GIỚI HẠN HÀM SỐI... Phương pháp: Rút x với k là số mũ cao nhất của ktử và mẫu.. Nếu gặp dạng 0.¥ thì ta nhân và chia với biểu thức liên hợp của biểu thức chứa căn tiến về 0.
Trang 1§2 GIỚI HẠN HÀM SỐ
I Các giới hạn đặc biệt của hàm số
1) lim k
;
lim
k
x
x
®- ¥
ìï +¥ = ï
= íï - ¥ = +
ïî 2) lim
;
lim k 0
x
c x
; 0
1 lim
x® - x= - ¥
3) 0
1
lim
x® +x
= +¥
x® - x x® + x
4) 0
lim ( )
x x f x L
lim ( ) lim ( )
Định lý 1:
Nếu 0
x x f x L
và 0
lim ( )
x x g x
thì:
0
lim ( ) ( )
x x f x g x
nếu L và 0
lim ( )
x x g x
® cùng dấu
0
lim ( ) ( )
x x f x g x
nếu L và 0
lim ( )
x x g x
® trái dấu
Định lý 2:
Nếu 0
x x f x L
thì:
0
( )
( )
x x
f x
g x
nếu 0
lim ( )
x x g x
0
( )
lim
( )
x x
f x
g x
nếu 0
lim ( ) 0
x x g x
và ( )L g x >0
0
( )
lim
( )
x x
f x
g x
nếu 0
lim ( ) 0
x x g x
và ( )L g x <0
II Phương pháp giải toán
Vấn đề 1: Hàm số đã cho xác định thay số vào ra
ngay kết quả
Áp dụng 1: Tính các giới hạn sau:
1)
2 3
lim(3 4 )
-2)
2 5 1
1 lim
x
x
®
+ + +
4)
2
4
1
(2 1)
lim
1
x
®
2 2 3
9 lim
(2 1)( 3)
x
®
6)
2
3
2
2
1 lim
2
x
®
+
Vấn đề 2: Tìm giới hạn dạng
0 0
Phương pháp: Nếu 0
( ) lim ( )
x x
A x
B x
®
có dạng
0
0 ta thường viết dưới dạng:
0 0
( ) ( )
x x C x
-và tìm 0
( ) lim ( )
x x
C x
D x
®
bằng các công thức giới hạn
Áp dụng 2: Tính
1)
2 1
lim
1
x
x
2 2 1
lim
2
x
®
+ -3)
4 3 1
1 lim
x
x
®
Áp dụng 3: Tính các giới hạn sau:
1) 0
1 1 lim
2
x
x x
®
+
-2) 0
4 lim
x
x x
-3) 03
1 1 lim
1 1
x
x x
®
+
2 2 3
6 lim
3
x
+
5) 0
lim
3
x
x
®
-6)
3 0
lim
x
x
®
Áp dụng 4: Tính
1)
2
lim
2
x
®
3 1
lim
1
x
x
®
-3)
5 3 1
1 lim
x
x
®
4) 1
1
1
m n x
x
+
®
-Áp dụng 5: Tính
1) 1
1 lim
x
x
®
2)
2
lim
x
®
Vấn đề 3: Dạng
¥
¥ (khi x ® ±¥ )
Trang 2Phương pháp: Rút x với k là số mũ cao nhất của k
tử và mẫu
Áp dụng 6: Tính các giới hạn sau:
1)
4
( 1) (7 2)
lim
(2 1)
x
x
®±¥
+
2)
1 2
lim
2
x
x
®+¥
-+
3)
2
2
lim
x
®±¥
4)
lim
3
x
x
®±¥
+
Áp dụng 7: Tính các giới hạn sau:
1)
2
3
(3 1)(5 3)
lim
(2 1)( 1)
x
®±¥
2)
2
2
lim
x
®±¥
3)
2
lim
3
x
x
®±¥
-+
4)
lim
x
x x
®+¥
Áp dụng 8: Tính các giới hạn sau:
( 1)( 2)( 3)( 4)
lim
(3 1)
x
x
®±¥
-2)
3
2
lim
2
x
®- ¥
-
-+ -+
3)
lim
x
x
®+¥
+
Vấn đề 4: Dạng 0 ,¥ ¥ - ¥ (khi x ® ±¥ )
Phương pháp: Nếu ( )f x là biểu thức chứa x dưới
dấu căn, ta rút x với k là số mũ cao nhất của tử và k
mẫu
Nếu gặp dạng 0.¥ thì ta nhân và chia với biểu thức
liên hợp của biểu thức chứa căn tiến về 0
Ghi chú:
+
2
a b
a b
a b
;
a b
+
2
a b
a b
a b
;
a b
3 3
a b
a b
3 3
a b
a b
Áp dụng 9: Tính các giới hạn sau:
2)
2 2
lim
x
®±¥
3)
2
®- ¥
4)
2
5)
®±¥
6)
2
®±¥
7)
3
®+¥
Áp dụng 10: Tính
1)
2
lim
x
x x
®±¥
lim
ç
Vấn đề 5: Giới hạn một bên của hàm số.
Áp dụng 11: Tính
1) 2
lim
2
x
x x
+
®
+
-2) 2 2
lim
x
x
®
lim
x® x x
Trang 34) 2 2
lim
ç
2 ( 1)
1
x
x x
x
+
®
-+
HD:
3 2
1
0 1
x x
x
+
®
-Vấn đề 6: Giới hạn 0
( ) lim ( )
x x
u x
v x
®
trong đó ( )u x hoặc
( )
v x chứa các căn thức không có cùng chỉ số.
Áp dụng 12: Tính các giới hạn sau:
1)
3 0
lim
x
x
®
-2)
2 1
lim
x
®
3)
3
2 1
lim
1
x
x
®
-4)
2 1
lim
x
®
Áp dụng 12: Tính các giới hạn sau:
1)
2 3
1
lim
1
®
-x
x
2)
3
0
lim
x
x
®
3)
3 2 0
lim
x
x
®
4)
3
2 1
lim
( 1)
x
x
®
-III Luyện tập
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
1)
2
2
3
9 lim
x
®
2)
2
3 2
lim
8
x
x
®
-3)
3
2 3
3 3 lim
3
x
x
x
®-+
-4)
1
lim
x
-Bài 2: Tính các giới hạn:
1) 2 2
lim
2 4
lim
Bài 3: Tính
lim
ç
lim
3)
2
lim
x
-®
-Bài 4: Tính các giới hạn sau:
1) lim m m
x a
x a
®
x a
®
-3) 0
x
ax x
®
-Bài 5: Tính các giới hạn sau:
1)
1 1
lim
1
x
x
-®
1 lim
( 1)
n
x
x
®
-Bài 6: Tính các giới hạn sau:
1)
2 2
lim
1
x
x
®+¥
2 3
lim
x
®- ¥
+ + +
4)
2 3
( 1) (7 2) lim
(2 1)
x
x
®+¥
+
4)
lim
x
®+¥
-Bài 7: Tính các giới hạn sau:
1)
2 2
lim
x
®+¥
-2)
lim
x
®- ¥
+
Trang 43)
(2 1)( 3)
lim
x
®- ¥
+
-Bài 8: Tìm các giới hạn bên trái, giới hạn bên phải
và giới hạn (nếu có) của hàm số tại x0
trong mỗi trường hợp sau:
1)
2
2 2
ìï - +
ïï
2)
2
( )
x
f x
x
ï
= íï - +
ïî
với x =0 2
Bài 9: Tính các giới hạn sau:
1) 3
lim
3
x
x
x
®
+
-2)
2
1
4 2 lim
1
x
x
®+ ®+
-+
3)
2 0
lim
2
x
®
-4) 0
lim
x
x
x
2 lim
x
x x
x
®
+ -
-6)
3
0
8 2
lim
x
x
x
®
+
-7)
3 2
1
lim
x
®
-8)
3 3
2
1
lim
1
x
x
®
-9) 83
9 2
lim
x
x x
®
+
-10)
4
2
3
4 1 lim
x
x
®+
-Bài 10: Tính các giới hạn sau:
1)
5 0
lim
x
x
®
-2)
3 2 0
lim
x
x
®
3)
3 2 0
lim
x
x
®
4)
3
3 0
lim
x
x
®
Bài 11: Tính các giới hạn sau:
1)
2
lim
4 3
x
x
®+¥
-2)
2
4 3
1 lim
x
®+¥
+ + +
-3)
2
lim
4
x
®- ¥
+
5 lim ( 5)
4 2
x
x x
x x
®- ¥
-+
-5)
3
lim
x
®+¥
+
Bài 12: Tính các giới hạn sau:
1)
2
®+¥
2)
2
®+¥
-4)
®- ¥
5)
2
®- ¥
6)
2
7)
®+¥
8)
3
®+¥
Trang 59)
3
®+¥
10)
®+¥
11)
®+¥
13)
3
®+¥
Bài 13: Tính các giới hạn sau:
1) 2 2
2 lim
x
x
-®
1 lim
x
x x
x
+
®
-3) 1
1
lim
1
x
x
x
+
®
4)
0
lim
2
x
x
+
®
+
5)
3
2
1
lim
x
-®
2 1
2 lim
1
x
x
+
®
+ -7)
2
2
lim
2
x
x
8) lim (2 2) 2
4
x
x x
x
9) lim (33 ) 2
9
x
x x
x
10) 3
lim
3
x
x x
Bài 14: Tính các giới hạn sau:
1)
3 0
1 2 1 2 1
lim
x
x
®
-2) 0 2
1 cos
lim
sin
x
x x
®
-3) 0
cos3 cos
lim
cos5 cos
x
®
-4) 0
cos( ) cos( )
lim
sin
x
x
®