Bài 7 cực trị hàm trùng phương(2)

Trong điều kiện nào sau đây thì hàm số có ba cực trị: A... Khi đó, để cực trị này là cực tiểu thì a>... Suy ra đồ thị hàm số có ba điểm cực trị.. Phương trình đường thẳng đi qua các điểm

Câu 1 Cho hàm số y=ax4+bx2+c (a¹0). Trong điều kiện nào sau đây thì hàm số có ba 

cực trị: 

A. a b ,  cùng dấu và c bất kì.  B. a b ,  trái dấu và c bất kì. 

C. b=  và 0 a c ,  bất kì.  D. c=  và 0 a b ,  bất kì. 

Hướng dẫn giải:  

2

0

2

x

x

a

é = ê

= -ê ë

Để hàm số có ba cực trị thì phương trình  2

2

b x

a

= -  có hai nghiệm phân biệt khác 0 

2

b

ab a

Û - > Û <  Khi đó a b ,  trái dấu và c bất kì. 

Câu 2 Cho hàm số  y=ax4+bx2+1 (a¹0). Để hàm số có một cực tiểu và hai cực đại thì 

,

a b cần thỏa mãn: 

A. a < 0, b < 0.  B. a < 0, b > 0.  C. a > 0, b < 0.  D. a > 0, b > 0. 

Hướng dẫn giải:  

2

0

2

x

x

a

é = ê

= -ê ë

Để hàm số có một cực tiểu và hai cực đại 

0 0

2

a dang do thi

a b

b a

ì <

ì <

>

- >

î

. 

Câu 3 Cho hàm số  y=ax4+bx2+1 (a¹0). Để hàm số có một cực đại và hai cực tiểu thì 

,

a b cần thỏa mãn: 

A. a < 0, b ¹ 0.  B. a ¹ 0, b > 0.  C. a > 0, b < 0.  D. a > 0, b > 0. 

2

0

2

x

x

a

é = ê

= -ê ë

Để hàm số có một cực tiểu và hai cực đại 

0 0

2

a dang do thi

a b

b a

<

- >

î

. 

Câu 4 Cho hàm số y=ax4+bx2+1 (a¹0). Để hàm số chỉ có một cực trị và là cực tiểu thì 

,

a b cần thỏa mãn: 

A. a < 0, b £ 0.  B. a < 0, b > 0.  C. a > 0, b < 0.  D. a > 0, b ³ 0. 

Hướng dẫn giải:  

2

0

2

x

x

a

é = ê

= -ê ë

Để hàm số có một cực trị thì ( )*  vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0 0

0

0 2

b b

ab a

é = ê

ê > ë

.  

Khi đó, để cực trị này là cực tiểu thì a>  Vậy 0 a > 0, b ³ 0. 

Câu 5 Tìm số cực trị của hàm số sau: y=x4-2x2+1. 

A. x = 0; x = 1; x = - 1.  B. 3.  C. y = 1; y = 0.  D. Cả ba đáp án A, B, C. 

Hướng dẫn giải:  

' 4 4 ; ' 0

1

x

x

é = ê

ê = ±

Vậy hàm số có 3 cực trị. 

Câu 6 Số điểm cực đại của hàm số y= -x4-2x2+3 là: 

Hướng dẫn giải:  

3

y = - x - x y = Û =x   

'

Vậy hàm số có 1 cực đại. 

Câu 7 Số điểm cực đại của hàm số y=x4+100 là: 

Hướng dẫn giải:  

3

y = x y = Û =x   

'

Vậy hàm số không có cực đại. 

Câu 8 Đồ thị hàm số y= -x4+2x2+3 có: 

A. 1 điểm cực đại và không có điểm cực tiểu. 

B. 1 điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.   

C. 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu. 

D. 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại. 

Hướng dẫn giải:  

0

1

x

x

é = ê ê

ê

ê = -ë

Suy ra đồ thị hàm số có ba điểm cực trị. Lại có hệ số của x4 là  1 0- <  nên đồ thị hàm số có 1  điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại. 

Câu 9 Đồ thị hàm số y=x4-3x2+ax b+  có điểm cực tiểu A(2; 2- ). Tìm tổng (a b+ ). 

Hướng dẫn giải:  

Ta có y' 4= x3-6x a+  và y'' 12= x2-6. 

Do A(2; 2- ) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nên  

( )

( )

( )

20

34

a

b

a b y

=

-ï

î

Câu 10 Hàm số 

4

2 3

x

y= -x - :  A.Nhận điểm x=2 làm điểm cực tiểu. 

B.Nhận điểm x= - 2 làm điểm cực đại. 

C. Nhận điểm x= 2 làm điểm cực đại. 

D. Nhận điểm x=  làm điểm cực đại. 0

Hướng dẫn giải:  

2

x

x

é = ê

ê = ± ë

'

Câu 11 Đồ thị hàm số y=x4-x2+1 có bao nhiêu điểm cực trị có tung độ dương? 

Hướng dẫn giải:  

4 2

4 2

é

ê ê ê

ê

ê ë

. 

Câu 12 Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực tiểu của hàm số y=x4-2x2 là: 

A. y = - 1.  B. y = 1.  C. y = - x 1.  D. y = x. 

Hướng dẫn giải:  

' 4 4 ; ' 0

1

x

x

é = ê

ê = ± ë

'

y 

Phương trình đường thẳng đi qua 2 cực tiểu: y = - 1  

Câu 13 Tìm m để hàm số y=mx4+(m2-9)x2+10 có 3 cực trị. 

m

m

é <

-ê

ê < <

ë

m m

é £ -ê

ê < £ ë

m m

é £ -ê

ê £ <

ë

m m

é £ -ê

ê £ £ ë

. 

Hướng dẫn giải:  

y = mx + m - x= x mx +m -   

Hàm số có 3 cực trị Û y ' 0 =  có 3 nghiệm phân biệt 

2 2

2 mx m 9 0

Û + - =  có 2 nghiệm phân biệt khác 0 

( 2 )

2

m m

ìD = - - > é <

ê < <

î

Câu 14 Tìm m để hàm số y=x4-mx2-8x+3m đạt cực tiểu tại điểm x=2. 

A. m=6.  B. m= -6.  C. m=  3 D. m= -  3

Hướng dẫn giải:  

3

y = x - mx-   

Hàm số đạt cực tiểu tạix=2 Þy' 2( )= Þ0 4.23-2 2 8 0m - = Þm=6 

Khi đó y ' 0 =  có 2 nghiệm  1

2

x x

é = -ê

ê =

'

Vậy m=  thỏa mãn  6

Câu 15 Tìm m để hàm số  1 4 2

4

y= x +ax +b đạt cực trị tại điểm x=  và giá trị cực trị tương 1 ứng bằng –2. 

;

;

;

;

a= - b= -  

Hướng dẫn giải:  

( ) ( )

3

1

7 2

4

4

y

a b y

b

ì

+ + =

=

-  

Câu 16 Tìm m để 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số y=x4-2(m+1)x2+m2 tạo thành 3 đỉnh 

của một tam giác vuông. 

A. m=  0 B. m= -  1 C. m=  1 D. m= ±  1

Hướng dẫn giải:  

y = x - m+ x= x x -m-  

Hàm số có 3 cực trị y ' 0 =  có 3 nghiệm phân biệt  

2 1 0

x m

Û - - =  có 2 nghiệm phân biệt khác 0 

1

m

m m

ìD = + >

ï

-ï- - ¹

î

(0; 2), ( 1; 2 1 ,) ( 1; 2 1)

( )

0

é = -ê

ê = ë

 

Câu 17 Tìm m để đồ thị hàm số y=x4-2mx2+2m m+ 4 có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của 

tam giác đều. 

A. m=  0 B. m= 33.  C. m= -33.  D. m= ±33. 

Hướng dẫn giải:  

y = x - mx= x x -m  

Hàm số có 3 cực trị y ' 0 =  có 3 nghiệm phân biệt  

x m

Û - =  có 2 nghiệm phân biệt khác 0 

0 0

m

m m

ìD = >

ï

- ¹

(0; 2 4), ( ; 4 2 2 ) (, ; 4 2 2 )

Tam giác ABC đều  ( )

( )

3

0 4

3

é = ê

ê

Câu 18 Cho hàm số  y=x4-2mx2+1. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có ba 

điểm cực trị và đường tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng 1. 

1;

2

1;

2

1;

2

1;

2

Hướng dẫn giải:  

y = x - mx= x x -m  

Hàm số có cực trị thì y ' 0 =  có 3 nghiệm phân biệt  

x m

Û - =  có 2 nghiệm phân biệt khác 0 

0 0

m

m m

ìD = >

ï

- ¹

( )0;1 , ( ;1 2) (, ;1 2)

1

2

( )

4

3 2

1 2

2

ABC

AB AC BC

é

ê = ê ê

ê

-ê = ê

Câu 19 Hàm số y=x4+2mx2+m2+m có ba cực trị khi:. 

A. m=0.  B. m>0.  C. m<0.  D. m¹0. 

2

0

é = ê

ê = -ë

Để hàm số có ba cực trị Ûy ' 0 =  có ba nghiệm phân biệt Û -m> Û0 m<0. 

Câu 20 Đồ thị hàm số y=ax4+bx2+c có điểm cực đại A(0; 3- ) và có điểm cực tiểu B(- -1; 5). 

Khi đó giá trị của a b c , ,  lần lượt là: 

A. - - - 3; 1; 5.  B. 2; 4; 3 - -   C. 2;4; 3 -   D. - 2;4; 3 -  

Hướng dẫn giải:  

Ta có y' 4= ax3+2bx và y'' 12= ax2+2b. 

Đồ thị có điểm cực đại  ( ) ( )

( )

' 0 0

'' 0 0

y

y

ï

<

Đồ thị có điểm cực tiểu  ( ) ( )

( )

1; 5

'' 1 0

B

a b y

+ >

- >

î

5

c

a b c

ì = -ï

+ + =

Vậy ta có hệ phương trình 

 (thỏa mãn) 

Câu 21 Tìm m để đồ thị hàm số y=x4-2(m2-m+1)x2+m-1 có một điểm cực đại, hai điểm 

cực tiểu và thỏa mãn khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất. 

2

2

3 2

2

m= -  

Hướng dẫn giải:  

Ta có  3 ( 2 ) 2 ( 2 )

2

0

1

x

é =

ë

Suy ra đồ thị có hai điểm cực tiểu là  ( 2 )

CT 1;

CT 1;

2

= - + = êç - ÷ + ú³

. Dấu “=” xảy ra  1

2

m

Û =  

Câu 22 Cho hàm số y= -x4+2mx2-4 có đồ thị là ( )C m  Tìm các giá trị của m để tất cả các 

điểm cực tiểu của ( )C m  đều nằm trên các trục tọa độ. 

2

m m

é £ ê

ê =

Hướng dẫn giải:  

2

0

é = ê

ê = ë

Để hàm số có ba điểm cực trị Ûm>  0

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là 

(0; 4)

A - ÎOy, B(- m m; 2-4) và C( m m; 2-4). 

( )

2

é = -ê

ê = ë

. 

Câu 23 Giá trị của tham số m bằng bao nhiêu để đồ thị hàm số  y=x4-2mx2+1 có ba điểm 

cực trị A( )0;1 , B,  C  thỏa mãn  BC = ?4  

Hướng dẫn giải:  

Ta có  3 ( 2 )

2

0

é = ê

ê = ë

Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị Ûy ' 0 =  có ba nghiệm phân biệt Ûm>  0

Suy ra tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A( )0;1 , B( m;1-m2) và  C(- m;1-m2)  Yêu cầu bài toán:  

BC = Û m= Û m= Ûm=  (thỏa mãn điều kiện). 

Câu 24 Tìm m để đồ thị hàm số  1 4 ( ) 2 ( )

4

y= x - m+ x + m+  có ba điểm cực trị tạo thành  tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ. 

3

3

3

3

m=  

Hướng dẫn giải:  

2

0

2 3 1

x

é =

ë

. 

Để hàm số có ba cực trị  2 3( 1) 0 1

3

Û + > Û > -  

Khi đó đồ thị có ba điểm cực trị là  

A m+ , B(- 2 3( m+1 ; 9) - m2-4m+1) và C( 2 3( m+1 ; 9) - m2-4m+1). 

Suy ra tọa độ trọng tâm của tam giác  ABC  là  2( 1) 2 9( 2 4 1)

0;

3

G

. 

( )

2

1 3

2 3

é

= ê ê

ê = -ê

Câu 25 Cho hàm số y=mx4+(m-1)x2+ -1 2m. Tìm m để đồ thị hàm số chỉ có 1 điểm cực 

trị. 

A. m £ 0; m ³ 1.  B. m £ 0; m ³ 2.  C. m £ 1; m ³ 2.  D. m £ - 1; m ³ 2. 

Hướng dẫn giải:  

Nếu m=  thì 0 y= -x2+ Þ1 y'= -2 ; ' 0x y = Û = Þx 0  Hàm số có 1 cực trị. 

Vậy m=  thỏa mãn. 0

Nếu m¹  thì 0 y' 4= mx3+2(m-1)x=2 2x( mx2+m-1) 

Để đồ thị hàm số có 1 cực trị thì y ' 0 =  có 1 nghiệm Û 2 mx2+ m - = 1 0 vô nghiệm hoặc có  nghiệm kép x=  0

0, 1

1 0

0

2

m m

éD = - <

ê

êìD = - = é < >

êï =

êïî

ë

Vậy m £ 0; m ³ 1 

Câu 26 Cho hàm số 

4

2 3

x

y= -mx +  Tìm m để đồ thị hàm số chỉ có cực tiểu mà không có  cực đại. 

Hướng dẫn giải:  

y = x - mx= x x -m  

Do hệ số của x4 dương nên đồ thị chỉ có cực tiểu mà không có cực đại khi và chỉ khi y ' 0 =  có 1  nghiệm. 

x m

Û - =  vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x=   0

0

0 0

m

m

m

é <

ê

ê =

Câu 27 Cho hàm số  4 ( ) 2

y=x - m m- x +m+  Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu 

và các điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân. 

2

2

2

2

Hướng dẫn giải:  

y = x - m m- x= x x -m +m  

Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì y ' 0 =  có 3 nghiệm phân biệt  0

1

m m

é <

ê Û

ê >

ë   

Các điểm cực trị:  

A m+ B m -m -m m- +m+ C - m -m -m m- +m+   

ABC

( ) ( ) ( )

4

0

2

é ê

= ê ê

ê

ê = ê

 

Câu 28 Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y=x4-(2m-1)x2+m2+m có ba 

điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32. 

2

Hướng dẫn giải:  

3

2

0

2

x

x

é = ê

-= ê ë

. 

Để đồ thị hàm số có 3 cực trị thì thì y ' 0 =  có 3 nghiệm phân biệt  1

2

Û - > Û >   

Các điểm cực trị:  

Gọi H là trung điểm của (2 1)2 2

0;

4

m

5

9

2

ABC

Câu 29 Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y=x4-2mx2+m2+m có ba điểm 

cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng 120°. 

A.  31

3

m=    B. m=   1 C. m= 33.   D. m= -  1

Hướng dẫn giải:  

3

2

0

é = ê

ê = ë

. 

Để đồ thị hàm số có 3 cực trị thì thì y ' 0 =  có 3 nghiệm phân biệt Ûm>   0

Các điểm cực trị:  

(0; 2 ), ( ; ) (, ; )

Gọi H là trung điểm củaBCÞH(0;m)  

( ) ( )

3

;

0 1

2

3

é = ê ê

ê = ê

Câu 30 Với giá trị của tham số m thì đồ thị hàm số y=x4-2 1( -m2)x2+m+1 có ba điểm cực 

trị tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất. 

A. m= 2.   B. m= - 2.   C. m=   0 D. m= -  2

Hướng dẫn giải:  

0

1

x

é = ê

ê = -ë

. 

Để đồ thị hàm số có 3 cực trị thì thì y ' 0 =  có 3 nghiệm phân biệt Û - 1 m2> Û- < 0 1 m < 1 (*) 

Ta chọn ngay đáp án C do chỉ có đáp án C thỏa mãn (*)