Đáp án bài tập tự luyện Sơ đồ tư duy - Cách tiếp cận bài toán cực trị hàm số trùng phương

Hàm số có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểuA. Đồ thị hàm số có điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?. Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu và không có điểm cực đạiA. Tìm tất cả các

ĐÁP ÁN

LỜI GIẢI CHI TIẾT

yx  x  có điểm cực tiểu là

A.x1 B x0 C.x1 và x 1 D.x0 và x1 Giải

Do ab  2 0 nên hàm số có 3 điểm cực trị Mà a 1 0 suy ra hàm số có 2 điểm cực tiểu

' 4 4 4 ( 1)

1

x

x





       là hai điểm cực tiểuĐáp án C

4 2017

yx  x  có bao nhiêu điểm cực trị?

A 0 B 1 C 2 D 3

Giải

Ta có ab 4 0, suy ra hàm số có 1 cực trịĐáp án B

Câu 3 Trong các hàm số sau đây: 4 2

2

1

x y x





 Có bao nhiêu hàm số có điểm cực trị?

A 0 B 1 C 2 D 3

Giải

Hàm trùng phương luôn có cực trị (1 hoặc 3 ), còn hàm phân thức y ax b





 không có cực trị Nên ta chỉ cần xét hàm bậc ba 3 2

yx  x  x

Ta có: 2 2

3 ( 3) 3.2 3 0

b  ac     , suy ra hàm số có hai cực trị (có hai cực trị)

Vậy có 2 hàm số có cực trị đáp án C

SƠ ĐỒ TƯ DUY – CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN

CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG

GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG

Câu 4 Hàm số nào sau đây có ba điểm cực trị?

A 4 2

yx  x  B 4 2

3

y  x x  C 3 2

yx  x  x D 4

y x 

Giải Hàm số bậc ba có số cực trị luôn là 2 hoặc 0loại C Số cực trị của hàm trùng phương quyết định ở dấu ab , bài toán này ta cần ab0 Xét A 4 2 3 2 yx  x  , có ab 3 0 loại A Xét B 4 2 3 y  x x  , có ab  1 0 (thỏa mãn)đáp án B Chú ý : Số cực trị của hàm trùng phương 4 2 yax bx c (a0)  Có 1 cực trị ab0  Có 3 cực trị ab0 Câu 5. Hàm số nào sau đây có ba điểm cực trị?

A 4 2 2 3 y  x x  B 4 y x C 4 2 2 3 yx  x  D 4 2 yx x Giải Hàm trùng phương 4 2 yax bx c có ba cực trị ab0đáp án C Câu 6 Cho hàm số 4 2 3 2 y  x x  Mệnh đề nào dưới đây đúng? A Hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu

B Hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu

C Hàm số có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu

D Hàm số có một điểm cực tiểu và không có điểm cực đại

Giải Ta có ab  3 0 hàm số có 3 cực trịloại C, D Mà a  1 0, suy ra hàm số cóhai điểm cực đại và một điểm cực tiểuđáp án B

yax bx c ( a0)

 có một cực trịab0.

 một cực đại và không có cực tiểu 0

0

a b





  

 một cực tiểu và không có cực đại 0

0

a b





  

 có ba cực trịab0.

0

a b





  

0

a b





  

Câu 7 Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số 4 2

y  x x  có ba điểm cực trị B Hàm số 3

3 4

yx  x có hai điểm cực trị

C Hàm số 1

2

x y x





 có một điểm cực trị D Hàm số

2

2 1

y x

 



 có hai điểm cực trị

Giải

Hàm phân thức không có cực trịloại C

Xét A có ab ( 1).( 2)  2 0, suy ra hàm số có một cực trịloại A

Xét B có 2 2

3 0 3.1.3 9 0

b  ac     , suy ra hàm số không có cực trịloại BĐáp án D

Chú ý : Ở câu hỏi này hàm số

2

2 1

y x

 



2

2

2 2

( 1)

y

x

Câu 8 Khi nói về đồ thị hàm số 4 2

yx  x  , khẳng định nào sau đây đúng?

A Đồ thị hàm số có điểm chung với trục hoành

B Đồ thị hàm số nhận trục hoành làm trục đối xứng

C Đồ thị hàm số có điểm cực đại và không có điểm cực tiểu

D Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu và không có điểm cực đại

Giải

Đồ thị hàm trùng phương yx42x23 luôn nhận trục tung Oy làm trục đối xứngloại B

Phương trình 4 2

x  x   vô nghiệm nên đồ thị không cắt trục hoànhloại A

Ta có 2 0

1 0

ab

a

 





  

 đồ thị hàm số có một điểm cực trị là điểm cực tiểuđáp án D .

Câu 9. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số 4

y m x  m đạt cực đại tại x0

A 1 B 2 C vô số D 5

Giải

Cách 1:

' 4( 1)

'' 12( 1)

+) Điều kiện cần: Hàm số đạt cực đại tại x 0 y'(0)  0 0 0 (luôn đúng)

+) Điều kiện đủ: Ta có y''(0)0, như vậy ta chưa kết luận được x0 là cực đại của hàm số

Để x0 là điểm cực đại của hàm số thì 3

' 4( 1)

y  m x đổi dấu từ “+” sang “” (theo chiều tăng

của biến x ), suy ra: 4(m    1) 0 m 1, nghĩa là có vô số số nguyên m thỏa mãn đáp án C

Cách 2:

Ta có: ab 0 hàm số có tối đa 1 cực trị (nếu a b 0 thì hàm số không có cực trị )

Vậy để x0 là điểm cực đại thỏa mãn điều kiện bài toán thì :

ab

, nghĩa là có vô số số nguyên m thỏa mãn đáp án C

Câu 10.Gọi mm0 là số nguyên nhỏ nhất để hàm số 4 2

( 1) 3

yx  m x  đạt cực tiểu tại x0 Trong các số sau, đâu là giá trị gần m0 nhất?

A 3 B 0 C 5 D 3

Giải

Cách 1: Ta có

3

2

' 4 2( 1) '' 12 2( 1)





+) Điều kiện cần: Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 y'(0)  0 0 0 (luôn đúng)

+) Điều kiện đủ: Ta có y''(0)2(m1) Để thỏa mãn bài toán thì:

 y''(0)0 2(m   1) 0 m 1 (1)

 y''(0)0 và y' đổi dấu từ “” sang “” (theo chiều tăng của biến x ) khi qua x0 (*)

Ta có y''(0)  0 m 1  3

' 4

y  x thỏa mãn (*)m1 (2) Kết hợp (1) và (2) m1minmm0 1 gần 0 nhấtđáp án B

Cách 2: Do hàm số dạng trùng phương và a 1 0, suy ra hàm số :

 Nếu có 1 điểm cực trị thì x0 là điểm cực tiểu

 Nếu có 3 điểm cực trị thì x0 là điểm cực đại

Vậy để thỏa mãn điều kiện bài toán thì hàm số cần có một điểm cực trị

0

minm m 1

   gần 0 nhấtđáp án B

 Chú ý : Ở Cách 1 nếu học sinh sử dụng hệ điều kiện '(0) 0 0 0 1

'(0) 0 2( 1) 0

y

m

Câu 11 Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số 4 2 2

2( 1) 1

yx  m  x  có ba điểm cực trị thỏa mãn giá trị cực tiểu đạt giá trị lớn nhất?

A m1 B m 1 C m0 D m3 Giải

2

1 0

0

a

x

 





m     m    y   y  khi m0đáp án C

Câu 12 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 4 2 2

2

yx  mx m m có đúng một điểm cực trị

A m0 B m0 C m0 D. m0

Giải

Hàm số trùng phương có một điểm cực trị ab 0 2m  0 m 0đáp án A

Câu 13 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 4 2

một điểm cực đại

A m 1 hoặc m0 B 0  m 1 C m 1 D. m 1 hoặc m0 Giải

+) Với m0, hàm số có dạng: 2

2

y  x có một điểm cực đại là x0 (thỏa mãn) (1) +) Với m0

Khi đó, hàm số có 1 cực đại tương đương hàm số có 1 cực đại và không có cực tiểu hoặc hàm số

có 1 cực đại và 2 cực tiểu

0

m



         



(2)

Kết hợp (1) và (2) ta được 1

0

m m

 



 

Câu 14 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 4 2 2

ymx  m  x  có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại

A m  2 hoặc 0 m 2 B  2 m 0

C m 2 D. 0 m 2

Giải

Điều kiện để hàm số có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại là:

0 0 2 0 0 2

m

m



 

Câu 15 Biết rằng đồ thị hàm số 4 2

( )

y f x ax bx c có hai điểm cực trị là A(0;3) và B(2; 13) Giá trị của f(1) là

A f(1) 4 B f(1) 8 C f(1)2 D f(1) 6

Giải

'( ) 4 2

f x  ax  bx Do A(0;3)và B(2; 15) là hai điểm cực trị nên ta có:

(0) 3 3 8 0 1

(1) 1 8 3 4

f

      Đáp án A

Chú ý:

 Như bình thường với một điểm M x y( ;0 0) là điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x( ) ta sẽ “khai

'( ) 0 ( )

f x





tung Oy thì dữ kiện f x'( )0 0 luôn đúng (ở đây x0 0 và f '(0)  0 0 0) Do đó ta chỉ có được 1 phương trình (ở bài toán trên ta có được 1 phương trình là f(0) y0 3)

 Ở bài toán này đề bài cho biết tọa độ 2 điểm cực trị (trong khi thực tế hàm số có tới 3 cực trị) nên việc tìm điểm cực trị thứ ba (nếu cần) là không khó khi ta biết A(0;3)Oy thì suy ra điểm cực trị thứ ba sẽ đối xứng với B(2; 15) qua trục Oy , hay điểm cực trị thứ ba có tọa độ C( 2; 15)  Nhưng với bài toán này, dữ kiện điểm cực trị thứ ba không cần thiết nên ta không khai thác

Câu 16 Biết đồ thị ( )T của hàm số 4 2

yax bx c có A(1; 4) và B(0;3) là các điểm cực trị Hỏi trong các điểm sau đây, đâu là điểm thuộc đồ thị ( )T ?

A M( 2;5) B N( 1; 4)  C P(3; 15) D Q(2; 5)

Giải

'( ) 4 2

f x  ax  bx Do A(1; 4)và B(0;3) là hai điểm cực trị nên ta có:

Chỉ có điểm Q(2; 5) thỏa mãn f(2) 5 Q ( )T Đáp án D

Câu 17. Đồ thị hàm số 4 2

yax bx c chỉ có một cực trị và là cực tiểu khi và chỉ khi

A a0 và b0 B ab0

C a 0 b hoặc a0 và b0 D a 0 b hoặc a0 và b0

Giải

0

a  y bx c, để đồ thị có một cực tiểu  b 0

+) Với a0, để đồ thị có một cực trị và là điểm cực tiểu thì 0 0



Vậy điều kiện đầy đủ thỏa mãn bài toán là: a 0 b hoặc a0 và b0Đáp án C

Câu 18. Tất cả các giá trị của m để hàm số 2 4 2

y m  x  m x  có đúng một cực trị là

A m 1 B m 1 C m1 và m 1 D m 1 và m1

Giải

Hàm số có đúng một cực trị khi và chỉ khi

2 2

( 1) ( 1) 0

( 1) ( 1) 1 0

0 ( 1) ( 1) 0

đáp án D

 Chú ý : Trong bài toán này, có thể rất nhiều bạn sẽ mắc phải lỗi không cho điều kiện 2 2

0

a b      a b y c sẽ không có cực trị

yax bx c với a chứa tham số

 không có cực trị   a b 0

 có một cực đại và không có cực tiểu 0

0

a b





  

0 0

a b





 

0 0 0

a b

 

 



  



)

 có một cực tiểu và không có cực đại 0

0

a b





  

0 0

a b





 

0 0 0

a b

 

 



  



)

 có một cực đại 

0 0 0

a b

 

 



  



0

a b





 

 có một cực tiểu

0 0 0

a b

 

 



  



0

a b





 

 có một cực trị 2 02

0

ab





 

 có hai cực đại và một cực tiểu 0

0

a b





  

 có hai cực tiểu và một cực đại 0

0

a b





  

 có ba cực trịab0.

Câu 19 (Đề Minh Họa – Bộ GD&ĐT) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị

của hàm số 4 2

yx  mx  có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân

A 31

9

m  B m 1 C

3

1 9

m D. m1

Giải

Cách 1: (Sử dụng công thức giải nhanh)

Áp dụng công thức giải nhanh cho tam giác vuông cân:

3  3

8a b    m   m  m  đáp án B

Cách 2: (Giải thường)





    

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị thì y'0 có 3 nghiệm phân biệt    m 0 m 0loại C, D

Cách 2.1: (Chiều xuôi)

2

1

  



Suy ra  2

;

;

AC   m m Do AB AC nên ABC vuông tại A

1

m m

m







Cách 2.2: ( Chiều ngược)

Thử giá trị “đẹp” từ phương án B với m 1, hàm số có dạng: 4 2

yx  x 

1 0 ( 1;0), (1;0)

  

2

AB AC



 



 ABCvuông cân tại A (thỏa mãn)đáp án B

Câu 20 Biết mm0 là số thực dương để đồ thị hàm số 4 2 2

yx  m x  có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân Khi đó, giá trị nào sau đây gần m0 nhất?

A 0 B 3

2 C 3 D. 2 Giải

Áp dụng công thức giải nhanh cho tam giác vuông cân:

2

0

2

8ab     m   m      m m m  m gần 0 nhấtđáp án A

Câu 21 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 4 2

( 2015) 1

y  x m x  có

ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông

A m2018 B m2016 C m2015 D. m2017 Giải

Áp dụng công thức giải nhanh cho tam giác vuông cân (tam giác luôn cân):

3  3

Câu 22 Cho hàm số 4 2 2

yx  m x m  m Giá trị của m để đồ thị của hàm số đã cho có

các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân thuộc khoảng nào sau đây?

A 1;1

3

 

  B

2 6

;

3 7

  C

2 5

;

3 4

  D.

3 7

;

2 3

  Giải

Áp dụng công thức giải nhanh cho tam giác vuông cân (tam giác luôn cân):

3

0

4

 

 đáp án C

Câu 23 (Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ

thị của hàm số 4 2

yx  mx  m có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều Ta có kết quả:

A m0 B 3

3

m C m3 D. m0 Giải

Áp dụng công thức giải nhanh cho tam giác đều:

24a b 0   m    m  m   3 m đáp án B

2

y mx  mx m Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm

số đã cho có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều

A 3 B 1 C 2 D. vô số

Giải

Xét m0 hàm số có dạng y0 không có cực trị (loại)

Xét m0, khi đó áp dụng công thức giải nhanh cho tam giác đều:

24a b 0  m m  0 8m m  3  0 m m  3

, suy ra có 2 giá trị m

đáp án C

Câu 25 Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số 4 2

y m x x  m có ba điểm cực trị

tạo thành tam giác ABC thỏa mãn A thuộc trục tung và cos 7

9

A m0 B m 1 C m 2 D. m 1 Giải

Ta có: 2

7 1

cos

2

1

2 cos 2

BAC

BAC

Khi đó áp dụng công thức giải nhanh cho tam giác có góc BAC cho trước:

3 2

8(2

B

a b A C   m     m đáp án B

Câu 26 Cho hàm số 4 2 2

yx  mx m  m Với giá trị nào của tham số thực m thì đồ thị hàm

số đã cho có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 32

A m3 B m1 C m 4 D. m4

Giải

Áp dụng công thức giải nhanh cho tam giác có diện tích cho trước S0 (S0 32)

0

32a S b 032.1.32  2m  0 (2 )m 32 8 2m 8 m4đáp án D

y x  mx  m Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho có

ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 3

A m 3 B m3 C m4 D. m 4

Giải

Áp dụng công thức giải nhanh cho tam giác có diện tích cho trước S0 (S0 3)

3 a S b 0   m   m   m 6 m3đáp án B

Câu 28 Cho hàm số 4 2

yx  mx  m Với giá trị nào của tham số thực m thì đồ thị hàm

số đã cho có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 4 2

A m 3 B m 2 C m 4 D. m 1

Giải

Áp dụng công thức giải nhanh cho tam giác có diện tích cho trước S0 (S0 4 2)

0

32a S b 0  m   m    m    m đáp án B

Câu 29 (THPTQG – 103– 2017 ) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

2

yx  mx có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1

A m0 B m1 C 3

0 m 4 D 0 m 1 Giải

Áp dụng công thức giải nhanh cho tam giác có diện tích cho trước S0 với 0S01 (*) Ta có:

5

3 2

5 5

0

2

a



Câu 30 Tính khoảng cách giữa các điểm cực tiểu của hàm số 4 2

A 4

2 3 B 4

3 C 3 D 2 3

Giải

Cách 1 (dùng công thức giải nhanh)

Cách 1.1: Áp dụng công thức giải nhanh về khoảng cách m0 của hai điểm cực tiểu là

2 2   2

0

4

am  b         đáp án B

Cách 1.2:

Cách 2

Ta có 3

' 8 2 3

4

0

x









Suy ra hai điểm cực tiểu

4

Câu 31. Giá trị của tham số m bằng bao nhiêu để đồ thị hàm số 4 2

yx  mx  m có ba điểm cực trị A(0;1), ,B C thỏa mãn BC4 ?

A m 2 B m2 C m4 D m1

Giải

Áp dụng công thức giải nhanh về khoảng cách m0 BC4 của hai điểm cực tiểu ( hoặc hai điểm cực đại): 2 2

am  b    m  m đáp án C.

Câu 32. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 4 2 2

có ba điểm cực trị sao cho khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu bằng 3?

A 3

2

m  B 1

2

m  C 1

2

m D 3

2

m

Giải

Áp dụng công thức giải nhanh về khoảng cách m0 BC 3 của hai điểm cực tiểu ( hoặc hai điểm cực đại):

0

2

m

Câu 33. Tìm m để đồ thị hàm số 4 2 2

yx  m  m x  m có một điểm cực đại, hai điểm cực tiểu và thỏa mãn khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất

A 1

2

m  B 3

2

m  C 3

2

m D 1

2

m

Giải