04 huong dan giai

Vì không cần xem xét thứ tự của hai điểm M với N nên ta chỉ cần xét trường hợp MN vuuuur r=.. Xét phép tịnh tiến Tvr... Vì đây là một hàm số lẻ nên đồ thị C của nó nhận gốc toạ độ I là

Dạng 1: Chứng minh đồ thị có trục đối xứng

Bài 1: Ta có v (3;4)r = là một véctơ chỉ phương của d m

Vì M ,N thuộc d nên MN k.vm uuuur= r Mặt khác, MN 5= nên k= ±1 Nếu k= −1 thì MNuuuur= − ⇔vr NM vuuuur=r Vì không cần xem xét thứ tự của hai điểm M với N

nên ta chỉ cần xét trường hợp MN vuuuur r= .

Xét phép tịnh tiến Tvr Gọi (C') T (C)= vr thì (C') :

y 4 (x 3)− = − −3(x 3) 3− + ⇔ =y − + 4x−11

Vì M (C)∈ nên N T (M) T (C) (C')= vr ∈ vr = Do đó, N là giao điểm của (C) và (C')

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C') là

2

x −3x+3= − + −11 Phương trình này có hai nghiệm là x 2

3

7

x

3

=

* Khi x 2

3

= ta được N 2 35;

3 27

  Vì N d∈ m nên

11 m 27

* Khi x 7

3

= ta được N 7 235;

3 27

  Vì N d∈ m nên

151 m 27

Kiểm tra ta thấy m 11

27

27

= thì d cắt (C) tại ba điểm phân biệt.m

Bài 2: Vì MN song song với trục hoành nên MN k.i (k;0)uuuur= r= , với i (1;0)r= là véctơ đơn vị của trục hoành Khi này ta có MN= k

Xét phép tịnh tiến theo véctơ v (k;0)r =

Gọi (C ) là ảnh của (C) qua k Tvr thì (C ): y (x k)k = − 3−3(x k) 3− +

Vì N T (M) T (C) (C )= vr ∈ vr = k nên N là giao điểm của (C) và (C ) k

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C ) là k 3x2−3k.x k+ 2− =3 0 Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi ∆ = −3k2+36 0≥ ⇔ k ≤2 3 Khi k 2 3= thì (C) và (C ) có duy nhất một điểm chung là k N( )3;3

Khi k= −2 3 thì (C) và (C ) có duy nhất một điểm chung là k N(− 3;3) Vậy MN= k lớn nhất khi và chỉ khi k= ±2 3

Vậy, hai điểm cần tìm là N( )3;3 và M(− 3;3) hoặc N(− 3;3) và M( )3;3

Bài 3: Giả sử đường thẳng x x= 0 là trục đối xứng của đồ thị ( )C , gọi

I x ;0

Chuyển : ( )→( )=  = = +



uur

y Y Phương trình của ( )C trong hệ tọa độ mới là :

Y= x x+ −4 x x+ +7 x x+ −6 x x+ +4

Để hàm số là chẵn thì các hệ số của ẩn bậc lẻ và số hạng tự do bằng

không :





0

Chứng tỏ đồ thị hàm số có trục đối xứng , phương trình của trục đối xứng

là : x 1=

Bài 4: Giả sử đường thẳng x x= 0 là trục đối xứng của đồ thị ( )C , gọi

I x ;0

Chuyển : ( )→( )=  = = +



uur

y Y Phương trình của ( )C trong hệ tọa độ mới là :

Để là hàm số chẵn thì :  ( + =)  = −

⇒



m 4

Dạng 2: Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng

Bài 1:

1 Hàm số viết lại : = −

+

1

y 1

x 1 Giả sử ( )C có tâm đối xứng là I x ;y( 0 0)

Chuyển : ( )→( )=  = = ++



uur

0

Phương trình ( )C trong hệ mới là :

Để hàm số là lẻ :  − = ⇒ = − ⇔ −( )

I 1;1

2 Hàm số viết lại : = + +

−

1

y x 1

x 1

Giả sử ( )C có tâm đối xứng là I x ;y( 0 0)

Chuyển : ( )→( )=  = = ++



uur

0

Phương trình ( )C trong hệ mới là :

Để hàm số là lẻ :  + − = ⇒ = ⇔ ( )

I 1;2

Chứng tỏ đồ thị hàm số có tâm đối xứng I 1;2 ( )

Bài 2:

1 Ta có y' 3x= 2−6x , y'' 6x 6 = − y'' 0= ⇔ =x 1

Hoành độ điểm I thuộc ( )C là x 1,y 1= ( )= −1.Vậy I 1; 1( − ∈) ( )C

2 Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tuyến theo vectơ OIuur là

x X 1

y Y 1

 = +

 = −

 Phương trình của ( )C đối với hệ tọa độ IXY là :

Y 1− = X 1+ −3 X 1+ + ⇔ =1 Y X −3X

Vì đây là một hàm số lẻ nên đồ thị ( )C của nó nhận gốc toạ độ I làm tâm đối xứng

3 y' 3x= 2−6x⇒y' 1( )= −3 Phương trình tiếp tuyến của đường cong ( )C tại điểm I đối với hệ tọa độ Oxy :

y y' 1 x 1= − +y 1 = −3 x 1 1− − ⇔ =y g x = − +3x 2

h x =f x −g x = x −3x + − − +1 3x 2 = x 1− trên ¡ Dễ thấy

( )

( )

 < <



 > >

 Điều này chứng tỏ trên khoảng (−∞;1) đường cong ( )C nằm phía dưới tiếp tuyến tại điểm I của ( )C và trên khoảng (1;+∞) đường cong

( )C nằm phía trên tiếp tuyến đó

Bài 3: Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ¡

Ta có : y' 3x= 2−2 m 3 x 2 3m( + ) + + và y'' 6x 2 m 3= − ( + )

Đồ thị của hàm số có cực trị và điểm I nằm trên trục

( )

' , y xu

0 Ox

∆ >



⇔ 

=



2



⇔  +  − +  +  + +  + − =



2

m 0,m 3,m

2

 − + >



Dạng 3: Tìm tham số m để đồ thị có tâm đối

xứng

Bài 1:

1 Ta có : y' 3x= 2−6x 3m, y'' 6x 6+ = − và y'' 0= ⇔6x 6 0− = ⇔ =x 1

I 1;6m 2

Để đồ thị có tâm đối xứng I thì :  = ⇒ =



1 1

m 0 6m 2 2

Vậy với m 0= , đồ thị có tâm đối xứng I

2 Gọi J là giao hai tiệm cận , thì J 2;m 4( + ) Để đồ thị có tâm đối xứng I thì ta buộc J trùng với I , nghĩa là ta có hệ :  = ⇒ = −

 + =



2 2

m 4 1 Vậy với m= −3 , đồ thị có tâm đối xứng I

Bài 2: Ta có : y'= −3x2+6mx⇒y''= −6x+6m

m

Để đồ thị có tâm đối xứng I thì

2

5 5

=



Vậy với m= ±1 , đồ thị có tâm đối xứng I

Bài 3:

1 Với m 2= ⇒(C ):y x2 = 3−5x2+6x 3+

Gọi A(a;a3−5a2+6a 3), B(b;b+ 3−5b2+6b 3)+ là hai điểm thuộc (C) và đối

3 a

5

 = −

 = −

=

Vậy hai điểm thuộc (C) đối xứng nhau qua O là :

3 33 3

5 5 5

3 33 3

2 Gọi M(x ;y ), N(x ;y ) là hai điểm thuộc (C)1 1 2 2

M ,N đối xứng nhau qua

1 2



⇔ = −

 =

1 2

2 1



⇔ = −

 + = ∗



Yêu cầu bài toán ⇔ ∗( ) có hai nghiệm phân biệt ⇔ −2m 0> ⇔m 0<

Vậy m 0< là những giá trị cần tìm

Dạng 4: Lập phương trình đường cong đối xứng với một đường cong qua một điểm hoặc qua một

đường thẳng.

Bài 1:

1 Gọi một điểm bất kỳ A x;x 1 1 ( ) (C ,B x';y') ( )C'

x 2

Khi A chạy trên ( )C qua điểm I , thì B chạy trên ( )C' , cho nên nếu ( )C' đối xứng với ( )C qua I thì A và B đối xứng nhau qua I





I

I

Vậy, ( )C' có phương trình : y x 5 1

x

= + −

2 Gọi một điểm bất kỳ ( ) ( ) x4 2 5 ( ) ( )

Khi A chạy trên ( )C qua điểm I , thì B chạy trên ( )C' , cho nên nếu ( )C' đối xứng với ( )C qua I thì A và B đối xứng nhau qua I

 = −



x'

Vậy, ( )C' có phương trình : = −x4+ 2+3

Bài 2:

1 Gọi A x;y thuộc ( ) ( )C và B x';y' thuộc ( ) ( )C'

Nếu ( )C' đối xứng với ( )C qua d , thì A và B đối xứng nhau qua d

( )



AB d

y y' 1

1

Từ phương trình hàm số :

2 ( )C' : = − −

−

4

y 1 x

x 2

3 Gọi A x;y thuộc ( ) ( )C và B x';y' thuộc ( ) ( )C' đồng thời đối xứng với A

qua Ox Khi đó : x x'= và y= −y'

Do A thuộc ( )C : − = −y' 2x' 4 x'( + ) ⇔y'= − −2x' 4 x' ( + ) ( )∗

Phương trình ( )∗ chính là phương trình của ( )C' : y= −2x 4 x( + )

Nếu ( )C cắt ( )C' thì phương trình hoành dộ điểm chung :

x 4

 ≤

= − − +

Vậy, ( )C cắt ( )C' bằng E-Líp : ( − )

1

Bài 3:

1 ( )C’ T ((C))= uur

Gọi M’ (x’;y’) là ảnh của điểm M(x;y) qua phép tịnh tiến vectơ u (1;2)ur= ,ta

có

MM ' u

uuuuur ur

M (C)∈ ⇔ =y x −3x 1+ ⇔ − =y' 2 (x' 1)− −3(x' 1) 1− +

Vậy phương trình của (C’) : y = x3−3x2+5

2 Gọi M’ (x’;y’) là ảnh của M(x;y) qua phép đối xứng tâm I(- 1;1), ta có

I

 + = = −  = − −



( )3 ( )

3

M (C)∈ ⇔ =y x −3x 1+ ⇔2– y’= −2– x’ − −3 2– x’ +1

Cách khác : Tịnh tiến OI uur Hệ trục Oxy ⇒ Hệ trục IXY

I



 = + = +

Đối hệ trục IXY , phương trình (C) :

Y 1+ = X 1 – 3 X – 1 1− + ⇔ =Y (X 1)− −3(X 1) F X− = (C’) đối xứng với (C) qua gốc tọa độ I ,suy ra phương trình

C’ : Y= − F X− ⇔ = − −Y X – 1 + −3 X – 1

Suy ra phương trình (C’) đối với hệ trục Oxy :

y  1− = − − x – 2 + −3 x – 2 ⇔ =y x +6x +6x 3.+

3 Gọi M(x’;y’) là ảnh của M(x;y) qua phép đối xứng qua đường thẳng (d) :

x = 2 ,ta có  + =x x' 4y y' ⇔ = −x 4 x'y y' .

M(x,y) (C)∈ ⇔ =y x −3x 1+ ⇔y' (4 x')= − −3(4 x') 1− +

Vậy phương trình ( )C’ : y= − +x3 12x2−45x 53.+

Cách khác Tịnh tiến OE uuur với E(2;0) Hệ trục Oxy ⇒Hệ trục EXY

E



 = + =



Đối với hệ trục EXY:

Phương trình (d) : X = 0

Y= X 2+ −3 X 2+ + =1 G X (C’) đối xứng với (C) qua trục tung EY , suy ra phương trình (C’) :

Y G X= − = − X 2 – 3 X 2+ − + +1

Suy ra phương trình (C’) đối với hệ trục Oxy

Y= 4– x – 3 4– x + =1 − +x3 12x2−45x 53.+

Bài 4:





Theo bài toán ta có I a; 2a( − 3+12a2−12a 3+ ) và

I y∈ = −2x +11x −6x 6− suy ra ( )3

a 3− = ⇔ = ⇒ =0 a 3 b 24

Thử lại thấy thỏa.

2 I a;a(− 2−b) ABOI là hình bình hành khi và chỉ khi AB OIuuur uur= ⇔ =a 2,b 1=