CPCasio phụ lục 2 tổng hợp công thức giải nhanh 2

Vấn đề 05: Bài toán lãi suất

1 Lãi đ n S ti n lãi ch tính trên s ti n g c mà không tính trên s ti n lãi do s ti n g c sinh ra, t c là

ti n lãi c a kì h n tr c không đ c tính vào v n đ tính lãi cho kì h n k ti p cho dù đ n kì h n ng i

g i không đ n rút ti n ra

Bài toán: Khách hàng g i vào ngân hàng a đ ng v i lãi đ n r%/ kì h n thì s ti n khách hàng nh n đ c

c v n l n lãi sau n kì h n n  là S na1nr 

2 Lãi kép: Ti n lãi c a kì h n tr c n u ng i g i không rút ra thì đ c tính vào v n đ tính lãi cho kì

h n sau

Bài toán: Khách hàng g i vào ngân hàng a đ ng v i lãi kép r%/ kì h n thì s ti n khách hàng nh n đ c

c v n l n lãi sau n kì h n n  là  1 n

n

3 Ti n g i hàng tháng: M i tháng g i đúng cùng m t s ti n vào m t th i gian c đ nh

Bài toán: Đ u m i tháng khách hàng g i vào ngân hàng s ti n a đ ng v i lãi kép r%/ tháng thì s ti n

khách hàng nh n đ c c v n l n lãi sau n tháng n  (nh n ti n cu i tháng khi ngân hàng đã tính lãi) là        

n n

a

4 G i ngân hàng và rút ti n g i hàng tháng: G i ngân hàng s ti n a đ ng v i lãi su t r%/ tháng M i tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra s ti n x đ ng thì s ti n còn l i sau n tháng là

     

n n

n

r

5 Vay v n tr góp: Vay ngân hàng s ti n là a đ ng v i lãi su t r tháng Sau đúng m t tháng k t ngày vay, b t đ u hoàn n ; hai l n hoàn n cách nhau đúng m t tháng, m i l n hoàn n s ti n là x đ ng và tr

h t ti n n sau đúng n tháng

* S ti n còn l i sau n tháng là  1   1  1

n n

n

r

Đ sau đúng n tháng tr h t n thì  0 S n nên 1   1  1

n

 





n n

x

r

6 Bài toán tăng l ng: M t ng i đ c lãnh l ng kh i đi m là a đ ng/tháng C sau n tháng thì l ng

ng i đó đ c tăng thêm r%/tháng T ng s ti n nh n đ c sau kn tháng là    

k

kn

r

7 Bài toán tăng tr ng dân s : Công th c tính tăng tr ng dân s   

 1 m n

P P r v i m n,  ,m n  Trong đó * r% là t l tăng dân s t năm n đ n năm m;

* P là dân s m năm m;

* P là dân s n năm n

Công th c t nh t l tăng dân s là %  m 1

m n n

P r

8 Lãi kép liên t c: G i vào ngân hàng a đ ng v i lãi kép r năm thì s ti n c v n l n lãi nh n đ c sau

n năm n  là S n a1rn

Gi s ta chia m i năm thành m kì h n đ tính lãi và lãi su t m i kì h n là % r

m thì s ti n thu đ c sau n

năm là    

1 

mn

n

r

Khi tăng s kì h n c a m i năm lên vô c c, t c là  ,m g i là hình th c lãi kép liên t c thì s ti n nh n

đ c c g c l n lãi là  nr

Vấn đề 06: Nguyên hàm - Tích phân - Ứng dụng

1 B ng nguyên hàm c a m t s hàm th ng g p



 

1

 

1

ax b

a

  

 2

x

a ax b

ax b

1dx lnx C



 1 dx 1lnax b C

e xdx e x C e ax b dx1e ax b C

a

 d

ln

x



ln

kx b

cos dx x sinx C cosax b dx1sinax b  C

a

sin dx x cosx C sinax b dx 1cosax b  C

a

tan dx x ln cosx C tanax b dx 1ln cosax b C

cot dx x ln sinx C cotax b dx1ln sinax b C

 2

1

 2

1

1 tan ax b dx tan ax b C

a

a

2 B ng nguyên hàm m r ng



 2 2

arctan

C

arcsin dx x xarcsinx a x C







 2 2

ln 2

C



2 2

d

ln

x

2



 2 2

d

arcsin

C a

2



 2 2

arccos

C

2 sin

C a

 



 d2x 2 1ln a x2 a2 C

2 sin

C a

ln ax b dx ax bln ax b x C



cos d

ax



sin d

ax

3 M t s d u hi u đ i bi n th ng g p



2 2

     



   



2 2 cos , 0;



2 2



     



a

t a

t



2 2

 

     





2 2 cot , 0;





a x

a x ho c





a x

a x Đ t  cos2x a t

sin



2 2

1

2 2

Hàm s f x ;  x  Đ t t  x

f x

tan , cos 0

Hàm s  

  



1

f x

x a x b

* V i   

  



0 0

x a

x b thì đ t t x a  x b 

* V i   

  



0 0

x a

x b thì đ t      t x a x b

4 Tích phân c a hàm s phân th c h u t

 dx 1d ax b 1ln

     

 

1

x

a

 2

d

x

ax bx c Xét   2

4

b ac

a N u  0 thì ph ng trình 2  

0

ax bx c có hai nghi m phân bi t x x ,

* Phân tích

2

* Suy ra

2

x

b N u   0 thì ph ng trình 2  

0

ax bx c có nghi m kép x 0

* Phân tích:



0

* Suy ra





0 0

c N u   0 thì

      

2

b

b





2 2

2

2

1 tan

t

a

 2mx n d , 0

a S d ng ph ng pháp đ ng nh t h s , ta tìm A và B sao cho:



2

2

ax b

2

2

1

d 2

ax b

* Nguyên hàm

 2

1

dx

ax bx c thu c d ng 2

D ng 4: Tính  

 

P x d

Q x v i P x và   Q x là đa th c c a x  

a N u b c c a P x l n h n ho c b ng b c c a   Q x thì ta dùng phép chia đa th c  

b N u b c c a P x nh h n b c c a   Q x thì ta có th xét các tr  ng h p:

* Khi Q x  0 ch có các nghi m đ n x x1, 2, ,x thì s d n ng ph ng pháp đ ng nh t h s tìm

1, 2, , n

 

  11 22   n n

* Khi            2  

p q thì s d ng ph ng pháp đ ng

nh t h s đ tìm A A1, 2, ,A B C sao cho n, ,

 

  1  2     2  

n

* Khi Q x có nghi m b i, t c        m  n

Q x x x thì ta s d ng ph ng pháp đ ng nh t h s đ tìm A A1, 2, ,A B B m, 1, 2, ,B sao cho n

 

   1   2 2     m   1   2 2     n 

5 Tích phân c a hàm vô t

a Tích phân d ng   2  

* N u  0a thì đ t  2  

* N u  0c thì đ t 2   

* N u 2       

 21

x x t

b Tích phân d ng  m  npd

x a bx x v i a,b là các s th c; m,n,p là các s h u t

* N u p nguyên thì ta đ t t N  ,x N là m u s chung c a m và n

* N u m 1

n nguyên thì đ t  n ,N

a bx t N là m u s c a p

* N u m1

p

n nguyên thì đ t n  ,N

ax b t N là m u s c a p

c Tích phân d ng   

 ,m ax b d

cx d trong đó a,b,c,d là các h ng s th c,   0,ad bc m là s t nhiên

m m

m

m

6 Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng y f x y , g x x ,  và a x b :    d

b

a

S f x g x x

7 Th tích tròn xoay quanh tr c hoành: 2  2 

d

 b 

a

8 Th tích tròn xoay quanh tr c tung:  2 b  d

a

9 Th tích c a v t th có thi t di n v i di n tích  : b  d

a

10 Đ dài đ ng cong:    2

b 

a

11 M t s tính ch t đ c bi t c a tích phân:

a N u f x là hàm ch n và liên t c trên đo n   a a thì ;       

0

b N u f x là hàm l và liên t c trên đo n   a a thì ;     d 0

a

a

c N u f x là hàm ch n và liên t c trên đo n   a a thì ;     





0

1

x a

f x





0

x a

a

d N u f x liên t c trên   a b thì ;    d     d

e Cho hàm s f x liên t c trên   a b và th a mãn đi u ki n ;  f a b x      f x ,  x a b ; 

Khi đó ta có   d     d

2

a b

f N u hàm s f x liên t c và   f a b x    f x thì     d 0

b

a

g N u hàm s f x liên t c trên đo n   0; 2a v i  0 a thì 2        

h Cho hàm s y f x tu n hoàn v i chu kì T xác đ nh và liên tr c trên  

Khi đó ta có         

0

a

i N u hàm s f x liên t c trên    



12 Tính tích phân max , d     d

2

2

s liên t c trên a b; .