13 SDMTCT trong các bài toán hình học giải tích trong không gian (đã tải)

xóa màn hìnhMàn hình hiện... Tính độ dài đường cao AH của ABC Công thức: Cho điểm M, đường thẳng d đi qua M và có vecto chỉ phương 0 a.. Khi đó, khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d

§13 Sử dụng máy tính cầm tay trong các bài toán hình học giải tích trong không gian Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vecto a2; 5;3 , b  0;2; 1 , c  1;7;2 Tìm tọa độ của vecto u a 4b 2c   

A. u0; 27;3 B. u0; 27;3  C. u0; 27; 3   D. u0; 27; 3 

Cách giải bằng máy tính:

Ta thực hiện như sau:

(nhập vecto a)(nhập vecto b)(nhập vecto c)(xóa màn hình)(tìm tọa độ vecto u )Màn hình hiện

A.  a.b 450 B.  a.b 900 C.  a.b 1350 D.  a.b 00

Công thức: Công thức tính góc giữa hai vecto:

Bài tập 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vecto a2; 5;3 , b  0;2; 1 , c  1;7;2.

Tìm tọa độ vecto u thỏa mãn

a.u 5u.b 11u.c 20

Lưu ý: Để tìm x, y, z trong hệ trên Đối với máy CASIO 570VN PLUS, ta nhấn liên tục các phím sau:

Nhấn dấu bằng màn hình xuất hiện:

Nhấn tiếp dấu bằng màn hình xuất hiện

Tiếp tục nhấn dấu bằng màn hình xuất hiện

Vậy nghiệm của hệ là 2;3; 2 

Còn đối với máy VINACAL 570ES PLUS, ta nhấn liên tiếp các phím sau:

Sau đó nhấn dấu bằng xem nghiệm:

Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vecto a  1;1;0 , b 1;1;0 , c 1;1;1.Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

(nhập vecto b)(nhập vecto c)(xóa màn hình)Kiểm tra đáp án A Ta nhấn liên tục các phím:

)(xóa màn hình)Màn hình hiện

Vậy SABC 1 AB, AC 6847

    

Do đó, ta chọn đáp án A

Bài tập 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1; 2; 3 , B 0;3;7 ,C 12;5;0       Tính

độ dài đường cao AH của ABC

Công thức: Cho điểm M, đường thẳng d đi qua M và có vecto chỉ phương 0 a Khi đó, khoảng cách

từ điểm M đến đường thẳng d xác định bởi:

)(xóa màn hình)

Màn hình xuất hiện

Màn hình hiện

)(nhập vecto AD

)(xóa màn hình)

Màn hình hiện

Công thức: Cho hai đường thẳng d và 1 d chéo nhau Đường thẳng 2 d đi qua 1 M và có vecto chỉ1

phương u1; đường thẳng d đi qua 2 M và có vecto chỉ phương 2 u2 Khi đó, khoảng cách giữa haiđường thẳng d và 1 d được xác định bởi công thức:2

)(nhập vecto OA

)(xóa màn hình)

Màn hình hiện

Màn hình hiện

Công thức: Cho hai đường thẳng d và 1 d song song với nhau Đường thẳng 2 d đi qua 1 M và có1

vecto chỉ phương u1; đường thẳng d đi qua 2 M và có vecto chỉ phương 2 u2 Khi đó, khoảng cáchgiữa hai đường thẳng d và 1 d được xác định bởi công thức:2

Cách giải có hỗ trợ của máy tính:

Đường thẳng d đi qua 1 M 1; 3; 41   và có vecto chỉ phương là: u12;1; 2 

Đường thẳng d đi qua 2 M22;1; 1  và có vecto chỉ phương là: u2   4; 2; 4  

Ta có: u22u1 và M 1; 3; 41  d2 Suy ra d / /d 1 2

Ta có M M 1 2   3; 4; 5 

)(xóa màn hình)

Công thức: Cho hai đường thẳng d và 1 d Đường thẳng 2 d có vecto chỉ phương 1 u1; đường thẳng

)(xóa màn hình)

2

Công thức: Cho mặt phẳng  α và  β lần lượt có phương trình

A x B y C z D   0, A x B y C z D   0

Các vecto pháp tuyến của chúng lần lượt là n α A ;B ;C , n1 1 1  β A ;B ;C2 2 2

Khi đó, góc giữa hai mặt  α và  β được xác định bởi công thức:

Nhấn ON Sau đó, ta tiếp tục nhấn

(nhập tọa độ vecto n ABC )(nhập vecto u 2

)(xóa màn hình)

Công thức: Cho mp  α : Ax By Cz D 0    có vecto pháp tuyến nA; B;C và đường thẳng

Cách giải có hỗ trợ của máy tính:

Vecto chỉ phương của d là ud 0;1;1

Vecto pháp tuyến của  α là n α 1;1;0

Màn hình hiện

Màn hình hiện

Vậy,d, α  300 Như thế ta chọn đáp án C

Bài tập 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :x 2 y z 1

Cách giải có hỗ trợ của máy tính:

Tạo độ giao điểm của đường thẳng  và mặt phẳng  P là nghiệm của hệ:

Lưu ý: Để tìm nghiệm của hệ trên ta nhấn liên tiếp các phím sau:

Màn hình lần lượt xuất hiện các kết quả như sau:

Bài tập 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1;0;0 ,B 0; 2;0 ,C 0;0; 3       .Lập phương trình mặt phẳng ABC 

A. x 2y 3x 0   B. 6x 3y 2z 6 0   

Cách giải có hỗ trợ của máy tính:

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng  β là: n β 2; 1;3 

Vì mặt phẳng  α đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng  β nên vecto pháp tuyến củamặt phẳng  α là: n α AB, n β    1;13;5

Bài tập 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M 1; 2;5   và hai mặt phẳng

 β : x 2y 3z 1 0, γ : 2x 3y z 1 0          Viết phương trình mặt phẳng  α đi qua điểm M vàvuông góc với hai mặt phẳng    β , γ

A. x y z 3 0    B. x y z 2 0   

C. x y z 2 0    D. x y z 5 0   

Cách giải có hỗ trợ của máy tính:

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng  β là: n β 1;2; 3 

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng  γ là: n γ 2; 3;1 

Vì mặt phẳng  α vuông góc với hai mặt phẳng  β và  γ nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng  αlà:

Lưu ý: Để giải hệ trên, đối với máy tính VINACAL 570ES PLUS II, ta nhấn liên tiếp các phím sau:

Sau đó, ta nhấn dấu bằng thu được nghiệm X 2, Y 2, Z 2, T 1

Công thức: Cho  P : Ax By Cz D 0, M x , y , z     0 0 0 Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên

 P Khi đó, tọa điểm H được xác định bởi công thức:

Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc với mặt phẳng  P Khi đó, d nhận vecto pháp tuyến của

 P làm vecto chỉ phương Do đó, phương trình tham số của d là:

0 0 0

923

Sau đó nhấn CALC nhập X 2; Y 3; M 5 Rồi nhấn dấu bằng, màn hình hiện

Bài tập 21: Cho mặt phẳng  P : 2x y 2z 6 0    và điểm M 2; 3;5   Tìm tọa độ điểm M’ đốixứng với M qua  P

Công thức: Cho  P : Ax By Cz D 0, M x , y , z     0 0 0 Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua Khi

đó, tọa độ điểm M’ được xác định bởi công thức:

Vậy ta có điều phải chứng minh

Cách giải có hỗ trợ của máy tính:

91

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng  P là: n P 1; 2;3 

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng  Q là: n Q 3; 2; 5 

Vì d là giao tuyến của hai mặt phẳng  P và  Q nên vecto chỉ phương của đường thẳng d là:

Cách giải có hỗ trợ của máy tính:

Vecto chỉ phương của đường thẳng d là: 1 u12; 2;1 

Vecto chỉ phương của đường thẳng d là: 2 u2   1;1; 3 

Vì đường thẳng d cần lập vuông góc với hai đường thẳng d ,d nên vecto chỉ phương của đường1 2thẳng d là: u , u 1 2 5;5;0 Chọn u d 1;1;0

Phương trình tham số của đường thẳng d là:

Lưu ý: để tính được u , u 1 2 5;5;0 , ta nhấn liên tục các phím sau:

Màn hình hiện

Bài tập 24: Cho  α : 2x y z 1 0    và  d :x 1 y z 2

 

 Viết phương trình của đường thẳng

 m qua giao điểm của  d và  α , vuông góc với  d đồng thời nằm trong mp α

513

513

513

Cách giải có hỗ trợ của máy tính:

Tọa độ giao điểm của đường thẳng  d và  α là nghiệm của hệ:

7

x 1 y

x5

Vecto chỉ phương của đường thẳng  d là: u d 2;4; 3 

Vecto pháp tuyến của  α là: n  α 2;1;1

Vì đường thẳng d cần lập vuông góc với  d , đồng thời nằm trong mp  α nên vecto chỉ phương củađường thẳng d là: u , nd  α  7; 8; 6  

513

Lưu ý: Trong bài tập này ta dùng máy tính cầm tay giải hệ phương trình ba ẩn tìm giao điểm

  Ta thực hiện trên máy tính như sau:

Đối với máy CASIO 570VN PLUS, ta nhấn liên tiếp các phím:

Màn hình hiện

Nhấn dấu bằng, màn hình hiện

Đối với máy tính VINACAL 570ES PLUS II, ta nhấn liên tiếp các phím sau:

Cách giải có hỗ trợ của máy tính:

Phương trình 1 viết lại dạng tham số:  1

x 23 8t: y 10 4t

Đường thẳng 2 đi qua M 3; 2;02   và có vecto chỉ phương là: u22; 2;1 

Vì các mặt phẳng  P và  Q song song với nhau và lần lượt đi qua 1 và 2 nên vecto pháp

  Ta thực hiện trên máy tính như sau:

Đối với máy CASIO 570VN PLUS, ta nhấn liên tiếp các phím:

Bài tập 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x 3y z 11 0    và mặt cầu

 S : x2y2z2 2x 4y 2z 8 0    Tìm tọa độ tiếp điểm của  P và  S

A. H 3;1; 2   B H 3;1; 2  C. H 3; 1; 2   D. H 3; 1;2  

Cách giải có hỗ trợ của máy tính:

Lưu ý: Các thao tác trên máy tính đối với bài toán này như sau

Để tính k, ta nhập vào máy biểu thức  

Tính y , ta nhấn Màn hình hiệnH

Nhấn AC, xóa màn hình

Tính z , ta nhấn Màn hình hiệnH

BÀI TẬP TỰ LUYỆN 13.1 Cho a2; 5;3 , b  1; 2; 1 , c  1;3;2 Tìm tọa độ của các vecto u 3a b 5c   

A. u10; 2; 20 B. u10; 2; 20  C. u  10; 2; 20  D. u10; 2; 20  

13.2 Cho a2;3;1 , b 1; 2; 1 , c     2;4;3 Tìm tọa độ vecto thỏa

a.u 5u.b 11u.c 20

13.3 Cho A 1;1;1 , B 5;1; 2 ,C 7;9;1       Tính diện tích ABC

13.4 ChoA 0; 2;0 , B 1; 1;3 ,O 0;0;0       Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng AB

13.10 Cosin góc hợp bởi hai đường thẳng d :1 x y 1 z 1

13.11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : x 2y z 4 0    và điểm A 2;3; 2  Tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng  P là



32

13.13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x y 2z 1 0    và đường thẳng

13.15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 6x 3y 2z 1 0    và mặt cầu

 S : x2y2z2 6x 4y 2z 11 0    Mặt phẳng  P cắt mặt cầu  S theo giao tuyến là một đườngtròn  C Tìm tọa độ tâm của  C

13.16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 3;5;0 và mặt phẳng 

 P : 2x 3y z 7 0    Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua  P

13.18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A 1; 1; 2 , B 0;1;1      và mặt phẳng

 P : x y z 1 0    Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với  P

A. x 2y z 1 0    B. x 2y z 1 0    C. x 2y z 1 0    D. x 2y z 1 0   

13.19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x 2y z 4 0    và mặt cầu

 S : x2y2z2 2x 4y 6z 11 0    Mặt phẳng  P cắt mặt cầu  S theo một đường tròn Xácđịnh tọa độ tâm của đường tròn đó

A. H 3;0; 2  B. H 3;0; 2   C. H 3;0; 2   D. H 3;0;2 

13.20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1;4;2 , B 1; 2; 4    và đường thẳng

13.27 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 vecto a  1;1;0 , b 1;1;0 , c 1;1;1 Trongcác mệnh đề sau mệnh đề nào sai:

13.29 Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD, với A 1;0;0 , B 0;1;0 ,C 0;0;1 , D 1;1;1 Mặt       cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính là:

4

13.30 Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD, với A 2; 1; 2 ; B 1;1; 2 ;C 1;1;0 ; D 1;0;1         

Độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ D bằng:

13.35 Trong mặt phẳng Oxyz, cho tứ diện ABCD, với A 2;3;1 ;B 4;1; 2 ;C 6;3;7 ; D 5; 4; 8          

13.36 Cho tứ diện ABCD, với A 1;0;0 ; B 0;1;0 ;C 0;0;1 ;D 2;1; 1         Thể tích của tứ diện ABCDlà:

13

13.37 Phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng d :1 x 1 y 2 z 4