Luận văn thạc sĩ ánh xạ không gian và vài nét về cấu trúc hình học của không gian banach

Năm 1965 xuất hiện 3 bài báo có tính chất mở đường về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach lồi đều với c lồi đóng bị chặn hay giảm nhẹ đi một chút là lồ

N G U Y Ễ N H Ữ U D Ư Ơ N G

ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN VÀ VÀI NÉT VỀ CẤư TRÚC

HÌNH HỌC CỦA KHÔNG GIAN BANACH

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C s ĩ T O Á N HỌ C

Hà Nội - 2015

N G U Y Ễ N H Ữ U D Ư Ơ N G

ẢNH XẠ KHONG GIAN VÁ VÁI NÉT VÊ CÄU TRÚC

HÌNH HỌC CỦA KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên nghành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C s ĩ T O Á N HỌ C

Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Qu ố c B ì nh

Hà Nội - 2015

Lời cảm ơn

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Trần Quốc Bình Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành luận văn này

Nhân dịp này em xin gửi lời cám ơn của mình tới toàn bộ các thầy

cô giáo trong Khoa Toán và Phòng Sau Đại học đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập tại đây đồng thời, tôi xin cảm

ơn các bạn trong lớp cao học K17 Toán Giải Tích đợt 2 đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp

Hà Nội, tháng 8, năm 2015

Tác giả

N guyễn Hữu D ương

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS Trần Quốc Bình

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 8, năm 2015

Tác giả

N guyễn Hữu D ương

Không gian liên hợp và tính phản xạ

Tôpô yếu và tôpô yếu’"

Một số tính chất cơ bản của tôpô yếu và tôpô yếu’"

3

6 6

7

8

8 999

9

10

10

10 10

11

11

iii

Chương 2.

2 1

2 2

Các định lý cơ bản về ánh x ạ không giãn

Các khái niệm cơ bản

2.4

19Định lý cơ bản về điểm bất động của ánh xạ không giãn trongkhông gian Hilbert

2.5 Tính chất của tập điểm bất động và tập cực tiểu

Chương 3.

2527

Vài n ét về cấu trú c hình học của không gian B anach

3.1 Cấu trúc chuẩn tắc

3.2 Môđun lồi và đặc t]rưng lồi

3.3 Mối quan hệ giữa môđun lồi và cấu trúc chuẩn tắc

3.4 Mối quan hê giữa cấu trúc chuẩn tắc và tính trơn

K ết luận

Tài liệu th am khảo

31

31394346

50 51

M ở đầu

1 Lý do ch ọn đ ề tà i

Khi hệ số co của ánh xạ co Banach bằng 1, tức là khi:

IITa; — TyII < \\x — y\\ ,V x ,y £ c

thì T gọi là ánh xạ không giãn Nói chung, ánh xạ không giãn không nhất thiết có điểm bất động (chẳng hạn T là phép quay hình tròn đơn

vị quanh tâm đi một góc), mà nếu có thì điểm bất động cũng không duy nhất (chẳng hạn T là ánh xạ đơn vị)

Để ánh xạ không giãn T có điểm bất động ta phải áp các điều kiện lên miền c và nhất là không gian X Năm 1965 xuất hiện 3 bài báo có tính chất mở đường về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach lồi đều với c lồi đóng bị chặn (hay giảm nhẹ

đi một chút là lồi, compact yếu, có cấu trúc chuẩn tắc trong không gian định chuẩn X (chú ý rằng không gian Banach lồi đều có cấu trúc chuẩn tắc) Từ đó đến nay, lý thuyết ánh xạ không giãn và song hành với nó

là nghiên cứu cấu trúc hình học của không gian Banach đã phát triển mạnh mẽ

Trong luận văn này, tôi không chỉ nghiên cứu về điểm bất động của

ánh xạ không giãn, về cấu trúc tập điểm bất động của ánh xạ không giãn mà còn đề cập sâu đến các vấn đề về cấu trúc hình học của không gian Banach có liên quan.

Tài liệu được tôi chọn là một số bài báo và tài liệu chính là cuốn sách

"Các vấn đề về lý thuyết điểm bất động mêtric" của hai tác giả Goebel

K và Kirk w A [4] Trong đó Kirk w A chính là tác giả của một trong 3 bài báo được nhắc tới năm 1965 ở trên và đến nay vẫn là một trong những người có uy tín nhất trong lĩnh vực điểm bất động Quyển sách của ông được hầu hết những người làm việc trong lĩnh vực này sử dụng

Qua các kết quả nghiên cứu trên, để góp phần giúp người đọc muốn tìm hiểu về lý thuyết ánh xạ không giãn nói chung và bản thân nói riêng hiểu sâu hơn về vấn đề này Vì vậy, dưới sự hướng dẫn và giúp đỡ của

TS Trần Quốc Bình, tôi chọn đề tài: “Á nh xạ không giãn và vài nét

về cấu trú c hình học của không gian B anach ” làm luận văn tốt

nghiệp của mình

2 M ụ c đ ích n g h iên cứu

Nắm được lý thuyết điểm bất động của ánh xạ không giãn và cấu trúc hình học của không gian Banach

3 N h iệ m v ụ n g h iên cứu

Nghiên cứu các kiến thức cơ sở của ánh xạ không giãn, lý thuyết điểm bất động, cấu trúc hình học của không gian Banach và các sách, tài liệu

CÓ liên quan đến các vấn đề đã nêu Từ đó áp dụng vào việc hệ thống

và trình bày luận văn

4 Đ ố i tư ợ n g và p h ạ m v i n g h iên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Ảnh xạ không giãn, điểm bất động của ánh xạ không giãn và cấu trúc hình học của không gian Banach

Phạm vi nghiên cứu: Các cuốn sách và tài liệu liên quan đến đối tượng nghiên cứu

5 P h ư ơ n g p h áp n g h iên cứu

Sử dụng kiến thức cơ bản của lý thuyết ánh xạ không giãn, lý thuyết điểm bất động

6 D ự k iến k ết q u ả n g h iên cứu

Luận văn là tài liệu tổng quan về lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết ánh

xạ không giãn và cấu trúc hình học của không gian Banach

Chương 1

K iến th ứ c chuẩn bị

1.1 C ác k h ái n iệm về đ ư ờn g kín h

Đ ịnh nghĩa 1.1 Nếu A là tập con của không gian metric (M ,p ) và

nếu X € M thì diamẢ và dist (x, A) được gọi là đường kính của tập A

và khoảng cách từ X đến tập A Được xác định bởi:

diamẢ = sup { p (x, y ) : X, y € A}

dist (x, A) = inf {p (x, y) : y € A}

Đ ịnh nghĩa 1.2 Mọi tập con D , H của X; u € X:

ru (D ) = sup {||u —u|| : V € D }

rH (D ) = inf {ru (D) : u e H }

CH (D) = { u e H : ru (D ) = rH (D)}

Khi đó:

+SỐ ru (D ) được gọi là bán kính của D so với u.

+SỐ rH (D ) được gọi là bán kính chebysher của D so với H.

+SỐ C ịj (D ) được gọi là tâm chebysher của D so với H.

Một điểm u € D được gọi là điểm đường kính nếu ru (D ) = diam D Nếu u không là điểm này thì được gọi là điểm phi đường kính.

1.2 T ín h lồi

Đ ịnh nghĩa 1.3 Giả sử X là không gian tuyến tính, K là tập số thực

Khi đó tập A c X được gọi là lồi, nếu với mọi X\,X 2 G A, A € K và

0 < A < 1 ta có:

\ x i -\- (1 — A) X 2 E A.

chứa A được gọi là bao lồi của A:

convA = n { K c X : K D A}; với K lồi.

Nếu convẢ là tập đóng thì convA được gọi là bao lồi đóng của A:

convA = Pl { K c X : K D A } ; K là đóng và lồi.

Đ ịnh lý 1.1 (M azur’s) Nếu A là compact thì convA cũng compact.

Đ ịnh nghĩa 1.5 Không gian Banach (X, ||.||) được gọi là lồi ngặt (lồi

chặt) Nếu với mọi X Ỷ y mà \\x\\ < 1; ||y|| < 1 ta có: ll^^ll < 1-

Điều kiện này tương đương với: Nếu 11rr + y II = ||a;|| + ||y|| và y Ỷ 0 'thì

X = Ay\ với một A > 0 nào đó.

Đ ịnh nghĩa 1.6 Không gian Banach (X, ||.||) được gọi là lồi đều nếu

với mọi £ > 0 đều tồn tại ố(c) > 0 sao cho với mọi x ,y e X mà:

\\x\\ < 1; ||y|| < 1; 11rr — y II > £ ta luôn có: ll^^ll < 1 —

ở(e)-Đ ịnh nghĩa 1.7 Không gian mêtric (x , d ) được gọi là siêu lồi nếu

với mỗi họ điểm {a;Q} trong X và mọi số thực không âm {rQ} sao cho

d (x a, X ạ ) < ra + Tp ta có:

Ọ \B { x a,r a) Ỷ

0-1.3 C ấu tr ú c ch u ẩn tắ c

Cho X là không gian định chuẩn khi đó ta có các định nghĩa sau:

Đ ịnh nghĩa 1.8 Tập hợp con K của X được gọi là có cấu trúc chuẩn

tắc nếu mọi tập con lồi bị chặn s của K với dỉam S > 0 đều có chứa

một điểm không là điểm đường kính

Đ ịnh nghĩa 1.9 Một tập lồi D trong không gian đối ngẫu X* gọi là có

cấu trúc chuẩn tắc yếu * nếu mọi tập con đóng, bị chặn, lồi s của D với dỉam S > 0 có một điểm không là điểm đường kính.

1.4 K h ô n g g ia n liên hợp và tín h p h ả n x ạ

Cho hai không gian Banach X và Y £(X , Y ) là kí hiệu tập các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y , với chuẩn ||T|| của toán tử T € £(X , Y )

được cho bởi:

||T|| = sup : a; e X; a; 7^ o| = sup {||Ta:|| : X € X; ||a;|| = 1}

Đ ịnh nghĩa 1.10 Không gian liên hợp X* của X; X* = £(X,M ) là

không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X:

X* (s) = ( x , X * ) ; X € X, X* € X*

Đ ịnh nghĩa 1.11 Không gian X** = £(X *,K ) gọi là không gian liên

1.5 T ôp ô y ếu và tô p ô yếu*

Đ ịnh nghĩa 1.13 Tôpô yếu trên X là tôpô sinh bởi họ các nửa chuẩn

{p x*} với X* € X*, ở đây: p x* (a;) = |(a;, £*)| , X € X.

Đ ịn h nghĩa 1.14 Tôpô yếu* trên X* được sinh bởi các nửa chuẩn {p x}

với X & X, ò đây: p x (a;*) = |(a;, £*)| ]X* € X*.

N hận x é t 1.1 X và X* là các không gian lồi địa phương Trên X* có

hai tôpô yếu, là tôpô sinh bởi X** và tôpô yếu* sinh bởi X Nếu X là phản

xạ thì các tôpô này trùng nhau.

1.6 M ộ t số tín h ch ất cơ b ản củ a tô p ô y ếu và tô p ô yếu*

N hận x é t 1.2 Các tính chất trên không còn đúng trong tôpô yếu *.

1.6.3 T ính chất 3 (Đ ịn h lý A la o g lu ’s)

Hình cầu đơn vị B (0,1) trong không gian đối ngẫu X* luôn là compact

trong tôpô yếu *

Nếu X là phản xạ thì X = X**, do đó theo định lý Alaoglu’s ta có tính chất dưới đây

1.6.4 T ính chất 4

Nếu X là phản xạ thì mỗi hình cầu đóng trong X là compact trong tôpô yếu

1.6.5 T ính chất 5 (Đ ịn h lý E b e rlin -S m u lio n )

Cho A là tập con của X, thì các điều kiện sau là tương đương:

(a) Mỗi dãy {x n} trong A có một dãy con hội tụ yếu.

(b) Mỗi dãy {x n} trong A có một điểm tụ yếu trong X.

(c) Bao đóng A của A là compact yếu.

(c) Mọi dãy bị chặn trong X đều chứa một dãy con hội tụ yếu.

(d) Mọi X* G X* đều tồn tại X G B ( 0 , 1 ) sao cho X* (æ) = \\x*\\.

(e) Mọi tập con lồi đóng bị chặn K của X và mọi X* G X*, tồn tại X G K

sao cho: X* (æ) G sup {æ* (y) : y G K}

(f) Mọi dãy bất kỳ {K n} các tập con khác rỗng lồi, đóng và bị chặn của

X đều có giao khác rỗng: r e Kn ¿ 0

BỔ đề 1.1 (Zorn) Nếu mỗi xích trong một tập được sắp thứ tự bộ phận

M đều có cận trên thì trong M tồn tại phần tử cực đại.

1.7 N g u y ê n lí đ iểm b ấ t đ ộ n g củ a á n h x ạ co

Đ ịnh lý 1.2 Cho không gian Banach H , nếu ánh xạ Ị : H —»■ H là ánh

xạ co thì ánh xạ f : H —»■ H có duy nhất điểm bất động Xqg H , nghĩa

là f ( x 0) = X q

1.8 Tập b ấ t b iến

bất biến đối với ánh xạ T : K —> K nếu T (D) c D.

Chương 2

C ác định lý cơ bản về ánh xạ không giãn

2.1 C ác k h ái n iệm cơ b ản

Đ ịnh nghĩa 2.1 Ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào không gian

metric (z , p) được gọi là ánh xạ không giãn nếu với mọi € X ta có

p { T x , T y ) < d (x, y).

V í dụ 2.1 Cho X = l1 và cho {en} = là cơ sở trực chuẩn của l1 Xét: K = conv {en : n > 1, 2 } = {x = {Xị} : Xị > 0; i = 1, 2 ; ||a;|| = 1} Khi đó d ia m K = 2 và toán tử s được định nghĩa bởi:

S x = s {xu x 2, ) = (0, Xị , x 2, )

là một phép đẳng cự từ K vào K không có điểm bất động.

T hật vậy, nếu S x = X] X = 0 mâu thuẫn ||a;|| = Y2°°=1 X ị = 1 Ngoài ra

K n+1 = convS (K n) : n = 1, 2 tạo thành một dãy giảm với giao bằng rỗng, trong khi đó với mọi x ,y e K \ lim IIy — S'na;|| = 2 = d ia m K

n — ¥ữo

V í dụ 2.2 Trong không gian c0 (N) phép đẳng cự T được định nghĩa:

là ánh xạ không giãn biến hình cầu đơn vị lên biên của nó Hơn nữa vì

(‘T x ) (t ) > X (t ) với t > 0 hoặc (T x ) (t ) < X (t ) với t < 0 nên T không có

điểm bất động

N hận x é t 2.1 Trong các vi dụ trên có thể thấy rằng nếu K không

compact và lồi thì ánh xạ không giãn T : K —»■ K là tồn tại nhưng không

có điểm bất động.

Đ ịnh lý 2.1 Giả sử K là tập con khác rỗng, lồi, compact yếu của không

gian Banach Khi đó với mọi ánh xạ T : K —> K ; tồn tại tập con lồi, đóng của K là T bất biến.

C hứng m inh Xét họ M các tập con khác rỗng, lồi, đóng (như vậy là

compact yếu) của K mà là T-bất biến; và thiết lập quan hệ thứ tự trên tập đó là quan hệ bao hàm của tập hợp: với Kị, K 2 G M, Kị < K 2 nếu

Kị c K 2 - Bởi tính compact yếu, mỗi xích (họ sắp thẳng) các tập con của M có giao khác rỗng, do đó là chặn trên đối với quan hệ < Theo

bổ đề Zorn,tồn tại ít nhất một tập D G M là cực đại đối với quan hệ <,

BỔ đề 2.1 Nếu K là khác rỗng, lồi, đóng và là tập cực tiểu và T-bất

biến thì: K = convT (K ).

C hứng m inh Rõ ràng convT (K ) là lồi, đóng và T -bất biến Bởi tính

cực tiểu của K nó không thể là tập con thực sự của K

B ổ đề 2.2 Nếu K là tập lồi, đóng của không gian lồi ngặt X và T :

K —»■ K là ánh xạ không giãn thì tập các điểm bất động của T là đóng

Đ ịnh nghĩa 2.2 Cho K là tập con lồi, đóng của không gian Banach

X Tập K được gọi là hầu như có tính chất điểm bất động đối với các

ánh xạ không giãn nếu cho mọi ánh xạ không giãn T : K —> K ta có: inf ||Ty — y\\ = 0.

N hận x é t 2.2 Bất kì tập con lồi, đóng, bị chặn của không gian Banach

đều ỉà tập hầu như có tinh chất điểm bất động đối với họ các ánh xạ không giãn.

2.2 Đ ịn h lý cơ b ản về đ iể m b ấ t đ ộ n g củ a án h x ạ

k h ô n g g iã n tr o n g k h ô n g g ia n B a n a ch

Đ ịnh lý 2.2 (K irk) Cho K là một tập lồi, compact yếu, có cấu trúc

chuẩn tắc trong không gian định chuẩn X và T : K —> K là ánh xạ không giãn Khi đó T có điểm bất động trong K

C hứng m inh Đặt: F = { D c K , T ( D ) c D } với D lồi, đóng, khác

convT (H) là một tập hợp lồi, đóng trong K nên cũng compact yếu và vì convT (H ) c conv (H ) = H nên X (convT (H )) c X (H ) c convT (H ), vậy convT (H ) G T Vì convT (H ) c H và H cực tiểu nên convT (H ) =

H Từ đây ta có H c B (T z , r ), chứng tỏ XT E M, vậy X (M) c M vì

z bất kì trong M

Ta sẽ kiểm tra M lồi và đóng Cho Z \ E M và z = a z \ + (1 — O') Z 2

với a E [0,1] Khi đó ||æ — Zị\\ < r, i = 1,2, , với mọi X E H nên

Z E M, vậy M lồi.

Nếu Z n E M và Z n —^ Z thì do ||æ — Z n II < r với mọi X E H, suy ra

||æ — z \ \ < r với mọi X E H nên Z E M, vậy M đóng.

Tóm lại M c K là tập lồi, đóng và bất biến đối với X, vậy M E x \

Vì M c H và H cực tiểu nên M = H Khi đó, với mọi u , v E M = H

ta có ||it — v|| < r, từ đây d = diam H = diam M < r < d, ta gặp mâu thuẫn Vậy H chỉ gồm một điểm, tức là XX = {æ*}.

Đ ịnh lý 2.3 (B row der-G oh be) Cho K ỉà tập ỉồi đóng bị chặn trong

không gian lồi đều X và X : K —> K là một ánh xạ không giãn Khi đó tập các điểm bất động của X là lồi đóng và khấc rỗng.

C hứng m inh Vì X lồi đều nên phản xạ, do đó K là compact yếu và có

cấu trúc chuẩn tắc Vậy theo định lý Kirk, tập hợp các điểm bất động của X khác rỗng ngoài ra nó đóng vì X liên tục Ta chỉ còn phải chứng minh tính lồi của tập hợp này

Cho u = Tu, V = T v và m = Xu + (1 — A)u với một A G [o, 1] nào

đó Khi đó u — m = (1 — A) (u — v) và V — m = A (v — u) Vì X là ánh

xạ không giãn nên ta có:

||it — Trail + IITra — v|| < ||it — m|| + IIra — v|| = ||it — v||.

Do u — V = (u — Tra) + (Tra — v) nên:

||it — v|| < ||it — Trail + ||Tra — v||

Kết hợp với bất đẳng thức trên ta được:

||it — v|| = I I'll — Tra II + II Tra — v II

Đặt x = u — T m , y = T m — V ta có ||a;|| + ||y|| = ||a; + y||

Vì X lồi đều thì cũng lồi chặt nên đẳng thức trên chứng tỏ tồn tại

a > 0 để cho u — T m = a (Tra — v) Từ đây ta có:

T m = = Pu + (1 - /3) V với ạ =

Ta sẽ chứng minh rằng (3 = \ bằng phản chứng Giả sử /3 > A Khi

đó ta có:

IIT v — Tm\\ = ||v — Trail = (3 \\u — v|| > A ||it — v|| = ||v — ra||.

Mâu thuẫn với tính không giãn của T

Hoàn toàn tương tự, nếu /3 < Xthì ta cũng gặp mâu thuẫn:

||Tri — Tra|| > ||ri — ra|| Vậy ¡3 = A nên Tra = ra Vì mọi điểm trên

đoạn nối hai điểm bất động cũng là điểm bất động nên tập hợp các điểm

N hận x é t 2.3 Browder đã sử dụng định lý trên để chứng minh sự tồn

tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân trong không gian Hilbert với vế phải là một hàm tuần hoàn.

Sau khi xuất hiện định lý của Kirk một câu hỏi được đặt ra là liệu có

thể bỏ được điều kiện có cấu trúc chuẩn tắc được không, hay nói cách

khác: một ánh xạ không giãn trong một tập hợp lồi, compact yếu của một không gian Banach bất kì có nhất thiết có điểm bất động không?Alspach đã đưa ra câu trả lời phủ định bằng cách đưa ra phản ví dụ dưới đây:

Vì L 1 [0; 1] là không gian Banach không phản xạ nên một câu hỏi nữa

lại xuất hiện Một ánh xạ không giãn trong một tập lồi, đóng, bị chặn của một không gian Banach phản xạ có nhất thiết có điểm bất động không? Hiện nay câu hỏi này vẫn chưa có lời giải

N h ậ n x é t 2.4 Trong khi việc tồn tại điểm bất động cho ánh xạ không giãn đòi hỏi những điều kiện ngặt nghèo trên miền xác định của ánh xạ, việc tồn tại điểm bất động "xấp xỉ" tức ỉà với mọi e > 0 tồn tại x E sao cho \\Txí — x £\\ < e, ỉại đòi hỏi những điều kiện rất tự nhiên Cụ thể ỉà: ánh xạ không giãn trong một tập ỉồi, đóng, bị chặn luôn có điểm bất động xấp xỉ Thật vậy lấy Xq tùy ý trong K và với mỗi n đặt:

Tnx = ^Xq + (1 - ì ) T x, X G K.

Do K lồi nên: Tn : K —»■ K và do T không giãn nên Tn là ánh xạ co:

\\Tnx - Tny\\ = (l - ì ) \\Tx - Ty\\ < (l - i ) ||x - y\\

Theo nguyên lý ánh xạ co, tồn tại x n sao cho x n = Tnx n Khi đó:

x n = Tnx n = ^Xq + (1 - ^) T x n + £ (x0 - T x n)

Do đó \\xn — T x n\\ = - ||íCo — Ta;n|| < - d ia m K Vì K bị chặn nên:

\\Txn — x n\\ —> 0 khi n —> 00 Với n đủ lớn, x n là một điểm bất động

"xăp xỉ" cua I

2.3 Đ ịn h lý cơ b ản về đ iể m b ấ t đ ộ n g củ a án h x ạ

k h ô n g g iã n tr o n g k h ô n g g ia n m etric

của X Cặp (X,C) được gọi là cấu trúc lồi metric nếu:

a) Cả X và 0 thuộc c.

b) Giao của một họ các phần tử trong clà thuộc c.

c) cchứa các hình cầu đóng trong X

Một tập con trong X được gọi là chấp nhận được nếu nó là giao của

một họ các hình cầu đóng trong X chứa nó Ký hiệu A (X) là họ các tập

chấp nhận được trong X

Khi đó, cặp (X,M (X)) là một cấu trúc lồi metric Cặp (X,M (X)) được gọi là cấu trúc lồi chấp nhận được

Đ ịnh nghĩa 2.4 c ấ u trúc lồi metric (X,C) được gọi là compact nếu

mỗi họ của c có tính chất giao hữu hạn thì họ đó có tính chất giao toàn

thể

Cấu trúc lồi metric (X,C) được gọi là chuẩn tắc nếu r (D ) < diamD với mọi D £ c có diam D > 0.

Cấu trúc lồi metric (X,C) được gọi là chuẩn tắc đều nếu tồn tại

c £ (0; 1) sao cho r (D ) < c.diamD với mọi D £ c có diam D > 0.

B ổ đề 2.3 Cho cấu trúc lồi compact (X,C) và ánh xạ T : X —> X Khi

đó tồn tại D £ c sao cho D là tập khác rỗng bé nhất, bất biến qua T và conv (T (D )) = D

C hứng m inh Đặt T = {L £ c : L Ỷ 0, T (L) c L} Vì X G T nên

Ĩ Ỷ 0- Với quan hệ thứ tự là bao hàm thức, tập T được sắp thứ tự bộ

phận

Gọi c là một xích trong F Vì quan hệ thứ tự bao hàm thức nên c

là họ các tập lồng nhau, vì vậy c có tính chất giao hữu hạn Do (X,C)

có cấu trúc lồi compact nên Pl L Ỷ 0; do đó c có phần tử bị chặn dưới.

Lee Theo bổ đề Zorn, T có phần từ cực tiểu D Ta có conv (T (D)) c T, conv (T (D )) c conv (D ) = D Vì D là phần tử cực tiểu trong T nên có

Đ ịnh lý 2.4 Cho X là không gian metric bị chặn và cặp (X,C) có cấu

trúc lồi metric compact, chuẩn tắc Khi đó ánh xạ không giãn T : X —> X

có điểm bất động.

C hứng m inh Theo bổ đề 2.3 tồn tại tập bé nhất khác rỗng D £ c sao

cho T (D ) c D.

Với mỗi n ta đặt: Cn (D ) = Pi B (x, r (D ) + - ) f l D Khi đó Cn (D ) Ỷ 0

T (D) C Ẽ { T x , r { D ) )

Suy ra:

D = conv (T (D )) c B ( T x , r (D)).

Vì vậy T x G c (D ) Vì c (D ) c D và D là tập khác rỗng bé nhất sao cho T (D ) c D nên c (D ) = D Khi đó diam D = r (D ).

Do ccó cấu trúc chuẩn tắc nên nếu diam D > 0 thì ta có:

diam D = r (D ) < diam D

vô lý

Vì vậy diam D = 0, do đó ánh xạ T có điểm bất động ■

B ố đ ề 2.4 Cho cấu trúc lồi metric (X,C) trong đó X là không gian metric bị chặn, T : X —> X là ánh xạ không giãn.

Dặt

T = {D G c: D Ỷ 0 , T ( D ) c D}.

Khi đó với mỗi D G T tồn tại D c D sao cho:

Ta chứng minh T (zu) c D.

Lấy X G D, ta có d ( T x , T y ) < d (X, y) < p với mọi y £ L 'Vi vậy, T (L ) c

B (T x , p) Với mọi y £ K ta có d (y, T x ) < p suy ra K c B (Tx, p).

Vậy

L = conv (T (L ) U K ) c B (Tx, p).

Do đó Tæ G D suy ra D £ T

Đ ịnh lý 2.5 Cho X là không gian metric đầy đủ, bị chặn và (X,C) là

cấu trúc lồi metric compact đếm được, chuẩn tắc Khi đó mỗi ánh xạ không giãn T : X —> X có điểm bất động.

Ta phát biểu mà không chứng minh mệnh đề sau

M ệnh đề 2.1 Cho X là không gian metric đầy đủ, bị chặn Nếu (X,C)

có cấu trúc lồi metric chuẩn tắc đều thì (X,C) có cấu trúc compact đếm được.