Ánh xạ không gian và vài nét về cấu trúc hình học của không gian banach (LV01644)

Định lý cơ bản về điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach.. Định lý cơ bản về điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian mêtric.. Năm 1965 xuất hiện 3 bài b

NGUYỄN HỮU DƯƠNG

ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN VÀ VÀI NÉT VỀ CẤU TRÚC

HÌNH HỌC CỦA KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015

NGUYỄN HỮU DƯƠNG

ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN VÀ VÀI NÉT VỀ CẤU TRÚC

HÌNH HỌC CỦA KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên nghành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Quốc Bình

Hà Nội - 2015

Lời cảm ơn

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Trần QuốcBình Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn em trong quá trìnhhoàn thành luận văn này

Nhân dịp này em xin gửi lời cám ơn của mình tới toàn bộ các thầy

cô giáo trong Khoa Toán và Phòng Sau Đại học đã giảng dạy và giúp đỡchúng em trong suốt quá trình học tập tại đây đồng thời, tôi xin cảm

ơn các bạn trong lớp cao học K17 Toán Giải Tích đợt 2 đã nhiệt tìnhgiúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp

Hà Nội, tháng 8, năm 2015

Tác giả

Nguyễn Hữu Dương

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS Trần Quốc Bình

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 8, năm 2015

Tác giả

Nguyễn Hữu Dương

Lời cảm ơn i

Lời cam đoan ii

Mục lục iii

Mở đầu 3

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Các khái niệm về đường kính 6

1.2 Tính lồi 7

1.3 Cấu trúc chuẩn tắc 8

1.4 Không gian liên hợp và tính phản xạ 8

1.5 Tôpô yếu và tôpô yếu∗ 9

1.6 Một số tính chất cơ bản của tôpô yếu và tôpô yếu∗ 9

1.6.1 Tính chất 1 9

1.6.2 Tính chất 2 9

1.6.3 Tính chất 3 (Định lý Alaoglu’s) 10

1.6.4 Tính chất 4 10

1.6.5 Tính chất 5 (Định lý Eberlin-Smulion) 10

1.6.6 Tính chất 6 10

1.7 Nguyên lí điểm bất động của ánh xạ co 11

1.8 Tập bất biến 11

iii

Chương 2 Các định lý cơ bản về ánh xạ không giãn 12

2.1 Các khái niệm cơ bản 12

2.2 Định lý cơ bản về điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach 15

2.3 Định lý cơ bản về điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian mêtric 19

2.4 Định lý cơ bản về điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert 25

2.5 Tính chất của tập điểm bất động và tập cực tiểu 27

Chương 3 Vài nét về cấu trúc hình học của không gian Banach 31

3.1 Cấu trúc chuẩn tắc 31

3.2 Môđun lồi và đặc trưng lồi 39

3.3 Mối quan hệ giữa môđun lồi và cấu trúc chuẩn tắc 43

3.4 Mối quan hệ giữa cấu trúc chuẩn tắc và tính trơn 46

Kết luận 50

Tài liệu tham khảo 51

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Khi hệ số co của ánh xạ co Banach bằng 1, tức là khi:

kT x − T yk ≤ kx − yk , ∀x, y ∈ Cthì T gọi là ánh xạ không giãn Nói chung, ánh xạ không giãn khôngnhất thiết có điểm bất động (chẳng hạn T là phép quay hình tròn đơn

vị quanh tâm đi một góc), mà nếu có thì điểm bất động cũng không duynhất (chẳng hạn T là ánh xạ đơn vị)

Để ánh xạ không giãn T có điểm bất động ta phải áp các điều kiệnlên miền C và nhất là không gian X Năm 1965 xuất hiện 3 bài báo cótính chất mở đường về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãntrong không gian Banach lồi đều với C lồi đóng bị chặn (hay giảm nhẹ

đi một chút là lồi, compact yếu, có cấu trúc chuẩn tắc trong không gianđịnh chuẩn X (chú ý rằng không gian Banach lồi đều có cấu trúc chuẩntắc) Từ đó đến nay, lý thuyết ánh xạ không giãn và song hành với nó

là nghiên cứu cấu trúc hình học của không gian Banach đã phát triểnmạnh mẽ

Trong luận văn này, tôi không chỉ nghiên cứu về điểm bất động của

ánh xạ không giãn, về cấu trúc tập điểm bất động của ánh xạ khônggiãn mà còn đề cập sâu đến các vấn đề về cấu trúc hình học của khônggian Banach có liên quan.

Tài liệu được tôi chọn là một số bài báo và tài liệu chính là cuốn sách

"Các vấn đề về lý thuyết điểm bất động mêtric" của hai tác giả Goebel

K và Kirk W A [4] Trong đó Kirk W A chính là tác giả của mộttrong 3 bài báo được nhắc tới năm 1965 ở trên và đến nay vẫn là mộttrong những người có uy tín nhất trong lĩnh vực điểm bất động Quyểnsách của ông được hầu hết những người làm việc trong lĩnh vực này sửdụng

Qua các kết quả nghiên cứu trên, để góp phần giúp người đọc muốntìm hiểu về lý thuyết ánh xạ không giãn nói chung và bản thân nói riênghiểu sâu hơn về vấn đề này Vì vậy, dưới sự hướng dẫn và giúp đỡ của

TS Trần Quốc Bình, tôi chọn đề tài: “Ánh xạ không giãn và vài nét

về cấu trúc hình học của không gian Banach ” làm luận văn tốtnghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Nắm được lý thuyết điểm bất động của ánh xạ không giãn và cấutrúc hình học của không gian Banach

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các kiến thức cơ sở của ánh xạ không giãn, lý thuyết điểmbất động, cấu trúc hình học của không gian Banach và các sách, tài liệu

có liên quan đến các vấn đề đã nêu Từ đó áp dụng vào việc hệ thống

và trình bày luận văn

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Ánh xạ không giãn, điểm bất động của ánh xạkhông giãn và cấu trúc hình học của không gian Banach

Phạm vi nghiên cứu: Các cuốn sách và tài liệu liên quan đến đối tượngnghiên cứu

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng kiến thức cơ bản của lý thuyết ánh xạ không giãn, lý thuyếtđiểm bất động

6 Dự kiến kết quả nghiên cứu

Luận văn là tài liệu tổng quan về lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết ánh

xạ không giãn và cấu trúc hình học của không gian Banach

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Các khái niệm về đường kính

Định nghĩa 1.1 Nếu A là tập con của không gian mêtric (M, ρ) vànếu x ∈ M thì diamA và dist (x, A) được gọi là đường kính của tập A

và khoảng cách từ x đến tập A Được xác định bởi:

diamA = sup {ρ (x, y) : x, y ∈ A}

dist (x, A) = inf {ρ (x, y) : y ∈ A} Định nghĩa 1.2 Mọi tập con D, H của X; u ∈ X:

ru(D) = sup {ku − vk : v ∈ D}

rH (D) = inf {ru(D) : u ∈ H}

CH (D) = {u ∈ H : ru(D) = rH (D)}

Khi đó:

+Số ru(D) được gọi là bán kính của D so với u

+Số rH (D) được gọi là bán kính chebysher của D so với H

+Số CH (D) được gọi là tâm chebysher của D so với H

Một điểm u ∈ D được gọi là điểm đường kính nếu ru(D) = diamD.Nếu u không là điểm này thì được gọi là điểm phi đường kính.

convA = ∩ {K ⊂ X : K ⊃ A}; với K lồi

Nếu convA là tập đóng thì convA được gọi là bao lồi đóng của A:

convA = T {K ⊂ X : K ⊃ A} ; K là đóng và lồi

Định lý 1.1 (Mazur’s) Nếu A là compact thì convA cũng compact.Định nghĩa 1.5 Không gian Banach (X, k.k) được gọi là lồi ngặt (lồichặt) Nếu với mọi x 6= y mà kxk ≤ 1; kyk ≤ 1 ta có: x+y2 < 1

Điều kiện này tương đương với: Nếu kx + yk = kxk + kyk và y 6= 0 thì

x = λy; với một λ > 0 nào đó

Định nghĩa 1.6 Không gian Banach (X, k.k) được gọi là lồi đều nếuvới mọi  > 0 đều tồn tại δ() > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X mà:kxk ≤ 1; kyk ≤ 1; kx − yk ≥  ta luôn có: x+y2 ≤ 1 − δ()

Định nghĩa 1.7 Không gian mêtric (X, d) được gọi là siêu lồi nếuvới mỗi họ điểm {xα} trong X và mọi số thực không âm {rα} sao cho

Định nghĩa 1.9 Một tập lồi D trong không gian đối ngẫu X∗ gọi là cócấu trúc chuẩn tắc yếu ∗ nếu mọi tập con đóng, bị chặn, lồi S của D vớidiamS > 0 có một điểm không là điểm đường kính

1.4 Không gian liên hợp và tính phản xạ

Cho hai không gian Banach X và Y L(X, Y ) là kí hiệu tập các toán tửtuyến tính bị chặn từ X vào Y , với chuẩn kT k của toán tử T ∈ L(X, Y )được cho bởi:

kT k = supnkT xkkxk : x ∈ X; x 6= 0

o

= sup {kT xk : x ∈ X; kxk = 1}.Định nghĩa 1.10 Không gian liên hợp X∗ của X; X∗ = L(X, R) làkhông gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X:

x∗(x) = hx, x∗i ; x ∈ X, x∗ ∈ X∗

Định nghĩa 1.11 Không gian X∗∗ = L (X∗, R) gọi là không gian liênhợp thứ hai của X.

Ánh xạ x 7→ x∗∗ gọi là ánh xạ chính tắc hay phép nhúng chính tắccủa X trong X∗∗

Định nghĩa 1.12 Nếu phép nhúng chính tắc x 7→ x∗∗ là toàn ánh thì

X gọi là phản xạ: X = X∗∗

1.5 Tôpô yếu và tôpô yếu∗

Định nghĩa 1.13 Tôpô yếu trên X là tôpô sinh bởi họ các nửa chuẩn{Px∗} với x∗ ∈ X∗, ở đây: Px∗(x) = |hx, x∗i| , x ∈ X

Định nghĩa 1.14 Tôpô yếu∗ trên X∗ được sinh bởi các nửa chuẩn {Px}với x ∈ X, ở đây: Px(x∗) = |hx, x∗i| ; x∗ ∈ X∗

Nhận xét 1.1 X và X∗ là các không gian lồi địa phương Trên X∗ cóhai tôpô yếu, là tôpô sinh bởi X∗∗ và tôpô yếu∗ sinh bởi X Nếu X là phản

xạ thì các tôpô này trùng nhau

1.6 Một số tính chất cơ bản của tôpô yếu và tôpô

Nhận xét 1.2 Các tính chất trên không còn đúng trong tôpô yếu ∗.

Cho A là tập con của X, thì các điều kiện sau là tương đương:

(a) Mỗi dãy {xn} trong A có một dãy con hội tụ yếu

(b) Mỗi dãy {xn} trong A có một điểm tụ yếu trong X

(c) Bao đóng ¯A của A là compact yếu

(c) Mọi dãy bị chặn trong X đều chứa một dãy con hội tụ yếu.

(d) Mọi x∗ ∈ X∗ đều tồn tại x ∈ B (0, 1) sao cho x∗(x) = kx∗k

(e) Mọi tập con lồi đóng bị chặn K của X và mọi x∗ ∈ X∗, tồn tại X ∈ Ksao cho: x∗(x) ∈ sup {x∗(y) : y ∈ K}

(f) Mọi dãy bất kỳ {Kn} các tập con khác rỗng lồi, đóng và bị chặn của

X đều có giao khác rỗng: T∞

n Kn 6=∅

Bổ đề 1.1 (Zorn) Nếu mỗi xích trong một tập được sắp thứ tự bộ phận

M đều có cận trên thì trong M tồn tại phần tử cực đại

1.7 Nguyên lí điểm bất động của ánh xạ co

Định lý 1.2 Cho không gian Banach H, nếu ánh xạ f : H → H là ánh

xạ co thì ánh xạ f : H → H có duy nhất điểm bất động x0 ∈ H, nghĩa

là f (x0) = x0

1.8 Tập bất biến

Định nghĩa 1.15 Một tập con D khác rỗng, lồi, đóng của K gọi là tậpbất biến đối với ánh xạ T : K → K nếu T (D) ⊂ D

Chương 2

Các định lý cơ bản về ánh xạ không giãn

2.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 2.1 Ánh xạ T từ không gian mêtric (X, d) vào không gianmêtric (Z, ρ) được gọi là ánh xạ không giãn nếu với mọi x, y ∈ X ta có

ρ (T x, T y) ≤ d (x, y)

Ví dụ 2.1 Cho X = l1 và cho {en} = {δin} là cơ sở trực chuẩn của l1.Xét: K = conv {en : n ≥ 1, 2 } = {x = {xi} : xi ≥ 0; i = 1, 2 ; kxk = 1}.Khi đó diamK = 2 và toán tử S được định nghĩa bởi:

Sx = S (x1, x2, ) = (0, x1, x2, )

là một phép đẳng cự từ K vào K không có điểm bất động

Thật vậy, nếu Sx = x; x = 0 mâu thuẫn kxk = P∞

Nhận xét 2.1 Trong các ví dụ trên có thể thấy rằng nếu K khôngcompact và lồi thì ánh xạ không giãn T : K → K là tồn tại nhưng không

có điểm bất động

Định lý 2.1 Giả sử K là tập con khác rỗng, lồi, compact yếu của khônggian Banach Khi đó với mọi ánh xạ T : K → K; tồn tại tập con lồi,đóng của K là T bất biến

Chứng minh Xét họ M các tập con khác rỗng, lồi, đóng (như vậy làcompact yếu) của Kmà là T -bất biến; và thiết lập quan hệ thứ tự trêntập đó là quan hệ bao hàm của tập hợp: với K1, K2 ∈ M, K1 ≤ K2 nếu

K1 ⊂ K2 Bởi tính compact yếu, mỗi xích (họ sắp thẳng) các tập concủa M có giao khác rỗng, do đó là chặn trên đối với quan hệ ≤ Theo

bổ đề Zorn,tồn tại ít nhất một tập D ∈ M là cực đại đối với quan hệ ≤,

và do đó là cực tiểu và T -bất biến

Bổ đề 2.1 Nếu K là khác rỗng, lồi, đóng và là tập cực tiểu và T -bấtbiến thì: K = convT (K).

Chứng minh Rõ ràng convT (K) là lồi, đóng và T -bất biến Bởi tínhcực tiểu của K nó không thể là tập con thực sự của K

K = convT (K)

Bổ đề 2.2 Nếu K là tập lồi, đóng của không gian lồi ngặt X và T :

K → K là ánh xạ không giãn thì tập các điểm bất động của T là đóng

kx − zk = kx − T zk và ky − zk = ky − T zk

Khi X lồi ngặt: z = T z

Định nghĩa 2.2 Cho K là tập con lồi, đóng của không gian Banach

X Tập K được gọi là hầu như có tính chất điểm bất động đối với cácánh xạ không giãn nếu cho mọi ánh xạ không giãn T : K → K ta có:inf

y∈KkT y − yk = 0

Nhận xét 2.2 Bất kì tập con lồi, đóng, bị chặn của không gian Banachđều là tập hầu như có tính chất điểm bất động đối với họ các ánh xạkhông giãn.

2.2 Định lý cơ bản về điểm bất động của ánh xạ

không giãn trong không gian Banach

Định lý 2.2 (Kirk) Cho K là một tập lồi, compact yếu, có cấu trúcchuẩn tắc trong không gian định chuẩn X và T : K → K là ánh xạ khônggiãn Khi đó T có điểm bất động trong K

Chứng minh Đặt: F = {D ⊂ K, T (D) ⊂ D} với D lồi, đóng, khácrỗng

Khi đó F 6= 0 vì K ∈ F Với quan hệ thứ tự bao hàm thức, (F , ⊂) trởthành tập được sắp thứ tự bộ phận

Đặt G = {Dα} với các Dα ∈ F và lồng nhau Khi đó T

α

Dα 6= 0 vì K

compact yếu và T

T

Dα là cận dưới của G Theo

bổ đề Zorn, F chứa một phần tử cực tiểu là H

Ta chứng minh H chỉ gồm một điểm bằng phản chứng

Giả sử d = diamH > 0 Do K có cấu trúc chuẩn tắc nên tồn tại z ∈ Hsao cho:

r = sup {kz − xk : x ∈ H} < dVậy tập hợp M = {z ∈ H : H ⊂ B (z, r)} 6= 0, trong đó B (z, r) làhình cầu đóng tâm z bán kính r Lấy z bất kì trong M , do T làkhông giãn, ta có T (H) ⊂ B (T z, r), vì vậy convT (H) ⊂ B (T z, r) Vì

convT (H) là một tập hợp lồi, đóng trong K nên cũng compact yếu và vìconvT (H) ⊂ conv (H) = H nên T (convT (H)) ⊂ T (H) ⊂ convT (H),vậy convT (H) ∈ F Vì convT (H) ⊂ H và H cực tiểu nên convT (H) =

Nếu zn ∈ M và zn → z thì do kx − znk ≤ r với mọi x ∈ H, suy ra

kx − zk ≤ r với mọi x ∈ H nên z ∈ M , vậy M đóng

Tóm lại M ⊂ K là tập lồi, đóng và bất biến đối với T , vậy M ∈ F

Vì M ⊂ H và H cực tiểu nên M = H Khi đó, với mọi u, v ∈ M = H

ta có ku − vk ≤ r, từ đây d = diamH = diamM ≤ r < d, ta gặp mâuthuẫn Vậy H chỉ gồm một điểm, tức là H = {x∗}

Vì H bất biến đối với T nên ta có T x∗ = x∗

Định lý 2.3 (Browder-Gohbe) Cho K là tập lồi đóng bị chặn trongkhông gian lồi đều X và T : K → K là một ánh xạ không giãn Khi đótập các điểm bất động của T là lồi đóng và khác rỗng

Chứng minh Vì X lồi đều nên phản xạ, do đó K là compact yếu và cócấu trúc chuẩn tắc Vậy theo định lý Kirk, tập hợp các điểm bất độngcủa T khác rỗng ngoài ra nó đóng vì T liên tục Ta chỉ còn phải chứngminh tính lồi của tập hợp này

Cho u = T u, v = T v và m = λu + (1 − λ) v với một λ ∈ [0, 1] nào

đó Khi đó u − m = (1 − λ) (u − v) và v − m = λ (v − u) Vì T là ánh

xạ không giãn nên ta có:

Hoàn toàn tương tự, nếu β < λ thì ta cũng gặp mâu thuẫn:

kT u − T mk > ku − mk Vậy β = λ nên T m = m Vì mọi điểm trênđoạn nối hai điểm bất động cũng là điểm bất động nên tập hợp các điểmbất động là tập lồi

Nhận xét 2.3 Browder đã sử dụng định lý trên để chứng minh sự tồntại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân trong không gian Hilbertvới vế phải là một hàm tuần hoàn

Sau khi xuất hiện định lý của Kirk một câu hỏi được đặt ra là liệu cóthể bỏ được điều kiện có cấu trúc chuẩn tắc được không, hay nói cáchkhác: một ánh xạ không giãn trong một tập hợp lồi, compact yếu củamột không gian Banach bất kì có nhất thiết có điểm bất động không?Alspach đã đưa ra câu trả lời phủ định bằng cách đưa ra phản ví dụdưới đây:

Khi đó K là tập lồi, compact yếu, T là ánh xạ đẳng cự trong K (tức là

kT f − T gk = kf − gk) nhưng không có điểm bất động

Vì L1[0; 1] là không gian Banach không phản xạ nên một câu hỏi nữalại xuất hiện Một ánh xạ không giãn trong một tập lồi, đóng, bị chặncủa một không gian Banach phản xạ có nhất thiết có điểm bất độngkhông? Hiện nay câu hỏi này vẫn chưa có lời giải

Nhận xét 2.4 Trong khi việc tồn tại điểm bất động cho ánh xạ khônggiãn đòi hỏi những điều kiện ngặt nghèo trên miền xác định của ánh xạ,việc tồn tại điểm bất động "xấp xỉ" tức là với mọi  > 0 tồn tại x saocho kT x − xk < , lại đòi hỏi những điều kiện rất tự nhiên Cụ thểlà: ánh xạ không giãn trong một tập lồi, đóng, bị chặn luôn có điểm bấtđộng xấp xỉ Thật vậy lấy x0 tùy ý trong K và với mỗi n đặt:

Tnx = n1x0 + 1 − 1n
T x, x ∈ K.

Do K lồi nên: Tn : K → K và do T không giãn nên Tn là ánh xạ co:

kTnx − Tnyk = 1 − n1
kT x − T yk ≤ 1 − 1

n
kx − ykTheo nguyên lý ánh xạ co, tồn tại xn sao cho xn = Tnxn Khi đó:

xn = Tnxn = n1x0 + 1 − n1
T xn+ n1 (x0 − T xn)

Do đó kxn − T xnk = n1 kx0 − T xnk ≤ n1diamK Vì K bị chặn nên:

kT xn− xnk → 0 khi n → ∞ Với n đủ lớn, xn là một điểm bất động

"xấp xỉ" của T

2.3 Định lý cơ bản về điểm bất động của ánh xạ

không giãn trong không gian mêtric

Định nghĩa 2.3 Cho X là không gian mêtric và C là họ các tập concủa X Cặp (X, C) được gọi là cấu trúc lồi mêtric nếu:

a) Cả X và ∅ thuộc C

b) Giao của một họ các phần tử trong C là thuộc C

c) C chứa các hình cầu đóng trong X

Một tập con trong X được gọi là chấp nhận được nếu nó là giao củamột họ các hình cầu đóng trong X chứa nó Ký hiệu A (X) là họ các tậpchấp nhận được trong X

Khi đó, cặp (X, A (X)) là một cấu trúc lồi mêtric Cặp (X, A (X))được gọi là cấu trúc lồi chấp nhận được

Định nghĩa 2.4 Cấu trúc lồi mêtric (X, C) được gọi là compact nếumỗi họ của C có tính chất giao hữu hạn thì họ đó có tính chất giao toànthể.

Cấu trúc lồi mêtric (X, C) được gọi là chuẩn tắc nếu r (D) < diamDvới mọi D ∈ C có diamD > 0

Cấu trúc lồi mêtric (X, C) được gọi là chuẩn tắc đều nếu tồn tại

c ∈ (0; 1) sao cho r (D) ≤ c.diamD với mọi D ∈ C có diamD > 0

Bổ đề 2.3 Cho cấu trúc lồi compact (X, C) và ánh xạ T : X → X Khi

đó tồn tại D ∈ C sao cho D là tập khác rỗng bé nhất, bất biến qua T vàconv (T (D)) = D

Chứng minh Đặt F = {L ∈ C : L 6= ∅, T (L) ⊂ L} Vì X ∈ F nên

F 6= ∅ Với quan hệ thứ tự là bao hàm thức, tập F được sắp thứ tự bộphận

Gọi L là một xích trong F Vì quan hệ thứ tự bao hàm thức nên L

là họ các tập lồng nhau, vì vậy L có tính chất giao hữu hạn Do (X, C)

có cấu trúc lồi compact nên T

L∈L

L 6= ∅, do đó L có phần tử bị chặn dưới.Theo bổ đề Zorn, F có phần từ cực tiểu D Ta có conv (T (D)) ⊂ F ,conv (T (D)) ⊂ conv (D) = D Vì D là phần tử cực tiểu trong F nên cóconv (T (D)) ⊂ D

Định lý 2.4 Cho X là không gian mêtric bị chặn và cặp (X, C) có cấutrúc lồi mêtric compact, chuẩn tắc Khi đó ánh xạ không giãn T : X → X

có điểm bất động

Chứng minh Theo bổ đề 2.3 tồn tại tập bé nhất khác rỗng D ∈ C saocho T (D) ⊂ D

T (D) ⊂ B (T x, r (D))

Suy ra:

D = conv (T (D)) ⊂ B (T x, r (D))

Vì vậy T x ∈ C (D) Vì C (D) ⊂ D và D là tập khác rỗng bé nhất saocho T (D) ⊂ D nên C (D) = D Khi đó diamD = r (D)

Do C có cấu trúc chuẩn tắc nên nếu diamD > 0 thì ta có:

diamD = r (D) < diamD

vô lý

Vì vậy diamD = 0, do đó ánh xạ T có điểm bất động

Bổ đề 2.4 Cho cấu trúc lồi mêtric (X, C) trong đó X là không gianmêtric bị chặn, T : X → X là ánh xạ không giãn

Đặt

F = {D ∈ C : D 6= ∅, T (D) ⊂ D}

Khi đó với mỗi D ∈ F tồn tại D ⊂ D sao cho:

Ta chứng minh T D
⊂ D.

Lấy x ∈ D, ta có d (T x, T y) ≤ d (x, y) ≤ ρ với mọi y ∈ L Vì vậy, T (L) ⊂

B (T x, ρ) Với mọi y ∈ K ta có d (y, T x) ≤ ρ suy ra K ⊂ B (T x, ρ).Vậy

L = conv (T (L) ∪ K) ⊂ B (T x, ρ)

Do đó T x ∈ D suy ra D ∈ F

Định lý 2.5 Cho X là không gian mêtric đầy đủ, bị chặn và (X, C) làcấu trúc lồi mêtric compact đếm được, chuẩn tắc Khi đó mỗi ánh xạkhông giãn T : X → X có điểm bất động.

Ta phát biểu mà không chứng minh mệnh đề sau

Mệnh đề 2.1 Cho X là không gian mêtric đầy đủ, bị chặn Nếu (X, C)

có cấu trúc lồi mêtric chuẩn tắc đều thì (X, C) có cấu trúc compact đếmđược