TRẦN PHƯƠNG HÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA KHÔNG GIAN CAT( ) VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Một trong những ứng dụng là vào lý thuyết điểm bất động của ánh xạ không giãn và ánh xạ Lipschitz đều trong không gian này.. Luận văn với đề tài ”Một số tính chất hình học của không gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học :

TS NGUYỄN VĂN KHIÊM

HÀ NỘI, 2011

MỤC LỤC

Chương 1: Không gian CAT ( ) 

1.1 Không gian trắc địa 6

1.2 Tập lồi và bao lồi trắc địa 8

1.3 Không gian mô hình M n 9

1.4 Không gian CAT() 12

Chương 2: Điểm bất động của ánh xạ không giãn và ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT ( )  2.1 Định lý W.A.Kirk trong không gian CAT ( )  15

2.2 Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT ( )  23

Kết luận 32

Tài liệu tham khảo 33

Bảng ký hiệu sử dụng trong luận văn

1  : Độ dài đường cong 

2 dS: Khoảng cách trong không gian n

3 dH : Khoảng cách trong không gian Hyperbolic

4 d: Khoảng cách trong không gian CAT( )

5 r C x( ): Bán kính Chebyshev của C đối với điểm x

6 r C( ): Bán kính Chebyshev của tập C

7 d C( ): Đường kính của tập C

8 N X( ) : Hệ số cấu trúc chuẩn tắc

9  X( ) : Môđun lồi đều của không gian Banach X

10 0( )X : Đặc trưng lồi của gian Banach X

11 ( )X : Đặc trưng Lifschitz của không gian mêtric X

12 0( )X : Hằng số Lifschitz của không gian Banach X

LỜI NÓI ĐẦU

Trong những năm gần đây không gian CAT( ) đã thu hút được chú ý của nhiều nhà toán học vì chúng có những vai trò quan trọng trong các khía cạnh khác nhau của hình học và những ứng dụng của chúng Một trong những ứng dụng là vào lý thuyết điểm bất động của ánh xạ không giãn và ánh xạ Lipschitz đều trong không gian này

Luận văn với đề tài ”Một số tính chất hình học của không gian CAT( ) và ứng dụng” nhằm mục đích là nghiên cứu tính chất hình học của không gian mêtric với độ cong bị chặn trên CAT( ) và ứng dụng trong lý thuyết điểm bất động Luận văn có 2 chương:

Chương 1: Là phần giới thiệu về không gian CAT( )

Chương 2: Là nội dung chính của luận văn Trong chương này chúng tôi mở rộng một số kết quả về tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn và ánh xạ Lipschitz đều sang không gian CAT( )

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các Thầy, Cô trong Bộ môn

Lý thuyết hàm, Khoa Toán- Tin, trường ĐHSP Hà Nội Đặc biệt là TS Nguyễn Văn Khiêm đã có những hướng dẫn quan trọng và chỉ bảo tận tình tôi trong quá trình làm và hoàn thiện luận văn

Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến các Thầy, Cô phản biện đã đọc

và đã có những đóng góp quý báu cho luận văn hoàn thiện hơn và bảo vệ được thành công

Hà nội, tháng 9 năm 2011

Tác giả

TRẦN PHƯƠNG HÀ

Chương 1

1.1 Không gian trắc địa

Giả sử ( , ) X d là một không gian mêtric và  :[ , ] a b  X là 1 ánh xạ liên tục từ đoạn [ , ] a b   vào X Khi đó ta gọi ảnh  ([a,b]) là một đường cong trong Xvà  là một biểu diễn tham số của đường cong

Giả sử  :[ , ] a b  Xlà một đường cong trong X Độ dài của đường cong  được định nghĩa như sau

của đoạn [ , ] a b Một đường cong  :[ , ] a b  X với  ( ) a  x và  ( ) b  y

được gọi là đường cong nối từ điểm x tới y Khoảng cách nội tại giữa hai điểm x y ,  X được xác định như sau

( , ) inf{L :

i

d x y    là đường cong trong Xnối x với y }.

Dễ thấy di cũng là một mêtric trên X và d x yi( , )  d x y ( , )  x y ,  X Nếu di  d trên Xthì ta nói rằng ( , ) X d là một không gian mêtric nội tại, hay không gian độ dài

Một đường cong  :[ , ] a b  X nối hai điểm x y ,  X được gọi là đường ngắn nhất nếu L  d x yi( , )  d x y ( , ) Một đường trắc địa trong X nối từ điểm x tới y là một đường cong ngắn nhất  :[ , ] a b  X nối từ điểm x

tới y và có tốc độ hằng, tức là

d ( ( ), ( ))  t  s   t  s  t s ,  [ , ] a b ,

trong đó là một hằng số và gọi là tốc độ của đường cong 

Mỗi đường trắc địa nối hai điểm x, y còn được gọi là một đoạn thẳng trắc địa có các điểm đầu mút là x và y, ký hiệu đoạn thẳng trắc địa này là

[ , ] x y

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử ( , ) X d là một không gian mêtric Khi đó :

(i) X được gọi là một không gian trắc địa nếu với 2 điểm bất kỳ x y ,  X

đều có một đường trắc địa trong X nối x với y

(ii) X được gọi là không gian trắc địa duy nhất nếu 2 điểm bất kỳ x y ,  X

có duy nhất một đường trắc địa trong X nối x với y

(iii) X được gọi là một không gian trắc địa địa phương nếu với mọi điểm

p  X đều có một lân cận U của p sao cho với 2 điểm bất kỳ

,

x y U  đều có một đường trắc địa trong X nối x với y

(iv) Với D  (0, ]  , không gian mêtric ( , ) X d là không gian D trắc địa

nếu với hai điểm bất kỳ x y ,  X mà khoảng cách d x y ( , )  Dluôn

có một đường trắc địa trong X nối x với y

1.2 Tập lồi và bao lồi trắc địa

Giả sử ( , ) X d là một không gian trắc địa và Clà một tập con của X

Định nghĩa 1.2.1 Tập Cđược gọi là một tập lồi (trắc địa) nếu mọi đoạn thẳng trắc địa với các điểm đầu mút trong C đều nằm hoàn toàn trong C Tập C được gọi là một tập lồi mạnh nếu với bất kỳ hai điểm x y ,  C

đều có duy nhất một đoạn thẳng trắc địa nối x với y và đoạn thẳng trắc địa này nằm hoàn toàn trong C

Với mỗi tập con Y của không gian trắc địa ( , ) X d , bao lồi (trắc địa ) của Y được xây dựng bằng quy nạp như sau: Ký hiệu G Y1( ) là hợp của tất

cả các đoạn thẳng trắc địa có hai đầu mút thuộc Y Với n  1, 2, , đặt

n i E

Với hai điểm x y ,  Sn không đối tâm có duy nhất một mặt phẳng (2- phẳng) đi qua ba điểm 0, , x y (0 là điểm gốc) Giao của mặt phẳng này với mặt cầu Snlà một đường tròn lớn đi qua hai điểm x y , Hai điểm x y , chia đường tròn đó thành hai cung tròn cùng có đầu mút là hai điểm x y , Độ dài của cung nhỏ trong hai cung đó gọi là khoảng cách cầu giữa hai điểm

Mệnh đề 1.3.1

(i) Không gian mêtric ( S dn, S)là một không gian trắc địa, đặc biệt nếu

, n

x y  S mà d x yS( , )   thì có duy nhất một đoạn thẳng trắc địa trong Sn nối x với y

(ii) Trong không gian ( S dn, S), mọi hình cầu có bán kính nhỏ hơn  2

đều là tập lồi trắc địa

(iii) Trong không gian ( S dn, S), bất kỳ tam giác cầu (có các cạnh là

các đường trắc địa) ABC đều thỏa mãn luật cosine

cosccos cosa bsin sin cosa b C ,

trong đó a  d B C bS( , ),  d C A cS( , ),  dS( , ) A B là độ dài các cạnh và C là góc tại đỉnh C của tam giác ABC

Ta kiểm tra được dH là một mêtric trên Hn Không gian Mêtric

 Hn, dH được gọi là không gian Hyperbolic thực n - chiều Trong không

gian  Hn, dH , bất kỳ hai điểm x y ,  Hn đều được nối nhau bởi một

đường trắc địa duy nhất có dạng

( ) t (cosh ) t x (sinh) , u

trong đó u là vectơ đơn vị theo hướng y  x y x |

Mệnh đề 1.3.2

(i) Không gian hyperbolic  Hn, dH  là không gian mêtric trắc địa

duy nhất

(ii) Trong không gian  Hn, dH , mọi hình cầu đều là tập lồi (trắc

địa)

(iii) Trong không gian  Hn, dH , bất kỳ tam giác trắc địa ABC đều

thỏa mãn luật cosine hyperbolic:

coshccosh cosha bsinh sinh cosa b C , trong đó a  dH( , ), B C b  dH( , ), C A c  dH( , ) A B là độ dài các cạnh và

C là góc tại đỉnh C của tam giác ABC

1.3.3 Không gian M n

Định nghĩa 1.3.1 Với   ta định nghĩa không gian M n như sau:

(i) Nếu  0 thì không gian M0n chính là không gian Euclid n (ii) Nếu  0 thì không gian M0n chính là mặt cầu Snđược trang

bị khoảng cách

1 ( , ) S( , ),

d x y d x y





 x y ,  Hn Tổng hợp Mệnh đề 1.3.1 và Mệnh đề 1.3.2 ta nhận được

Mệnh đề 1.3.3. M n là một không gian mêtric trắc địa Nếu  0 thì

 đều là tập lồi trắc địa

Giả sử X là một không gian trắc địa và x x x1, 2, 3 X Ký hiệu [ , x x1 2],

thì tồn tại (duy nhất sai khác một phép đẳng cự) một tam giác

Do tính chất trắc địa nên mỗi cạnh của tam giác  ( , x x x1 2, 3) đều đẳng cự

với cạnh tương ứng của tam giác ( , x x x1 2, 3) Do đó, với mỗi điểm z

thuộc cạnh [ , x xi j] của tam giác  ( , x x x1 2, 3) đều tồn tại duy nhất một điểm

z thuộc cạnh [ , x xi j] của tam giác ( , x x x1 2, 3) sao cho

 được gọi là so sánh của tam giác  ( , x x x1 2, 3)

Định nghĩa 1.4.1. Tam giác  ( , x x x1 2, 3) được gọi là thỏa mãn bất đẳng thức CAT ( )  (hay  - mỏng) nếu với hai điểm bất kỳ z z1, 2  ( , x x x1 2, 3)

và z z1, 2  ( , x x x1 2, 3) là hai điểm so sánh tương ứng của z z1, 2 ta đều có bất đẳng thức

d z z ( ,1 2)  d z z( ,1 2)

1.4.2 Không gian CAT ( ) 

Định nghĩa 1.4.2. Không gian mêtric X được gọi là một không gian

( )

CAT  nếu X là D - trắc địa và tất cả các tam giác trong X với chu vi

nhỏ hơn 2D đều thỏa mãn bất đẳng thức CAT ( ) 

Khi  0 thì các không gianCAT (0) được đặc trưng bởi bất đẳng thức đường trung tuyến

Bổ đề 1.4.1. Giả sử ( , ) X d là một không gian mêtric trắc địa Khi đó X

có độ cong 0 nếu và chỉ nếu X là không gian trắc địa duy nhất và đồng thời với bất kỳ 3 điểm x x x1, 2, 3 X , m là trung điểm của x x1, 2(tức là :

1 ( , ) ( , ) ( , )

Chương 2

Điểm bất động của ánh xạ không giãn và ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT ( ) 

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả gần đây về điểm bất động của ánh xạ không giãn và ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT ( ) 

2.1.1 Cấu trúc chuẩn tắc của không gian CAT ( ) 

Khái niệm về cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach  X ,   với đường kính d C  ( ) 0 được gọi là có cấu trúc chuẩn tắc nếu tồn tại một

điểm zC sao cho sup ( )

Để đo mức độ chuẩn tắc của không gian Banach, W.Bynum [5] đã đưa

ra hệ số cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach

Giả sử C là một tập con lồi, đóng, bị chặn (khác rỗng) của không gian Banach X Với z  X ta ký hiệu :

Định nghĩa 2.1.1. Hệ số cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach X là

số N X ( ) được xác định như sau

trong đó supremum lấy theo tất cả các tập Clà tập con lồi, đóng, bị chặn của Xvới đường kính d C  ( ) 0

Nếu ( ) 1 N X  thì ta nói rằng X có cấu trúc chuẩn tắc đều

Để mở rộng khái niệm chuẩn tắc sang không gian mêtric ta phải thay cấu trúc lồi trên tuyến tính trong không gian Banach bởi một cấu trúc lồi trừu tượng trong mêtric

Định nghĩa 2.1.2. Giả sử ( , ) X d là một không gian mêtric Một họ  gồm các con của X được gọi là một cấu trúc lồi trên Xnếu  thỏa mãn các điều kiện sau:

convA   C :C   ,C  A Một tập A  X được gọi là tập lồi nếu A  

Cấu trúc lồi đơn giản và thường hay được xét trong không gian mêtric là cấu trúc lồi sinh bởi các hình cầu đóng trong X Khi đó họ  gồm tập X

và tất cả các tập C có dạng là giao của một họ các hình cầu đóng trong X

Khi ( , ) X d là một không gian mêtric trắc địa thì ta có thể xét  là họ tất

cả các tập lồi trắc địa của X Trong các không gian CAT( )  ta luôn xét cấu trúc lồi  là cấu trúc lồi trắc địa

Nếu ( , ) X d là một không gian CAT( )  thì mọi hình cầu đóng với bán

r X   thì cấu trúc lồi trắc địa trên X

chứa cấu trúc lồi sinh bởi các hình cầu đóng trong X

Định nghĩa 2.1.3 Giả sử ( , ) X d là một không gian mêtric với cấu trúc lồi  Hệ số cấu trúc chuẩn tắc ( ) N X được xác định như sau

Định lý 2.1.1 (Lang-Schroeder [15], [16]) Giả sử Xlà một không gian

(i) Tồn tại duy nhất một điểm z  C sao cho r Cz( )  r C ( )  r;

(ii)d C ( )  d r( )  r , với d r( ) xác định bởi

arcsin sin( ) ( )

sinh sinh( )

Từ kết quả của Lang và Schroeder ta suy ra

Định lý 2.1.2. Giả sử X là một không gian CAT  ( )đầy đủ, bị chặn với

2.1.2 Mở rộng Định lý W.A.Kirk trong không gian CAT  ( )

Năm 1965 W.A.Kirk đã chứng minh được định lý cơ bản về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach

Định lý 2.1.3 (Kirk [13]) Giả sử C là một tập con lồi, compact yếu và

có cấu trúc chuẩn tắc của một không gian Banach ( , ) X Khi đó, nếu

:

T CC là một ánh xạ không giãn, tức là

Tx  Ty   x y  x y ,  C

thì T có điểm bất động trong C tức là tồn tại một điểm x0  C sao cho

Bổ đề 2.1.4. Giả sử X là một CAT  ( ) đầy đủ và C là một tập con lồi

(trắc địa), đóng trong không gian với bán kính ( )

Đặt C n0 C n ta xây dựng dãy  1

1

n n

Chọn dãy đường chéo  1

1

n n n

C 

 gồm các tập đĩng, bị chặn, khác rỗng, lồng nhau của C với d C n n 10 khi n  

Do X là khơng gian đầy đủ nên theo nguyên lý Cantor

Định lý 2.1.5. Giả sử X là một khơng gian CAT  ( )đầy đủ và C là một

tập đĩng, lồi, trắc địa trong Xvới bán kính ( )

Bước 1: Chứng minh  K0 là tập lồi, đĩng, khác rỗng, cực tiểu (theo quan

hệ bao hàm) C sao cho T( K )0  K0

Xét họ  = K   C : K là tập con lồi, đóng, khác rỗng : T(K)  K  .

Khi đĩ họ    vì C  . Đưa vào trong  quan hệ "  " như sau: Với K ,K1 2   , K1 K2  K1 K 2

Ta sẽ chứng minh họ (  , )  thỏa mãn giả thiết của bổ đề Zorn

Giả sử  K :   I  là 1 tập con sắp thứ tự toàn phần của  Áp dụng kết

 Họ  K :   I  có cận trên trong  Áp dụng Bổ đề Zorn, họ (  , ) 

có 1 phần tử tối đại Gọi K0là phần tử tối đại của (  , )  thì K0 là tập con lồi, đóng, khác rỗng cực tiểu của C theo quan hệ bao hàm

Bước 2: Chứng minh khẳng định: Nếu K0 là tập lồi, đóng, cực tiểu của C thỏa mãn T( K )0  K0 thì conv( T( K ))0  K0

Thật vậy ta có do T( K )0  K0 và K0 là tập lồi, đóng nên

 cũng là tập lồi, đóng chứa trong K0 và bất biến dưới T

Do tính cực tiểu của K0 conv( T( K ))0  K 0

Lớp ánh xạ Lipschitz đều được đưa ra bởi K.Goebel và W.A.Kirk, là mở rộng cần thiết và tự nhiên của lớp ánh xạ không giãn

Định nghĩa 2.2.1 Môdun lồi đều của không gian Banach Xlà hàm số

X : [ , ] [ , ],

 0 2  0 1 được xác định như sau:

X

x y ( ) inf : x,y X , x , y , x y

Người ta chứng minh được rằng hàm số  Xliên tục trên [ , ) 0 2 và tăng ngặt trên [ (X ), ] 0 2 Do đó nếu đặc trưng lồi 0(X )1 thì phương trình

và đủ gần 1) trong không gian Banach có đặc trưng lồi 0(X )1

Định lý 2.2.1. (Goebel – Kirk [10]) Giả sử X là không gian Banach có đặc trưng lồi 0(X )1 và C là một tập đóng, lồi, bị chặn, khác rỗng của

X Khi đó, nếu T C: C là một ánh xạ L  Lipschitz đều với hằng số Lipschitz L 0(X ) thì T có điểm bất động trong C

2.2.1 Đặc trưng Lipschitz của không gian CAT  ( )

Năm 1975 E A Lipschitz đã mở rộng kết quả của Goebel – Kirk sang không gian mêtric (không đòi hỏi cấu trúc lồi) bằng một cách tiếp cận hoàn toàn khác mà khi quy về trường hợp không gian Hilbert, kết quả của Lipschitz tốt hơn thực sự kết quả của Goebel – Kirk ở trên

Định nghĩa 2.2.2. (Lifschitz [17]) Đặc trưng Lipschitz của không gian mêtric (X ,d ) là số  (X)xác định như sau:

0 : 1 , , 0, ( , ) ( ) sup

( , ) ( , ) ( , )

sao cho x y X r d x y r X