GTLN NN

Bất đẳng thức, bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là một chủ đề khó đối với hầu hết các em học sinh.. Nó không chỉ xuất hiện trong các bài toán chuyên dụng mà còn xuất hiện

LỜI MỞ ĐẦU.

Bất đẳng thức, bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là một chủ đề khó

đối với hầu hết các em học sinh Trong các kì thi học sinh giỏi, thi đại học và hiện nay làthi THPT quốc gia chủ đề nay luôn luôn xuất hiện Nó không chỉ xuất hiện trong các bài toán chuyên dụng mà còn xuất hiện trong nhiều chủ đề khác như dùng để đánh giá trong phương trình, hệ phương trình, bài toán cực trị trong hình học Đa số các em mặc định là

bỏ phần này hoặc tiếp nhận nó với một thái độ miễn cưỡng mặc dù nó có thể rất dễ Các

em cứ nghe đến chủ đề này đã nghĩ rằng nó rất khó Nguyên nhân của việc này có thể xuất phát từ việc :

+) Về khách quan đây là chủ đề khó Các em chưa được định hướng và đầu tư hợp lí +) Về mặt chủ quan Các em còn ngại khó, thời gian dành cho vấn đề này còn chưa nhiều, và chưa có lòng đam mê

Để khắc phục một phần điều này tôi có phân dạng lại các bài toán hay gặp thông qua hệ thống bài tập và lý thuyết một cách tỉ mỉ Thông qua các ví dụ minh hoạ ở từng dạng để các em hiểu rõ hơn về lý thuyết cũng như vận dụng tốt lý thuyết để làm được các dạng cơ bản cũng như nâng cao Chuyên đề này gồm hai phần :

+) Phần 1: dành cho lớp 10,11.

+) Phần 2: dành cho lớp 12.

Do thời gian ít, kiến thức chưa được chuyên sâu nên chuyên đề không được đầy đủ

và sâu sắc Rất mong được các thầy cô, các em học sinh đóng góp để chuyên đề ngày càng hoàn thiện hơn Tôi xin trân trọng cảm ơn

Yên phong, tháng 11-2015.

Suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 2 Cho a,b là hai số thực dương thỏa

52

Suy ra F � 5 MinF 5 đạt khi

15

44

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 5 đạt khi x=y=z=1

Ví dụ 5 Cho các số dương a a1, , ,2 a n thỏa mãn 1 2

 Dấu  xảy ra khi x y z   1

Ví dụ 7 Cho , ,a b c là ba số thực dương Chứng minh rằng:

Ví dụ 8 Cho , ,a b c là các số dương và a b c   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:3

18 Cho a,b,c không âm thỏa mãn a+b+c=1 Tìm GTLN của P9ab10bc11ca.

19 Cho các số không âm khác nhau đôi một thoả mãn ab bc ac   Chứng minh 4

Trước hết, ta dễ dàng chứng minh được nếu x, y > 0 thì:

 (1)Dấu “=” xảy ra  x = y

   

3 3 3

Suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 5 Cho , ,x y z 0;xy yz xz  3xyz. Tìm GTLN của

Ví dụ 3 Cho x, y, z là các số thực dương và xyz = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3  3  3 

P khi x y z  1.

Ví dụ 4 Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

�

�

, , 0z=1

x y z xy

2

P khi a b c  1.

Vậy

35

5 Cho các số a,b,c dương thoả mãn

12

IV Kĩ thuật Cô-Si ngược dấu

Bất đẳng thức Cô-Si là một trong những bất đẳng thức kinh điển rất quen thuộc với học sinh THPT Chuyên đề này muốn giới thiệu một phương pháp vận dụng bất đẳng thứcCô-Si đó là kĩ thuật Cô-Si ngược dấu

xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Ví dụ 2 Chứng minh về mọi số dương a,b,c có a+b+c=3 thì ta có:

   Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.

Ví dụ 3 Cho x,y,z dương thỏa mãn x+y+z=3 Tìm giá trị nhỏ nhất của

3 3 3

32

22

Bài toán được chứng minh xong

Ví dụ 6 Cho các số thực dương x, y, z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z.Vậy Max P = 1 khi x = y = z

Nhờ kĩ thuật Cô-Si ngược dấu ta đã chứng minh được những bài toán mà nếu giải bằng các phương pháp khác sẽ rất dài thậm chí không giải được ,sau đây là một số bài tập ứngdụng:

2 Các bài tập áp dụng.

1 Cho

, , , 0

.4

a b c  

Ví dụ 3 Cho tam giác ABC Điểm M nằm trong tam giác Lần lượt gọi x, y, z là độ dài

đường cao tương ứng hạ từ M xuống các cạnh BC, AC, AB R là bán kinh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng:

2 2 22

Vậy minP khi 4 a b c   2.

Ví dụ 4 Cho các số , ,a b c0;abc Tìm giá trị lớn nhất của 1.

Vậy maxP khi 1 a b c  1

Ví dụ 5 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn abc CMR 1.

Vậy (2) luôn đúng suy ra điều phải chứng

Ví dụ 6 Cho , ,a b c   ;a b c abc. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Vậy maxM  dấu ‘’=’’ xảy ra 1 �a b c   3.

Ví dụ 7 Cho , ,a b c là độ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 3 Tìm giá trị nhỏ nhất

Vậy minP 5 3 xảy ra khi a b c  1

Ví dụ 8 Cho các số thực không âm , ,x y z thoả mãn x2 y2  � Tìm giá trị nhỏ z2 3 y

Vậy minP xảy ra khi 1 x z 1;y2.

VI Sử dụng hàm số bậc hai và phương trình bậc hai.

Trong phần này ta sẽ sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai, bảng biến thiên của hàm số bậc hai để tìm chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN

Vậy

14

xảy ra khi

12

x y 

79

xảy ra khi

11;

31

f(t)

12

252

19116Vậy :

Ta có bảng biến thiên như sau :

t Suy ra

916

Mặt khác, ta dễ thấy

12

x y 

thì

916

A

Kết luận :

9min

16

A

khi

12

x y 

và không có giá trị lớn nhất

VII Chứng minh bất đẳng thức bằng véc tơ

1 Nhắc lại các tính chất của vectơ.

1.1 Tính chất 1:

2 2( )ar  ar �0

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ar r0.

1.2 Tính chất 2: Cho hai vectơ r

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ar

và br cùng hướng

r r r

và cùng hướng

Ta có thể tổng quát nên cho n véc tơ :aur1  auur2   auurn �aur uur1  a2 auurn

Dấu ‘’=’’ xảy ra khi a aur uur1, , ,2 auurn

e

r

IA

B

C2

Ví dụ 1 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có:

cos A + cosB + cosC 

3

2

Giải Chính sự xuất hiện của giá trị cosin mà gợi ý cho ta sử dụng tích vô hướng.

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC

Đặt 3 véc tơ đơn vị có gốc I, hướng vuông góc với các cạnh lần lượt là e e er r r1, ,2 3

 3 - 2 (cosA + cosB + cosC)  0

 cosA + cosB + cos C 

32

Ví dụ 2 Chứng minh rằng với mọi ABC và 3 số thực bất kỳ x, y, z ta luôn có:

2 2 2

x    2xy.cos C + 2xz.cosB + 2yz cosAy z

Giải Lựa chọn các véc tơ đơn vị chung gốc e e er r r1, ,2 3

như bài toán 3 rồi sử dụng tích vôhướng cho các véc tơ xe ye zer1, r2, r3

x   y z xye er r yze er r xze er r  0

 x2  y2 z2 2 xy.cosC yz cosA xz cosB  0.

Ví dụ 3 Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: cos2A + cos2B + cos2C

32



�

Giải: Gọi O, R lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Ta có:

(a 2 + b 2 + c 2)(Đpcm)

2.3 Sử dụng tính chất 3.

Ta thường sử dụng phương pháp này khi gặp các bài toán chứng minh bất đẳng

thức có chứa tổng của các căn bậc hai mà biểu thức trong dấu căn bậc hai có thể đưa về tổng của các bình phương

 

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) đã cho là 2 đạt được tại x = 0

Ví dụ 2 Cho x, y, z tuỳ ý Chứng minh rằng:

(1) (Đại học khối A năm 2003)

Giải Trên hệ toạ độ Đềcac vuông góc, xét

r r cùng hướng và b c ar r r , cùng hướng

r r

và b d,

r ur cùng hướng tức x2.

Vậy Minf x   4 2 2 khi x2.

Ví dụ 7 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ví dụ 8 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Ta có A ur  vr �u vr r 4.

Dấu bằng xảy ra khi u v,

r r cùng hướng � x2.

Vậy maxA khi 4 x 2

Bài tập áp dụng.

Bài 1 CMR Cos2A - cos2B + cos2C

32

Bài 6 Chứng minh rằng 2sin2x 4 2sin2x2 2 sinx �5 17.

Bài 7 Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta luôn có

a) cos4xcos4 y sin2xsin2 y� 2

b) | sinx 2 sin 2 xsinx 2 sin 2x| 3�

c) 4cos2xcos2 ysin (2 x y ) 4sin2xsin2 ysin (2 x y ) 2 �

VIII Phương pháp chuẩn hoá.

1 Đặt vấn đề: Cho H(x, y, z) là một đa thức đẳng cấp bậc k, nghĩa là

(a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca (a + b + c) = 3 + 2(ab + bc + ca)

a + b + c = 3abc + (a + b + c) 3 - (ab + bc + ca)

Ví dụ 3 Cho a, b, c > 0 Chứng minh

37(a + b + c)(ab + bc + ca) 9abc + 2(a + b + c) (1)�

Do F(a , b, c) = F(ta, tb, tc) Ta có thể xem a + b + c = 1.

Suy ra: F(a, b, c) = 7(ab + bc + ca) - 9abc = 7a(1 - a) + bc(7 - 9a)

f( x, y, z) = f(x, y, z)g( x, y, z) = g(x, y, z)

H(x, y, z) = a H(x',y',z') = a ; x' = x; y; z

af(x', y', z') = f(x, y, z)

ag(x', y', z') = g(x, y, z)

a

Khi đó: f(x, y, z) g(x, y, z) �� f(x', y', z') g(x', y', z')

Vậy để chứng minh (*)đúng trên miền H(x,y,z) chỉ cần chứng (*) đúng trên miền H(x, y,z) = a > 0 cố định Việc chọn giá trị a là rất quan trọng

Ví dụ 4 Cho a, b, c là các số thực Chứng minh

3

6(a + b + c)(a + b + c ) 27abc + 10(a + b + c ) (1)�

(Olimpic Việt Nam 2004 )

Lời giải: BĐT đúng khi a = b = c = 0

Nếu a + b + c > 0 Chuẩn hóa 2 2 2 a + b + c = 92 2 2

(1)  2(a + b + c) - abc 10

Giả sử :

2 2 2 2 2 2 2 2 2

3.2

IX Các bài tập có lời giải.

Bài 1 Cho x,y,z dương Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 4 Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 12 Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn: z z x y       x y 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T =

Bài 17 Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x3  y3 z3 3xyz Tìm GTNN của 1

Bài 30 Cho các số thực a, b, c thuộc đoạn [0; 1] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 39 Cho x,y,z dương thỏa mãn x2  y2 �xz yz 2 xy Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 42 Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện

xy + yz + zx  2xyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1)

Bài 43 Cho x, y, z [0 ; 1] � Chứng minh rằng :2(x + y + z ) - (x y + y z + z x) 3.3 3 3 2 2 2 �

Bài 44.Giả sử phương trình x3 ax2   có ba nghiệm phân biệt x b 0 x x x1, ,2 3

Bài 47 Với mọi số a,b,c không âm Chứng minh bất đẳng thức:

a2 + b2 + c2 + 2abc + 1 ≥ 2(ab + bc + ca)

Bài 48 (A 07) Cho x,y,z dương thoả mãn xyz=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của :

Bài 50 Cho các số a,b,c dương thoả mãn

12

X Lời giải các bài tập có lời giải.

Bài 1 Cho x,y,z dương Tìm giá trị nhỏ nhất của

(điều phải chứng minh).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Bài 3 Cho hai số dương x, y thoả mãn điều kiện x + y = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

3 3

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

x x

4

S 

Bài 4 Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi abc 1,ab bc ca  3�a b c  1, ( , ,a b c0).

Bài 8 Cho a,b,c là các số dương Tìm GTNN của

khi

1.2

Bài 10 Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 1 Chứng minh rằng:

Bài 12 Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn: z z x y       x y 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T =

x y

4 4

4 2

34

34

T

khi x= 3, y =3, z = 7

Bài 13 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a2    b2 c2 3 6abc.Tìm giá trị nhỏ nhất

1997min

Dấu ‘’=’’ xảy ra khi a b c  .

Bài 16 Cho tam giác ABC có m m m a, b, c lần lượt là các đường trung tuyến ứng với các

Suy ra minP1 khi x y z   1

Bài 18 Giả sử ,x y là các số thực dương thỏa mãn

Bài 22 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn 3a4 b4 c4 7 a2 b2 c2 12 0 . Tìm GTNN của

3

1

33

Sử dụng kết quả quen thuộc x2  y2 z2 �xy xz yz  ta có điều cần chứng minh

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Bài 26 Cho các số , ,x y z�(0;1] thoả mãn:x y �1z.Tìm giá trị nhỏ nhất của

32

Dấu ‘=’ xảy ra khi x y z  1.

Bài 27 Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn x y z   Chứng minh rằng 3

Bất đẳng thức được viết lại:

Thật vậy theo Cô - si ta có c b bc  �33 c b2 2

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.

Bài 30 Cho các số thực a, b, c thuộc đoạn [0; 1] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

4 4

xy xy

Luôn đúng do t3 4 8t3 2t2   4t 2 3t4 t t2(  2) t t( 2  4) 6t3    �2 0 t 2.

Vậy

3ax

2

khi t=2 hay a=b=c

Bài 32 Cho tam giác ABC có , , , , ,a b c r R p lần lượt là … CMR 2  

suy ra điều phải chứng minh

Bài 33 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn 2 2 2  2

Bài 34 Cho a, b, c không âm và a2    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcb2 c2 3

P(t)

22

4 5 3Vậy P max 22 với t3�a b c  1.

Bài 35 Cho các số thực không âm thỏa mãn a b c   1

Vậy minP3 3 khi x y z  1.

Bài 37 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a2 b2 c2 5a b c   2 ab Tìm

Bài 38 Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x y � Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1.thức:

2 2

Bài 42 Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện

xy + yz + zx  2xyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz và bất đẳng thức quen thuộc

Điều này đúng theo bất đẳng thức AM-GM

Cùng các BĐT tương tự ta được điều phải chứng minh

Bài 46 Cho 3 số thực a,b,c  [; ] mà  -  ≤ 2 Chứng minh rằng

ab 1 bc 1 ca    1 a b c

Ta có

21

Cộng theo vé các bất đẳng thức trên ta có ngay điều phải chứng minh.

Nhận xét: Mấu chốt của bài toán là giải thiết a,b,c  [; ] với  -  ≤ 2

Bài 47 Với mọi số a,b,c không âm Chứng minh bất đẳng thức:

a2 + b2 + c2 + 2abc + 1 ≥ 2(ab + bc + ca)

Dấu “=” xảy ra khi nào?

Với dạng bài này ta có thể dùng nguyên lí Drichlet quen thuộc:

Trong 3 số 1-a; 1-b; 1-c tồn tại hai số có tích không âm

Vậy minP khi x = y = z = 1.2

Bài 49 (A 09)Cho x,y,z dương thoả mãn : x(x+y+z)=3yz

Suy ra điều phải chứng minh.

Bài 50 Cho các số a,b,c dương thoả mãn

12

III Bất đẳng thức CôSi – Svac 13

V Sử dụng một số bất đẳng thức khác 22

VI Sử dụng hàm số bậc hai và phương trình bậc hai 29

VII Chứng minh bất đẳng thức bằng véc tơ 33

X Lời giải các bài tập có lời giải 50