07 2 huong dan giai

Do đó phương trình  3 luôn có nghiệm duy nhất với mọi m... Theo bài toán, phương trình   có đúng một nghiệm âm.. Phương trình đường thẳng  d đi qua A0;a và có hệ số góc... Cách 2:

Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị Bài toán 01: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ ĐI QUA ĐIỂM CHO TRƯỚC Bài 1: : y 3x,y 4,y 5x128

2 Điểm cực tiểu của  C là A 0; 3   

Phương trình tiếp tuyến d của  C có dạng : y y'(x )(x x ) y(x ) 0  0  0

( trong đó x là hoành độ tiếp điểm của d với 0  C )

Do  d đi qua điểm A 23; 2

1 k (2)(x 2)





 , x0� và d có 2phương trình:

0 0

d đi qua điểm A 6;5  nên có

0 0

0

2 0

4x 24x 0

4k

Vậy phương trình tiếp tuyến (d): y = 9x + 25

2 Phương trình tiếp tuyến (D) đi qua A(-2;7) có dạng y = k(x+2) +7

(D) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x khi hệ 0

Thay (4) vào (3) ta được: 3 2 2

� x 0 ta có phương trình tiếp tuyến là: y 0

� x 1 ta có phương trình tiếp tuyến là: y 1

� x 3 ta có phương trình tiếp tuyến là: y 24x 63 

* x00�y'(x ) 0,y0  00� Phương trình tiếp tuyến y 0

* x02�y'(x ) 0,y0  00� Phương trình tiếp tuyến y 0

Cách 2: Gọi d là đường thẳng đi qua A, có hệ số góc k �d :y k(x 2) 

d tiếp xúc đồ thị tại điểm có hoành độ x khi hệ 0 0 2 02 0

0 0 0

(2 x ) x k(x 2)4x (x 2)(x 1) k

* x00�k 0 � Phương trình tiếp tuyến y 0

* x02�k 0 � Phương trình tiếp tuyến y 0

1 (Cm) tiếp xúc đường thẳng y = 1 tại điểm có hoành độ x khi hệ sau0

3

2 0

2 Phương trình của đường thẳng (d) đi qua M có hệ số góc k : y = kx + m.

(d) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x khi hệ sau 0

0

0 0

2 0

kx m (1)2x 1

3

k (2)(2x 1)

Khi đó gọi x ,x là hai nghiệm của phương trình (4) 1 2

Theo bài toán  (*) có nghiệm x, đồng thời (2) có 2 giá trị k khác nhau, tức

là phương trình (3) có nghiệm x phân biệt thỏa mãn 2 giá trị k khácnhau

+ TH1: (4) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng –1  m 1+ TH2: (4) có nghiệm kép khác –1  m 2

3

  hoặc m 2Vậy các điểm cần tìm là: ( 1;4) ; �� ��

Phương trình đường thẳng  đi qua điểm M có dạng : y k(x m) 2 

 là tiếp tuyến của (C)  hệ phương trình sau có nghiệm x:

có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C)

3 Đường thẳng  d tiếp xúc đồ thị hàm số y x 36x29x 1 tại điểm

Do đó hàm số   3 2

f x  2x 12x 24x 17 luôn nghịch biến trên � Do đó

phương trình  3 luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

Vậy một điểm thuộc đường thẳng x 2 luôn kẻ được một tiếp tuyến duynhất đến đồ thị của hàm số y x 36x29x 1

4 Giả sử d là đường thẳng tiếp xúc với  H tại điểm  2 2

M m; m�� 1 ��

đó đường thẳng d có phương trình:  2     2 2

y 2m m 1 x m  m 1Đường thẳng d tiếp xúc với  H tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi hệ

5 a B 0;3 , y 3  

b Gọi M m;2 là điểm thuộc đường thẳng y 2   Phương trình đường thẳng đi qua M m;2 có hệ số góc là k và    d : y k x m    2  d tiếp xúc  C tại điểm có hoành độ x khi hệ 0    

Vậy từ N kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị  C khi và chỉ khi phương trình

 * có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi  ** có 4 nghiệm phân biệt khi

và chỉ khi phương trình *** có 2 nghiệm phân biệt � ' 4n212 0

2

n  3 0 n  3

� � Vậy từ những điểm N trên đường thẳng y 3 với

n 3 kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị  C của hàm số đã cho

Theo bài toán, phương trình   có đúng một nghiệm âm

Nếu m 0 thì   �  2x 2�x 1 (không thỏa)

Nếu m 0� thì dễ thấy phương trình   có 2 nghiệm là x 1hay x 2 3m



2 Ta có: �y mx22(m 1)x 4 3m ;    d : y 1x3

2 2.Theo yêu cầu bài toán  phương trình �y 2 có đúng 2 nghiệm dương phânbiệt

 mx22(m 1)x 2 3m 0 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt   

2 2 3 thỏa mãn bài toán.

3 Phương trình đường thẳng  d đi qua A(0;a) và có hệ số góc

 Đối chiếu với điều kiện  2 ta được: 2 a 1

�

� 

�1

Thay (2) vào (1) ta được : 30 2 2

2x

x 4x 2 ( 2x 2x 4)(x 2) 93

3 2

4x 15x 12x  9 0 x 3

� � Thay x = 3 vào (2) ta được k = - 8 0

3 Hai tiếp tuyến của (C) tại M , M song song1 2

1 2 I

4

  

(d) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x khi hệ 0

2 0

0 0

2

0 0 2 0

4(2 x )

(d) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x khi hệ 0

2 0

0 0 2

0 0 2 0

xk(x 2) 2 (1)

2 x

x 4x

k(2 x )

2 2 2

2 a 2' a 3a 8 0

.2a6a 8 0

E F

I I

2

0 0

0 2 0

2 (C ) và 1 (C ) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ 2 x � hệ phương 0trình sau có nghiệm x :0 30 20 0 30 0

mx (1 2m)x 2mx 3mx 3(1 2m)x 4m 23mx 2(1 2m)x 2m 9mx 3(1 2m)

0 0

x 1(x 1)

0 0

x 1(x 1)

 � Phương trình tiếp tuyến y  3x

Cách 2: Gọi d là đường thẳng đi qua M( 1;3) , có hệ số góc k, khi đó

2

0 0 2 0

� Với x0 1 k 3

2

 �   � Phương trình tiếp tuyến y  3x

3 Đồ thị có hai tiệm cận x 1 và y x suy ra giao điểm của hai tiệm cận

0 0

Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua I

Cách 2: Gọi d là đường thẳng đi qua I, có hệ số góc k

Vậy qua I không có tiếp tuyến nào kẻ đến (C)

� (*) có hai nghiệm phân biệt � có hai tiếp tuyến

� Khi 1 m 0  � thì (*) vô nghiệm � không có tiếp tuyến nào

Bài 10:

Cách 1: Gọi điểm M(x ;y ) (C)0 0 � Tiếp tuyến  tại M của (C) có phương

0 0

3

x 1(x 1)

0 0 2 0 0

x 1(x 1)

Cách 2: Đường thẳng d đi qua A, hệ số góc k có phương trình: y kx m 

d là tiếp xúc đồ thị tại điểm có hoành độ x khi hệ 0

0

0 0

2 0

kx m

x 13

k (x 1)

0

2 2

2



Thay x = 0 vào (1) ta được m = 0 3

4.Thay x20 m 1

Khi m= 1 thì x201�x0� ,suy ra 1  Cm tiếp xúc với (d) tại hai điểm ( 1;3�)

Khi m = 13 thì x207�x0� ,suy ra 7  Cm tiếp xúc với (d) tại hai điểm (

�

2 2

2 0

Thay x = 2 vào (2) ta được m = - 4 0

Thay x = 0 vào (2) ta được m = 4.0

Vậy trong trường hợp này, phương trình tiếp tuyến (d) là y = 2x �4

Khi k = - 2 , phương trình (d) có dạng : y = -2x + m

(d) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x0

0

0 0

2 0

nghiệm x Phương trình (5) vô nghiệm nên hệ trên vô nghiệm.0

Vậy phương trình tiếp tuyến (d): y = 2x �4

Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến (d) với (C), khi đó phương trình

0 0

2x 42

A là giao điểm của (d) với trục hoành �A( x 02 4x02;0)

B là giao điểm của (d) với trục tung

2

0 0 2 0

0 0 2 0

5 vào (3) ta được

27k2

  Vậy trong trường hợp này , phương trình của (d) là y 3x 9,y 27x 9

(d) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x0

2

0 0

0 0

2

0 0 2 0

Do đó trong trường hợp này không có tiếp tuyến (d) thỏa đề

Vậy phương trình tiếp tuyến (d) cần tìm là y 3x 9,y 27x 9

Suy ra đường thẳng MN và (C) không có điểm chung

b Tiếp tuyến (D) song song đường thẳng MN suy ra phương trình (D) có

2

0 0 2 0

Thay x = 0 vào (6) ta được m = 0.0

Thay x = 2 vào (6) ta được m = 8.0

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 3x ,y  3x 8

Khi m = 0 thì tiếp điểm của tiếp tuyến (D) với (C) là O(0;0)

Khi m = 8 thì tiếp điểm của tiếp tuyến (D) với (C) là K(2;2)

Vì đường thẳng MN và (C) không có điểm chung và

Mặt khác SEMN 1MN.d(E,MN)

2

 , độ dài MN không đổi ,do đó

SEMN nhỏ nhất � d(E,MN) nhỏ nhất  E O

Vậy điểm cần tìm là gốc tọa độ O

Bài 13: Xét M(0;m) Oy� Đường thẳng d đi qua M, hệ số góc k có phương trình: y kx m 

d là tiếp xúc đồ thị tại điểm có hoành đồ x khi hệ0

1 Tiệm cận đứng của (C) : x = 1, tiệm cận xiên của (C): y = 2x – 1, suy ra

giao điểm của hai đường tiệm cận này là I(1;1)

Phương trình tiếp tuyến (d) của (C) đi qua I : y = k(x – 1) + 1

(d) tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ x0

2

22x 1 k(x 1) 1 (1)

x 12

2 Hai tiếp tuyến của (C) tại M M song song với nhau 1 2 �y'(x ) y'(x )1  2

Theo đề, tiếp tuyến tại A và B vuông góc nhau tức k kA B  , tìm được11

0 0

2

0 0 2 0

b Gọi M m;9m 4  là điểm trên đường thẳng y 9x 4  

Đường thẳng  t đi qua M có phương trình y k x m   9m 4

 t tiếp xúc với  C tại tiếp điểm N x ;y khi hệ sau :  0 0

3 � thỏa bài toán

4 Gọi M a;b là điểm cần tìm   M� d �b  3a 2

Tiếp tuyến của đồ thị  C tại điểm x ;y là0 0

Có hai tiếp tuyến đi qua M với hệ số góc là

 P và  Cm tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x khi và chỉ khi hệ0phương trình: