06 toa do trong khong gian

Tọa độ trong không gian 1 Hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz �Hệ gồm ba trục Ox Oy Oz, , đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.. Xác định toạ độ trọng

CHỦ ĐỀ: TỌA ĐỘ

TRONG KHƠNG GIAN

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A.TĨM TẮT GIO KHOA.

I Tọa độ trong không gian

1) Hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz

�Hệ gồm ba trục Ox Oy Oz, , đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian

�Điểm O gọi là gốc của hệ tọa độ, trục Ox là trục hoành, Oy là trục tung

và Oz là trục cao

�Véctơ đơn vị trên các trục Ox Oy Oz, , lần lượt là i j kr r, , ,r ta có:

1, 0.

i  j  kr  i j  j kr k ir 

�Xét điểm M thỏa mãn

.

OMuuuur x ir y jrz kr thì M x y z( ; ; ).

Ngược lại, điểm M x y z( ; ; ) thì

.

OMuuuur x ir y jrz kr

�Với véctơ ur trong hệ tọa độ Oxyz

luôn tồn tại duy nhất bộ ( ; ; )x y z thỏa:

.

ur x ir y jrz kr

Tọa độ ur là ( ; ; )x y z

2) Tọa độ véc tơ – Tọa độ điểm

Cho aur ( ; ; ), x y z1 1 1 br  ( ;x y z2 2 2; ) và số thực k Khi đó

* a bur r�  (x1�x y2 1; �y2) * kaur (kx ky kz1; 1; 1)

*

/ /

� 

�

� 

�

Chú ý: Nếu x2  0 y2  0,z2  0 thì x1  0 y1  0,z1  0

* 2 2 2

| |aur  x  y  z * a b x xur r  1 2 y y1 2z z1 2

* aurbr � x x1 2 y y1 2z z1 2  0 * cos( , ) .

| | | |

a b

a b



ur r

ur r

ur r Cho A  (x y z A; A; A), B  (x y z B; B; B), ( ;C x y z C C; C), (D x y z D; D; D) Khi đó:

* uuurAB  (x B x A;y B  y z A; B z A)

* AB  uuurAB  (x B x A)2 (y B  y A)2 (z B z A)2

* Trọng tâm G của ABC:

* Trọng tâm G của tứ diện ABCD:

3) Tích có hướng của hai véc tơ và ứng dụng

a) Định nghĩa: Cho �a x y z1 ; ; 1 1 và �b x2 ; ; y2 z2

a b

ur r

b) Các tính chất:

* aur cùng phương br � � �� �a bur r, 0r * � �� �a bur r, aur và

,

a b b

� �

� �

ur r r

* � �� �a bur r, a bur r .sin( , )a bur r

c) Các ứng dụng của tích có hướng

2

ABC

S  ��uuur uuuurAB AC��

�Thể tích:

* Hình hộp: V ABCD A B C D ' ' ' ' ��uuur uuuur uuurAB AD AA, �� '

6

ABCD

V  ��uuur uuuur uuuurAB AC AD�� 89

Điều kiện 3 véctơ đồng phẳng:

* a b cur r r, , đồng phẳng � � � � �a b cur r r, 0

* , , ,A B C D đồng phẳng � ��uuur uuuur uuuurAB AC AD, ��  0

3 Phương trình mặt cầu.

Mặt cầu ( )S tâm I a b c( ; ; ), bán kính R có phương trình

(x a )  (y b )  (z c )  R (1).

Phương trình (1) có thể được biểu diễn cách khác như sau

x  y  z  ax by cz d  (2) Với

0

�    

�

�

II Phương trình mặt phẳng

1 Véc tơ pháp tuyến:

Định nghĩa: Cho mặt phẳng ( ) Véc tơ n �ur 0r gọi là véc tơ pháp tuyến (VTPT) của mp( ) nếu giá của nur vuông góc với ( ) , kí hiệu nur ( )

Chú ý:

*Nếu nur là VTPT của () thì k n k � (ur 0) cũng là VTPT của ( )a Vậy mp

( )a có vô số VTPT.

* Nếu hai véc tơ a bur r, (không cùng phương) có giá song song (hoặc nằm trên) ( )a thì nur� �� �a bur r, là một VTPT của mp( )a

* Nếu ba điểm A B C, , phân biệt không thẳng hàng thì véc tơ

,

n ��AB AC��

ur uuur uuuur

là một VTPT của mp ABC 

2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng:

* Cho mp( ) đi qua M x y z( ; ; )0 0 0 , có nur ( ; ; )A B C là một VTPT Khi đó phương trình tổng quát của ( )a có dạng:

A x x  B y y C z z  .

* Nếu ( ) : Ax By Cz D    0 thì nur( ; ; )A B C là một VTPT của ( )a

* Nếu A a( ;0;0), (0; ;0), (0;0; )B b C c ; abc �0 thì phương trình của (ABC)

có dạng:

1

a  b c và được gọi là phương trình theo đoạn chắn của ( )a

3 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng :

Cho hai mp( ) :P Ax By Cz D    0 và ( ) :Q A x B y C z D'  '  '  ' 0 

* ( )P cắt ( ) Q ۹ A B C: : ' : ' : 'A B C

*( ) / /( )

A  B  C D

( ) ( )

A  B  C  D

( )P  ( )Q � AA'  BB' CC' 0 

4 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

Khoảng cách từ M x y z 0 ; 0 0 ;  đến mp( ) :P Ax By Cz D    0 là:

( ,( )) Ax By Cz D

d M P



III Phương trình đường thẳng trong không gian

1 Phương trình tham số của đường thẳng:

a) Véc tơ chỉ phương của đường thẳng:

Cho đường thẳng  Véc tơ u �ur 0r gọi là véc tơ chỉ phương(VTCP) của đường thẳng  nếu giá của nó song song hoặc trùng với 

Chú ý 1.3.3:

* Nếu uur là VTCP của  thì k u k � (ur 0) cũng là VTCP của 

* Nếu đường thẳng  đi qua hai điểm A B, thì uuurAB là một VTCP

* Nếu  là giao tuyến của hai mặt phẳng ( )P và ( )Q thì ��n nuuur uuurP, Q�� uuur là

một VTCP của  (Trong đó n nuuur uuurP, Q lần lượt là VTPT của ( )P và ( )Q )

b) Phương trình tham số của đường thẳng

Cho đường thẳng  đi qua M x y z( ; ; )0 0 0 và có VTCP uur ( ; ; )a b c Khi đó phương trình đường thẳng  có dạng:

0 0 0 (1)

x x at

z z ct

�  

�

�

�  

�

�

(1) gọi là phương trình tham số của đường thẳng , t gọi là tham số

Chú ý Cho đường thẳng  có phương trình (1)

* uur ( ; ; )a b c là một VTCP của 

* M � �  M x( 0at y; 0bt z; 0ct)

91

2 Phương trình chính tắc:

Cho đường thẳng  đi quaM x y z( ; ; )0 0 0 và có VTCP uur ( ; ; )a b c với

0

abc � Khi đó phương trình đường thẳng  có dạng:

0 0 0 (2)

(2) gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng 

3 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d: x x0 y y0 z z0

  đi qua M x y z( ; ; )0 0 0 có VTCP

( ; ; )

d

uuur  a b c và ' : ,0 0, 0,

d

  đi qua M x y z'( ;,0 ,0 0 ; ), có VTCP uuuurd' ( '; '; ')a b c

* Nếu [ ,u uuur uuur uuuuuurd d']MM' 0  �d va� 'd đồng phẳng Khi đó xảy ra ba trường hợp

i ) d và d' cắt nhau ۹ [ , '] 0u uur uur r và tọa độ gia điểm là nghiệm của hệ :

�

�

�

�

ii) / / ' [ , '] 0

[ , '] 0

u u

u MM

�

� �

�

�

ur uur r

ur uuuuuur r

iii) ' [ , '] 0

[ , ']=0

u u

u MM

�

� � �

�

ur uur r

ur uuuuuur r

* Nếu [ , ']u u MM � �ur uur uuuuuur' 0 d và d' chéo nhau

4 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho mp( ) : Ax By Cz D    0 có nur ( ; ; )A B C là VTPT và đường thẳng

: x x y y z z

   có uur ( ; ; )a b c là VTCP và đi qua

0 0 ( ; ; ) 0 0

M x y z

�  cắt ( ) � nur và uur không cùng phương � Aa Bb Cc  � 0 Khi đó

0 (a) (b)

Ax By Cz D

�

�

�

�

Từ ( )b �x x 0at y,  y0bt z,  z0ct thế vào ( )a � �t giao điểm

*

0

0 / /( )

0 ( )

Aa Bb Cc

M





�

ur ur

*

0

0 ( )

0 ( )

Aa Bb Cc

M





�

ur ur

*   ( ) � nur va�uur cùng phương � nur k u.ur

5 Khoảng cách

a) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Cho đường thẳng  đi qua M0, có VTCP uur và điểm M �  Khi đó để tính khoảng cách từ M đến  ta có các cách sau:

C 1: Sử dụng công thức: d M( , ) [M M u0 , ]

u

 

uuuuuur ur

ur

C 2: Lập phương trình mp P  đi qua M vuông góc với  Tìm giao điểm

H của ( )P với  Khi đó độ dài MH là khoảng cách cần tìm

b) Khoảng cách giữ hai đường thẳng chéo nhau:

Cho hai đường thẳng chéo nhau  đi qua M0 có VTCP uur và  ' đi qua

0 '

M có VTCP uuur' Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng  và  ' được tính theo các cách sau:

, ' ' ( , ')

, '

u u M M d

u u

  

ur uur uuuuuuuuur

ur uur

C 2: Tìm đoạn vuông góc chung MN Khi đó độ dài MN là khoảng cách cần tìm

C 3: Lập phương trình mp P  đi qua  và song song với  ' Khi đó khoảng cách cần tìm là khoảng cách từ một điểm bất kì trên  ' đến ( )P

IV GÓC

1 Góc giữa hai đường thẳng:

93

Cho hai đưòng thẳng :x x0 y y0 z z0

   có VTCP uur ( ; ; )a b c

' :

   có VTCP uuur' ( '; '; ')  a b c Đặt     , ' , khi đó:

  2 2 '2 ' 2 ' 2 2

cos cos , '

' ' '

aa bb cc

u u

ur uur

2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho mp ( ) : Ax By Cz D    0 có nurA B C; ;  là VTPT và đường thẳng :x x o y y o z z o

   có uur ( ; ; )a b c là VTCP Gọi  là góc

giữa mp( ) và đường thẳng , khi đó ta có:

sin cos ,n u Aa Bb Cc

ur ur

3 Góc giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D    0 có VTPT nuur1 ( ; ; )A B C và ( ) : 'b A x+B y C z D' + ' + '= có VTPT 0 nuur2 A B C'; '; '

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (0 0 � � 90 0) Khi đó:

cos cos ,

n n

uur uur

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN.

Vấn đề 1 CÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM, TỌA

ĐỘ VECTƠ

Phương pháp:

� Dựa vào định nghĩa tọa độ của điểm, tọa độ của véc tơ

� Dựa vào các phép toán véc tơ

Áp dụng các tính chất sau:

Cho các vectơ ur ( ; ; ),u u u1 2 3 vr( ; ; )v v v1 2 3 và số thực k tùy ý Khi đó ta có

a)

1 1

2 2

3 3



�

�

� 

�

r r

b) u vr r (u1v u1; 2v u2; 3v3)

c) u vr r (u1v u1; 2v u2; 3v3)

d) kur(ku ku ku1; 2; 3)

Ví dụ 1.1.6 Cho hai véc tơ a bur r, thỏa  � 0

, 120 , 2, 3

1 Tính aur 2br

2 Tính góc giữa hai véc tơ aur và xr  3aur 2br

Lời giải.

.cos , 2.3.cos120 3

ur r ur r ur r

a x a a  b  a  a b

ur r ur ur r ur ur r

và xr  (3aur 2 )br 2  6 Suy ra  �

 � 0

6.2 2

a x

a x

ur r

Ví dụ 2.1.6 Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ

a (1;0; 2), b ( 2;1;3),c ( 4;3;5)r  r  r 

1 Tìm toạ độ vectơ 3.a 4.b 2cr r r

2 Tìm hai số thực m , n sao cho m.a n.b cr r r .

Lời giải.

1 Tọa độ vectơ 3.a 4.b 2cr r r

a (1;0; 2)r  �3.a (3;0; 6)r   ,

b ( 2;1;3) 4b (8; 4; 12),

c ( 4;3;5) 2.c ( 8;3;10),

Suy ra 3.a 4.b 2cr r r  3 8 8;0 4 3; 6 12 10       3; 1; 4  

2.Tìm m,n

Ta có m.a n.b (m 2n;n; 2m 3n)r r    ,

95

Suy ra m.a n.b cr r r

n 3 2m 3n 5

�

� 

� �

�  

�

m 2

n 3



�

Ví dụ 3.1.6 Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A 2; 3;1 ,  

B 1; 1;4 và C 2;1;6  

1 Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC ;

2 Xác định toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành và toạ độ giao

điểm hai đường chéo của hình bình hành này;

3 Xác định toạ độ điểm M sao cho MAuuuur 2MBuuur

Lời giải.

1 Xác định tọa độ trọng tâm G

Theo tính chất của trọng tâm G ,ta có :

1

3

uuur uuur uuur uuur

A B C G

A B C G

A B C G

x x x 1 x

y y y

3

z z z 11 z

 

�

�

 

� �

�

 

�

�

.

2 Xác định tọa độ điểm D

Vì A,B,C là ba đỉnh của một tam giác ,do đó

ABCD là hình bình hành

�

�

�   

�

uuur uuur

.

.

Vậy D 1; 1;3   

Giao điểm I của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD là trung

điểm của AC ,suy ra

A C I

A C I

A C I

x x

2

y y

2

z z 7 z

2 2



�

�



�   

�

�



�

.

Gọi x; y;z là toạ độ của M,ta có

4 x 3

2 x 2(1 x)

5

MA 2MB 3 y 2( 1 y) y

3

1 z 2(4 z) z 3

� 

�

   

  ��      �� 

�    �

�

� uuuur uuur

Ví dụ 4.1.6 Cho tam giác ABC có A(1;0; 2),B( 1;1;0),C( 2;4; 2)    

1 Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.

2 Tìm tọa độ giao điểm của phân giác trong, phân giác ngoài góc A với đường

thẳng BC.

Lời giải.

1 AB( 2;1;2),BC( 1;3; 2),CA(3; 4;0).uuur  uuur   uuur 

Trọng tâm 2 5 4

G ; ;

3 3 3

�   �

Ta có AB;AC ��uuur uuur�   � ( 8; 6; 5) Tọa độ điểm H thỏa mãn hệ

� � �  �     �

�

uuuur uuur

uuur uuur

uuur uuur uuuur

AH.BC 0 x 3y 2z 3

29 22 2

25 25 5 8x 6y 5z 2

AB,AC AH 0

Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ

� � �  �     �

�

uuur uuur uur

IA IB 4x 2y 4z 3

21 103 11

50 50 5 8x 6y 5z 2

AB,AC AI 0

2 Gọi E,F lần lượt là giao điểm của phân giác trong, phân giác ngoài góc A với

đường thẳng BC Từ EB FB AB 3

EC  FC  AC  ta tính được tọa độ các điểm 5

E ; ; , F ; ; 3

�    � �  �

Ví dụ 5.1.6 Trong không gian Oxyz, , cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(-1,2,3) ,C(1; 4; 5) ,B’(-3;3;-2) , D’(5;3;2) Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Lời giải.

97

E'

D

C

C'

B' A'

D'

Gọi E, E’ lần lượt là trung điểm của AC và B’D’ thì ta có

EE' AA ' BB' CC' DD'   

uuur uuuur uuuur uuuur uuuur

và

.

Suy ra EE' (1;0; 4)uuur 

A '

A '

A '

�

�   

�

uuuur uuur

.

B B B

�

�   

�

uuuur uuur

.

C' C' C'

�

�   

� uuuur uuur

D D D

�

�   

� uuuur uuur

Ví dụ 6.1.6 Cho hình chóp S ABCD. với điểm A(4; 1;2),  B( 1;0; 1)  

và C(0;0; 2),  D(10; 2;4)  Gọi M là trung điểm của CD Biết SM

vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và thể tích khối chóp V S ABCD.  66 (đvtt) Tìm tọa độ đỉnh S

Lời giải.

Ta có uuurAB( 5;1; 3),   DCuuuur( 10;2; 6)   �uuuurDC  2.uuurAB nên ABCD là hình thang và

ADC ABC

S  S hay S ABCD  3S ABC.

Vì uuurAB( 5;1; 3),   uuuurAC( 4;1; 4)   nên ��uuur uuuurAB AC, �   � ( 1; 8; 1), do đó

,

ABC

S  ��uuur uuuurAB AC�� 3 66

2

ABCD

Chiều cao của khối chóp là 3 S ABCD. 2 66.

ABCD

V SM

S

Vì ��uuur uuuurAB AC, ��uuur uuur uuuurAB, ��AB AC, ��uuuurAC nên giá của véc tơ ��uuur uuuurAB AC, �� vuông góc với mặt phẳng (ABCD), mà SM  (ABCD) nên tồn tại số thực k sao cho:

, ( ; 8 ; ).

SM k AB AC�� ��  k k k

uuuur uuur uuuur

Suy ra 2 66  SMuuuur  ( ) k2  ( 8 )k2  ( )k2 � k  2 � k � 2.

M là trung điểm CD nên M(5; 1;1)  �SMuuuur(5 x S; 1   y S;1 z S).

� Nếu k 2 thì SMuuuur  (5 x S; 1   y S;1 z S) ( 2; 16; 2)     nên tọa độ của điểm S là S(7;15;3).

� Nếu k  2 thì SMuuuur  (5 x S; 1   y S;1  z S) (2;16;2)  nên tọa độ của điểm S là S(3; 17; 1)  

Vậy tọa độ các điểm S cần tìm là S(7;15;3) hoặc S(3; 17; 1)  

Ví dụ 7.1.6 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho tam giác ABC có A(2; -1;3) , B(3;0; -2) , C(5; - 1; -6)

1 Tính cosBAC� ,suy ra số đo của BAC� ;

99

2.Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc H của A trên BC và toạ độ điểm A’ đối

xứng của A qua đường thẳng BC.

Lời giải.

Ta có : AB (1;1; 5) , AC (3;0; 9)uuur  uuur  ,suy ra

cos BAC cos(AB, AC)� AB.AC

AB AC

uuur uuur uuur uuur

uuur uuur

= 2 2 3 452 2 2 2 48 16

27 90 3 30

1 1 ( 5) 3 0 ( 9)

     

Suy ra BAC 13 10 '� ; 0

2 Tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên đường thẳng BC.

Kí hiệu (x;y;z) là toạ độ của H ,tacó

AH BC

BH cu�ngph��ngBC

� 

�

�

�

uuur uuur uuur uuur

AH (x 2;y 1;z 3),BC (2; 1; 4)      

, BHuuuur (x 3; ;y z2)

AH BC �AH.BC 0 �2(x 2) (y 1) 4(z 3) 0     

uuur uuur uuur uuur

2x y 4z 7 0   

BHuuur cùng phương với BC �uuur 2 3

y z

�

�  

� Giải hệ

2x y 4z 7

x 2y 3

4y z 2

�    

�  

�

�  

�

ta được H(1;1;2).

Tọa độ A’ đối xứng của A qua BC.

A’ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng BC�H là trung điểm của AA’

A A '

H

A ' H A

A A '

A ' H A

A A '

H

x x

x

2 x 2x x 0

y y

2

z 2z z 1

z z

z

2

�  

�

�   

�

�  ��   

� 

�

Vậy A’(0;3;1)

H A

A' B

C

Ví dụ 8.1.6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho tam giác ABC có A(4;2;0) , B(2;4;0) và C(2;2;1) Xác định tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.

Lời giải.

Toạ độ trực tâm của tam giác ABC

Gọi H(x;y;z) là trực tâm của tam giác ABC ,ta có

� 

�

� 

�

�

�

uuur uuur

uuur uuur

uuur uuur uuur

AH BC

BH AC

BC,AC,AH �o�ngpha�ng

Trong đó AH (x 4; y 2; z)uuur   , BCuuur(0; -2;1) ,BH (x 2; y 4;z)uuur   ,

AC ( 2;0;1) 

uuur

*AHuuur uuurBC�AH.BC 0uuur uuur �2(y 2) z 0   �2y z 4 

*BHuuur uuurAC�BH.AC 0uuur uuur �2(x 2) z 0   �2x z 4. 

*BC,AC,AHuuur uuur uuurđồng phẳng �[BC,AC].AH 0uuur uuur uuur (trong đó

[BC,AC] ( 2; 2; 4)uuur uuur     )�- 2(x – 4) -2(y – 2) – 4z =0

�x + y + 2z = 6

Giải hệ:

2y z 4

2x z 4

x y 2z 6

�  

�  

�

�   

�

, ta được H(7 7 2

; ; )

3 3 3 ).

Toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi I(x;y;z) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ,ta có

AI BI CI

BC,AC,AI �o�ngpha�ng

�

�

�uuur uuur uur

* AI = BI = CI

�

� �



� �

�

�

�

x y 0

4x 2z 11

� 

� �  

�

*BC,AC,AIuuur uuur uur đồng phẳng �[BC,AC].AI 0uuur uuur uur �x + y + 2z = 6

101

Giải hệ

x y 0

4x 2z 11

x y 2z 6

� 

�  

�

�   

�

,ta được I� �

23 23 1; ;

8 8 4 .

CC BI TỐN LUYỆN TẬP

Bi 1

1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba véc tơ

2 3 5 , 3 4 , 2

a i j k b  j  k c  i j

ur r r r r r r r r r a) Xác định tọa độ các véc tơ a b cur r r, , , xr 3aur2br và tính xr

b) Tìm giá trị của x để véc tơ ury2x  1; x x;3  2 vuông góc với véc tơ

2b cr r

c) Chứng minh rằng các véc tơ a b cur r r, , không đồng phẳng và phân tích véc tơ

3;7; 14

uur  qua ba véc tơ a b cur r r, , .

2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các véc tơ

2 3 , 2 , 2 3

a i j k b   i k c j k

ur r r r r r r r r r a) Xác định tọa độ các véc tơ a b cur r r, ,

b) Tìm tọa độ véc tơ uur 2aur 3br 4cr và tính uur

c) Tìm x để véc tơ vr  (3x 1;x 2;3 x) vuông góc với br

d) Biểu diễn véc tơ xr  (3;1;7) qua ba véc tơ a b cur r r, ,

Bi 2

1 Cho hai véc tơ a br,r có ar  2 3, br  3,( , ) 30 a br r  0 Tính

a) Độ dài các véc tơ a b ar r,5r 2 ,3b ar r 2 ,br

b) Độ dài véc tơ � � �� � �a br,r , a br,3 , 5 , 2 r����ar  br��

2 Tìm điều kiện của tham số m sao cho

a) Ba véc tơ u(2;1; m),v(m 1; 2;0),w(1; 1;2)r  r   r  đồng phẳng.

b) A(1; 1;m),B(m;3;2m 1),C(4;3;1),D(m 3; m;2 m)      cùng thuộc một mặt phẳng.

c) Góc giữa hai véc tơ a(2;m;2m 1),b(m;2; 1)r  r  là 60 0

Bi 3 Cho tam giác ABC có B( 1;1; 1),C(2;3;5)   Điểm A có tung độ

là 1,

3 hình chiếu của điểm A trên BC là

7

K 1; ;3 3

� � và diện tích tam giác ABC là S 49.