Hình học của không gian hilbert

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ----o0o---- TRẦN THỊ HIÊN HÌNH HỌC CỦA KHÔNG GIAN HILBERT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học: TS.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN o0o

TRẦN THỊ HIÊN

HÌNH HỌC CỦA KHÔNG GIAN HILBERT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học:

TS BÙI KIÊN CƯỜNG

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này, em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy TS BÙI KIÊN CƯỜNG, đã tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình viết khóa luận tốt nghiệp

Em chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô trong khoaTOÁN, Trường Đại Học SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 đã tận tình truyền đạt kiến thức trong 4 năm học tập Với vốn kiến thức được tiếp thu trong quá trình học không chỉ là nền tảng cho quá trình nghiên cứu khóa luận mà còn là hành trang quí báu để em bước vào đời một cách vững chắc và tự tin

Cuối cùng em kính chúc quý Thầy, Cô dồi dào sức khỏe và thành công trong sự nghiệp cao quý

Em xin chân thành cảm ơn!

Tác giả

Trần Thị Hiên

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp: “Hình học của không

gian Hilbert” là công trình nghiên cứu của bản thân Các kiến thức, kết

quả trình bày trong khóa luận là hoàn toàn trung thực, nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm và chịu mọi kỷ luật của khoa và nhà trường

đề ra

Tác giả

Trần Thị Hiên

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu: 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tượng nghiên cứu 1

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Đóng góp của khóa luận 2

NỘI DUNG 3

Chương 1.HÌNH HỌC CỦA KHÔNG GIAN HILBERT 4

1 Tích vô hướng và tích nửa vô hướng 4

2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 5

3 Bất đẳng thức tam giác 6

4 Không gian Hilbert 7

5 Định lý Pythagore 8

6 Định lý Apollonius 10

7 Phép chiếu vuông góc 11

8 Định lý biểu diễn Riesz 19

Chương 2 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC CỦA KHÔNG GIAN HILBERT 23

KẾT LUẬN 32

TÀI LIỆU THAM KHẢO 33

là một trong những vấn đề cơ bản của giải tích hàm Không gian Hilbert

là một dạng tổng quát hoá của không gian Euclid mà không bị giới hạn

về vấn đề giới hạn chiều Đó là một không gian có tích vô hướng, nghĩa

là trong đó có khái niệm về khoảng cách và góc (đặc biệt là khái niêm trực giao hay vuông góc) Hơn nữa, nó thoả mãn một yêu cầu nữa là tính đầy đủ để chắc chắn rằng giới hạn là tồn tại khi cần, làm các định nghĩa khác nhau trong tính toán vi phân dễ dàng hơn Không gian Hilbert cho phép các trực giác hình học có thể được áp dụng vào một số không gian hàm vô hạn chiều Đặc biệt là các yếu tố hình học của không gian Hilbert và dạng bài tập có liên quan Với mong muốn được nghiên cứu

và tìm hiểu sâu sắc hơn về vấn đề đó, em đã chọn đề tài: “Hình học của không gian Hilbert” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu:

Bước đầu giúp em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về giải tích hàm, đặc biệt về hình học của không gian Hilbert

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về hình học của không gian Hilbert

4 Đối tƣợng nghiên cứu

Các khái niệm và kết quả về không gian Hilbert

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

Phương pháp giải tích hàm

6 Đóng góp của khóa luận

Khóa luận là một tài liệu tổng quan về hình học của không gian Hilbert Cụ thể là các yếu tố hình học như phép trực giao, cơ sở Hilbert

và phép đẳng cấu,…trong không gian Hilbert

NỘI DUNG Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm có

Chương 1: Hình học của không gian Hilbert

1 Tích vô hướng và tích nửa vô hướng

8 Định lý biểu diễn Riesz

Chương 2: Một số bài toán liên quan đến hình học của không gian Hilbert

Chương 1 HÌNH HỌC CỦA KHÔNG GIAN HILBERT

1 Tích vô hướng và tích nửa vô hướng

Ta đã được là quen cơ bản về tích vô hướng trong chương trình

trung học phổ thông như sau: “Cho hai véc tơ a và b đều khác véc tơ 0 Tích vô hướng của a và b là một số, kí hiệu là a b , được xác định bởi

công thức:

a b a b a b

là tích vô hướng trong không gian 2 chiều Ở đây, ta sẽ mở rộng tích vô

hướng lên không gian tuyến tính X trên trường K

Định nghĩa 1.1 Cho không gian tuyến tính X trên trường K ( K là

trường số thực ℝ hoặc trường số phức ℂ) Ta gọi là tích vô hướng trên

không gian X mọi ánh xạ từ tích Đề-các X X vào trường K , kí hiệu

Các phần tử , , , x y z gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số  x y,

gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y , các tiên đề 1), 2), 3), 4) gọi

là hệ tiên đề tích vô hướng

Ta gọi   , là tích nửa vô hướng nếu nó thoả mãn 3 điều kiện đầu và điều kiện 4‟)

 x X, x x, 0

Ví dụ 1.2 a) Trong C a b , các hàm liên tục trên  a b thì ánh xạ ,

Vì vậy,  x y,  x y x y, X Định lý được chứng minh

Định nghĩa 1.4 ( Góc của hai véc tơ) Nếu , x y 0 thì số

Trong giải tích toán học, bất đẳng thức tam giác thường được dùng

để ước lượng chặn trên tốt nhất cho giá trị tổng của hai số, theo giá trị của từng số trong hai số đó

Cũng có thể ước lượng chặn dưới bằng cách dùng bất đẳng thức

tam giác đảo chiều, mà phát biểu rằng với hai số thực x và y :

x  y  x y

4 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.5 Giả sử   , là một tích vô hướng trên X Khi đó

 

2

,

x  x x ,  x X xác định một chuẩn trên X được gọi là chuẩn sinh

bởi tích vô hướng

Vậy x y x  y , suy ra điều phải chứng minh

Định nghĩa 1.6 Ta gọi một tập H  gồm những phần tử x y z, , , nào

đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thoả mãn các điều kiện:

1) H là không gian tuyến tính trên trường K ;

2) H được trang bị một tích vô hướng   , ;

3) H là không gian Banach với chuẩn x   x x x, , H

Nếu K  (hoặc ℂ) thì không gian Hilbert tương ứng được gọi là không gian Hilbert thực (hoặc phức)

x y x y



 là một tích vô hướng trên l 2

và chuẩn sinh bởi tích vô hướng này là

2

1

n n i



tích vô hướng là một không gian Hilbert

Định nghĩa 1.9 (Không gian con của không gian Hilbert) Mọi không

gian véc tơ con đóng của không gian Hilbert được gọi là không gian Hilbert con

5 Định lý Pythagore

Định nghĩa 1.10 Cho H là không gian Hilbert Ta nói hai phần tử

,

x yH là trực giao nhau nếu  x y, 0 Kí hiệu x y

Nếu A là tập con của H , A , xH , ta nói x trực giao với A nếu x trực giao với mọi phần tử trong A Kí hiệu xA

Vậy x    A x y, y A

Nhận xét: Ký hiệu  là góc của hai véc tơ ,x y Khi đó hai véc tơ , x y

trực giao với nhau khi và chỉ khi cos0, tức là hai véc tơ „vuông góc” với nhau

Định nghĩa 1.12 Cho không gian Hilbert H và không gian con EH

Tập con F H gồm các phần tử của không gian H trực giao với tập E gọi là phần bù trực giao của tập E trên không gian H và kí hiệu:

F  H E

Khi đó ta viết H E F và EF gọi là tổng trực tiếp của E và F

Định lý 1.13 Giả sử là không gian Hilbert, H là không gian con đóng 1của nó, H2 H1 thì H là tổng trực tiếp của H1và H 2

Chứng minh Cho xH, x1H gần nhất với x Đặt x2  x x1 Ta thấy

2

x H Thật vậy, cho yH1.Ta thấy hàm f t( ) x x1 ty 2của biến thực t có cực tiểu tại x0, do đó f'(0)

Do đó Re( , )x y2 0 Thay y bởi y , ta được i Im( , )x y2 0

Nên( , )x y2 0, tức làx2H2 Ta thấy H là tổng trực tiếp của H và 1 H2.

Tổng này suy trực tiếp từ tính trực giao của H và 1 H : Nếu2 xH1 H2, thì ( , ) 0x x  , tức là x0 Thực tế, H là tổng trực tiếp của 2 không gian

con trực giao H và 1 H , kí hiệu 2 H H1 H2

Minh hoạ hình học cho đẳng thức hình bình hành:Lục + Lam = Đỏ

Đẳng thức được chứng minh

Định lý Jordan-Neumann (Định lý đảo của định lý Apollonius) Nếu 

là một chuẩn trong không gian véc tơ (phức) thoả mãn

x y  x y  x  y thì V là không gian tiền Hilbert với x 2 ( , )x x và tích vô hướng cho bởi

Định lý 1.14 (Hình chiếu lên không gian con đóng trong không gian

Hilbert) Cho không gian Hilbert H và H 0 là không gian con của H Khi

đó mỗi phần tử x H biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng:

2 2

2 4

n u u Do H là không gian Banach và tính đóng của

Đặt z x y  ta chứng minh z H0 Thật vậy, giả sử  v H0 mà

c y

c z v v v

c z v v v

c y x w x d

) , (

, ) , ( )

, (

2 2

2

2

2 2 2

2

) , ( )

, ( ) , (

)

, ( ) ,

c z v v v v

c c c v v

c c v v

0 , , ' '

, , ' ' x y y H z H z H

Định lý được chứng minh

Tổng quát hoá định lý trên ta có:

Định lý 1.15 (Hình chiếu lên tập lồi đóng) Cho K H là tập lồi đóng, khác rỗng Khi đó với mọi f H đều tồn tại duy nhất phần tử u K sao cho

K

uP f

Bất đẳng thức (1.2) nói rằng tích vô hướng của u f với uv bất kì

vKlà0, nghĩa là góc  xác định bởi hai véc tơ trên là

2





Chứng minh a) Sự tồn tại

Gọi  v n là dãy cực tiểu của (1,1), nghĩa là v nKvà

Do đó  v hội tụ tới giới hạn u n K với d  f u

b) (1,1) tương đương với (1.2)

Cho t 0ta thu được (1.2)

Giả sử có phần tử u thoả mãn (1.2) khi đó ta có

Nhận xét Cho K Elà một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian

Banach lồi đều E Khi đó với mỗi f Etồn tại duy nhất phần tử uE

Chứng minh Đặt u1 P f K 1 và u2 P f K 2 Ta có

 f1 u v u1,  1  0, v K (1.5)

 f2 u v u2,  2  0, v K (1.6) Chọn vu2trong (1.5) và vu1trong (1.6) rồi cộng các bất đẳng

Định nghĩa 1.17 Giả sử MHlà một không gian con tuyến tính đóng,

f H Khi đó uP f M được đặc trưng bởi

uMvà  f u v,   0, v M (1.7) Hơn nữa P là toán tử tuyến tính và được gọi là phép chiếu trực giao M Chứng minh Từ (1.2) ta có

Hơn thế nữa rõ ràng P tuyến tính M

Với mỗi f Hthì ánh xạ u  f u, là một phiếm hàm tuyến tính

liên tục trên H Hơn nữa định lý sau đây chỉ ra rằng mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H đều có dạng như vậy

(Tổng của vế trái được hiểu là supAo  2

Ao x,x

trên các tập con hữu hạn A0A Không khó để chỉ ra rằng tổng này chỉ hữu hạn nếu chỉ có đếm được các số hạng khác 0.)

Chứng minh Theo định nghĩa tổng ở vế trái của (1.8) chỉ cần kiểm tra bất đẳng thức này đối với tập hữu hạn chỉ số A Cho H là không gian 1con của H sinh bởi hệ  x ,A, H2 H1 Khi đó x C x y

x,xc ,  , 2  ,

A α

y y c

x

 

Định nghĩa 1.18 Hệ trực chuẩn  x α A trong không gian Hilbert H

được gọi là đầy nếu phần bù trực giao của nó chỉ có phần tử 0

Đẳng thức Parseval: (Khái quát của định lý Pythagore): Với mọi hệ trực

chuẩn đầy  x α  A và với mọi véc tơ x,

Chứng minh Cho A là tập tất cả 0 x,x 0 Như đã đề cập ở trên, A 0

đếm được Ta đánh số nó và viết x x1, 2, thay cho

 



   n k

i i n

Với  A0 thìy0là hiển nhiên theo cách xây dựng, với A0, nó suy

Vậy y 0 và do đó     2

A α 1

lim ,

n

i i n

n n

Định lý 1.19 Mọi hệ trực chuẩn đầy  x α A trong không gian Hilbert

H là một cơ sở Hilbert, nghĩa là với mọi véc tơ x ∊ H có thể viết duy nhất dưới dạng



x c





A α

, trong đó c x,x

Nhận xét: Khái niệm về cơ sở Hilbert nói chung khác với cơ sở trong

không gian tuyến tính và chỉ trùng với nó trong trường hợp hữu hạn chiều

Sự khác biệt bắt nguồn từ thực tế tổ hợp tuyến tính vô hạn là thỏa mãn trong không gian Hilbert, nhưng không có nghĩa trong không gian tuyến tính

Định lý 1.20 Mọi không gian Hilbert có một cơ sở Hilbert Mọi cơ sở

của không gian H đã cho có cùng lực lượng (Lực lượng này được gọi là

lý trên, hệ này là một cơ sở Hilbert trong H

Sự kiện hai cơ sở Hilbert trong không gian hữu hạn chiều có cùng lực lượng suy từ sự kiện tương tự trong đại số tuyến tính, bởi vì trong trường hợp này, khái niệm cơ sở và cơ sở Hilbert là trùng nhau Giả sử

Hcó cơ sở (Hilbert) đếm được  x n n  Khi đó H là vô hạn chiều (vì x n

độc lập tuyến tính) và tách được (tức là có một tập con trù mật đếm được)

Do đó, với mọi cơ sở khác  y   chứa vô hạn phần tử Nếu A không đếm được, thì H chứa tập không đếm được của các hình cầu rời

nhau bán kính bằng 1 (chỉ cần lấy các hình cầu với tâm tại điểm

2y,A ), dẫn tới mâu thuẫn với sự tách được của H Trường hợp số

chiều không đếm được đòi hỏi thêm thông tin về lý thuyết tập hợp và ta

bỏ qua phép chứng minh nó 

Nhận xét Với không gian Hilbert tách được, sự tồn tại của cơ sở có thể

chứng minh bằng quá trình trực giao mà không sử dụng bổ đề Zorn Giả

sử  x n n N là hệ đếm được của các véc tơ trong H mà phần bù trực giao

của nó chỉ có phần tử 0 (ví dụ, họ đếm được của các véc tơ trù mật trong

H là tồn tại vì H tách được) Loại bỏ các véc tơ dư thừa, ta giả định hệ

 x độc lập tuyến tính Ta định nghĩa dãy mới của các véc tơ n  y n n ,

H  H thì hệ  z cũng nằm trong n H Từ đây suy ra sự tồn tại của 0

một cơ sở trong mọi không gian tiền Hilbert tách được

Định lý 1.21 Hai không gian Hilbert đẳng cấu khi và chỉ khi chúng có

cùng số chiều

Chứng minh Điều kiện cần của định lý là hiển nhiên Ta sẽ chứng minh

điều kiện đủ Giả sử H và 1 H có cùng số chiều Nghĩa là 2 H và 1 H có cơ 2

sở  x , A và  y , A với cùng lực lượng, cho toán tử

Hệ quả: Mọi không gian Hilbert vô hạn chiều tách được là đẳng cấu

8 Định lý biểu diễn Riesz

Định lý 1.22 Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert

H đều có biểu diễn duy nhất dưới dạng

   ,

f x  x a , xH,

Trong đó, phần tử a H được xác định duy nhất bởi phiếm hàm f và

f  a Chứng minh a là phần tử cố định thuộc không gian H

 ,

x x a Xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian H Thật

Ngược lại mỗi f H ( Hlà tập các phiếm hàm tuyến tính liên tục

trên H ) đều tồn tại duy nhất a sao cho f x    x a, , x H và

f  a Thật vậy

Đặt H0 x H f x:  0

Khi đó H0là không gian véc tơ con của H

Hơn nữa H0là đóng vì mọi dãy  x n H0sao cho x n xkhi

Chú ý Nhờ định lý trên ta có thể đồng nhất H

với H hay không gian

Hilbert là không gian tự liên hợp Vậy không gian Hilbert là không gian

Chương 2 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC CỦA KHÔNG GIAN HILBERT Bài 1: Cho dãy x n là một hệ véc tơ đôi một trực giao của không gian Hilbert Chứng minh các điều kiện sau là tương đương:

S

1

Vì chuỗi hội tụ yếu nên với mỗi xH, dãy ( )x S n cũng hội tụ, do đó bị chặn Đặt

f x  x S  x H

Thế thì f n là một phiếm hàm tuyến tính liên tục và bị chặn từng điểm

trên H Hơn nữa, theo định lý Riesz: f n  S n Lại theo nguyên lý Banach-Stinhaus, thì dãy toán tử (f n)bị chặn đều, tức là tồn tại M > 0:

Từ đây và từ giả thiết chuỗi 2

1

n n

x





 hội tụ, suy ra (S là dãy cơ bản, mà n)

H là không gian đầy nên

1

n n

x



Bài 2 Giả sử H là một không gian Hilbert, AL H  là một toán tử

liên hợp Ta gọi A là một toán tử dương nếu

với mọi xH,xPxxPx, trong đó Px L và x Px L 

Vậy P là một toán tử dương

Bài 3 Cho dãy  e là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert vô n

hạn chiều H , H là không gian con sinh bởi các véc tơ n e e1, ,2 ,en