Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số Phương pháp chung: Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y f x trên D ta = tính y' , tìm các điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại và lập bả
Trang 1GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,
NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
A CHUẨN KIẾN THỨC
1 Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên D
i) Số M gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y f x trên D nếu= ( )
f(x) M x D
x D :f(x ) M , ta kí hiệu = ∈
x D
M maxf(x)
ii) Số m gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y f x trên D nếu= ( )
f(x) M x D
x D :f(x ) m, ta kí hiệu = ∈
x D
m minf(x)
2 Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số
Phương pháp chung: Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y f x trên D ta = ( )
tính y' , tìm các điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại và lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta suy ra GTLN, GTNN
Chú ý:
* Nếu hàm số y f x luôn tăng hoặc luôn giảm trên = ( ) a;b thì
[a;b]
[a;b]
maxf(x) max{f(a),f(b)}; minf(x) min{f(a),f(b)}
* Nếu hàm số y f x liên tục trên = ( ) a;b thì luôn có GTLN, GTNN trên đoạn
đó và để tìm GTLN, GTNN ta làm như sau
B1: Tính y' và tìm các điểm x , x , ,x mà tại đó y' triệt tiêu hoặc hàm 1 2 n
số không có đạo hàm
B2: Tính các giá trị f(x ),f(x ), ,f(x ),f(a),f(b) Khi đó 1 2 n
x [a;b]max f(x) max{f(x ), ,f(x ),f(a),f(b)}
x [a;b]min f(x) min{f(x ), ,f(x ),f(a),f(b)}
* Nếu hàm số y f x là hàm tuần hoàn chu kỳ T thì để tìm GTLN, GTNN = ( )
của nó trên D ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN trên một đoạn nằm trong D có
độ dài bằng T
* Cho hàm số y f x xác định trên D Khi đặt ẩn phụ = ( ) t u(x), ta =
tìm được t E với∈ x D , ta có ∀ ∈ y g t thì Max, Min của hàm f trên D = ( )
chính là Max, Min của hàm g trên E
* Khi bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà không nói trên tập nào thì ta hiểu là tìm GTLN, GTNN trên tập xác định của hàm số
Trang 2* Ngoài phương pháp khảo sát để tìm Max, Min ta còn dùng phương pháp miền giá trị hay Bất đẳng thức để tìm Max, Min
Chú ý:
Nếu hàm số y f x= ( ) là hàm tuần hoàn chu kỳ T thì để tìm GTLN, GTNN của
nó trên D ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN trên một đoạn thuộc D có độ dài bằng T
* Cho hàm số y f x= ( ) xác định trên D Khi đặt ẩn phụ t u x= ( ), ta tìm được
t E∈ với x D∀ ∈ , ta có y g t= ( ) thì Max, Min của hàm f trên D chính là Max, Min của hàm g trên E
* Khi bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà không nói trên tập nào thì ta hiểu là tìm GTLN, GTNN trên tập xác định của hàm số
* Ngoài phương pháp khảo sát để tìm Max, Min ta còn dùng phương pháp miền giá trị hay Bất đẳng thức để tìm Max, Min
* Ta cần phân biệt hai khái niệm cơ bản :
+ Giá trị lớn nhất của hàm số y f x= ( ) trên D với cực đại của hàm số + Giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x= ( ) trên D với cực tiểu của hàm số Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x= ( ) trên D mang tính toàn cục , còn giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số chỉ mang tính địa phương
B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số
Phương pháp
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D
∈
x D 1 1
x D ,f(x) M
M maxf(x)
x D 2 2
x D ,f(x) m
x D ,f(x ) m Nếu hàm số f liên tục trên [a;b] thì f đạt giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó
Nếu hàm số f liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b )
thì giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của f trên [a;b] luôn tồn tại , hơn nữa các giá trị này chỉ đạt được tại các điểm cực trị hoặc tại hai biên a,b.Do đó trong trường hợp này để tìm x [a,b]max f(x) , min f(x),ta có thể tiến hành một ∈ x [a,b]∈
cách đơn giản hơn như sau:
• Tính f’(x) và tìm các nghiệm x ,x , ,x thuộc (a;b) của phương trình 1 2… n
f’(x) = 0
• Tính f(x ),f(x ), ,f(x ),f(a),f(b) 1 2 n
• Giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất trong các giá trị trên là giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên [a,b]
Các ví dụ
Trang 3Ví dụ 1 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: y x= 4−2x2+5,
x [ 2;3]∈ −
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D=¡ , xét x [ 2;3]∈ −
Ta có: y' 4x= 3−4x và y' 0= ⇔4x(x2− = ⇒ =1) 0 x 0 hoặc x= ±1
y(0) 5; y( 1) 4; y(1) 4; y( 2) 13; y(3) 68.= − = = − = =
Vậy, x [ 2;3]∈ −max y 68= khi x 3= và
x [ 2;3]min y 4
∈ − = khi x= ±1
Ví dụ 2 :
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: y x= 5−5x4+5x3+2, x [ 1;2]∈ −
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D=¡ , xét x [ 1;2]∈ −
Ta có: y' 5x= 4−20x3+15x2 và y' 0= ⇔5x4−20x3+15x2= ⇒ =0 x 0,x 1,=
x 3 [ 1;2]= ∉ −
y(0) 2; y(1) 3; y( 1)= = − = −9; y(2)= −6
Vậy, x [ 1;2]∈ −max y 3= khi x 1= và
x [ 1;2]min y 9
∈ − = − khi x= −1
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau
1 y 3 x x= − + 2−4x 3+ 2 y= 4 x− 2+ −x 1
Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau
1 y=(3 x 5 x− ) − 2
3 y x 2= + + 2x x− 2
2 y x= + 4 x− 2
4 .y=(x 6 x− ) 2+4, x∀ ∈ 0;3
Bài 3: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau
1 = +
+ +
2
2
y
=
2 2
20x 10x 3 y
Bài 4: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau
1.
= 2+ + − 2− + ∈ −
2 y= − +x2 4x 21+ − − +x2 3x 10+
Bài 5: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
1 y=1x3−1x2−6x 3 , x [0;4]+ ∈
y x= +4 1 x− trên đoạn 1;1−
2
y
=
+ trên khoảng (0;+∞)
Bài 6: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
1.y (x 3)= + − −x2 2x 3+ 2 y= 45 20x+ 2+ 2x 3−
Trang 4Dạng 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT LIÊN QUAN
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Phương pháp
Chú ý: t sinx, t 1= ≤ , t cosx, t 1= ≤
Các ví dụ
Ví dụ 1 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: y 2sinx 1
sin x sinx 1
+
=
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D=¡
Đặt t sinx, t 1= ≤ , ta có: y 2t 1
+
= + + với t [ 1;1]∈ −
Ta có: y' 2t2 2t2
(t t 1)
− −
=
2
y' 0= ⇔ − −t 2t 0= ⇒ =t 0 hoặc t= − ∉ −2 [ 1;1]
2 y(0) 1; y( 1) 0; y(1)
3
Vậy, t [ 1;1]∈ −max y 1= khi x 0= và
x [ 1;1]min y 0
∈ − = khi x= −1
Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC không tù Tìm GTLN của biểu thức :
P cos2A 2 2 cosB cosC= + +
Lời giải.
A 90 cos2A 2cos A 1 2cosA 1 1 4sin
2
Đẳng thức có ⇔cos A cosA2 =
−
Đẳng thức xảy ra cosB C 1
2
−
Ta có: P≤ −4t2+4 2t 1 f t+ = ( )
Xét hàm số f t , t( ) 0; 2
2
∈
, có f' t( ) 8t 4 2 f' t( ) 0 t 2
2
Lập bảng biến thiên ta có: f t( ) f 2 3 P 3
2
≤ ÷÷= ⇒ ≤
Trang 5Đẳng thức xảy ra
2
0 0
cosA cos A
A 90
B C
sin
= =
=
Vậy maxP 3=
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau
1 y x sin2x= − trên đoạn
;
2 2
π π−
2 .y 2sinx 4sin x3
3
= − trên đoạn 0; π
Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau
1 = + +
6 6
4 4
1 sin x cos x
y
Bài 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số sau g(x) f(sin x)f cos x trong đó = 2 ( 2 ) hàm f thỏa mãn: f(cotx) sin2x cos2x = + ∀ ∈ πx [0; ]
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
1 y 2cosx 6sinx
2
= + trên đoạn 0; π
2 y sin x cos x 2= 4 + 2 +
3 y x sin2x= − trên đoạn ;
2
π − π
4.y 2sinx 1
sin x sinx 1
+
=
5
6 6
sin x cosx cos x sinx y
sinx cosx
+
=
+
6 y 2cos x6 3cos2x
4
7 y sin x cos x= 3 − 3
sinx cosx
=
+
9 y= 1 sinx+ + 1 cosx+
Dạng 3: Phương pháp đưa về một biến
Do khuôn khổ chương trình, tác giả chỉ giới thiệu những bài toán cơ bản, trọng tâm thường xuất hiện trong đề kiểm tra 45 phút, thi học kì Bạn đọc
muốn tìm hiểu kĩ hơn dạng toán này, hãy tìm đọc cuốn: “ Bất đẳng thức
và bài toán min – max trong các bài kiểm tra, thi học kì và trong
kì thi tuyển sinh Đại học “ cùng tác giả
Phương pháp
Trang 6Nhắc lại bất đẳng thức Cô si ( BĐT trung bình cộng – trung bình nhân )
• Hai số: Với hai số thực a,b 0≥ ta luôn có: a b ab
2
+ ≥ Đẳng thức xảy ra khi a b=
Hệ quả: Với hai số thực dương a,b ta có: 1 1 4
a b a b+ ≥
+ .
• Ba số: Với ba số thực a,b,c 0≥ ta luôn có: a b c 3abc
3
Đẳng thức xảy ra khi a b c= =
Hệ quả: Với ba số thực dương a,b,c ta luôn có: 1 1 1 9
a b c a b c+ + ≥
+ +
• Tổng quát: Với n số thực không âm a ,a , ,a ta luôn có:1 2 n
1 2 n n
1 2 n
a a a
a a a n
≥
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các số a bằng nhau.i
Hệ quả: Với n số thực dương a ,a , ,a ta có:1 2 n
2
1 2 n 1 2 n
a +a + +a ≥a a a
Một số lưu ý khi áp dụng BĐT Cô si:
• Bất đẳng thức Cô si chỉ áp dụng cho các số thực không âm, đồng thời là
sự so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân
• Điều kiện để xảy ra dấu "=" là các số bằng nhau
Phương pháp:
Nội dụng của phương pháp này là tìm cách đưa một bất đẳng thức nhiều biến về bất đẳng thức chứa một biến Một trong những công cụ tối ưu khi chứng minh bất đẳng thức một biến là công cụ đạo hàm Quan trọng nhất
ở phương pháp này là tìm cách đánh giá để đưa về một biến Để đưa về một biến, chúng ta cần lưu ý:
• Nếu một bất đẳng thức hai biến có điều kiện và trong điều kiện có một biến nhất thì ta có thể rút biến đó và thế vào bất đẳng thức cần chứng minh ta được một bất đẳng thức một biến Tuy nhiên cách làm này chúng
ta chỉ sử lí khi bất đẳng thức không quá phức tạp
• Nếu điều kiện của bài toán và bất đẳng thức cần chứng minh là những biểu thức đối sứng hai biến thì ta có thể chuyển về tổng và tích hai biến
đó Lưu ý: S2≥4P
• Khi gặp bài toán chứng minh BĐT hai biến có dạng : ( )
( )
f x,y
p
g x,y ≥ , trong đó
( )
f x,y và g x,y là những biểu thức đẳng cấp bậc k hai biến, ta có thể đặt( )
Trang 7( )
x ty y 0= ≠ Khi đó BĐT cần chứng minh trở thành : ( )
( )
f t,1
p
g t,1 ≥ đây là BĐT một biến Để chứng minh BĐT này ta có thể sử dụng phương pháp khảo sát hàm số
• Nếu trong bất đẳng thức xuất hiện các số hạng: n n
n n
b +a thì ta có thể đặt
a b
t
b a
= +
Các ví dụ
Ví dụ 1
Cho x 0, y 0> > và x y 5
4
+ = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 4 1
x 4y
Lời giải.
1 Cách 1 : Ta có : x y 5 4y 5 4x P 4 1
Xét hàm số : f x( ) 4 1
x 5 4x
= +
− xác định và liên tục trên khoảng
5 0;
4
Ta có : ( )
( )
2 2
f' x
Trên khoảng 0;5 : f' x( ) 0
4
Lập bảng biến thiên, ta được 5 ( ) ( )
x 0;
4
min f x f 1 5
∈ ÷
minP 5
1
x 1, y
4
Cách 2 : (x y P) 4 1 (x y) x 4y 17 2 17 25
Suy ra P 5≥ Đẳng thức xảy ra: x 4y
4y= x và x y 5
4
+ = hay x 1, y 1
4
Ví dụ 2 Cho hai số thực x, y thoả mãn: ≥ ≥
+ =
x 0, y 1
x y 3 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức: P x= 3+2y2+3x2+4xy 5x −
Lời giải.
Ta có y 3 x 1= − ≥ ⇒ ≤ ⇒ ∈ x 2 x 0;2
Khi đó: P x= 3+2(3 x)− 2+3x2+4x(3 x) 5x− − =x3+x2−5x 18+
Trang 8Xét hàm số f(x) x= 3+x2−5x 18 trên + 0;2 ta có:
f'(x) 3x 2x 5 f'(x) 0 x 1
Hơn nữa: f 0( )=18, f 1 15, f 2( )= ( )=20
x [0;2]
maxP max f(x) f(2) 20 khi x 2, = = ∈ = =
x [0;2]
minP min f(x) f(1) 15 khi x 1.=