08 2 huong dan giai

Phương trình hoành độ giao điểm của d và C:Suy ra, hai giao điểm nằm về một nhánh của đồ thị C.. Bài toán 05: HAI ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT NHAU TẠI 2 ĐIỂM PHÂN BIỆT CÓ ĐỘ DÀI CHO TRƯỚC...

Dạng 2: TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ.

228m 5 02m 1 0

biệt với mọi giá trị của m

Bài 4:

1 Ta có y' 3(x 22x 3)  y' 0  x 1,x  3 hàm số đạt cực trị tại A 1; m 5  

và B3; m 27  nên đồ thị hàm số yx33x2 9x m cắt Ox tại ba điểm phân biệt  yCD.yCT0(m 5)(m 27) 0    27m5

2 d đi qua I và có hệ số góc m nên phương trình d là ym(x 1) 2. 

Phương trình hoành độ giao điểm của d với (C): x3 3x24 m(x 1) 2  

 không thỏa mãn yêu cầu bài toán ,suy ra bài toán vô nghiệm.

3 Phương trình hoành độ giao điểm của Cm và  P :

Hai giá trị này trái dấu m(m 4) 0   4 m 0. 

4 Phương trình hoành độ giao điểm  C và Hm là:

Đồ thị hàm số  1 cắt đường thẳng y 2 tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi  2 có

hai nghiệm phân biệt khác m

2 d' đi qua điểm I 1; 2 , có hệ số góc là k :   yk x 1  2

Tọa độ giao điểm của d' và  C là nghiệm phương trình:

Bài 2  d đi qua A 1; 0 và có hệ số góc là m, suy ra phương trình    d :ym x – 1  

Phương trình hoành độ giao điểm của  d và  C : x 2 m(x 1) (1)

x 1



 x 2 m(x2 2x 1) ,x 1 (2) 

Thay x 1 vào (2) ,ta được 3 = 0 (sai) do đó x 1 không thỏa mãn (2) ,suy ra

xx

22

5 2m1

y

44

  là giá trị cần tìm

2 Đường thẳng d có phương trình: ykx

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):

Suy ra, hai giao điểm nằm về một nhánh của đồ thị (C)

Bài toán 05: HAI ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT NHAU TẠI 2 ĐIỂM PHÂN BIỆT

CÓ ĐỘ DÀI CHO TRƯỚC.

      hoặc m 10 thỏa điều kiện   

2 Phương trình hoành độ giao điểm: x 1 x 2 x2 (m 1)x 2m 1 0

Theo giả thiết ta được 2(m2  6m 3) 8   m2 6m 7  0 m1 hoặc m7.

Bài 2: Phương trình hoành độ giao điểm của  d và  C : x 2 x m

2x 2



 

Gọi A x ; x 1 1m , B x ; x  2 2m là tọa độ giao điểm của  d và  C

Chú ý Nếu phương trình hoành độ giao điểm là phương trình đa thức bậc ba không

có nghiệm nguyên hay nghiệm hữu tỷ thì có thể sử dụng một trong hai phương pháp dưới đây để giải quyết bài toán.

Cách 1.Chuyển phương trình thành dạng f(x) = g(m) (g(m) là biểu thức của m).

Lập bảng biến thiên của f(x), dựa vào bảng biến thiên này để tìm kết quả của bài toán.

Cách 2.Từ các dạng đồ thị của hàm số bậc ba ,ta có tính chất sau:” Đồ thị hàm số bậc ba cắt

trục Ox tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi hàm số có hai điểm cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu”

3 m ¡ thì đường thẳng cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt thỏa x1 1 x2

1 Phương trình hoành độ giao điểm của  C và d : x2(m 3)x 1 m   0,x 1  

Ta thấy,  m2 2m 5 0, m   ¡ , suy ra phương trình   có nghiệm m ¡

d cắt  C tại 3 điểm phân biệt 0 k 9

Khi đó các giao điểm là A( 1; 0), B 2   k; 3k k k ,C 2    k; 3k k k 

2 3 OBC

(Cm) cắt (d) tại ba điểm phân biệt  (1) có ba nghiệm phân biệt

 phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0 m 2 0 m2

5 Phương trình hoành độ giao điểm của  C và d : m 1 x x 2m

Đường thẳng d cắt đồ thị m  C tại hai điểm phân biệt A và B khi và chỉ khi

phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt x ,x khác 1 2 1

t  3t 4 0  , phương trình này có hai nghiệm t1 ( không thỏa

t 0 ) hoặc t Với t4  tức 4 2m 1 24 tương đương với m 3

M m; 0 , N 0; 2m là giao điểm của d với Ox, Oy  

Theo bài toán, SOAB 3SOMN 1 2m 2

(1), (x 1) , d cắt (C) tại A và B  (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1    

 



m 11

m 1 (*)Gọi x ,x là các nghiệm của (1) Khi đó 1 2 A(x ; 3x1  1m), B(x ; 3x2  2m)

Gọi I là trung điểm của AB  I x1x2 1 m I  I m 1

4 Phương trình hoành độ điểm chung của Cmvà  d là:

Vậy, P2; 9, Q 2; 9 hoặc ngược lại là tọa độ cần tìm. 

Bài 3:

1 I 1; 2 là tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận Đường thẳng   IA : y x 3

là đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận, cũng là trục đối xứng của đồthị  C Do đó đường thẳng  d IA  d : y x m

Phương trình hoành độ giao điểm của  d và  C là: 2x 1 x m

Do B và C đối xứng qua đường thẳng IA nên tam giác ABC cân tại A Do đó

Khi m thì ABCD không là hình bình hành.0

Khi m 10 thì ABCD là hình bình hành Do đó m 10 thỏa bài toán

3 Phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị của hàm số:

Khi đó các giao điểm là:      

    x 1  1 PQ cắt Cm tại 2 điểm phân biệt P, Q khi và chỉ

khi phương trình  1 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 , tức là 0 m 2

Gọi tọa độ P x ; x 1 11 , Q x ; x 2 21  PQ 2 x 2 x12

Diện tích tứ giác APBQ bằng 24 d A; PQ PQ  24 3 2 2 x 2 x12 24

x1 x22 4x x1 2 16

     2 Theo định lý Vi – et , ta có: x1x2m, x x1 2 3Thay vào  2 ta được m2 12 16 0   m hoặc m2 2

Bài 5 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d).

      (do x2không là nghiệm phương trình (1))

1 (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N  Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

2 I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C) ,suy ra I( -1 ; 2).

Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ OIuur Hệ trục tọa độ Oxy biến thành hệ trục tọa

Ta giải bài toán trong trường hợp hệ tọa độ là hệ tọa độ IXY

Đối với hệ tọa độ IXY , hàm số y = f(x) trở thành :  2  2

Hai đường thẳng (D) và (D’) qua I có phương trình lần lượt là Y = kX , Y = mX (k, mđều khác 0 và m k) Gọi A, B là giao điểm của (D) với (C) thì tọa độ A,B là nghiệm

của hệ :

XY

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C): x 1 mx (m 1)x2 1

Vậy diện tích tứ giác MPNQ nhỏ nhấtm 5 2

Vì B, C thuộc đường thẳng (d) và hoành độ của chúng là hai nghiệm x1, x2 của phương trình (5) nên B(x ; mx1 14), C(x ; mx2 24)

Gọi K là trung điểm của BC ,ta có K 3; 3m 4

Tam giác IBC cân tại I KI(d) và (d): y = mx+4  mx y 4 0  

Suy ra một vectơ chỉ phương của (d) là a (1; m) 

2 IMN

m 11

Phương trình hoành độ giao điểm của  d và  C là: : yy' m x m    y m 

Do B và C đối xứng qua đường thẳng N n; n 4 2n2 1 nên tam giác ABC cân tại

Vì  m2 2m 25 0 m ,nên     1 luôn có hai nghiệm phân biệt , d luôn cắt  C

tại hai điểm phân biệt B và C với B x ; x 1  1m , C x ; x  2  2m

Giả sử x ,x là nghiệm của 1 2  1 , ta có:   

Với m0 thì O,A,B,C thẳng hàng nên không thoả mãn

Vậy, với m2 là giá trị cần tìm

Dạng 3: ĐƯỜNG THẲNG CẮT ĐỒ THỊ CỦA CỦA HÀM

SỐ TẠI 2,3 ĐIỂM MÀ TIẾP TUYẾN TẠI ĐÓ THỎA MÃN

ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC.

Bài 1:

1

4 2

biệt x ,x thỏa mãn điều kiện 1 2 y' x 1 y' x 2 Khi đó phương trình

Ta thấy x 0 không phải nghiệm của  2 nên điều kiện để (d) cắt (C ) tai ba mđiểm phân biệt là phương trình  2 có hai nghiệm phân biệt   m2 4 0

   hoặc m2

Lúc đó x ,x là nghiệm củaB C  2 Theo định lý Viét ta có xBxC m,x xB C 1

Hệ số góc của tiếp tuyến của (C ) tại B,C là :m

k y' x 3x 2mx , k y' x 3x 2mxĐiều kiện để hai tiếp tuyến vuông góc với nhau là k k1 2  , tức là phải có : 1

(Cm) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt  Phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt

 Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt khác 1

Vì x = 1 là hoành độ điểm A nên hoành độ của B, C là hai nghiệm x1, x2 của phương trình (3), suy ra k13x21 10x1m 4 , k 23x22 10x2m 4

Ta thấy, đồ thị luôn cắt trục Ox tại điểm A1; 0 với mọi m

Để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt, thì phương trình  1phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1 , tức là 4 m 0 m 4

2  d đi qua điểm B2; 2 có phương trình ym x 2  2

Để  d cắt  C tại hai điểm phân biệt M ,M khi phương trình 1 2 m x 2  2 2x 1

I I

1 a) (d) qua A(-1;0) và có hệ số góc là m suy ra phương trình (d) : y = m(x +1).

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d)

2 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):

(d) cắt (C) tại hai điểm M,N thuộc hai nhánh khác nhau của (C)  Phương trình (*)

có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn điều kiện x1 < - 1 < x2

2xx

Chứng minh trung điểm I của AB thuộc đồ thị hàm số y =4x34x23x 3

Khi đó A(x ; x1 312x121) , B(x ; x2 322x221) trong đó x ,x là hai nghiệm của 1 2

Vậy I thuộc đồ thị của hàm số y4x34x23x 3

Viết phương trình đường thẳng AB.

Tọa độ A,B thỏa hệ