Bài tập cực trị hàm số toán 12 (có đáp án)

Tóm tắt lý thuyết và phương pháp giải các bài tập về cực trị hàm số Một số bài tập tham khảo về cực trị hàm số (có hướng dẫn hoặc đáp án) Một số bài tập bạn đọc tự luyện tập (có đáp số) Ứng dụng hệ thức Viet và tam thức thức bậc hai vào bài toán cực trị.

1 | P a g e

Luyện tập – Đại số 12: Cực trị hàm số

Tóm tắt kiến thức về cực trị hàm số

2 | P a g e

3 | P a g e

4 | P a g e

5 | P a g e

Một số bài tập tham khảo

Bài 1 Cho hàm số yx33mx23(m21)x m 3m (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) ứng với m=1

2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O

Hướng dẫn

1) Bạn đọc có thể tự làm

2) Ta có y,3x26mx3(m21)

Để hàm số có cực trị thì PT ,

0

y  có 2 nghiệm phân biệt x22mx m 2 1 0 có 2 nhiệm phân biệt

    1 0, m

Cực đại của đồ thị hàm số là A(m-1;2-2m) và cực tiểu của đồ thị hàm số là B(m+1;-2-2m)

6 | P a g e

3 2 2

m

m

   

  



Vậy có 2 giá trị của m là m  3 2 2 và m  3 2 2

Bài 2 Cho hàm số y  x3 3 mx2  4 m3 (m là tham số) có đồ thị là (C m)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

2) Xác định m để (C m ) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y =

x

Hướng dẫn

1) Khi m = 1, hàm số có dạng: y = x3 3x2 + 4

 TXĐ: R

 Sự biến thiên: y’ = 3x2 6x = 0  x = 0 hoặc x = 2

Hàm số đồng biến trên: (; 0) và (2; +)

Hàm số nghich biến trên: (0; 2)

Hàm số đạt CĐ tại xCĐ = 0, yCĐ = 4; đạt CT tại xCT = 2, yCT = 0

y” = 6x  6 = 0  x = 1

Đồ thị hàm số lồi trên (; 1), lõm trên (1; +) Điểm uốn (1; 2)

 Giới hạn và tiệm cận: 3

3

x x

      

 Bảng biến thiên

 Đồ thị

7 | P a g e

2) Ta có: y’ = 3x2 6mx = 0  0

2

x





 



Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m  0

Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3

(2 ; 4 )

AB  m  m

Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3

)

Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y = x là AB vuông góc với đường thẳng y =

x và I thuộc đường thẳng y = x

3 3

2



 





Giải ra ta có: 2

2

m   ; m = 0

Kết hợp với điều kiện ta có: 2

2

m  

y  x  m x  (1)

1) Với m = 1, khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1)

8 | P a g e

2) Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C và diện tích tam giác ABC bằng 32 (đơn vị diện tích)

Hướng dẫn

1) Với m = 1 hàm số là: y x4 2x2 1

 TXĐ: R

 Giới hạn, đạo hàm: lim lim

 

' 4 4 ; ' 0

1

x

y x x y

x







 Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên các khoảng (- 1; 0), (1; +); nghiechj biến trên các khoảng (-; - 1), (0; 1)

Hàm đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 1, cực tiểu tại x = 1, yCT = 0

 Dạng đồ thị

9 | P a g e

2) Ta có y’ = 4x3 – 4m2x ; y’ = 0  x2 0 2

x m





 

 ; ĐK có 3 điểm cực trị : m  0

Tọa độ ba điểm cực trị : A(0 ; 1), B(- m ; 1 – m4

), C(m ; 1 – m4) ;

CM tam giác ABC cân đỉnh A Tọa độ trung điểm I của BC là I(0 ; 1 – m4

)

5 4

1

2

ABC

S  AI BCm m  m    m (tm)

Bài 4 Cho hàm số

2

m

y x m

x

  



1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho với m = 1

2) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu sao cho hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đường thẳng d: x – y + 2 = 0 những khoảng bằng nhau

Hướng dẫn

1) Với m =1 thì 1 1

2

y x

x

  



 Tập xác định: D \ 2 

 Sự biến thiên:

2

' 1

x x y

1 ' 0

3

x y

x





   

10 | P a g e

lim

x

y

  , lim

x

y

  ,

lim ( 1) 0 ; lim ( 1) 0

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận xiên y = x – 1

 Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;1 , 3;  ; hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng    1; 2 , 2;3

Cực trị: Hàm số đạt giá trị cực trị: yCĐ = 1 tại x = 1; yCT = 3 tại x = 3

 Đồ thị

2) Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(2 m; 2 m 2 m); B(2 m; 2 m 2 m) Khoảng cách từ A và B tới d bằng nhau nên ta có phương trình:

11 | P a g e

2

m m





Đối chiếu điều kiện thì m = 2 thoả mãn bài toán

Vậy ycbt  m = 2

Bài 5 Cho hàm số y = x3

– 3mx2 + (m-1)x + 2

1) Chứng minh rằng hàm số có cực trị với mọi giá trị của m

2) Xác định m để hàm số có cực tiểu tại x = 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trong trường hợp đó

Hướng dẫn

1) y’= 3x2 – 6mx + m -1,  ' 3(3m2  m 1) 0 m=> hs luôn có cực trị

2) y’’ = 6x - 6m => hs đạt cực tiểu tại x = 2 '(2) 0 1

''(2) 0

y

m y









Với m =1 => y = x3

-3x + 2 (C)

 TXĐ: D = R

' 3 6 , y' = 0

2

x

y x x

x





=> hs đồng biến trên mỗi khoảng (;0) và (2;), nghịch biến trên khoảng (0 ;2)

 Giới hạn: lim , lim

     

 Điểm uốn: y’’ =6x – 6, y’’ đổi dấu khi x đi qua x = 1 => Điểm uốn U(1; 0)

 Bảng biến thiên

 Đồ thị (C): Đồ thị cắt trục hoành tại điểm (1; 0),1 3;0, trục tung tại điểm (0; 2)

12 | P a g e

f(x)=x^3-3x^2+2

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x y

Đồ thị nhận điểm uốn làm tõm đối xứng

Bài 6 Cho hàm số y = x3

+ ( 1 – 2m)x2 + (2 – m )x + m + 2 (Cm) 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2

2) Tỡm m để đồ thị hàm số (Cm) cú cực trị đồng thời hoành độ cực tiểu nhỏ hơn 1

Hướng dẫn

1) Với m = 2 ta được y = x3 – 3x2 + 4

Bạn đọc cú thế tự làm

1) Hàm số cú cực trị theo yờu cầu đầu bài khi và chỉ khi thỏa món 2 ĐK sau:

y’ =0 cú 2 nghiệm pbiệt x1 < x2  ' 2

4m m 5 0

    m < - 1 hoặc m > 5

4

x1 < x2 < 1 ( Vỡ hệ số của x2 của y’ mang dấu dương )

4 2m

15

m

Kết hợp 2 ĐK trờn ta được… Đỏp số m   ; 1 5 7;

4 5

y f x x  m x m  m 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C ) hàm số với m = 1

2) Tỡm cỏc giỏ trị của m để đồ thị hàm số cú cỏc điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giỏc vuụng cõn

Hướng dẫn

1) Với m = 1

 TXĐ: D = R

13 | P a g e

 Sự biến thiên của hàm số:

  ' 4 4 4  1

' x  y  x3 x x x2

f

1

; 1

; 0 0

' x x x

y

 Giới hạn tại vô cực:  





xlim

 Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 1;0 vµ 1;, nghịch biến trên mỗi khoảng mỗi khoảng ;1 và  0;1

Hàm số đạt cực tiểu tại x1;y CT 0, đạt cực đại tại x0;y CD 1

 Đồ thị

Điểm uốn: y '12x2 4, các điểm uốn là: 

























9

4

; 3

3 ,

9

4

; 3

3

2

U

Giao điểm với các trục toạ độ: A(0; 1), B(-1;0) và C(1; 0)

Hàm số là chẵn trên R nên đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng

8

6

4

2

-2

-4

2) Ta có   3  

2

0

2

x







Hàm số có CĐ, CT khi f’(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt và đổi dấu :

14 | P a g e

m < 2 (1) Toạ độ cỏc điểm cực trị là:

A0;m25m5,B 2m;1m ,C 2m;1m

Do tam giỏc ABC luụn cõn tại A, nờn bài toỏn thoả món khi vuụng tại A:

 2 1 1 0

.AC   m 3  m

Trong đú AB 2m;m24m4,AC  2m;m2 4m4

Vậy giỏ trị cần tỡm của m là m = 1

Bài 8 Cho hàm số y x33(m1)x29xm , với m là tham số thực

1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số đó cho ứng với m1

2) Xỏc định m để hàm số đó cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1 x2 2

Hướng dẫn

1) Với m1 ta có yx3 6x29x1

 Tập xác định: D = R

 Sự biến thiên

Chiều biến thiên: y'3x2 12x93(x2 4x3)













1

3 0

'

x

x

y , y'01 x3

Do đó:

+ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (,1) và (3,)

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng(1,3)

Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x1 và y CD y(1)3; đạt cực tiểu tại x3 và

1 ) 3 ( 

 y

 Giới hạn:  







x

 Bảng biến thiờn

15 | P a g e

 Đồ thị:

Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0,1)

-1

1 2 3

x y

O

2) Ta có y'3x2 6(m1)x9

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2

ph-ơng trình y'0 có hai nghiệm pb là x1, x2

 Pt x2 2(m1)x30 có hai nghiệm phân biệt là x1, x2



































3 1

3 1 0

3 ) 1 (

m

m

Theo định lý Viet ta có x1x2 2(m1); x1x2 3 Khi đó

  4 4 4 1 12 4

2

x

(m1)2 43m1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m là 3m1 3 và 1 3m1

yx  m x  (1) 1) Với m1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số

16 | P a g e

2) Tìm m (m ) để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị lập thành 3 đỉnh của một tam giác vuông

Hướng dẫn

1) m=1 =>yx42x22

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 4 2

yx  x 

 Tập xác định: D

 Sự biến thiên của hàm số

Giới hạn tại vô cựccủa hàm số

lim

x

x

x x y





 

 Lập bảng biến thiên

' 4 4 ; ' 0

1 ( 1) 1

y x x y





Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trêncác khoảng (-1;0) và (1;+ )

Hàm số nghịch biến trêncác khoảng (-;-1) và (0;1)

Hàm số đạt cực đại tại x=0 =>ycđ=2

Hàm số đạt cực tiểu tại x  1 y ct 1

 Đồ thị

Giao của đồ thị hàm số và Ox: y=0=>x

Giao của đồ thị hàm số và Oy: x=0=>y=2

17 | P a g e

Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng

2) Tìm m (m )để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị lập thành 3 đỉnh của một tam giác vuông

yx  m x 

y  x  m x

4

| | ( | |) 2





Mọi m0 đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là A(0;2), B(-|m|;2-m4), C(|m|;2-m4)

18 | P a g e

AB m m AC BC m

A,B,C lập thành 3 đỉnh của một tam giác vuông  ABC vuông tại A

1

m

m







kết hợp m0 được m 1

x 2

  



1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

2) Tìm m để đồ thị (Cm) có cực trị tại các điểm A, B sao cho đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ 0

Hướng dẫn

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (bạn đọc tự làm)

2) Ta có:

2

Đồ thị h/s có 2 cực trị  y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt

 (x  2)2 m = 0 có 2 nghiệm phân biệt  2  m > 0

Gọi A (x1, y1) ; B (x2, y2) là 2 điểm cực trị

y' 0

  



P/trình đường thẳng AB : x (2 m) y (2 m 2 m) (m 0)

 2x  y  2 + m = 0

AB qua gốc O (0, 0)  2 + m = 0  m = 2

Cách khác:

2

y

m y' 1

(x 2)

 



y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt  m > 0

19 | P a g e

Khi m > 0, pt đường thẳng qua 2 cực trị là

/

/

u

v

Do đó, ycbt  m 2 =0 m 2

Bài tập tự luyện

20 | P a g e