CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014: GIẢI PT - BẤT PT - HỆ PT MŨ & LOGARIT - PHẦN 1 Giải phương trình PT, bất phương trình BPT, hệ phương trình HPT Mũ và Logarit là một trong những phần
Trang 1CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014:
GIẢI PT - BẤT PT - HỆ PT MŨ & LOGARIT - PHẦN 1
Giải phương trình (PT), bất phương trình (BPT), hệ phương trình (HPT) Mũ và Logarit là một trong những phần trọng tâm của mảng toán về Mũ và Logarit Chuyên đề sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng cơ bản để bạn nhập môn này và nâng cao dần khả năng giải quyết các bài toán khó trong chuyên
đề
NHẮC LẠI CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ MŨ & LOGARIT
1.HÀM SỐ MŨ: y = a với a > 0 và a ≠ 1 (trong đó a gọi là cơ số, x gọi lại mũ )
_ Tập xác định R
_ Tập giá trị R
_ Hàm số luôn đồng biến trên R khi a > 1, luôn nghịch biến trên R khi 0 < a < 1
2.HÀM SỐ LOGARIT: y = log x với a > 0, a ≠ 1 ( trong đó a gọi cơ số )
_ Tập xác định R
_ Tập giá trị R
_ Hàm số luôn đồng biến trên R khi a > 1, luôn nghịch biến trên R khi 0 < a < 1
_ Logarit cũng có những dạng thông dụng như logarit thập phân và logarit tự nhiên
→ logarit thập phân: là logarit cơ số 10, thường được viết tắt là logb hoặc lgb
→ logarit tự nhiên: là logarit cơ số e (e ≈ 2,718 > 1), viết tắt là lna ( đọc là log nepe a )
3 Các công thức về MŨ ( với a > 0 và a ≠ 1
♥ a a = a ♥ a.b = (a.b) ♥ = a ♥ (a) = a
♥ = a ♥ = ♥ = a ♥ =
♥ = ♥ a = 1 ♥ = ♥ =
4 Các công thức về LOGARIT ( với a,b,c > 0 và a ≠ 1 )
♫ log a = x (∀x ∈ R) ♫ log1 = 0 ♫ log a = 1 ♫ a = b
♫ log b + log c = log (bc) ♫ log b - log c = log ♫ a = x
♫ log b = α log b ♫ log b = log b (∀b > 0, α∈ R) ♫ = log a
♫ log = log b = - log b ♫ log = log b = logb (∀b > 0, α∈ R*)
♫ log b = ♫ log c log b = log b (∀b > 0, 0 < c ≠ 1)
5 Hệ quả từ định nghĩa hàm mũ và hàm logarit ( với a > 0 và a ≠ 1 )
☼ Nếu a > 1 thì a < a ⇔α < β ☼ Nếu 0 < a < 1 thì a < a ⇔α > β
☼ Cho 0 < a < b và m là số nguyên ta có:
☼ Nếu a > 1 thì log b > log c ⇔ b > c ☼ Nếu 0 < a < 1 thì log b < log c ⇔ b < c
☼ Nếu a > 1 thì log b > 0 ⇔ b > 1 ☼ Nếu 0 < a < 1 thì log b > 0 ⇔ b < 1
☼ Nếu a = a ⇔ m = n ☼ Nếu log m = log n ⇔ m = n
PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
Với a > 0, a ≠ 1, ta có:
+ phương trình a = a ⇔ f(x) = g(x)
+ phương trình a = b (b > 0) ⇔ f(x) = log b
+ phương trình a = b ⇔ f(x) = g(x)logb (log hóa)
+ phương trình log f(x) = log g(x) ⇔ f(x) = g(x)
+ phương trình log f(x) = b ⇔ f(x) = a (mũ hóa)
Các phương pháp có thể dùng để giải phương trình mũ - logarit là:
→ Dạng 1: Chuyển phương trình về cùng một cơ số.
→ Dạng 2: Chuyển về phương trình tích (đặt thừa số chung ).
→ Dạng 3: Đặt ẩn phụ - đổi biến.
→ Dạng 4: Mũ hóa - Logarit hóa.
Trang 2→ Dạng 5: Dựa vào tính đơn điệu của hàm số (tính đồng biến - nghịch biến )
→ Dạng 6: Tuyển tập các dạng bài tập nâng cao - đặc biệt
DẠNG 1: CHUYỂN PHƯƠNG TRÌNH VỀ CÙNG MỘT CƠ SỐ.
→ PP: sử dụng các công thức biến đổi PT để đưa về dạng a = a hoặc log f(x) = log g(x)
Ví dụ 1: Giải phương trình:
a 4 5 = 5 10
→ HD giải: Để ý vế phải có cơ số 10 = 2.5 nên ta biến đổi về trái:
Ta xét Vế trái = 4 5 = 2 5 = 2 5.5 = 5.10
Khi đó phương trình ⇔ 5.10 = 5 10
⇔ 10 = 10
⇔ 4x + 2 = 2x + 3x - 78 ⇔ x =
b 243 = 3 9
→ HD giải: Điều kiện là ⇔
Nhận xét cả 2 vế phương trình đều có thể đưa về cơ số 3, nên ta biến đổi:
= 3 ; 9 = 3; 243 = 3; nên phương trình đã cho có dạng: 3 3 = 3 3
Khi đó phương trình ⇔ 3 = 3
⇔ + 5 = -2 + 2 (1)
Quy đồng và rút gọn có PT (1) trở thành 41x + 102x - 248 = 0 ⇔ x = - 4 v x =
c (x - 2) = (x - 2)
→ HD giải: PT ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = 4 v x = 5
Ví dụ 2: Giải phương trình:
a.log (3x - 1) + = 2 + log (x + 1)
→ HD giải: Điều kiện ⇔ x >
Vì = log a nên phương trình đã cho có dạng:
log (3x - 1) + log (x + 3) = log 2 + log (x + 1)
⇔ log [(3x - 1)(x + 3)] = log 4(x + 1)
⇔ (3x - 1)(x + 3) = 4(x + 1) (*)
Rút gọn và giải (*) ta được x = (loại), x = 1 (thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1
b 2log(x - 5x + 6) = log + log (x - 3)
→ HD giải: Điều kiện⇔ ⇔ (*)
PT ⇔ 2 log(x - 5x + 6) = log + log (x - 3)
⇔ log [(x -2)(x - 3)] = log + log(x - 3)
⇔ (x -2)(x - 3) = (x - 3) (do x ≠ 3 nên x - 3 ≠ 0)
⇔ (x -2) = (2)
Giải phương trình (2) ta được x = 3 (loại) và x = ( thỏa mãn).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =
Chú ý: + Khi giải các bài toán về LOG, ta cần chú ý đến điều kiện tồn tại của log b đó là 0 < a ≠ 1 và
b > 0 Đặc biệt nếu A > 0 ⇔ A ≠ 0.
c log (x + 2) - 3 = log (4 - x) + log (x + 6)
→ HD giải: Điều kiện ⇔
PT ⇔ 3log |x + 2| - 3 = 3log (4 - x) + 3log (x + 6)
⇔ log |x + 2| - 1 = log (4 - x) + log (x + 6)
⇔ log |x + 2| - log = log [(4 - x)(x + 6)]
⇔ log [4|x + 2|] = log [(4 - x)(x + 6)]
⇔ 4|x + 2| = - x - 2x + 24
⇔ ⇔ So điều kiện ta nhận x = 2 , x = 1 -
Trang 3BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải các phương trình sau:
1) 2.5 = 0,01.(10) 2) (0,6) = (0,216) 3) 2.3.5 = 12
4) 2 + 2 + 2 = 3 + 3 + 3 5) 2 = 4 6)
7) 2 = 16 8) 32 = 128 9) 16 = 0,125.8
10) 5 + 6.5 - 3.5 = 52 11) 3 = 9 12) (x - 2x + 2) = 1
13) 2.3.5 = 200 14) 4.9 = 3 15) 3 =
16) log (x - 2) + log (x - 2) + log (x - 2) = 4 17) log = 2log (x - 1) - log (x + 1)
18) log (x - 2) - 2 = 6log 19) log (x + x) - 2 + log (2x + 2) = 0
20) log (x + 4x - 4) = 3 21) log (x - 1) = 2log (x + x + 1)
22) log (x + 3x + 2) + log (x + 7x + 12) = 3 + log3 23) log (x + 2) - 3 = log (4 - x) + log (x + 6)
24) log(x + 1) + 2 = log + log (4 + x) 25) log - log (3 - x) - log (x - 1) = 0
26) log (x + 3x + 2) - log (x + 7x + 12) = 2 + log 27) log (2x + 2x - 3x + 1) = 3
DẠNG 2: CHUYỂN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH (Đặt thừa số chung)
→ PP: thường sử dụng đối với các bài toán có nhiều cơ số hoặc có x ở ngoài số mũ.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
a 25 = 9 + 2.5 + 2.3
→ HD giải: PT ⇔ 5 = 3 + 2.5 + 2.3
⇔ (5 - 3) - 2(5 + 3) = 0
⇔ (5 - 3)(5 + 3) - 2(5 + 3) = 0
⇔ (5 + 3)(5 - 3 - 2) = 0
⇔
b 4 + 4 = 4 + 1
→ HD giải: Nhận xét 2x + 3x + 7 = (x - 3x + 2) + (x + 6x + 5)
Do đó phương trình ⇔ 4 + 4 = 4 + 1
⇔ (4 - 1) + 4 - 4 = 0
⇔ (4 - 1) + 4 - 4.4 = 0
⇔ (4 - 1) + 4.(1 - 4) = 0
⇔ (4 - 1).(1 - 4 ) = 0
⇔⇔⇔
c 12.3 + 3.15 - 5 = 20
→ HD giải: PT ⇔ (12.3 + 3.15) - 5.5 - 20 = 0
⇔ 3.3(4 + 5) - 5(5 + 4) = 0
⇔ (4 + 5)(3.3 - 5) = 0
⇔ ⇔ x = log
d 9 + 2(x - 2)3 + 2x - 5 = 0
→ HD giải: PT ⇔ 3 + 2x.3 - 4.3 + 2x - 5 = 0
⇔ (3 - 4.3 - 5) + 2x(3 + 1) = 0 ( để tạo ra thừa chung ta sử dụng công thức Vi-et)
⇔ (3 + 1)(3 - 5) + 2x(3 + 1) = 0
⇔ (3 + 1)(3 - 5 + 2x) = 0
⇔
Ví dụ 2: Giải phương trình:
a logx + logx = 1 + logx.logx
→ HD giải: Điều kiện x > 0
PT ⇔ (log x - 1) + log x - logx.log x = 0
⇔ (log x - 1) + (1 - log x).log x = 0
⇔ (log x - 1)(1 - log x) = 0
⇔⇔ (thỏa x > 0)
Trang 4b (x + 1)[logx] + (2x + 5)log x + 6 = 0
→ HD giải: Điều kiện x > 0
So với VD1 câu d thì bài toán này cũng tương tự nhưng chúng ta sẽ thử làm theo cách " xét ∆ "
Nếu xem log x là biến số và x là tham số, ta có phương trình bậc 2
Xét ∆ = (2x + 5) - 24(x + 1) = 4x - 4x + 1 = (2x - 1) ( ∆ có dạng số chính phương )
Khi đó log x = = hay log x = = - 2
Vậy ta có log x = -2 ⇔ x = 2 =
Và log x = ( Dùng dạng 5 để giải tiếp )
BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải các phương trình sau:
1) 2 + 2 = 2.2 + 1 2) x.2 + 6x + 12 = 6x + x.2 + 2
3) 2 + 3 = 6 + 2 4) 4+ x.3 + 3 = 2x.3 + 2x + 6
5) x.2 = x(3 - x) + 2(2 - 1) 6) 2[log x] + xlog x + 2x - 8 = 0
7) 3.25 + (3x - 10).5 + 3 - x = 0 8) (x + 2)[log (x + 1)] + 4(x + 1)log (x + 1) - 16 = 0
9) 8 - x.2 + 2 - x = 0 10) x.3 + 3 (12 - 7x) = - x + 8x - 19x + 12
11) 25 - 2(3 - x).5 + 2x - 7 = 0 12) log x + (x - 1)log x = 6 - 2x
13) x + (2 - 3)x + 2(1 - 2) = 0 14) lg (x + 1) + (x - 5)lg(x + 1) - 5x = 0
15) log x log 5 - 1 = log x - log 5 16) log x + 5log x = 5 + log x.log x
DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHỤ - ĐỔI BIẾN
→ PP: Phương trình tồn tại a , a , a , a , v.v ⇒ ta đặt t = a > 0
Hoặc PT có a và b với a.b = 1 ⇒ ta đặt t = a > 0 và khi đó b = =
Ví dụ 1: Giải phương trình:
a 2 + 2 = 9
→ HD giải: PT ⇔ 2 + = 9 ⇔ 2 + = 9 ( Đặt t = 2 > 0 )
PT thành t + = 9 ⇔ t - 9t + 8 = 0 ⇔ ( Nhận vì thỏa t > 0 )
Khi đó với t = 1 ⇔ 2 = 1 = 2 ⇔ x = 0
Và t = 8 ⇔ 2 = 8 = 2 ⇔ x = 3
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0, x = 3
b + = 12
→ HD giải: Nhận xét = = 1 = 1
Nên ta đặt t = > 0 thì =
Khi đó, PT thành + t = 12 ⇔ t - 12t + 1 = 0 ⇔ ( thỏa mãn vì t > 0 )
Với t = 6 + ⇔ = 6 + ⇔ (6 + ) = (6 + ) ⇔ = 1 ⇔ x = 2
Với t = 6 - ⇔ = 6 - ⇔ (6 + ) = (6 + ) ⇔ = -1 ⇔ x = - 2
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 2, x = -2
c 3 - 28.3 + 9 = 0
→ HD giải: PT ⇔ 3.3 - 28.3 + 9 = 0 ( Đặt t = 3 > 0)
⇔ 3t - 28t + 9 = 0
⇔ ( Nhận vì thỏa t > 0 )
Với t = 9 ⇔ 3 = 9 = 3 ⇔ x + x = 2 ⇔ x + x - 2 = 0 ⇔
Với t = ⇔ 3 = = 3 ⇔ x + x = -1 ⇔ x + x + 1 = 0 ( vô nghiệm )
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1, x = -2.
d (3 - ) + (3 + ) = 6.2
→ HD giải: Đối với PT trên, ta thấy rằng không thể xét (3 - )(3 + ) ≠ 1
Trong khi đó PT vừa khác mũ ? vừa khác cơ số ? ⇒ ta biến đổi phương trình để đưa về cùng mũ
Trang 5PT ⇔ (3 - ) + (3 + ) = 3.2.2
⇔ (3 - ) + (3 + ) = 3.2 (*)
Đến đây PT đã cùng mũ nhưng lại khác cơ số ? Rõ ràng (3 - ) và (3 + ) hoàn toàn có "bà con"
Ta chia 2 vế phương trình (*) cho 2 và được:
(*) ⇔ + = 3
⇔ + = 3
Nhận xét = = 1 = 1 ( đến đây ta đã biến đổi thành công !)
Nên ta đặt t = > 0 và khi đó =
PT thành + t = 3 ⇔ t - 3t + 1 = 0 ⇔ ( Nhận vì thỏa t > 0 )
Với t = ⇔ = ⇔ 2x + 1 = 1 ⇔ x = 0
Với t = ⇔ = ⇔ 2x + 1 = -1 ⇔ x = -1
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0, x = -1
e 125 - 4.50 + 20 + 6.8 = 0
→ HD giải: Đối với câu e này, ta thấy rằng các PT cùng mũ nhưng cả 4 cơ số đều khác nhau Nên ta
quyết định sẽ chia bớt cho một cơ số để tìm mối quan hệ giữa các cơ số còn lại Kinh nghiệm là ta sẽ chia
cho cơ số lớn nhất hoặc cơ số nhỏ nhất.
Cách 1: Chia cho cơ số lớn nhất 125
PT ⇔ 1 - 4.+ + 6 = 0
⇔ 1 - 4.+ + 6 = 0 ( Đặt t = > 0 )
PT thành 1 - 4t + t + 6t = 0 ⇔
Với t = ⇔ = ⇔ x = log (Chú ý: a = b ⇔ x = log b)
Với t = ⇔ = ⇔ x = log
Vậy phương trình có 2 nghiệm
Cách 2: Chia cho cơ số nhỏ nhất 8
PT ⇔ - 4.+ + 6 = 0 ⇔ - 4.+ + 6 = 0 (HS tự làm tiếp)
Ví dụ 2: Giải phương trình:
a log (4 + 4).log (4 + 1) = 3
→ HD giải: Điều kiện:(luôn đúng)
PT ⇔ log (4.4 + 4).log (4 + 1) = 3
⇔ log [4.(4 + 1)].log (4 + 1) = 3 ( Ta có log b + log c = log bc )
⇔ [log 4 + log(4 + 1)].log (4 + 1) = 3
⇔ [2 + log(4 + 1)].log(4 + 1) = 3 ( đặt t = log(4 + 1)
PT thành (2 + t).t = 3
⇔ t + 2t - 3 = 0 ⇔
Với t = 1 ⇔ log(4 + 1) = 1 ⇔ 4 + 1 = 2 ⇔ 4 = 1 = 4 ⇔ x = 0
Với t = -3 ⇔ log(4 + 1) = -3 ⇔ 4 + 1 = 2 ⇔ 4 = - 1 = < 0 (vô nghiệm)
Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 0
b 1 + log (x - 1) = log 4
→ HD giải: Điều kiện: ⇔
PT ⇔ 1 + log (x - 1) = log 2 (ta có log b = α log b)
⇔ 1 + log (x - 1) = 2log 2 (ta có log b = )
⇔ 1 + log (x - 1) = 2 ( Đặt t = log (x - 1) )
PT thành 1 + t = ⇔ t + t - 2 = 0 ⇔
Với t = 1 ⇔ log (x - 1) = 1 ⇔ x - 1 = 2 ⇔ x = 3 (nhận)
Với t = -2 ⇔ log (x - 1) = -2 ⇔ x - 1 = 2 = ⇔ x = (nhận)
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 3, x =
c log (x - 1) - 5log (x - 1) + 1 = 0
→ HD giải: Điều kiện: (x - 1) > 0 ⇔ x - 1 ≠ 0
Trang 6PT ⇔ [log (x - 1)] - 10.log (x - 1) + 1 = 0
⇔ [4log (x - 1)] -10.log (x - 1) + 1 = 0
⇔ 16[log (x - 1)] - 10.log (x - 1) + 1 = 0 ( đặt t = log (x - 1))
PT thành 16t - 10t + 1 = 0 ⇔
Với t = ⇔ log (x - 1) = ⇔ x - 1 = 2 = ⇔ x = 1 +
Với t = ⇔ log (x - 1) = ⇔ x - 1 = 2 = ⇔ x = 1 +
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1 + , x = 1 +
Chú ý: Cần phân biệt log b ≠ log b
d log + log = log(x + 2)
→ HD giải: Điều kiện:⇔ x > 2
Ta có 7 - 4 = (2 - ) và (2 - )(2 + ) = 4 - 3 = 1
Nên ta đặt t = 2 - ⇒ 2 + =
Ta có PT ⇔ - log + log = log(x + 2)
⇔ - log + log = log
⇔ - ( log + log ) + log = log
⇔ log + log = 0
⇔ log = 0 ⇔ = t = 1 ⇔ x - 4 = 1 ⇔ x = 5 ⇔ x = ±
Do x > 2 ⇒ nhận x =
e log (4x + 12x + 9) = 4 - log (6x + 23x + 21)
→ HD giải: Điều kiện:⇔ (*)
PT ⇔ log (2x + 3) = 4 - log [(3x + 7)(2x + 3)]
⇔ 2log (2x + 3) = 4 - [log (3x + 7) + log(2x + 3)]
⇔ 2log (2x + 3) = 3 - log (3x + 7)
Đặt t = log (2x + 3) ⇒ = log (3x + 7)
PT ⇔ 2t = 3 - ⇔ 2t - 3t + 1 = 0 ⇔ t=1 v t =
Với t = 1 ⇔ log (2x + 3) = 1 ⇔ 2x + 3 = 3x + 7 ⇔ x = - 4 ( loại vì không thỏa (*))
Với t = ⇔ log (2x + 3) = ⇔ 2x + 3 = (3x + 7) ⇔ (2x + 3) = 3x + 7
⇔ 4x + 9x + 2 = 0 ⇔ Vậy phương trình có nghiệm x =
BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải các phương trình sau:
1) 3 + 3 = 30 2) 2 + 2 - 17 = 0 3) 9 - 10.3 + 1 = 0
4) 64.9 - 84.12 + 27.16 = 0 5) 4 - 9.2 + 2 = 0 6) 4x+ x2 − 2 −5.2x− + 1 x2 − 2 − =6 0
7) 3.3 - 10.3 + 3 = 0 8) 3.2 - 8.2 + 4 = 0 9) 2 - 9.2 + 2 = 0
10) 25 = 25 + 24.5 11) (2 - ) + (2 + ) = 14 12) ( 4 15) ( 4 15) 8
13) 8 - 3.4 - 3.2 + 8 = 0 14) 2 - 6.2 - + = 1 15) ( + 1) + 2( - 1) = 3.2
16) + 5-2= 10 17) (5 - ) + 7(5 + ) = 2 18) + = 6
19) 3.4 + 2.9 = 5.6 20) (7 + 5) + ( - 5)(3 + 2) + 3(1 + ) + 1 - = 0
21) (2 + ) + (2 - ) = 22) (2 + ) + (7 + 4)(2 - ) = 4(2 + )
23) ( - 1) + ( + 1) - 2 = 0 24) 3.8 + 4.12 - 18 - 2.27 = 0 25) 3 - 2.3 + 3 = 0
26) (7 + 4) - 3(2 - ) + 2 = 0 27) log 2 + log x = 28) - 4log = 1
29) - log = 0 30) log (x - 8x + 16) + log (-x + 5x - 4) = 3
31) 1 + = log 32) log log x - log = + log
33) log (-x) - 2logx + 4 = 0 34) log x - log x = log 3 - 1 35) log (5 - 1).log(2.5 - 2) = 2
36) 5log x + log x + 8log x = 2 37) log (4 + 15.2 + 27) + 2log = 0
38) log + log 5x - 2,25 = log 39) 3log 6 - 4log x = 2log x
40) log 2.log 2 = log 2 41) log (lgx + 2 + 1) - 2log ( + 1) = 1
42) + = 1 43) lg x - lgx + 2 = 0
Trang 744) log x + 40log x = 14.log x 45) log (x - 1) - 5log (x - 1) - 3376 = 0
46) log (2 + x) + log x = 2 47) log (2x - 9x + 9) + log (4x - 12x + 9) = 4
48) log(9 + 7) = 2 + log (3 + 1) 49) lg (x - 1) + lg (x - 1) = 25
50) 3 + = log 9x - 51) log (2x + x - 1) + log(2x - 1) = 4
52) 4 + 2 = 4 + 2 53) 4 - 3.2 - 4 = 0
54) log (x + 1) - 6log + 2 = 0 55) (3 + 2) = ( - 1) + 3
56) = 2(0,3) + 3 57) = 6.(0,7) + 7 58) 3.16 + 2.81 = 5.36
59) 3 - 8.3 - 9.9 = 0 60) 5.3 - 7.3 + = 0
61) 8.3 + 9 = 9 62) (26 + 15) + 2(7 + 4) - 2(2 - ) = 1
63) 4 + 2 = 2 + 1 64) lg x - 20lg + = 0 65) 3 + = 5
66) 9 - 3 = 3- 1 67) 2 - = 6 68) 2 + 2 = 1 + 2
68) log 27 - log 3 + log 243 = 0 69) 8 + 1 = 2 70) 2 - 2 - 6(2 - 2.2) = 1
DẠNG 4: MŨ HÓA - LOGARIT HÓA
→ PP: giúp ta chuyển một PT mũ - log về một PT log - mũ mà ta đã biết cách giải Cần chú ý:
♂ a = b ⇔ log a = log b
⇔ f(x) = g(x).log b ( hoặc log a = log b ⇔ f(x).log a = g(x) )
♀ log f(x) = log g(x) Đặt t = log f(x) = log g(x)
Khi đó: a = f(x) và b = g(x) ⇒ chuyển về phương trình mũ
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a 5.8 = 500
→ HD giải: Điều kiện x ≠ 0
Nhận xét ta không để đưa PT trên về cùng một cơ số và đồng thời số mũ của chúng cũng khác nhau hoàn toàn Do vậy ta thử LOG HÓA PT mũ trên Để thực hiện ta cần chọn cơ số cho Logarit Việc chọn " cơ số "
sẽ giúp bạn giải hoặc nhanh hoặc chậm bài toán đi nhưng cuối cùng đích đến vẫn là tìm được đáp số.
Cách 1: Lấy log 2 vế với cơ số 5.
PT ⇔ log (5.8) = log 500
⇔ log 5 + log 8 = log (5.2) (Để phân tích 500 = 5.2 ta chia nó cho các số nguyên tố)
⇔ x + 3 log 2 = 3 + 2log2
⇔ (x - 3) + log 2 3 - 2 = 0
⇔ (x - 3) + log 2 = 0
⇔ (x - 3)1 + = 0 ⇔ x=3 v 1 + = 0
Với 1 + = 0 ⇔ x + log 2 = 0 ⇔ x = -log 2
Vậy PT có 2 nghiệm x = 3 v x = -log 2
Cách 2: Lấy log 2 vế với cơ số 2 ( vì 8 = 2 )
PT ⇔ log (5.8) = log (5.2)
⇔ log 5 + log 2= 3log 5 + 2
⇔ x.log 5 + = 3log 5 + 2
⇔ (x - 3).log 5 + - 2 = 0
⇔ (x - 3).log 5 + = 0 ⇔ (x - 3)log 5 + ⇔ x = 3 v x = = - log 2
b x = 1000x
→ HD giải: Điều kiện x > 0
PT ⇔ lgx = lg1000x
⇔ lgx.lgx = lg1000 + lgx
⇔ lg x = 3 + 2lgx ( Đặt t = lgx )
PT thành t - 2t - 3 = 0 ⇔ ⇔⇔
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a log (log x + + 9) = 2x
Trang 8→ HD giải: Điều kiện x > 0
PT ⇔ log x + + 9 = 3
⇔ log x = ⇔ x = 9 = (nhận)
b log log x = log log x
→ HD giải: Điều kiện: ⇔ x > 1
Đặt t = log log x ⇔ log x = 5 (1)
Mặt khác t = log log x ⇔ log x = 2 (2)
Lại có log x = log 5.log x nên từ (1) và (2) ta có 5 = 2.log 5
Hay = log 5 ⇔ t = log (log 5) Thay vào (2) ta được: log x = 2 ⇔ x = 5
c 3log (1 + + ) = 2log
→ HD giải: Điều kiện: x > 0
Khác biệt giữa câu c này và câu b nằm ở chỗ dạng PT ở câu b là log = log còn với bài toán ta đang gặp
phải là m.log = n.log Kinh nghiệm là ta sẽ chọn k là bội số chung nhỏ nhất của cả 2 số m và n đó.
Đặt 6t = 3log (1 + + ) = 2log
Ta có: ⇔
Do đó 1 + 2 + 2 = 3 ⇔ 1 + 8 + 4 = 9 ( Giải tiếp bằng cách chia bớt cơ số và dùng dạng 5 )
BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải các phương trình sau:
1) 3 2 = 72 2) 2 = 3 3) 2 = x 4) 8 = 36.3
5) 5 = 2 6) 3 8 = 36 7) 5.2 = 50 8) 3 = 2
9) x = 8 10) 5.3 = 4 11) 2 3 = 12) x = 10
13) 2 = x 14) log (x - 3x - 13) = log x 15) log (1 + ) = log x
16) 2log ( + ) = log x 17) log (x + 2) = log x 18) log (x + 2x + 1) = log (x + 2x)
19) log (log x) = log (log x) 20) 3log (x + 2) = 2log (x + 1) 21) log (76 + ) = log x
22) log (1 + ) = log x 23) log (x + 1) + log (2x + 1) = 2 24) 2 3 = 1,5
25) log [2log (1 + 3log x)] = 26) log (x + 2) = log 5 27) 3.2 = 8.4
DẠNG 5: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
→ PP: xét PT mũ - logarit f(x) = 0 (*) với x∈ D
☺Nếu f(x) đơn điệu trên D (đồng biến hoặc nghịch biến trên D ) thì PT (*) có không quá một nghiệm Nghĩa là nếu có nghiệm sẽ có nghiệm duy nhất.
☻Nếu y = f(x) đơn điệu trên D (đồng biến hoặc nghịch biến trên D ) thì f(u) = f(v) ⇔ u = v với mọi u,
v ∈ D.
☼ Nếu y = f(x) có đạo hàm đến cấp k và liên tục trên D, đồng thời f (x) có đúng m nghiệm phân biệt thì phương trình f (x) = 0 sẽ có không quá m + 1 nghiệm
Chú ý: đạo hàm của (a )' = u' a lna và đạm hàm của (log u)' =
Hầu hết các phương pháp ở các dạng trên sau nhiều phép tính toán, biến đổi rất dễ đưa về dạng toán này Cho nên các bạn cần chú ý học và tìm hiểu kỹ dạng này Đó cũng là tiền đề để bạn sử dụng phương pháp
này để giải các dạng toán khác
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a 2 = 3 - x
→ HD giải: PT ⇔ 2 - 3 + x = 0
Xét f(x) = 2 - 3 + x với mọi x ∈ R
Ta có f'(x) = 2 ln2 + 1 > 0 ∀x ∈ R ( do 2 > 0 và ln2 > 0 )
⇒ f(x) luôn đồng biến trên R, mà f(1) = 0 nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất là x = 1.
b 9 = 5 + 4 + 2
Trang 9→ HD giải: Bài toán trên có đến 4 cơ số khác nhau, ta quyết định chia cho cơ số lớn nhất 9.
PT ⇔ 1 = ++ 2 ( Nhậm nghiệm thử ta thấy x = 2 thỏa mãn )
Do 0 < ; ; < 1 nên ln < 0 , ln < 0 , ln < 0
Do đó f '(x) = ln +ln + 2.ln < 0 ∀x ∈ R
Nên hàm số f(x) nghịch biến trên R, mà f(2) = 1 nên phương trình f(x) = 1 có nghiệm duy nhất x = 2.
C 3 + 5 = 6x + 2
→ HD giải: nhận xét 1 vế của phương trình là " hàm mũ ", còn vế còn lại là " hàm đa thức " Không thể
biến đổi như các dạng đã đề cập ở trên của chuyên đề nên ta quyết định sử PP hàm số.
Xét f(x) = 3 + 5 = 6x + 2 với x ∈ R
Ta có f '(x) = 3 ln3 + 5 ln5 - 6 là hàm số liên tục
Và f '(0) = ln3 + ln5 - 6 < 0 , f '(1) = 3ln3 + 5ln5 - 6 > 0
Nên phương trình f '(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = x
Bảng biến thiên:
x −∞ x +∞
f '(x) - 0 +
f (x)
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f(x) = 0 có không quá hai nghiệm phân biệt Mà f(0) = f(1) = 0 nên mọi nghiệm của phương trình đã cho là x = 0 hoặc x = 1 Để có thể ứng dụng PP hàm số này một cách hiệu quả trước tiên bạn nên " nhẩm nghiệm " PT đã cho trước Ứng với số nghiệm tìm được ta sẽ đề xuất cách giải. d (2 - ) + (2 + ) = 4
→ HD giải: PT ⇔ + = 1 Xér f(x) = + với x ∈ R Vì 0 < ; < 1 nên ln < 0 và ln < 0 Do đó, f'(x) = ln + ln < 0 ∀x ∈ R Nên hàm số f(x) luôn nghịch biến trên R, mà f(1) = 1 nên phương trình f(x) = 1 có nghiệm duy nhất x = 1 e 7 = 1 + 2log (6x - 5)
→ HD giải: Điều kiện 6x - 5 > 0 ⇔ x > Đặt y - 1 = log (6x - 5) thì 7 = 6x - 5 (1) PT đã cho trở thành 7 = 1 + 2log (6x - 5) ⇔ 7 = 1 + 6log (6x - 5) ⇔ 7 = 1 + 6log 7
⇔ 7 = 1 + 6(y - 1) ⇔ 7 = 6y - 5 (2) Lấy (1) trừ (2) ta được: 7 - 7 = 6x - 6y ⇔ 7 + 6(x - 1) = 7+ 6(y - 1)⇔ f(x - 1) = f(y - 1) Dễ thấy f(t) = 7 + 6t là hàm số đồng biến trên R, mà f(x - 1) = f(y - 1) ⇔ x - 1 = y - 1 ⇔ x = y Khi đó phương trình đã cho có dạng (1) ⇔ 7 - 6x + 5 = 0 (3) ( nhẩm nghiệm x = 1, x = 2) Xét hàm số g(x) = 7 - 6x + 5 ∀x ∈ R Ta có g'(x) = 7.ln7 - 6 nên g'(x) = 0 ⇔ x = 1 + log Bảng biến thiên: x −∞ x +∞
g'(x) - 0 +
g (x)
Trang 10
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f(x) = 0 chỉ có không quá hai nghiệm phân biệt
Mà f(1) = f(2) = 0 nên x = 1, x = 2 là các nghiệm của phương trình.
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a.log x + log (2x - 1) + log (7x - 9) = 3
→ HD giải: Điều kiện x >
Xét hàm số f(x) = log x + log (2x - 1) + log (7x - 9) với x >
Ta có f '(x) == + + > 0 ∀x >
Vậy hàm số f(x) đồng biến trên ( ; +∞) nên phương trình f(x) = 3 nếu có nghiệm sẽ có nghiệm duy nhất.
Mà f(2) = 3 nên phương trình đã cho có nghiệm x = 2
b x.log x = 27
→ HD giải: x > 0
Viết phương trình đã cho dưới dạng log x - = 0
Xét hàm số f(x) = log x - với x > 0
Ta có f '(x) = + > 0 ∀x > 0 nên hàm số y = f(x) đồng biến trên (0; +∞) nên phương trình f(x) = 0 nếu có
nghiệm sẽ có nghiệm duy nhất Mà f(3) = 0 nên phương trình có nghiệm x = 3
c 2 + log x = 2
→ HD giải: x > 0
PT ⇔ 2 + log = 2
⇔ 2 + log (x + x) - log (x + 1) = 2
⇔ 2 + log (x + x) = 2 + log (x + 1)
Đặt f(t) = 2 + log t ( t > 0)
Ta có f '(t) = 2 ln2 + > 0 ∀t > 0
Nên hàm số y = f(t) luôn đồng biến trên (0; + ∞) Lại có f(x + x) = f(x + 1)
⇔ x + x = x + 1 ⇔ Vậy x = 1 là nghiệm phương trình
BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải các phương trình sau:
1) 3 - 4 + x = 0 2) (0,5) = 2x + 8 3) 3 + 4 = 5 4) () + 1 = 4
5) 3 + x - 66 = 0 6) 3 + 4 = 5x + 2 7) 2 - 3 = 7 8) 9 = 8x + 1
9) 2 = 3x - 1 10) 4 - 2 + x - 1 = 0 11) 1 + 8 + 4 = 9 12) 3 = 5 - 2x
13) 5 = 3 + 2 14) 1 + (3 + ) + (3 - ) = 7 15) 7 = x + 2
16) 2 + 5 = 7 17) 9.3 - 7 = 5.4 18) 3 = 2 - 1 19) 1 + 8 = 3
20) 2 + 5 + 3 = 10 21) 25 + 10 = 2 22) 5 + 7 = 13
23) 4.3 - 6 + 2 - x = 0 24) () + () = 2 25) log (x + 2) = 6 - x
26) log(x - 2) = - x + 2x + 3 27) x + log(x - x - 6) = 4 + log(x + 2)
28) log(x - 6x + 5) = log(x - 1) + 6 - x 29) x = x 3 - x 30) (1 + x)(2 + 4) = 3.4
31) log (1 + cosx) = 2cosx 32) 5 + 2 = 3 + 4 33) x + 3 = 2x
34) log = 1 + x - 2 35) 5 + 3 + 2 = 28x - 18 36) (4 + 2)(2 - x) = 6
37) 5 + 2 = 2 - + 44log (2 - 5 + ) 38) 4 + 2 = x - 9x + x + 2
39) log(x - x - 12) + x = log(x + 3) + 5 40) x(log 5 - 1) = log(2 + 1) - log6
41) 3x - 2x = log (x + 1) - log x 42) (1 + ).log + log2 = log(27 - 3 )
43) log (x - 2x - 2) = log (x - 2x - 3) 44) = 1
45) (2 + ) + x(2 - ) = 1 + x 46) 5 - 3 = 3 - 5
47) log (log x) + log (log x) = 2 48) log x + log x + log x = log x
49) log (x - ).log (x + ) = log (x - )
DẠNG 6: TUYỂN TẬP CÁC DẠNG BÀI TẬP NÂNG CAO - ĐẶC BIỆT.