Huong dan giai 03

chiếu của A� trên mặt phẳng ABC... Tam giác C MB� vuông thì vuông tại M,Thể tích của khối lăng trụ V a sin.. Gọi H là hình chiếu của A� trên mặt phẳng ABC.. Từ điểm H hạ HI,HJ ,HK lần lư

5 Hạ I H  AC H �AC �I H ABC I H; là đường cao của tứ diện

Gọi H là trung điểm BC

Theo bài ra ta có A H �  ( ABC ) và

� Tính góc giữa hai đường

HB �  A B ��  A H �  a Suy ra tam giác B BH � cân tại ' B

Do đó   � B BH � là góc giữa hai đường thẳng AA� và B C ��

2 Gọi H là trung điểm cạnh BC� A H' (ABC)

Tam giác vuông A HA' :

chiếu của A� trên mặt phẳng (ABC) Góc giữa mặt phẳng (ABB A )��

Xét tam giác C AB� có C A CB�  x2a ,AB a2 

B'

M

Tam giác C MB� vuông thì vuông tại M,

Thể tích của khối lăng trụ V a sin cos  3  

4 Gọi H là hình chiếu của A�

trên mặt phẳng (ABC) Từ điểm

H hạ HI,HJ ,HK lần lượt vuông

góc với các cạnh BC,CA,AB

Do các mặt phẳng

(A AB),(A BC),(A CA)� � � nghiêng

đều trên đáy một góc , do đó ta có

asin 2 tan V A H.S 2.a sin 2 tan .

Vì tam giác ABC vuông tại A nên BA (BB C C),�� do đó hạ CK AC� thì

CK (ABC )��CK b.Dễ thấy góc giữa hai mặt phẳng (C AB)� và (ABC)là

B'

A'

C'

J K

I

1 Gọi O là giao của hai đường chéo AC và BD, ta có

AC  B OB � B OB 

Gọi H là hình chiếu của B

lên B’O, suy ra

1 Từ giả thiết ta tính được BD a A B, �a 2,A D� a 3 nên

tam giác A BD� A BD� vuông

tại B

Vì AB  AD  AA� nên hình

chiếu của A lên mặt phẳng

(A BD� ) trùng với tâm H của

đường tròn ngoại tiếp tam

giác A BD� (do tam giác đó

vuông nên H là trung điểm



Diện tích đáy SABCD2SABD AB.AD.sin a sin 2 

Vậy thể tích của khối hộp thoi là

Vì vậy

3

2 AMN

2 và B’O AC Trong tam giác vuông B’OA, 

 AO x 2sin 2sin2

B’A

2

Trong tam giác vuông B’BA,

1 Sử dụng phương pháp véc tơ, từ điều kiện

BM AC� ta tính được chiều cao của lăng trụ là

AJI ABC' AJ , AJI BCC'B' IJ

.

Lại có tam giác AIJ vuông tại I nên �AJI nhọn do đó AJ J,I  �AJI .b) Tính VABC.A ’B’C’.

Tam giác ABC là tam giác đều nên I là trung điểm của BC

Trong tam giác vuông AIJ

a 3cot

suy ra

3 2

3CC’ BC.cot cot30 2a.Thể tích của khối lăng trụ ABC.A ’B’C’:

 ABC 1 1 2a 3 2a 33

V S CC' AI.BC.CC' a .2a

Ta có BA AC,BA AA� nên BA (AA C C),�� do

đó AC� là hình chiếu của BC� trên mặt phẳng

K

M H

Trong tam giác vuông C AB� ta có AC�AB.cot atan cot   Do đó

2 Vì AB AC a  nên tam giác

ABC vuông cân tại A, diện tích đáy

của lăng trụ là S SABC 1a 2

2

Qua A dựng đường thẳng AM //BA�

cắt đường thẳng B A�� tại M Khi

đó góc giữa hai đường thẳng AC� và

A B� là góc giữa hai đường thẳng

a



O B

ABB'A ' BCC'B' BB'

AHE BB'

AHE ABB'A ' AE , AHE BCC'B' HE

ABB'A ' , BCC'B' AE,HE

Mặt khác tam giác AHE vuông tại H (do AH HE ) nên �AEH là góc nhọn

Do đó  ABB'A ' , BCC'B'   AE,HE �AEH 

AB BH

2aBC

2

Trong tam giác vuông AHE: HE AH.cot  a 3cot

Tứ giác ABB’A ’ là hình thoi � BB' AB a 

Gọi O là hình chiếu vuông góc của B’ lên BC thì B’O  ABC  (chứng minh tương tự như chứng minh AHBCC’B’).

Hai tam giác vuông BEH và BOB’ có chung góc nhọn B nên chúng đồng dạng

2

a 3cot

a).Tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy

Gọi  O ACI BD.Theo giả thiết ta có B’OABCD

� B'B, ABCD B'B,BO B'BO

Tam giác ABD có AB AD a  , �BAD 60 0�ABD là tam giác đều



�OB a

Trong tam giác vuông B’OB: �    ��  0

a 3BAD a sin60

S AB.AD.sin

2 .Trong tam giác vuông B’OB: B’O BB’sin 60 0a 3

2Suy ra V3a3

Gọi M� là trung điểm của A B �� Vì tam giác

A B C��� đều và lăng trụ đứng nên ta có

C M A B ,C M BB C M (ABB A ),

nên BM� là hình chiếu của BC� lên mặt phẳng

�

Xét tam giác vuông BCM ,� ta có BC C M a 3 .

Hình lăng trụ tồn tại khi và chỉ khi tồn tại CC ,� hay 3 4sin 2 0

Vì  �(0;90 )0 nên điều kiện trở thành 3 0

S S 2S a.a.sinBAD a sin Vì ABCD là hình thoi nên

AC BD. Mà lăng trụ là lăng trụ đứng nên ACBB ,�do đó

AC (BB DD ) � ��AC BD (1). �

Theo giả thiết AB�BD (2),� nên từ (1) và (2) ta có BD�(AB C).�

Gọi O là giao điểm của AC và

BD,H là giao điểm của OB� và

O H

s BD

Từ giả thiết suy ra hình chóp A ABD'

có các mặt bên hợp đáy góc 600 Nên

H là cách đều các cạnh của ABD

TH 1 : Nếu H nằm trong ABD thì H là tâm đường tròn nội tiếp ABD.

Góc giữa mặt bên ABB A' ' và đáy bằng �A J H'  600.

Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp ABD thì:

BAD của ABD.

Gọi r a là bán kính đường tròn bàng tiếp ABD tương ứng thì :

0

ABD a

Đặt độ dài cạnh của tam giác ABC là x x 0  

Tam giác BCC’ vuông tại B cho CC'2BC'2BC25a2x2

3

a 45

2 2

Ta có AB  ACC A' ' �CAC� ' là góc giữa

hai mặt phẳng ABC' và ABC

b) Khi

3 2

I O B

Gọi I là trung điểm của AB và H là hình chiếu vuông góc của I lên CC’

Vì tam giác ABC là tam giác đều , O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giácABC nên CO AB tại I và OI1OC

Vi  ACC’A ’ , BC ’B’  C   2 nên �AHB 2 hay AHB  �    2

IH cắt hai đường thẳng AB và CC’ đồng thời vuông góc với hai đường thẳng này nên IH là đoạn vuông góc chung của AB cả CC’, suy ra IH d

Tam giác AHB có HI là đường trung tuyến và cũng là đường cao nên tam giácAHB cân tại H, suy ra �IHA 1�AHB

Gọi a là độ dài cạnh của tam giác đều ABC

Trường hợp 1 �AHB 2 

Trong tam giác vuông AIH, AI IH tan dtan�a 2dtan 

Trong tam giác vuông IHC

Thể tích của khối lăng trụ ABC.A ’B’C’

Gọi I’ là trung điểm của B’C’, vì CI C'I 'uur uuur nên tứ giác CII’C’ là hình bình hành Qua I’ dựng đường thẳng song song với C’O cắt đường thẳng CI tại K  ,ta có tứgiác C’OKI’ là hình chữ nhật

C'IC ABC CK , C'IC ABB'A ' II '

ABB'A ' , ABC CK ,II '

0 3'cos30

2

a

thấy tam giác ABC vuông tạiB , '

suy ra AB  AC'sin asin

D' A'

H

a 1 cos( )cos( ) 2cos cos cos( )

a 1 cos( )(cos( ) 2cos cos )

� Dấu đẳng thức xảy ra khi    45 0

Vậy, giá trị lớn nhất của V là 3a3

4 đạt được khi

0

45

   

3 Vì hình chiếu của AC� lên (ABCD)

là AC, lên mặt bên (BCC B )�� là

vuông khi và chỉ khi A C�22BC ,2

Hayd22d (cos2 2 sin2)�2(cos2 sin ) 1 (1)2 

Thể tích của khối hộp chữ nhật là V AB.AD.AA�

Suy raV d sin sin cos 3   2 sin (2)2

CIC' ABC CI , CIC' ABC' C'I

ABC , ABC' CI,C'I C'IC

Đặt độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ ABC.A ’B’C’ là x x 0  

CI là đường cao trong tam giác đều ABC nên CIx 3

2 .Tam giác C’CI vuông tại C  cho

O C

Gọi �A 'AC  , BAC'�  , DAC'�  

Trong các tam giác vuông A ’AC (vuông tại A ’) , ABC’ (vuông tại B) , C’DA(vuông tại D) ,ta có

AC' d

AD bcos cosDAC'

�cos2 cos2 cos2 1

Chứng minh sin2 1 sin2 1 sin2 1 1

Góc giữa đường chéo AC’ với các mặt phẳng ABCD , ABB’A ’ , ADD’A ’     (ba mặt phẳng cùng xuất phát từ đỉnh A) lần lượt là

�C'AC1, C'AB'�  1, C'AD'�  1

Trong các tam giác vuông C’CA (vuông tại C) , C’B’A (vuông tại B’) , C’D’A(vuông tại D’) ta có

 1 CC'c  1 C'B' b  1 C'D' a