PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG THƯỜNG GẶPI... b Đặt ẩn phụ đưa về giải hệ PT: Thường đưa về hệ PT đơn giản... BÀI TẬP LÀM THÊM Bài tập 1.
Trang 1A PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP
I Phương pháp biến đổi tương đương
1) Phương pháp giải
a) Phương trình:
[ ]2
( ) 0 ( ) ( )
( ) ( )
g x
f x g x
f x g x
≥
=
( ) 0, ( ) 0
( ) ( )
f x g x
f x g x
[ ]2
( ) 0 ( ) 0
( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )
f x
g x
f x g x f x g x h x
≥
(3)
( ) 0 ( ) 0
( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )
g x
h x
h x g x h x g x f x
≥
(4)
( ) 0
( ) ( ) ( )( ( ) ( ))
f x
(5)
b) Bất phương trình:
[ ]2
( ) 0
( ) 0 ( ) 0
2 : ( ) ( )
g x
f x
g x TH
f x g x
<
≥
≥
>
(6)
( ) 0
g x
f x g x
(7)
2) Các ví dụ
VD 1 Giải PT: 3x2 − 20x+ 16 = −x 4 ĐS: x = 6
VD 2 Giải PT: 3x+ − 4 2x+ = 1 x+ 2 ĐS: x = 1
2
x − −x x + x= x ĐS: x = 0; x = 9
8
VD 4 Giải PT: 4 1 3 2 3
5
x
x+ − x− = +
ĐS: x = 2
VD 5 Giải PT:
2
x
VD 6 Giải BPT: 2x – 5 < 2
5
VD 7 Giải BPT: (x+ 5)(3x+ 4) 4( > x− 1) ĐS: ( ; 5] [ 4; 4)
3
VD 8 Giải BPT: 1 + −x 1 − ≥x x ĐS: x∈[ ]0;1 HD: Nhân liên hợp.
VD 9 (ĐH K D-2002): (x2 − 3 ) 2x x2 − + ≥ 3x 1 0 ĐS: ( ; 1] {2} [3; )
2
VD 10 (ĐH K A-2004): 2( 2 16) 3 7
x
Trang 2II Phương pháp đặt ẩn phụ
1) Phương pháp giải
a) Đặt ẩn phụ đưa về việc giải PT bậc cao:
Chú ý điều kiện của ẩn
Đặt t = g x( ); điều kiện t ≥ 0 Ta có: t2 = g(x)
b) Đặt ẩn phụ đưa về giải hệ PT:
Thường đưa về hệ PT đơn giản
Chú ý điều kiện của ẩn
2) Các ví dụ
Đặt ẩn phụ đưa về PT bậc 2, bất PT bậc 2:
VD 1 GPT: 2(x2 − 2 )x + x2 − 2x− = 3 9 ĐS: x = 1 + 5
VD 2 (ĐH TM - 99): GPT: x2 − + + 3x 3 x2 − + = 3x 6 3 ĐS: x = 1, x = 2
VD 3 (ĐH QGHN-2000): 1 + 2 2
1
3 x x− = x+ −x ĐS: x = 0, x = 1
VD 4 (HVKTQS-99): GPT: 3x− + 2 x− = 1 4x− + 9 2 3x2 − 5x+ 2 ĐS: x = 2
VD 5 (ĐHQGHN-2001): GPT: x2 + 3x +1 = (x+3) x2 + 1 ĐS: x = ± 2 2
VD 6 Cho PT: (x-3)(x+1) + 4(x-3) 1
3
x x
+
a) GPT với m = -3 ĐS: x = 1 – 13, x = 1 – 5
b) Tìm m để PT có nghiệm Đặt t = (x-3) 1
3
x x
+
VD 7 (HVQHQT-2000): Giải BPT: (x+1)(x+4) < 5 x2 + 5x+ 28 ĐS: x ∈(-9; 4)
VD 8 (ĐHXD-99): Giải BPT: x3 + x2 + 2 + 3x x+ 1 > 0 ĐS: x ≥ - 1
VD 9 Giải BPT: 2 1 3
1
+
4
1
− < < −
7x+ + 7 7x− + 6 2 49x + 7x− 42 181 14 < − x ĐS:
Đặt ẩn phụ đưa về giải PT hai ẩn, hệ PT hai ẩn:
VD 1 Giải PT: 2(x2 -3x +2) = 3 x3 + 8 ĐS: x = 3 ± 13
HD: Đặt u = x+ 2; v = x2 − 2x+ 4, PT ⇔ (u+2v)(u-2v) = 0
VD 2 Giải PT: x2 + x+ = 5 5 ĐS: x = 1 21; 1 17
HD: Đặt t = x+ 5 đk t ≥ 0 và x ≥ - 5
VD 3 (ĐH TCKT-2000): 3 2 − = −x 1 x− 1 ĐS: x = 1; x = 2; x = 10
HD: Đặt u =3 2 −x v; = x− ≥ 1 0 Ta có hệ 3 2
1 1
− −
+ =
VD 4 Giải PT: x2 – 4x + 2 = x+ 2 với x ≥ 2 ĐS: x = 5 17
2
+
HD: Đặt t = x+ 2+ 2 đưa về hệ
VD 5 (ĐHYHN-1996): Giải và biện luận PT: x2 − 2a+ 2 x2 − = 1 x
Trang 3HD: x = 0 không TM, chia 2 vế cho x Đặt u = 1 2a2 0;v 1 12 0
III Phương pháp khác
1) Phương pháp hàm số: Hàm số f(x) luôn đồng biến trên tập D, x0 ∈ D Nếu f(x0) = 0 thì
PT f(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = x0 trên D
Bất PT f(x) > 0 có nghiệm x > x0; x ∈ D
VD 2 (ĐH QGHN-2001)Giải PT: 4x− + 1 4x2 − = 1 1 ĐS: x = 1
2
VD 3 x + x+ + 1 2x− > − 2 7 x ĐS x > 3
VD 4 Giải BPT: 2 2
HD: Xét hàm số: f(t) = t+ + 2 t t ≥ -2
VD 5 Giải BPT: x− ≥ 1 - x3 - 4x + 5 ĐS: x ≥ 1
2) Phương pháp đánh giá (Theo bất đẳng thức)
VD 6 Giải PT: (4 +x)(6 −x) =x2 − 2x+ 6 ĐS: x = 1
VD 7 Giải PT: 3 5 −x6 + 3 2 3 − x4 = 1 ĐS: x = - 1, x = 1
VD 8 Giải PT: x+ 2 x− − 1 x− 2 x− = 1 2 ĐS: x ≥ 2
VD 9.Giải PT: x2 + 2x+ 2x− = 1 3x2 + 4x+ 1 ĐS: x = 1 5
2
+ HD: Áp dụng bất đẳng thức BNA
VD 10 Giải PT: 7 2
1
x
B BÀI TẬP LÀM THÊM
Bài tập 1 Giải các PT sau:
1) (ĐH KD-2005): 2 x+ +2 2 x+ −1 x+ =1 4 ĐS: x = 3
2) (ĐH KD-2006): 2x− + − + = 1 x2 3x 1 0 ĐS: x = 1, x = 2 – 2
2
Bài tập 2 Giải các bất PT sau:
6) (ĐH K A- 2005): 5x− − 1 x− > 1 2x− 4 ĐS: 2 ≤ x < 10
2
8) (ĐH YHN-2000): 2x2 + x2 − 5x− > 6 10x+ 15 ĐS:
9) 4(x+1)2 ≤ (2x+10)(1- 3 2 ) + x 2 ĐS:
10) x− + 1 3 − +x 4x 2x ≤ +x3 10
Bài tập 3 Tìm m để PT: x+ 9 − = − +x x2 9x m+ có nghiệm ∈ R
Trang 4Bài tập 4 (ĐH KA-2007).Tìm m để PT: 3 x− + 1 m x+ = 1 2 4 x2 − 1 có nghiệm∈R Bài tập 5 Tìm a để PT: x = (a-x) x2 − 1 có nghiệm ∈ R ĐS: a ≥ 2 2