ( )x y; Khi đó :

* Khối lượng của dây L là : ( )

2 Cách tính tích phân đường loại 2

b) Từ công thức Green, cho P x y( ); = −y và Q = ( )x y; = x Khi đó ta có công thức tínhdiện tích S của miền D là : 1

∫ , trong đó cung ¼AB nằm trong D, chỉ phụ thuộc vào 2 điểm

A, B mà không phụ thuộc vào dạng cung ¼AB (tích phân không phụ thuộc đường đi), nghĩa

* Cách 1 : Chọn 1 đường đi nào đó (nằm trong miền D và trơn từng khúc) nối A và B Thông

thường người ta chọn đường gấp khúc

* Cách 2 : Tìm hàm u x y sao cho ( ); du = P x y dx Q x y dy( ); + ( ); theo công thức sau :

CHƯƠNG III : TÍCH PHÂN MẶT

f x; y;z dS f x; y;z x; y 1 z z dxdy (3.1)

* Nếu mặt cong S có phương trình : y = y x;z , x;z( ) ( ) ∈Dxz

f x; y;z dS f x x;z ; y;z 1 x x dydz (3.3)

Chú ý : Nếu những đường thẳng song song với trục Oz cắt mặt S tại quá một điểm, ta phải

chia mặt S thành những phần nhỏ sao cho những đường thẳng song song với trục Oz cắt mặt

S tại không quá một điểm Khi đó tích phân bằng tổng các tích phân trên các mặt nhỏ

y y x; y;z dS

m1

z z x; y;z dSm

(3.6)

II TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2

a) Vector pháp tuyến của mặt cong :

Cho mặt cong định hướng S trơn, có phương trình F x; y;z( ) = 0.

 Vector pháp tuyến của S tại M ∈ S là : ( ) =  ( ) ( ) ( )

(Dấu + nếu ·+

<

ur

o dv

n ,Oz 90 , dấu – nếu ur·+ > o

n ,Ox 90 , dấu – nếu n ,Ox 90 )ur·+dv > o

n ,Oy 90 , dấu – nếu ur·+ > o

* Chú ý : Chiều lấy tích phân trên L là chiều dương.

3 Công thức Gauss – Ostrogradsky (Công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại 2 và tích

phân bội ba)

III LÝ THUYẾT TRƯỜNG

1 Trường vô hướng

a) Trường vô hướng : Nếu tại ∀M x; y;z( ) ∈V ⊂ ¡ 3 xác định một đại lượng vô hướng

u x; y;z thì ta nói có một trường vô hướng u x; y;z( ) trong miền V.

b) Mặt mức : Cho trường vô hướng : u x; y;z , x; y;z( ) ( ) ∈V ⊂ ¡ 3

- Tập S ={ (x; y;z) ∈V : u x; y;z( ) =C được gọi là mặt mức, với C cho trước.}

- Nếu V ∈¡ 2 thì phương trình : u x; y( ) =C được gọi là đường mức (đường đẳng trị)

b) Divergence (Độ phân kì hay phân tán)

Độ phân kì của trường vector urF x; y;z( ) (= P;Q;R tại ) M x; y;z( ) được xác định :

Φ = ∫∫ur ur = ∫∫∫ ur

F.n.dS divF x; y;z dxdydz (3.20)

Trong đó S là mặt trơn từng mảnh, kính bao quanh miền V trong ¡ 3

c) Hoàn lưu

Hoàn lưu của trường vector ur

F theo đường cong L được xác định :

Lưu ý : Trường vector urF x; y;z là trường thế ( ) ⇔rotF x; y;zr( ) = ∀0, ( )M ∈V.

b) Tính chất : Hoàn lưu của trường F x; y;z theo mọi chu tuyến L kín, trơn từng khúcur( )

trong V đều bằng không, nghĩa là : ∫ur r =

5 Trường điều hoà

a) Trường điều hoà : Trường vector F M , Mur( ) ∈V là trường điều hoà khi nó vừa là trườngống, vừa là trường thế, tức là : ( )

rotF M 0

, M V

b) Tính chất : Hàm thế vị u M( ) (= u x; y;z) của trường điều hoà F M là hàm điều hoà,ur( )

nghĩa là hàm u(x; y; z) thoả phương trình Laplace :

CHƯƠNG IV : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

x f x; ydy

y

c dx

+

=+ Đặt

/ /

y

x

ta được phương trình tách biến : z xz/ a bz xz/ a bz z xdz a bz z

cX dY

+

=+ (4).

+ Giải phương trình (4) tương tự như giải phương trình (1)

Nếu coi x là hàmNếu coi y là hàm

3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

- Với α = 1, thì (1) là phương trình tách biến

- Với α = 0, thì (1) là phương trình tuyến tính cấp 1

b) Phương pháp giải :

- Chia 2 vế của (2) cho yα, ta được : y y/ −α +p x y( ) 1−α =q x( ) (2)

- Đặt z y= 1−α ⇒ = − αz/ (1 ) y y/ −α Thay vào (2), ta được: z/ + − α(1 ) ( ) (p x = − α1 ) ( )q x (3)

- Phương trình (3) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 theo hàm z z x= ( ), biến x

5 Phương trình vi phân toàn phần và thừa số tích phân

a) Phương trình vi phân toàn phần :

* Dạng : P x; y( ) +Q x; y( ) =0 (1), thoả điều kiện P Q ( ) 2

* Phương pháp giải :

- Kiểm tra xem phương trình (1) có thoả điều kiện (3) không

- Tồn tại thừa số tích phân : Hàm a x hoặc ( ) a y( )

i/ Trường hợp 1 : a a x= ( ) (Hàm a chỉ phụ thuộc vào x) thì

a xa

o

xo yo

u x; y = ∫P * x; y dx+ ∫Q * x ; y dy Tìm u x; y ( ) (4.5)

- Nghiệm tổng quát của (1) có dạng : u x; y( ) =C ,C∈¡

6 Phương trình vi phân cấp 1 khuyết

a) Phương trình vi phân khuyết y : x f y= ( )/ ( )I

c) Phương trình vi phân khuyết x dạng tổng quát : F y, y( )/ =0 ( )III

- Tham số hoá phương trình ( )III : Đặt

n n

/ m m

y a cos tdy

d) Phương trình vi phân khuyết y dạng tổng quát : F x, y( )/ =0 ( )IV

- Tham số hoá phương trình ( )III : Đặt

n n

/ m m

x a cos tdy

- Các nghiệm của phương trình ( )I là : ( )

Dạng tuyến tính không thuần nhất : a x y( ) / / +b x y( ) / +c x y f x( ) = ( )

1 Phương trình vi phân giảm cấp (Phương trình vi phân khuyết)

a) Phương trình vi phân khuyết y : F x; y ; y( / / /) =0 ( )I

- Đặt z y/ dy z/ y/ /

dx

- Thay vào ( )I ta được phương trình vi phân cấp 1 : F x;z;z( /) =0

b) Phương trình vi phân khuyết x : F y; y ; y( / / /) =0 ( )II

2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

a) Các dạng của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 :

* Dạng tuyến tính thuần nhất : a x y( ) / / +b x y( ) / +c x y 0( ) = ( )1

* Dạng tuyến tính không thuần nhất : a x y( ) / / +b x y( ) / +c x y f x( ) = ( ) ( )2

b) Các định lí về nghiệm tổng quát :

* Định lí 1 : (Về nghiệm tổng quát của phương trình (1))

Nếu y x và 1( ) y x là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (1) thì nghiệm tổng2( )

quát của nó là : y C y= 1 1+C y , C ,C2 2 ∀ 1 2∈¡ .

* Định lí 2 : (Về nghiệm tổng quát của phương trình (2))

Nếu y x , 1( ) y x là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất2( )

tương ứng của (2) và y là một nghiệm riêng của (2) thì nghiệm tổng quát của nó là :r

2 1 1 // // / / //

a x 2

4 Giải phương trình tuyến tính cấp 2 không thuần nhất bằng phương pháp biến thiên hằng số

Xét phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính không thuần nhất :

- Bước 1 : Tìm 2 nghiệm riêng của phương trình (2), suy ra nghiệm tổng quát của phương

/

1 /

2 nghiệm phân biệt k và 1 k 2

a) Trường hợp 1 : k1 ≠ k2 (Hai nghiệm phân biệt)

- Phương trình (1) có 2 nghiệm độc lập tuyến tính k x 1

- Phương trình (1) có 2 nghiệm độc lập tuyến tính y1 = ekx và y2 = xekx

- Nghiệm tổng quát của phương trình (1) là : ( ) kx

1 2 1 2

y = C + xC e ,C ,C ∈¡

c) Trường hợp 3 : k1,2 = α ± βi (Nghiệm phức)

- Phương trình (1) có 2 nghiệm độc lập tuyến tính

x 1

x 2

y e cos x

y e sin x

α α

* Bước 1 : Giải phương trình (2) (Xem lại mục 5)

Tìm được nghiệm tổng quát của (2) là : y C y= 1 1+C y , C ,C2 2 ∀ 1 2∈¡

* Bước 2 : Tìm nghiệm tổng quát cho phương trình ( )1 .

a) Cách 1 : Áp dụng phương pháp biến thiên hằng số (Xem lại mục 4)

b) Cách 2 : Áp dụng phương pháp hệ số bất định để tìm một nghiệm riêng y cho phươngrtrình ( )1

y = eα R x cos x Sβ + x sin x , kβ  = max m;n

- Nếu α ± βi là nghiệm của (3) thì nghiệm riêng y có dạng :r

x

y = xeα R x cos x Sβ + x sin x , kβ  = max m;n

 Sau khi tìm được nghiệm riêng y , ta tính r y và r/ y rồi thế vào phương trình (1) tìm các/ /r

ẩn số trong nghiệm riêng

Lưu ý : Các công thức tính đạo hàm : ( )

( )

/ / // / // / / / /

u.v u v u.vu.v u v 2.u v u.v

 Nghiệm tổng quát của (1) có dạng : y = +y yr = C y1 1+C y2 2+ y ,C ,Cr 1 2∈¡

7 Phương trình vi phân Euler – Cauchy

= − Thay vào (1), ta được phương trình vi phân tuyến

Ta xét 3 trường hợp (Xem lại mục 5) như phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng

thuần nhất, ta có các nghiệm của phương trình (2) là y ; y ; ; y 1 2 m

Suy ra nghiệm tổng quát của (2) là: y C y= 1 1 +C y2 2 + + C y , C ,C , ,Cm m ∀ 1 2 m∈¡

b) Dạng không thuần nhất : ( )n ( )n 1 (n 2) ( ) ( )

y +a y − +a y − + + a y = f x 3

i/ Bước 1 : Giải phương trình thuần nhất tương ứng tìm nghiệm tổng quát y

- Phương trình (3) có phương trình thuần nhất là phương trình (1)

- Giải phương trình ( )1 , suy ra nghiệm tổng quát của phương trình ( )3 là :

1 1 2 2 m m 1 2 m

y C y= +C y + + C y , C ,C , ,C∀ ∈¡

ii/ Bước 2 : Tìm nghiệm tổng quát của phương trình (3).

* Cách 1 : Áp dụng phương pháp biến thiên hằng số

i i

/

i i i i 1

n 2 /

i i

n 1 /

i i

C y 0

C y 0 C x C x x dx K

r m

y =Q x eα+ Nếu α là một nghiệm bội l của (2) thì y của (3) có dạng r ( ) x

y = x el α R x cos x Qβ + x sin x , kβ  = max m;n

iii/ Bước 3 : Kết luận.

- Nghiệm tổng quát của (3) là : y = +y yr = ∑n C yi i + yr (Ci ∈¡ ;i 1,n= )

III HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1

( )

/

1 11 1 12 2 1n n /

* Phương pháp giải : Áp dụng phương pháp khử.

Đưa hệ đã cho về một phương trình vi phân cấp cao đối với một hàm phải tìm, giảiphương trình vi phân này cho hàm đó, từ đó tìm các hàm còn lại

( )

/ / 2

y = Ax +Bx C+

/ r / / r

Thế vào phương trình ( )3 , ta được :

Nghiệm riêng của phương trình ( )3 là : yr = x2 + x

Suy ra : Nghiệm tổng quát của phương trình ( )3 là :

1 2 2x 1

CHƯƠNG V : CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI HÀM

1 Các khái niệm về chuỗi số

a) Sự hội tụ của chuỗi số :

Ta gọi Sn = u1 +u2 + + un là tổng riêng thứ n của chuỗi

- Nếu tồn tại nlim Sn S

∑ hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng { }Sn bị chặn trên.

b) Định lí so sánh 1 : Cho 2 chuỗi số dương n

∞ α

=

∑ hội tụ khi α > 1 và phân kì khi α ≤ 1

ii/ Khi áp dụng định lí so sánh 2, ta thường áp dụng thuyết vô cùng lớn, vô cùng bé để tínhgiới hạn

iii/ Các vô cùng bé tương đương khi nlim un 0

nlim 1 a e

3 Ba tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương

a) Tiêu chuẩn D'A Lembert :

Cho chuỗi số dương n

- Nếu D < 1 thì chuỗi hội tụ

- Nếu D > 1 thì chuỗi phân kì

- Nếu D = 1 ta chưa có kết luận chuỗi hội tụ hay phân kì Trong trường hợp này, chúng ta ápdụng các định lí so sánh hoặc một lý thuyết khác để khảo sát tính hội tụ của nó

b) Tiêu chuẩn Cauchy :

Cho chuỗi số dương n

- Nếu C < 1 thì chuỗi hội tụ

- Nếu C > 1 thì chuỗi phân kì

- Nếu C = 1 thì ta chưa có kết luận chuỗi hội tụ hay phân kì

c) Tiêu chuẩn Maclaurin - Cauchy (tiêu chuẩn tích phân) :

Cho chuỗi số dương n

4 Sự hội tụ của chuỗi Riemann

∞ α

∑

n=1

1 n

 Nếu α = 0 thì

n 1 n 1

1

1n

→∞ = →∞ = +∞ Suy ra chuỗi phân kì

Suy ra tích phân suy rộng I hội tụ khi α > 1 và phân kì khi α < 1

Theo tiêu chuẩn tích phân thì chuỗi Riemann

n 1

1n

∞ α

=

∑ hội tụ khi α > 1 và phân kì khi α ≤ 1

5 Chuỗi có dấu thay đổi

a) Chuỗi đan dấu : ( )n ( )

Nếu dãy { }u giảm và n nlim un 0

→∞ = thì chuỗi đan dấu hội tụ.

b) Định lí hội tụ tuyệt đối :

Nếu chuỗi số dương ∑∞ un hội tụ thì chuỗi có dấu bất kì ∑∞ un cũng hội tụ

c) Hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ :

1 Sự hội tụ của chuỗi hàm

a) Tiêu chuẩn Weierstrass (tính hội tụ đều của chuỗi hàm) :

Nếu u xn( ) ≤ a , n, x Dn ∀ ∈ và chuỗi số dương n

tụ đều trên D tới hàm S x( ) thì hàm S x( ) liên tục trên D.

Hệ quả : (Dùng để chứng minh một chuỗi không hội tụ đều)

Nếu mọi hàm số u x ,n 1;2; n( ) = liên tục trên D nhưng tổng S x là hàm không( )

liên tục trên D thì chuỗi hàm n( )

Nếu mọi hàm số u x ,n 1;2; n( ) = có đạo hàm liên tục trên khoảng ( )a; b và chuỗi

∑ hội tụ tại xo ≠ 0 thì nó hội tụ tại mọi x thoả x < xo

* Nếu chuỗi luỹ thừa n n

n 1

a x

∞

=

∑ phân kì tại x thì nó phân kì tại mọi x thoả 1 x > x1

b) Các bước tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa :

Xét xem chuỗi ( )1 và chuỗi ( )2 hội tụ hay phân kì.

Suy ra miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa : R− < x < R

≤ ≤

c) Các tính chất của chuỗi luỹ thừa :

Nếu chuỗi luỹ thừa n n

i/ Hàm f x( ) liên tục trên khoảng (−R; R)

ii/ f x khả tích trên mọi đoạn ( ) a; b ⊂ − ( R;R) và

III CHUỖI FOURER

(Đọc thêm tài liệu)