Bai giang CUC TRI HAM SO 2014

Các bài toán liên quan đến cực trị hàm số. Tài liệu được biên soạn bởi tác giả Huỳnh Ái Hằng, dung lượng 276 Kb. Chỉ gồm 12 trang nhưng cũng khá bổ ích cho các bạn ôn thi đh và các thầy cô giáo môn toán.

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ

DẠNG 1: Cực trị của hàm số bậc ba: y f x( )ax3bx2cx d

I Các kiến thức cơ bản:

 Hàm số có cực đại, cực tiểu  phương trình y  có 2 nghiệm phân biệt 0

 Hoành độ x x của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình 1, 2 y  0

 Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta có thể sử dụng phương pháp tách đạo hàm:

 Phân tích y f x q x( ) ( ) x

 Suy ra y1 x1,y2 x2

Do đó phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu là: y x

 Gọi là góc giữa hai đường thẳng d1:y k x b d 1  1, 2:y k x b 2  2 thì 1 2

1 2

tan

1

k k







II Bài tập:

Câu 1: (ĐH A-2002) Cho hàm số y x33mx23(1m x m2)  3m2(1) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Giải:

TXĐ: D  

y  x  mx m

Phương trình y  có ' 0   1 0 m nên đồ thị hàm số (1) luôn có 2 điểm cực trị

1 1 2 2

( ;x y ), ( ;x y )

2

m

y x  y  x m m

1 2 1

2 2 2

y  x m m

PT đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là y2x m 2m

Câu 2: (ĐH D-2012) Tìm m để hàm số 2 3 2  2  2

y x mx  m  x có hai điểm cực trị x và 1 x2

sao cho x x1 22x1x21

Giải:

TXĐ: D  

Hàm số có hai điểm cực trị  y' 0 có hai nghiệm phân biệt

Theo Viet: 1 2 2

1 2 1 3

x x m





 



Theo giả thiết:   2

1 2 1 2

2

3

x x  x x    m  m m  m

So sánh điều kiện ta có 2

3

m  thỏa mãn yêu cầu bài toán

y x  m x  m x , với m là tham số thực Xác định m để hàm

số đã cho đạt cực trị tại x x sao cho 1, 2 x12x21

Giải:

TXĐ: D  

2

yx  m x m

Hàm số có cực đại và cực tiểu  y  có hai nghiệm phân biệt 0 x x 1, 2



1 2

1 2





 Theo giả thiết x12x21

2

3 2

 



 



4

Câu 4: Cho hàm số y4x3mx23x Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x x sao cho 1, 2

1 4 2

x   x

ĐS: 9

2

m  

Câu 5: Cho hàm số y2x39mx212m x2 1 (m là tham số) Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại tại x CĐ , cực tiểu tại x CT thỏa mãn: 2

C

CĐ T

Giải:

TXĐ: D  

y   m  m  x  m  m

y  x  mx m 

Hàm số có CĐ và CT  y  có 2 nghiệm phân biệt 0 x x   = 1, 2 2

m > 0  m  0 Khi đó: 1 1 3 , 2 1 3 

x   m m x   m m

Dựa vào bảng xét dấu y suy ra x CĐx x1, C T x2

Do đó: 2

C

CĐ T

2



Câu 6: Cho hàm số 1 3 2 2

y x mx  m  x C Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và

2

CD CT

y  y 

Giải:

TXĐ: D  

y x  mx m  0 1

1

x m y

x m

 



   

 



2

CD CT

1

m

m

  





Câu 7: Cho hàm số y x 33(m1)x29x m , với m là tham số thực Xác định m để hàm số đã

cho đạt cực trị tại x x sao cho 1, 2 x1x2 2

Giải:

TXĐ: D  

2

y  x  m x

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x x  PT 1, 2 y  có hai nghiệm phân biệt ' 0 x x 1, 2

 PT x22(m1)x 3 0 có hai nghiệm phân biệt là x x 1, 2

' ( 1) 3 0

m m

m

   

  



Theo Viet: 1 2

1 2

3

x x









Theo giải thiết: x1x2  2 x1x224x x1 2 44m1212 4

2

So sánh điều kiện ta được giá trị của m cần tìm là  3 m  1 3 v  1 3m1

Câu 8: Cho hàm số y x 3(1 2 ) m x2(2m x m)  2, với m là tham số thực Xác định m để hàm

số đã cho đạt cực trị tại x x sao cho 1, 2 1 2 1

3

x x 

ĐS: 3 29 1

8

m   m 

Câu 9: Cho hàm số 1 3 2

1 3

y x mx mx , với m là tham số thực Xác định m để hàm số đã cho đạt

cực trị tại x x sao cho 1, 2 x1x2 8

ĐS:

2

m

m













Câu 10: Cho hàm số : 3 3 2 1 3

y x  mx  m

Xác định m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x Giải:

TXĐ: D  

y x mx x x m

x m







Với m  thì y’ đổi dấu khi đi qua các nghiệm do vậy hàm số có CĐ, CT 0

Khi đó các điểm cực trị của đồ thị là: 1 3  

2

A m  B m

Trung điểm của đoạn AB là

3

;

2 4

m m

I 

; 2

ABm  m 



A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x  AB d

I d









 3

3

1 2







 



 2

m  m 

Câu 11: Cho hàm số y x33mx23m1 Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại

và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x8y74 0

ĐS: m 2

Câu 12: Cho hàm số y x 33x2mx Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x2y 5 0

Giải:

TXĐ: D  

y x  x mxy  x  x m

Hàm số có cực đại, cực tiểu  y  có hai nghiệm phân biệt 0     9 3m 0 m3

y x y m x m

Do đó đường thẳng  đi qua các điểm cực trị có phương trình 2 2 1

y m x m

số góc 1 2 2

3

k  m

d: x2y 5 0 1 5

y x

    d có hệ số góc 2 1

2

k 

Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d  

2 3

k k     m   m

Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là I(1; –2)

Ta thấy I  d, do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua d

Vậy: m = 0 thỏa ycbt

Câu 13: (ĐH B-2007) Tìm m để hàm số : 3 2  2  3  

y x  x  m  x m  C có cực đại, cực tiểu

và các điểm cực trị của  C cách đều gốc tọa độ O

Giải:

TXĐ: D  

y   x  x m  , y' 0  x22x m 2 1 0

Hàm số có cực trị  y' 0 có hai nghiệm phân biệt  ' m2 0 m0

Khi đó tọa độ hai điểm cực trị là  3  3

3

8m 2m

So sánh điều kiện ta được 1 1

m v m  thỏa mãn ycbt

yx  mx  m  x m m (1), m là tham số Tìm m để hàm số (1) có

cực đại, cực tiểu đồng thời khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị đến gốc tọa độ O bằng 3 lần khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị đến O

Giải:

TXĐ: D  

Hàm số có cực đại, cực tiểu  y' đổi dấu 2 lần y' 0 có 2 nghiệm phân biệt

 

       Hàm số có cực đại, cực tiểu với mọi m

Khi đó, điểm cực đại của đồ thị là A m 1;2 2 m, điểm cực tiểu của đồ thị là B m 1; 2 2  m Khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị đến gốc tọa độ O bằng 3 lần khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị đến OOB3OA m12   2 2m2 3 m122 2 m2

 2  2  2  2 2

2 1 2

m

m









 



So sánh điều kiện ta được 1 2

2

m v m thỏa mãn ycbt

Câu 15: Cho hàm số y x 33mx23(m21)x m 3m Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời

khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O

ĐS: 3 2 2

3 2 2

m

m

   



  



Câu 16: (ĐH B-2012) Tìm m để đồ thị hàm số y x 33mx23m3 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48

Giải:

TXĐ: D  

2

x

x m







Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị m0

Khi đó các điểm cực trị của đồ thị là    3

Suy ra OA3m3, d B OA , 2m

OAB

m

m









(Thỏa ycbt)

Câu 17: Cho hàm số y x 33x2m2m1 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực đại, cực

tiểu là A và B sao cho diện tích tam giác ABC bằng 7, với điểm C(–2; 4 )

ĐS: 3

2

m

m





  



Câu 18: Cho hàm số y2x23(m1)x26mx m 3 Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B

sao cho AB  2

Giải:

TXĐ: D  

2

y  x  m x m

x m







Hàm số có CĐ, CT  y  có 2 nghiệm phân biệt  0 m 1

Khi đó các điểm cực trị là A(1;m33m1), ( ;3B m m2)

AB   (m1)2(3m2m33m1)2 2 (m1)2(m1)322

 m0;m2 (thoả điều kiện)

Câu 19: Cho hàm số y x 33mx23(m21)x m 34m1 Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai

điểm cực trị A, B sao cho OAB vuông tại O

Giải:

TXĐ: D  

y





Khi đó hai điểm cực trị của hàm số là A m( 1;m3), B m( 1;m1)

 OA(m1;m3)

, OB(m1;m1)

OAB

 vuông tại O  OA OB   0

2

m

m

 





Câu 20: Cho hàm số y2x23(m1)x26mx m 3. Tìm m để đồ thị của hàm số có hai điểm cực trị

A, B sao cho tam giác ABC vuông tại C, với C(4;0)

ĐS: m  1

Câu 21: Cho hàm số y x 33(m1)x212mx3m4 Tìm m để hàm số có hai cực trị là A và B sao

cho hai điểm này cùng với điểm 1; 9

2

C  

 lập thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm

Giải:

TXĐ: D  

2

y  x  m x m

2 2( 1) 4 0

x  m x m

Hàm số có hai cực trị  y  có hai nghiệm phân biệt 0

  ' (m1)2 0 m1 (*)

Khi đó hai cực trị là A(2;9 ), (2 ; 4m B m m312m23m4)

ABC nhận O làm trọng tâm

9

2

A B C O

m

m



(thoả (*))

Câu 22 : Cho hàm số y x 33x2mx2 (1) Tìm m để hàm số (1) có 2 cực trị và đường thẳng đi

qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân

Giải:

TXĐ: D  

2

y  x  x m Hàm số có 2 cực trị  y  có 2 nghiệm phân biệt  0 m   3

Ta có: 1( 1) 2 2 2

y x y   x 

Suy ra đường thẳng  đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị có phương trình: 2 2 2

y   x 

 cắt Ox, Oy tại 6 ;0

2( 3)

m A m



, 0;6

3

m

B  

  m 0 Tam giác OAB cân OA = OB  6 6

m



m m  m 

So sánh điều kiện ta có 3

2

m  

Câu 23: Cho hàm số y x3(2m1)x2(m23m2)x4 (m là tham số) có đồ thị là (Cm) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung

Giải:

TXĐ: D  

y  x  m x m  m

(Cm) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung  PT y  có 2 nghiệm trái dấu 0

 3(m23m2) 0  1m2

yx  x  m x m  Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

nằm cùng phía với trục hoành

Giải:

TXĐ: D  

 

Hàm số có cực đại, cực tiểu y' 0 có hai nghiệm phân biệt x x 1, 2    ' 2 m 0 m2 Biểu diễn: 2 ' 2 2 2

3

x

y  y  m x m 

Khi đó, hai điểm cực trị của hàm số là

,

Theo Viet: 1 2

1 2

4







(*) Hai điểm cực trị nằm cùng phía với trục hoành y y1 20

2

1 2 1 2

Từ (*) thay vào trên ta được

2

4

m

m

 





 



So Sánh điều kiện ta được 17 2

   thỏa mãn ycbt

Câu 25: Cho hàm số y x 33x2mx m 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành

ĐS: m  3

Câu 26: Cho hàm số 1 3 1 2 ( 2 3)

y x  mx  m  x Tìm các giá trị của m để hàm số có các điểm cực trị

1, 2

x x với x10,x20 và 2 2

1 2

5 2

x x 

Giải:

TXĐ: D  

y x mx m  ; y  0 x2mx m 2 3 0

YCBT 

2 2

1 2

0 0 0 5 2

P S

x x

 









 







14

2

m

m m





 





Câu 27: (Dự bị 2006) Tìm các giá trị của m để đồ thị  C : 3   2  

yx   m x  m x m  Tìm

các giá trị của m để đồ thị hàm số  C có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1

Giải:

TXĐ: D  

y x   m x m y   x   m x m

Đặt t x 1  x t 1, thay vào (1) ta được:

3 t1 2 1 2 m t1  2 m 0 3t 4 2m t5t 7 0

(1) có 2 nghiệm phân biệt bé hơn 1  (2) có 2 nghiệm âm phân biệt

2

0

0

4 2

0 3

m

S

m





 







3

m

y x  m x  m x

Tìm m để hàm số có cực đại tại x1, cực tiểu tại x2 thỏa mãn x1x21

Giải:

TXĐ: D  

y mx  m x m  ; y  0 mx22(m2)x m  1 0 (1)

Đặt t x 1  x t 1, thay vào (1) ta được:

2

m t  m t m  mt24(m1)t4m 5 0

(1) có 2 nghiệm phân biệt bé hơn 1  (2) có 2 nghiệm âm phân biệt

0

0

0

0

m

P

S





  



 





 



Câu 29: Cho hàm số : y = 1 3 2 2

3x mx  m m x

Tìm m để hàm số có hai cực trị x1, x thoả mãn 2 1 x 1x2

Giải:

TXĐ: D  

y x  mx m m

Đặt t     x 1 x t 1 ta được : 2   2

y g t t  m t m  m

(1) có hai cực trị x x thoả 1, 2 1 x 1x2 g t( ) 0 có hai nghiệm t t thoả 1, 2 0 t 1t2

' 0

0

0

S

P

 





 



1 0

m

m

 







Vậy: Với m 2thì hàm số (1) có hai cực trị x x thoả mãn 1, 2 1x1x2

Câu 30: Cho hàm số y x 33x2mx2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm)

Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y x 1

Giải:

TXĐ: D  

Hàm số có CĐ, CT  y' 3 x26x m 0 có 2 nghiệm phân biệt x A; x B

        (*)

y x y   x  

Khi đó, hai điểm cực trị của hàm số là ; 2 2 2 , 2 2 2

A x  m x  m Bx  m x  m

Các điểm cực trị cách đều đường thẳng :y x 1d A ,  d B , 

0

A B A B

 

A B



 

              





2

2

2 2 2 2 3

3

x x

m

x x

m m



Vậy giá trị cần tìm của m là: m 0

Câu 31: Cho hàm số y x 33x22 Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y3x2sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất

Giải:

TXĐ: D  

Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2)

Xét biểu thức g x y( , ) 3 xy2 ta có:

( A, A) 3 A A 2 4 0; ( B, B) 3 B B 2 6 0

g x y  x  y     g x y  x  y   

 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng d: y3x2

Do đó MA + MB nhỏ nhất  3 điểm A, M, B thẳng hàng  M là giao điểm của d và AB

Phương trình đường thẳng AB: y 2x2

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: 3 2 4; 2

y x



 4 2;

5 5

M 

 

yx  mx C Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của

 C m cắt đường tròn tâm I(1;1), bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích IAB

đạt giá trị lớn nhất

Giải:

TXĐ: D  

2

y  x  m Hàm số có CĐ, CT  PT y  có hai nghiệm phân biệt ' 0 m0

3

y x y mx nên đường thẳng  đi qua các điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số có phương trình là: y 2mx2

Ta có  ,  2 2 1 1

m

m





(vì m > 0) luôn cắt đường tròn tâm I(1; 1), bán kính R = 1 tại 2 điểm A, B phân biệt

Với 1

2

m  :  không đi qua I, ta có: 1  1 2 1

IAB

S  IA IB AIB R  Nên SIAB đạt GTLN bằng 1

2 khi

 sinAIB  hay 1 IAB vuông cân tại I 1

R IH

2 2

m

m m



(H là trung điểm của AB)

Câu 33: Cho hàm số y x 33x2mx1 (1), với m là tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có

hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm 1 11;

2 4

I 

  đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là lớn nhất

Giải:

TXĐ: D  

2

3x 6x

y   m Hàm số có 2 điểm cực trị  PT y  có 2 nghiệm phân biệt 0

    0 m3

y  y  x 

 PT đường thẳng qua hai điểm cực trị là: : 2 2 1

y  x

Dễ dàng tìm được điểm cố định của  là 1;2

2

A 

4

AI  



Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên 

Ta có d I( , ) IH IA Dấu "=" xảy ra  IA    1 2 2 3 0 1

m

m

Vậy max( ( , )) 5

4

d I   khi m 1

y x mx  x m C

Tìm m để đồ thị  C m có 2 điểm cực trị và khoảng cách giữa 2 điểm cực trị là nhỏ nhất

Giải:

TXĐ: D  

2

y x  mx ; y  có 0 2

1 0,



      hàm số luôn có hai điểm cực trị x x 1, 2 Giả sử các điểm cực trị của (C m) là A x y( ;1 1), ( ;B x y2 2)

y x m y  m  x m

y   m  x  m

Do đó: 2 ( 2 1)2 ( 2 1)2 (4 2 4) 1 4( 2 1)2 4 1 4

AB  x x  y y  m    m     

3

AB  Dấu "=" xảy ra  m  Vậy 0 min 2 13

3

AB  khi m  0

Câu 35: Cho hàm số y x 33x2m (1)