CHUYEN DE HAM MU LOGARIT

Để giải bất phương trình mũ cơ bản, ta sử dụng tính chất của hàm số mũ.. Bất phương trình lôgarit cơ bản có một trong các dạng: logax > b; logax≥ b; logax < b; logax≤ b, 7 Truy cập http:

Trang 2

h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o m /

MỤC LỤC

1.1 Luỹ thừa 3

1.1.1 Luỹ thừa với số mũ nguyên 3

1.1.2 Căn bậc n 3

1.1.3 Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ 3

1.1.4 Luỹ thừa với số mũ vô tỉ 3

1.1.5 Các tính chất 4

1.2 Hàm số luỹ thừa 4

1.2.1 Định nghĩa 4

1.2.2 Tập xác định 4

1.2.3 Đạo hàm 4

1.2.4 Tính chất của hàm số luỹ thừa y = xα trên khoảng (0; +∞) 4

1.2.5 Đồ thị 5

1.3 Lôgarit 5

1.3.1 Định nghĩa 5

1.3.2 Các tính chất 5

1.3.3 Các quy tắc tính 5

1.3.4 Lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên 6

1.4 Hàm số mũ, hàm số lôgarit 6

1.4.1 Hàm số mũ 6

1.4.2 Hàm số lôgarit 6

1.5 Phương trình mũ, phương trình lôgarit 7

1.5.1 Phương trình mũ 7

1.5.2 Phương trình lôgarit 7

1.5.3 Hệ phương trình mũ và lôgarit 7

1.5.4 Bất phương trình mũ và lôgarit 7

2 Các dạng bài tập và phương pháp giải 8 2.1 Bài tập về luỹ thừa 8

2.2 Bài tập về hàm số luỹ thừa 11

2.3 Bài tập về lôgarit 13

2.4 Bài tập về hàm số mũ, hàm số lôgarit 19

2.5 Bài tập về phương trình mũ và phương trình lôgarit 22

2.5.1 Đưa về phương trình mũ, phương trình lôgarit cơ bản 23

2.5.2 Phương pháp đồ thị 34

2.5.3 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ, hàm số lôgarit 35

2.5.4 Các phương pháp khác 37

2.6 Bài tập về bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit 43

2.7 Bài tập về hệ phương trình mũ và hệ phương trình lôgarit 46

2

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Trang 3

• Luỹ thừa với số mũ nguyên dương:

Cho a là một số thực, n là một số nguyên dương Luỹ thừa bậc n của a, kí hiệu là an, đượcxác định như sau

an = a.a .a

| {z }

n thừa số

a∈ R, n ∈ N∗,trong đó a gọi là cơ số, n gọi là số mũ

• Luỹ thừa với số mũ nguyên âm, luỹ thừa với số mũ 0:

Cho a > 0, n ∈ N∗ Khi đó

a0 = 1; a−n= 1

an.Chú ý 00 và 0−n không có nghĩa

1.1.2 Căn bậc nCho số thực b và số nguyên dương n ≥ 2 Số a được gọi là căn bậc n của số b, kí hiệu √n

Cho số dương a, α là một số vô tỉ và (rn) là một dãy số hửu tỉ sao cho lim

n →+∞rn = α Khi đó

aα = lim

n →+∞arn.3

Trang 4

• Nếu a > 1 thì α > β khi và chỉ khi aα > aβ;

• Nếu 0 < a < 1 thì α > β khi và chỉ khi aα < aβ

1.2 HÀM SỐ LUỸ THỪA

1.2.1 Định nghĩaHàm số y = xα, với α ∈ R, được gọi là hàm số luỹ thừa

1.2.2 Tập xác địnhTập xác định D của hàm số luỹ thừa y = xα tuỳ thuộc vào giá trị của α, cụ thể như sau:

• Nếu α nguyên dương thì D = R;

• Nếu α nguyên âm thì D = R\{0};

• Nếu α không nguyên thì (0; +∞

1.2.3 Đạo hàmHàm số y = xα (α ∈ R) có đạo hàm với mọi x > 0 và (xα)0 = αxα −1.Đối với hàm số hợp y = uα, u= u(x), ta có (uα)0 = αuα −1u0

1.2.4 Tính chất của hàm số luỹ thừa y = xα trên khoảng (0; +∞)

Ta có các tính chất sau

• Đồ thị luôn đi qua điểm (1; 1);

• Khi α > 0 hàm số luôn đồng biến, khi α < 0 hàm số luôn nghịch biến;

• Đồ thị của hàm số không có tiệm cận khi α > 0 Khi α < 0 đồ thị của hàm số có tiệm cậnngang là Ox, tiệm cận đứng là Oy

4

Trang 5

α= logab⇔ aα = b (a, b > 0, a 6= 1).

1.3.2 Các tính chấtVới a > 0, a 6= 1, b > 0, α ∈ R ta có

5

Trang 6

• Hàm số y = ax (a > 0, a 6= 1) được gọi là hàm sô mũ cơ số a.

• Hàm số y = ax có đạo hàm tại mọi x và (ax)0 = axln a Đặc biệt, (ex)0 = ex

• Các tính chấta) Tập xác định của hàm số mũ là R

b) Khi a > 1 hàm số luôn đồng biến

Khi 0 < a < 1 hàm số luôn nghịch biến

c) Đồ thị có tiệm cận ngang là Ox và luôn đi qua các điểm (0; 1), (1; a) và nằm phía trêntrục hoành

1.4.2 Hàm số lôgarit

• Hàm số y = logax(a > 0, a 6= 1) được gọi là hàm số lôgarit cơ số a

• Hàm số lôgarit có đạo hàm tại mọi x > 0 và (logax)0 = 1

xln a.Đặc biệt, (ln x)0 = 1

x

• Các tính chấta) Tập xác định của hàm số lôgarit là (0; +∞);

6

Trang 7

b) Khi a > 1 thì hàm số luôn đồng biến;

Khi 0 < a < 1 thì hàm số luôn nghịch biến

c) Đồ thị có tiệm cận đứng là Oy và luôn đi qua các điểm (1; 0), (a; 1) và nằm phía bênphải trục tung

1.5 PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

1.5.1 Phương trình mũ

• Phương trình mũ là phương trình chứa ẩn số ở số mũ của luỹ thừa

• Phương trình mũ cơ bản là phương trình có dạng ax

= b (a > 0, a 6= 1)

Nếu b ≤ 0, phương trình vô nghiệm;

Nếu b > 0, phương trình có nghiệm duy nhất x = logab

1.5.2 Phương trình lôgarit

• Phương trình lôgarit là phương trình chứa ẩn số dưới dấu lôgarit

• Phương trình lôgarit cơ bản là phương trình có dạng logax= b (a > 0, a 6= 1)

Phương trình lôgarit cơ bản luôn có nghiệm duy nhất x = ab.1.5.3 Hệ phương trình mũ và lôgarit

Hệ phương trình mũ là hệ phương trình có chứa ít nhất một phương trình mũ

Hệ phương trình lôgarit là hệ phương trình có chưa ít nhất một phương trình lôgarit

1.5.4 Bất phương trình mũ và lôgaritBất phương trình mũ cơ bản có một trong các dạng

ax > b; ax ≥ b; ax < b; ax ≤ b,trong đó a > 0, a 6= 1

Để giải bất phương trình mũ cơ bản, ta sử dụng tính chất của hàm số mũ Chẳng hạn giải bấtphương trình ax > b ta làm như sau:

Nếu b ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình là R, vì ax >0 ∀x ∈ R

Xét b > 0, khi đóVới a > 1 thì ax > b⇔ ax > alog a b

⇔ x > logab;Với 0 < a < 1 thì ax> b ⇔ ax > aloga b

⇔ x < logab

Bất phương trình lôgarit cơ bản có một trong các dạng:

logax > b; logax≥ b; logax < b; logax≤ b,

7

Trang 8

§ 2 CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

2.1 BÀI TẬP VỀ LUỸ THỪA

Đối với luỹ thừa, các dạng bài tập chủ yếu là: tính toán, rút gọn biểu thức, so sánh các số,

Phương pháp giải Đây đều là các bài tập đơn giản, để giải các bài tập này ta chỉ cần sử dụngđịnh nghĩa và các tính chất cơ bản của luỹ thừa đã nêu ở mục trước

Chú ý Để so sánh các căn thức, ta thường đưa chúng về cùng một căn bậc n nào đó để so sánh(thông thường n này là bội chung nhỏ nhất của các chỉ số của các căn thức đó) Sau đây là các vídụ

Ví dụ 2.1 Rút gọn các biểu thức saua) A = (0, 04)−1,5− (0, 125)−2

3 ; b) B = 6−2

7 −7

+(0, 2)0,75−4;c) C = a

√ 5+3.a√5(√5−1)(a2 √

2−1)2 √ 2+1 ; d) D = a1 − b12 :b− 2b

rb

a + b

2

a

(a, b > 0)

Lời giải Ta cóa) A = 1

2−1)2 √ 2+1 = a

√ 5+3.a5−√5

a(2 √ 2) 2 −1 2 = a

√ 5+3+5−√5

a +

rba

√ 10−3

và 1; d) e√3+1 và e√7.8

Trang 9

√ 10−3

=

π5

√ 10

π5

< π5

3

Mà π5

3

>0 nên

π5

√ 10−3

=

π5

√ 10

π5

3 <1

d) So sánh √3 + 1 và √

7, ta có(√

3 + 1)2− (√7)2 = 3 + 1 + 2√

3 − 7 = 2√3 − 3

Hơn nữa

(2√3)2− 32 = 4.3 − 9 = 3 > 0

Trang 10

√ 5

42+ √

5.31+ √

5;c) C = 491+ √

2− 72 √

2.7−1−2√2.Đáp số a) A = 16; b) B = 36; c) C = 48

7 Bài tập 2.2 Đơn giản các biểu thứca) A = q3

ap3

a√a,(a > 0);

b) B = 7

sab

5

rb

b

1

ba

1

35 = ab

1

ab

−1

35 = ab

1

− 1

35 = ab

4

35;c) C = a2

Trang 11

và 1;

c) 18

π

và 18

>1

c) Vì 1

8 <1 và π > 3, 14 nên

18

π

< 18

2.2 BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ LUỸ THỪA

Bài tập về hàm số luỹ thừa bao gồm các dạng như tìm tập xác định, tính đạo hàm, khảo sát vẽ

đồ thị của hàm số luỹ thừa, so sánh các số dựa vào tính đơn điệu của hàm số luỹ thừa Sau đây

là các ví dụ

Ví dụ 2.4 Tìm tập xác định và tính đạo hàm của các hàm số

a) y = (x3− 8)π3; b) y = (x2 + x − 6)−1

3 Chú ý Tập xác định của hàm số luỹ thừa phụ thuộc vào cả số mũ và biểu thức chứa biến (cơ số)của hàm số đó, cụ thể

• Nếu số mũ là số nguyên dương thì hàm số xác định khi cơ số là số thực;

• Nếu số mũ là 0 hoặc số nguyên âm thì hàm số xác định khi cơ số khác 0;

• Nếu số mũ là hữu tỉ hoặc số thực thì hàm số xác định khi cơ số dương

Trên cơ sở đó, ta dễ dàng có lời giải cho bài toán

Lời giải a) Hàm số y = (x3 − 8)π3 xác định khi và chỉ khi x8− 8 > 0

Trang 12

1 − x.

Bài tập 2.6 Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số y = x5 và y = x−5 trên cùng một hệ tọa độ

Từ các đồ thị trên hãy suy ra các đồ thị hàm số

−2 3

Trang 13

3 6 −1

2log13 400 + 3 log1

3 3

√45

Lời giải a) A = log5−255 = −1

2.

5

4.log55 = −5

8.b) B = 91 log32−2 log 27 3 = 3log32− 4 log33 = 2

343

= 2

3√3

3.c) C = log3log28 = log3log223 = log33 = 1

√b

Lời giải a) Chọn 2 làm cơ số, ta có

A= log616 = log216

log26 =

4

1 = log23.Mặt khác

x= log1227 = log227

log212 =

3 log23

2 + log23.13

Trang 14

B = lg 30

lg 125 =

lg 10 + lg 3

3 lg102

= 1 + lg 33(1 − lg 2) =

1 + a3(1 − b).c) Ta có

C = log65 + log67 = 1 1

log25 +

1log35

+ 1 1log27 +

1log37

Ta đi tính log25; log35; log27; log37 theo a, b, c Từ

a= log275 = log335 = 1

3log35,suy ra log35 = 3a, do đó

log25 = log23 log 35 = 3ac

C= 113ac+

13a

+ 113b +

c3b

a = a

√ 3

2 −1;

3

√b

√

a = a

√ 3

3 − 1

2 = a−

√ 3 3

√ 3

= −

√3

3 (với α =

√3

2 − 1)

Ví dụ 2.8 Tínha) A = 1

logba = logab, hơn nữa x = 2007! > 1 nên ta có

A= logx2 + logx3 + · · · + logx2007

Trang 15

B = (lg tan 10+ lg tan 890) + (lg tan 20+ lg tan 880) + · · · + lg tan 450 = 0.

Nhận xét Đây là bài tập không khó, nhưng khi giải phải sử dụng kĩ năng biến đổi, do đó có thểkích thích được sự tư duy, sáng tạo của học sinh

Ví dụ 2.9 (Chứng minh đẳng thức lôgarit)a) Cho các số dương a, b thoả mãn a2+ 4b2 = 12ab Chứng minh rằng

lg(a + 2b) − 2 lg 2 = 1

2(lg a + lg b);

b) Cho a = 101−lg b1 ; b = 101−lg c1 Chứng minh rằng c = 101−lg a1 ;Lời giải a) Ta có

a2+ 4b2 = 12ab ⇔ (a + 2b)2 = 16ab

Do a, b dương nên a + 2b = 4√ab Khi đó, lấy lôgarit cơ số 10 hai vế ta được

lg(a + 2b) = lg 4 +1

2lg(ab)hay

lg(a + 2b) − 2 lg 2 = 1

2(lg a + lg b).

b) Giả sử a, b, c đều dương và khác 10 Để biểu diễn c theo a, ta rút lg b từ biểu thức a = 101−lg b1

và thế vào biểu thức b = 101−lg c1 (sau khi lấy lôgarit cơ số 10 hai vế) Ta có

a = 101−lg b1 ⇒ lg a = 1

1 − lg b ⇒ lg b = 1 −

1

lg a.Mặt khác, từ b = 101−lg c1 suy ra lg b = 1

Trang 16

2 và lg 5 + lg

√7

2 Nhận xét Thông thường, để so sánh các lôgarit, chúng ta so sánh chúng với một số nguyên nàođó

Lời giải a) Ta có

log32 < log33 = 1 = log22 < log23

b) Ta có

log23 < log24 = 2 = log39 < log311

c) Đưa về cùng một lôgarit cơ số 10, ta có

lg 19 − lg 2 = lg192

Ta so sánh hai số 3√10 và 19

2 Ta có(3√10)2 = 9.10 = 90 = 360

4 <

361

4 =

192

q

5√7

Ta đi so sánh hai số p5√

7 và 5 +

√7

2 Ta cóq

5√7

2

= 5√7;

5 +√

72

2

= 32 + 10

√7

4 = 8 +

52

√7

Xét hiệu

8 + 52

Trang 17

Lời giải a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương, ta có

log23 + log32 > 2plog23 log32 = 2√

1 = 2(không xảy ra dấu ” = ” vì log23 6= log32)

log23 < log24 = 2 nên log23 − 2 < 0

Từ đó suy ra (∗) luôn đúng Vậy 2 < log23 + log32 < 5

2.b) Vì a, b ≥ 1 nên ln a, ln b, lna+ b2 không âm Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

Trang 18

a3√5 a; d) D = lg log

1 a3 5

b) B = log√ 3

7

121

8 theo a = log4911, b = log27;

c) C = log14063 theo a = log23, b = log35, c = log27;

4 Bài tập 2.10 (Chứng minh các đẳng thức có điều kiện)

a) Cho các số dương a, b, c (c 6= 1) Chứng minh rằng alog c b = blog c a;b) Cho a = log1218, b = log2454 Chứng minh rằng ab + 5(a − b) = 1;

c) Cho các số dương a, b thoả mãn a2+ b2 = 7ab Chứng minh rằng

Trang 19

2 − a ; log23 =

3b − 1

3 − b .(chú ý rằng a 6= 2, b 6= 3)

Từ hệ thức 2a − 1

2 − a =

3b − 1

3 − b suy ra điều phải chứng minh.

c) Từ giả thiết suy ra a + b

3

2

= ab Lấy lôgarit cơ số 7 hai vế, ta được điều phải chứng minh

d) Từ giả thiết suy ra 2a + 3b

Hướng dẫn a) log35 > log33 = 1 = log77 > log74

b) log0,32 = − log32 < 0 < log53

c) log210 > log28 = 3 = log5125 > log550

d) 16

8 <

3

√18

2.4 BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT

Các dạng bài tập cơ bản, bao gồm tìm tập xác định, vẽ đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit,tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số mũ và hàm số lôgarit dựa vào tính đơn điệu củachúng

Trang 20

π x.

Lời giải a) Hàm số y = 2, 5x là hàm số mũ có cơ số lớn hơn 1 nên luôn đồng biến Đồ thị hàm

số đi qua các điểm (0; 1), (1; 2, 5) Ta có đồ thị

y

x

2, 51

1O

y= 2, 5x

y

x

2, 51

1O

y= 2, 5x

O

y

x1

y

x1

y

x1

+ · · · + f 20062007.Lời giải Ta có nhận xét rằng nếu a + b = 1 thì

= 4

a+b+ 2.4a+ 4a+b + 2.4b

4a+b+ 2.4a+ 2.4b+ 4 =

2.4a+ 2.4b+ 82.4a+ 2.4b+ 8 = 1.

20

Trang 21

i+hf 22007

+ f 20052007

i+ · · · +hf 1003

2007

+ f 10042007

i.Vậy

y

x1

C1

C2

C4

C321

Trang 22

Hướng dẫn Ta thấy C1, C2 là đồ thị của các hàm đồng biến, tức là đồ thị ứng với hàm số lôgarit

có cơ số lớn hơn 1 Mặt khác, khi x > 1 thì log√

− 2 nhận được từ đồ thị hàm số y = 3x bằng phép tịnh tiếnsong song với trục tung xuống dưới 2 đơn vị

b) Tương tự câu a)

Bài tập 2.15 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2|x| trên đoạn [−1; 1]

Hướng dẫn Trên đoạn [−1; 1] ta có

Vậy giá trị lớn nhất là y(1) = y(−1) = 2, giá trị nhỏ nhất là y(0) = 1

2.5 BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH GARIT

LÔ-Phương trình mũ và phương trình lôgarit là nội dung rất quan trọng trong chương này Các dạngbài tập cũng rất phong phú như giải phương trình, chứng minh nghiệm của phương trình thỏa mãncác điều kiện cho trước (tồn tại, tồn tại duy nhất, hữu hạn nghiệm, ), giải và biện luận phươngtrình theo tham số, chứng minh phương trình tương đương,

Phương pháp giải Các phương pháp thường dùng để giải phương trình mũ và phương trìnhlôgarit là

• Đưa về các phương trình mũ và lôgarit cơ bản, bao gồm các cách

22

Trang 23

• Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ và lôgarit.

Ngoài ra, còn một số phương pháp giải khác như phương pháp biến thiên hằng số, sử dụng định

lí Lagrange, định lí Rolle, đánh giá, phương pháp hàm số, Sau đây chúng ta sẽ đi vào từng nộidung cụ thể

2.5.1 Đưa về phương trình mũ, phương trình lôgarit cơ bảnĐây là phương pháp rất cơ bản, thường được sử dụng Các cách để đưa về phương trình mũ, lôgarit

cơ bản là đưa về cùng một cơ số, đặt ẩn phụ, mũ hoá hoặc lôgarit hoá

3

√28

−x

.Lời giải a) Đưa về cùng cơ số 3, ta có phương trình tương đương với

−1

= 1, 5−1 nên phương trình đã cho có dạng

1, 55x−7= 1, 5−x−1.Vậy 5x − 7 = −x − 1 hay x = 1 là nghiệm của phương trình

c) Phương trình đã cho tương đương với

33.d) Đưa hai vế về cùng cơ số 2, ta được

Trang 24

Vậy phương trình đã cho chỉ có một nghiệm x = 6.

Chú ý Muốn đưa các lôgarit về cùng một cơ số, ta thường xem mối liên hệ giữa các cơ số vàthường sử dụng các tính chất sau của lôgarit:

a= logbba; logab= logcb

logca.

Ví dụ 2.16 Giải các phương trình lôgarit saua) lg x + lg(x + 9) = 1;

b) log2x+ log4x+ log8x= 11;

c) log5x3+ 3 log25x+ log√

125

√

x3 = 11

2 ;d) log2x+ log3x+ log4x= log20x.Lời giải a) Điều kiện

(

x >0,

x+ 9 > 0 ⇔ x > 0 Phương trình đã cho tương đương với

lg x(x + 9) = lg 10 ⇔ x(x + 9) = 10 ⇔ x = 1 ∨ x = −10

Vì x > 0 nên phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất là x = 1

b) Điều kiện x > 0 Đưa về cùng cơ số 2, ta có

log2x+ log22x+ log23x= 11 ⇔ log2x+1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 64

c) Điều kiện x > 0 đưa về cùng cơ só 5, ta có

log5x3+ 3 log25x+ log√

⇔ 112 log5x= 11

2

⇔ log5x= 1 ⇔ x = 51 = 5 (thoả mãn)

Vậy phương trình chỉ có một nghiệm x = 5

d) Điều kiện x > 0 Áp dụng công thức đổi cơ số, ta có

log2x+ log3x+ log4x= log20x⇔ log2x+log2x

log23 +

log2xlog24 =

log2xlog220

Trang 25

Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Chú ý Khi giải phương trình lôgarit, ta phải đặt điều kiện để phương trình có nghĩa

Bài tập tương tự.

Bài tập 2.16 Giải các phương trình mũ sau

a) 7x −1 = 2x; b) 84 x 3

−2x 2 +2 = 4x 2 +x+1;c) 0, 752x−3=11

2.c) Viết 0, 75 = 3

√

x+ 1 + 1)

lg√3

x− 40 = 3; d) log4log2x+ log2log4x= 2.

Hướng dẫn a) Đáp số x = 1 b) Đưa về cùng cơ số 10 Đáp số x = 5

c) Phương trình tương đương với lg(√x+ 1 + 1) = lg(x − 40) (x > 40)

Đáp số x = 48 d) Đáp số x = 16

b) Đặt ẩn phụĐối với một số phương trình phức tạp hơn, chúng ta không thể sử dụng cách đưa về cùng một cơ

số như trên Khi đó, chúng ta có thể đặt ẩn phụ để được phương trình hoặc hệ phương trình đại

2.(2x)2− 23.2x

= 64 ⇔ (2x)2− 4.2x

− 32 = 0

Đặt t = 2x (t > 0) thì phương trình trở thành t2 − 4t − 32 = 0 Đây là phương trình bậc hai với

ẩn t, ta tìm được t = 8 hoặc t = −4 Tuy nhiên t > 0 nên chỉ có t = 8 là thoả mãn Thay lại đểtìm x, ta có

Định dạng
Số trang	50
Dung lượng	405,31 KB