Mỗi tuần 1 đề luyện thi ĐH_Đề số 2 và hướng dẫn giải

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.. Goi I là giao điểm hai tiệm cận của C.. Gọi M là trung điểm của AD, P là mặt phẳng chứa BM và song song với SA cắt SC tại K.. Tính thể tích

ĐỀ SỐ 2

I Phần chung

Câu 1 (2đ)

Cho hàm số: 2 1 ( )

1

x

x

−

=

−

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2 Goi I là giao điểm hai tiệm cận của ( )C Tìm điểm M thuộc ( )C sao cho tiếp tuyến

của ( )C tại M vuông góc với đường thẳng MI

Câu 2 (2đ)

1 Giải phương trình: cos cos cos 3 sin 2 0

⎛ − ⎞+ ⎛ − ⎞+ ⎛ − ⎞+ ⎛ − ⎞=

2 Giải phương trình: 4 x− x2− +1 x+ x2 + = 1 2

Câu 3 (1đ)

Trong không gian cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh n a ABC, =600,

chiều cao SO của hình chóp bằng 3

2

a

, trong đó O là giao điểm của hai đường chéo

,

AC BD Gọi M là trung điểm của AD,( )P là mặt phẳng chứa BM và song song với SA

cắt SC tại K Tính thể tích khối chóp K BCDM

Câu 4 (1đ)

C x= y− + d y= − + Tính thể x

tích của khối tròn xoay do hình phẳng ( )H tạo ra khi ( )H quay quanh trục Oy

Câu 5 (1đ)

Cho các số , ,x y z là các số dương thỏa x2 +y2 +z2 = Chứng minh rằng: 1

3 3 2

II Phần riêng (Thí sinh chỉ làm một trong hai phần)

A THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN

Câu 6a (1đ)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy , cho đường tròn ( )C có tâm O bán kính

5

R= và điểm M( )2;6 Viết phương trình đường thẳng qua M cắt ( )C tại 2 điểm , A B

sao cho ΔOAB có diện tích lớn nhất

2 Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , cho mặt phẳng ( )P có phương trình

3 0

x+ + + = và hai điểm y z A(0;1;2) Tìm tọa độ 'A đối xứng với A qua ( )P

Câu 7a (1đ)

Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau Hỏi trong các số đã

thiết lập được có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau

B THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO

Câu 6b (1đ)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy , cho ABCΔ có đỉnh C( )4;3 Biết đường phân giác trong ( )AD :x+2y− = và trung tuyến 5 0 (AM): 4x+13y−10 0= Tìm tọa độ

đỉnh B

2 Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , cho hai đường thẳng :

23 8

= − +

⎧

⎪

⎪ =

⎩

\ và ( )2

:

− Viết phương trình đường thẳng ( )d song song với trục Oz và cắt cả hai đường thẳng

( ) ( )Δ1 , Δ 2

Câu 7b (1đ)

Tìm a để hệ sau có nghiệm

2 4

3 4 5

x x

⎧

⎨

⎩

Hướng dẫn giải

Câu 1. 1 2 1 ( )

1

x

x

−

=

−

1 Tập xác định D= \\ 1{ }

2 Sự biến thiên của hàm số

Ta có

1

lim

x

y

−

→ = −∞ và

1

lim

x

y

+

→ = +∞ Do đó, đường thẳng x= là tiệm cận đứng của đồ thị 1 hàm số đã cho

Ta có lim lim 2

→+∞ = →−∞ = nên đường thẳng y= là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã 2 cho

a) Bảng biến thiên

Ta có

( )2

1 0 1

x

−

′ = < ∀ ∈

−

x −∞ +∞

y

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞ và ;1) (1;+∞ )

3 Đồ thị của hàm số

2

−∞

2

1

6

4

2

-2

-4

-6

y

x

2 Tọa độ điểm I giao điểm của hai tiệm cận là I( )1;2

Gọi M a b là điểm thuộc đồ thị cần tìm Ta có ( ), 2 1

1

a b a

−

=

− (a≠1,b≠2)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm

( )2( )

:

1 1

a

a a

−

− Phương trình đường thẳng : 1 1

MI

− = −

− − hay 2( 1) 1

1

b

a

−

− Tiếp tuyến tại M vuông góc với MI nên ta có:

3 2

4

1

1 1

b

a a

= − ⇔ − = − =

−

= ⇒ =

⎡

⇔ ⎢ = ⇒ =

⎣ Vậy có hai điểm cần tìm là M1( )0;1 và M2( )2;3

Câu 2:

1 Giải phương trình: cos cos cos 3 sin 2 0 1( )

⎛ − ⎞+ ⎛ − ⎞+ ⎛ − ⎞+ ⎛ − ⎞=

x

⎛ − ⎞= ⎛ + − ⎞= − ⎛ + ⎞= ⎛ − ⎞= ⎛ − ⎞

⇔ ⎜ − ⎟+ ⎢ ⎜ − ⎟⎥+ ⎢ ⎜ − ⎟⎥+ ⎢ ⎜ − ⎟⎥=

Đặt

2 6

x

t= − Khi đó phương trình trở thành π

cos cos 2 cos3 cos 4 0

2cos cos 2cos cos 0

2cos cos cos 0

5 4cos cos cos 0

5 5

2

2 cos 0

2

2

2 1

t t

t

t

m k

t

π

⎡ = +

⎢

=

⎡ = +

⎢

⎢

⎢ = +

⎢

⎣

]

⎢

⎢

⎢

t = +π lπ ⇒ =x π + lπ

Với (2 1) (4 2)

3

t = m+ π ⇒ = +x π m+ π

2 Giải phương trình: 4 x− x2− +1 x+ x2+ = 1 2

Điều kiện:

2 2

1

1 0

1 1

1

0

x x

x x

x

⎧ ≤ −⎡

⎧ − ≥

Với điều kiện trên ta có:

4

x+ x + > x+ x − ≥ x+ x − (do x≥ ) 1

Cauchy

VT > x− x − +1 x+ x −1 ≥ 2 x− x −1 x+ x −1 = 2

Suy ra phương trình vô nghiệm

Câu 3:

K

N

M

O

C

A

D

B

S

Gọi N =BM ∩AC Ta có N là trọng tâm của tam giác ABD

Kẻ NK/ /SA K( ∈SC) Qua K kẻ KI / /SO I( ∈AC) Suy ra KI ⊥(ABCD) Vậy

.

1 3

Ta có: ΔSOC đồng dạng KICΔ , suy ra KI CK ( )1

Và ΔKNC đồng dạng SACΔ , suy ra CK CN ( )2

( ) ( )1 & 2 ta có

1

2 3

+ +

= = = = do N là trọng tâm ABDΔ

Ta có ΔADC đều, suy ra CM AD⊥ và 3

2

a

CM = Suy ra diện tích hình thang BCDM là:

BCDM

Câu 4 Ta có

= − + ⇒ = = −

Phương trình tung độ giao điểm:

2

2 2 4

2 0 2

1

y

y

− + = −

=

⎡

⇔ ⎢ = −

⎣

Ta có g y( )≥ f y( )≥0 ∀ ∈ −y [ 1;2]

Do đó thể tích khối tròn xoay cần tìm là

1

1

2

1

12

117

5

π

π

π

π

−

−

−

=

∫

∫

Câu 5

Ta có 2 2 2

1

+ − Ta đi chứng minh

2 2

3 3

Thật vậy áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số ta có

3

2

2 2

2

1

3 3

x

⎛ + − + − ⎞

− Suy ra

2

2 2

3 3 2

+ Tương tự ta có có

;

II Phần riêng

Câu 6a

1 Gọi ( )Δ là đường thẳng qua M thỏa đề bài

.sin

OAB

cân tại O Gọi H là hình chiếu của O trên ( )Δ thì 5

R

Vậy đường thẳng cần tìm là đường thẳng qua M và cách O một khoảng bằng 5

2

Gọi nG=(A B, ) là vectơ pháp tuyến của ( )Δ , phương trình của

( ) (Δ :A x−2)+B y( −6)= 0

Ta có:

2

24 5 55

47

24 5 55

47

O

Δ

+

+

=

⎢

⎢

⇔

=

⎢

⎣ Với 24 5 55

47

, chọn A=47⇒ = − +B 24 5 55 ta có phương trình đường thẳng

( )Δ1 : 47(x−2)+ − +( 24 5 55) (y−6)= 0

Với 24 5 55

47

= , chọn A=47⇒ = − −B 24 5 55 ta có phương trình đường thẳng

( )Δ2 : 47(x−2)−(24 5 55+ ) (y−6)= 0

2 Gọi ( )Δ là đường thẳng qua A và vuông góc với ( )P , vectơ pháp tuyến của ( )P là vectơ chỉ

phương của ( )Δ , nên phương trình tham số của ( ): 1 ( )

2

=

⎧

⎪

⎪ = +

⎩

\

Gọi I là giao điểm của ( )Δ và ( )P , khi đó tọa độ của I là nghiệm của hệ

2 1

1 2; 1;0 2

0

3 0

x

z

=

⎧

= −

⎧

⎪ = +

⎪ + + + =

⎩

Vì A′ là điểm đối xứng của A qua ( )P , nên I là trung điểm của AA′

′

′

′

= − = − − = −

⎧

⎪ = − = − − = − ⇒ − − −

⎨

⎪ = − = − = −

⎩

Vậy tọa độ điểm A′ đối xứng của A qua ( )P là A′(− − − 4; 3; 2)

Câu 7a

Tổng số các số có 6 chữ số khác nhau được thành lập từ các số 1,2,3,4,5,6 là: 6!

Tổng số các số có 6 chữ số khác nhau mà 1 và 6 đứng cạnh nhau là: 2.5!

Theo yêu cầu bài toán, tổng số cần tìm là: 6! − 2.5! 480= số

Câu 6b

1 Theo giả thiết suy ra A(9; 2− Lấy ') C đối xứng với C qua AD , suy ra C′∈AB

Ta có CC′ ⊥AD suy ra nGAD =uGCC′=( )1;2 Phương trình ( ): 4 3 2 5 0

CC′ − = − ⇔ x− − = y

Gọi I CC= ′∩AD , tọa độ I là nghiệm của hệ 2 5 0 3 ( )3;1

I

'

' 2; 1

C

⎧

⎩

CC′ ≡ AB, nên phương trình ( ): 9 2 7 5 0

2 9 1 2

− − + Viết phương trình đường thẳng Cx/ /AB , suy ra ( )Cx :x+7y−25 0=

Gọi A′ =Cx∩AM , tọa độ A′ là nghiệm của hệ 7 25 0 17 ( 17;6)

A

9 17

4

2 6

2

M

M

x

M

y

′

′

⎪⎩

⎧ = − = − − = −

⎪

⎨

⎪⎩

Vậy B(−12;1)

2) Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , cho hai đường thẳng :

23 8

= − +

⎧

⎪

⎪ =

⎩

\ và ( )2

:

− Viết phương trình đường thẳng ( )d song song với trục Oz và cắt cả hai đường thẳng

( ) ( )Δ1 , Δ 2

Ta có uGOz =(0;0;1 ,) uGΔ 1 =(8;4;1 ,) uGΔ 2 =(2; 2;1− )

Viết phương trình mặt phẳng ( )α chứa ( )Δ và song song với Oz 1

1

4 1 1 8 8 4

0 1 1 0 0 0

Oz

( 23; 10;0) 1

A − − ∈ Δ

Phương trình ( ) (α : 4 x+23) (−8 y+10)= ⇔ −0 x 2y+ = 3 0

Viết phương trình mặt phẳng ( )β chứa ( )Δ và song song với Oz 2

2

2 1 1 2 2 2

0 1 1 0 0 0

Oz

(5; 4;1) 2

B − ∈ Δ

Phương trình ( )β : 2− (x− −5) (2 y+4)= ⇔ + − = 0 x y 1 0

Gọi d là đường thẳng cần tìm, phương trình của ( ): 2 3 0 1 4; ;0 ( )

− + =

⎩

8 0 0 4 4 8

2 0 0 2 2 2

d

Vậy:

1 3 4 :

3 24

x

⎧ = −

⎪

⎪

⎨

⎪

= −

⎪

⎪⎩

\

Câu 7b

( )

2 4

x x

⎧

− ≥

⎪

⎨

⎩

( )

4

4

4 4

1

*

x

⇔ ⎡⎣ − ⎤ ≥⎦ +

( )1 3 52 4 0

x

x

⇔ − − ≥

Đặt ( ) 3 52 4

x x

( ) ln 5 2

ln 3.3 5 0

2

x x

f′ x = − > ∀ ∈ \ x

Suy ra f x là hàm đồng biến Do ( ) f ( )2 = , nên nghiệm 0 ( )1 :S1=[2;+∞ )

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình (*) có nghiệm thuộc [2;+∞ )

Đặt ( ) 4 1

x

g x = + + x

g x′( )=2x3+ >1 0 ∀ ≥ x 2

Suy ra g x tăng trên ( ) [2;+∞ và ) ( )2 21

2

2

x −∞ +∞

g x ( )

Do đó (*) có nghiệm thuộc [2;+∞ khi và chỉ khi ) 21

2

a≥

Vậy điều kiện a để hệ có nghiệm là: 21

2

HẾT

21/2

−∞

3 −1/ 2

+∞