MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA KHÔNG GIAN CAT( ) VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Một trong nhữngứng dụng là vào lý thuyết điểm bất động của ánh xạ không giãn và ánh xạLipschitz đều trong không gian này.. Trong chương này chúng tôi mở rộng một số kết quả về tồn tại đi

MỤC LỤC

Chương 1 3

Không gian CAT( ) 3

1.1 Không gian trắc địa 3

1.2 Tập lồi và bao lồi trắc địa 5

1.3 Không gian mô hình Mn 6

1.3.1.Không gian Sn 6

1.3.2 Không gian Hn 7

1.3.3 Không gian Mn 9

1.4 Không gian CAT( ) 10

1.4.1 Tam giác so sánh 10

1.4.2 Không gian CAT( ) 11

Chương 2 13

Điểm bất động của ánh xạ không giãn và ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT( ) 13

2.1 Định lý W.A.Kirk trong không gian CAT( ) 13

2.1.1 Cấu trúc chuẩn tắc của không gian CAT( ) 13

2.1.2 Mở rộng Định lý W.A.Kirk trong không gian CAT( ) 17

2.2 Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT( ) 23

2.2.1 Đặc trưng Lipschitz của không gian CAT( ) 24

2.2.2 Tính chất ( P ) và Định lý Lim-Xu trong không gian CAT( ) .26

KẾT LUẬN 32

TÀI LIỆU THAM KHẢO 33

Bảng ký hiệu sử dụng trong luận văn

1 L : Độ dài đường cong 

2 d S: Khoảng cách trong không gian Sn

3 d H : Khoảng cách trong không gian Hyperbolic

4 d: Khoảng cách trong không gian CAT( )

5 r C x( ): Bán kính Chebyshev của C đối với điểm x

6 r C( ): Bán kính Chebyshev của tập C

7 d C( ): Đường kính của tập C

8 N X ( ) : Hệ số cấu trúc chuẩn tắc

9 X( ) : Môđun lồi đều của không gian Banach X

10. 0 ( )X : Đặc trưng lồi của gian Banach X

11.( )X : Đặc trưng Lifschitz của không gian mêtric X

12. 0 ( )X : Hằng số Lifschitz của không gian Banach X

LỜI NÓI ĐẦU

Trong những năm gần đây không gian CAT( ) đã thu hút được chú ýcủa nhiều nhà toán học vì chúng có những vai trò quan trọng trong các khíacạnh khác nhau của hình học và những ứng dụng của chúng Một trong nhữngứng dụng là vào lý thuyết điểm bất động của ánh xạ không giãn và ánh xạLipschitz đều trong không gian này

Luận văn với đề tài ”Một số tính chất hình học của không gian CAT() và ứng dụng” nhằm mục đích là nghiên cứu tính chất hình học của khônggian mêtric với độ cong bị chặn trên CAT( ) và ứng dụng trong lý thuyếtđiểm bất động Luận văn có hai chương:

Chương 1 là giới thiệu về không gian CAT( )

Chương 2 là nội dung chính của luận văn Trong chương này chúng tôi

mở rộng một số kết quả về tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn vàánh xạ Lipschitz đều sang không gian CAT( )

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các Thầy, Cô trong Bộ môn

Lý thuyết hàm, Khoa Toán - Tin, trường ĐHSP Hà Nội Đặc biệt là TSNguyễn Văn Khiêm đã có những hướng dẫn quan trọng và chỉ bảo tận tình tôitrong quá trình làm và hoàn thiện luận văn Trong quá trình hoàn thiện luậnvăn chắc chắn không tránh được khỏi những thiếu sót, rất mong sự góp ý củathầy, cô và các bạn

Hà nội, tháng 9 năm 2011

Tác giả

TRẦN PHƯƠNG HÀ

Chương 1

Không gian CAT(  )

1.1 Không gian trắc địa

Giả sử ( , )X d là một không gian mêtric và  :[ , ]a b  X là 1 ánh xạliên tục từ đoạn [ , ]a b   vào X Khi đó ta gọi ảnh ([a,b]) là mộtđường cong trong X và  là một biểu diễn tham số của đường cong

Giả sử  :[ , ]a b  Xlà một đường cong trong X Độ dài của đườngcong  được định nghĩa như sau

1 1

của đoạn [ , ]a b Một đường cong  :[ , ]a b  X với ( )a x và ( )b y

được gọi là đường cong nối từ điểm x tới y Khoảng cách nội tại giữa hai

điểm x y X,  được xác định như sau

Dễ thấy di cũng là một mêtric trên X và d x yi( , )  d x y ( , )  x y X,  Nếu d i d trên X thì ta nói rằng ( , )X d là một không gian mêtric nội tại,

hay không gian độ dài

Một đường cong  :[ , ]a b  X nối hai điểm x y X,  được gọi là đườngngắn nhất nếu L  d x yi( , )  d x y ( , ) Một đường trắc địa trong X nối từđiểm x tới y là một đường cong ngắn nhất  :[ , ]a b  X nối từ điểm x

tới y và có tốc độ hằng, tức là

( ( ), ( ))

d  t  s  t s t s, [ , ]a b ,trong đó là một hằng số và gọi là tốc độ của đường cong 

Mỗi đường trắc địa nối hai điểm x, y còn được gọi là một đoạn thẳng

trắc địa có các điểm đầu mút là x và y, ký hiệu đoạn thẳng trắc địa này là

[ , ]x y .

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử ( , )X d là một không gian mêtric Khi đó :

(i) X được gọi là một không gian trắc địa nếu với 2 điểm bất kỳ x y X, 

đều có một đường trắc địa trong X nối x với y.

(ii) X được gọi là không gian trắc địa duy nhất nếu 2 điểm bất kỳ x y X, 

có duy nhất một đường trắc địa trong X nối x với y.

(iii) X được gọi là một không gian trắc địa địa phương nếu với mọi điểm

p X đều có một lân cận U của p sao cho với 2 điểm bất kỳ

,

(iv) Với D (0, ] , không gian mêtric ( , )X d là không gian D  trắc địa

nếu với hai điểm bất kỳ x y X,  mà khoảng cách d x y( , )Dluôn

có một đường trắc địa trong X nối x với y.

1.2 Tập lồi và bao lồi trắc địa

Giả sử ( , )X d là một không gian trắc địa và C là một tập con của X .

Định nghĩa 1.2.1 Tập C được gọi là một tập lồi (trắc địa) nếu mọi đoạn thẳng trắc địa với các điểm đầu mút trong C đều nằm hoàn toàn trong C Tập C được gọi là một tập lồi mạnh nếu với bất kỳ hai điểm x y C, 

đều có duy nhất một đoạn thẳng trắc địa nối x với y và đoạn thẳng trắc

địa này nằm hoàn toàn trong C

Với mỗi tập con Y của không gian trắc địa ( , )X d , bao lồi (trắc địa)của Y được xây dựng bằng quy nạp như sau: Ký hiệu G Y1( ) là hợp của tất

cả các đoạn thẳng trắc địa có hai đầu mút thuộc Y Với n 1,2, , đặt

1.3 Không gian mô hình M  n

n

i i i

1 2 2 1

n i E

(2-x y và ký hiệu là d x y S( , ) Nếu x y , là hai điểm nối tâm thì d x y S( , ) .

(ii) Trong không gian ( , )n

S

S d , mọi hình cầu có bán kính nhỏ hơn

2

 đều là tập lồi trắc địa.

(iii) Trong không gian ( , )n

1.3.2 Không gian Hn

Ký hiệu H n,1 là không gian véc tơ n1

 được trang bị dạng song tuyếntính đối xứng:

cosh c cosh a coshb sinh a sinhb cos C  ,

trong đó a d B C b d C A c d A B H( , ),  H( , ),  H( , ) là độ dài các cạnh và

C là góc tại đỉnh C của tam giác ABC.

1.3.3 Không gian Mn

Định nghĩa 1.3.1 Với    ta định nghĩa không gian Mn như sau:

(i) Nếu  0 thì không gian M0n chính là không gian Euclid En.(ii) Nếu  0 thì không gian M k n chính là mặt cầu S nđược trang

1.4 Không gian CAT(  )

Giả sử X là một không gian trắc địa và x x x1, ,2 3X Ký hiệu [ , ],x x1 2

Do tính chất trắc địa nên mỗi cạnh của tam giác ( , , )x x x1 2 3 đều đẳng cựvới cạnh tương ứng của tam giác ( , , )x x x1 2 3

 Do đó, với mỗi điểm z

thuộc cạnh [ , ]x x i j của tam giác ( , , )x x x1 2 3 đều tồn tại duy nhất một điểm

z thuộc cạnh [ , ]x x i j của tam giác ( , , )x x x1 2 3

 được gọi là tam giác so sánh của tam giác ( , , )x x x1 2 3

Định nghĩa 1.4.1. Tam giác  ( , , ) x x x1 2 3 được gọi là thỏa mãn bất đẳngthức CAT ( ) (hay  - mỏng) nếu với hai điểm bất kỳ z z1, 2  ( , , ) x x x1 2 3

và z z1, 2 ( , , )x x x1 2 3 là hai điểm so sánh tương ứng của z z1, 2 ta đều cóbất đẳng thức

1.4.2 Không gian CAT ( ) 

Định nghĩa 1.4.2. Không gian mêtric X được gọi là một không gian

( )

nhỏ hơn 2D đều thỏa mãn bất đẳng thức CAT ( )

Khi  0 thì các không gianCAT(0) được đặc trưng bởi bất đẳng thứcđường trung tuyến

Bổ đề 1.4.1. Giả sử ( , )X d là một không gian mêtric trắc địa Khi đó X

có độ cong nhỏ hơn hoặc bằng 0 nếu và chỉ nếu X là không gian trắc địa duy nhất và đồng thời với bất kỳ 3 điểm x x x1, ,2 3 X , m là trung điểm của

Chương 2

Điểm bất động của ánh xạ không giãn và ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT ( ) 

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả gần đây vềđiểm bất động của ánh xạ không giãn và ánh xạ Lipschitz đều trong khônggian CAT ( ).

2.1 Định lý W.A.Kirk trong không gian CAT ( ) 

2.1.1 Cấu trúc chuẩn tắc của không gian CAT ( ) 

Khái niệm về cấu trúc chuẩn tắc được M S Brodskii và D P Milmanđưa ra năm 1948

Định nghĩa 2.1.1 Một tập con lồi, bị chặn C của không gian Banach

 X ,  với đường kính d C ( ) 0 được gọi là có cấu trúc chuẩn tắc nếu

tồn tại một điểm z C sao cho sup ( )

Để đo mức độ chuẩn tắc của không gian Banach, W.Bynum [5] đã đưa

ra hệ số cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach

Giả sử C là một tập con lồi, đóng, bị chặn (khác rỗng) của không gian

Banach X Với z X ta ký hiệu :

Định nghĩa 2.1.2. Hệ số cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach X là

số  ( )N X được xác định như sau

trong đó supremum lấy theo tất cả các tập C là tập con lồi, đóng, bị chặn

Để mở rộng khái niệm chuẩn tắc sang không gian mêtric ta phải thaycấu trúc lồi tuyến tính trong không gian Banach bởi một cấu trúc lồi trừutượng trong mêtric

Định nghĩa 2.1.3. Giả sử ( , )X d là một không gian mêtric Một họ 

gồm các tập con của X được gọi là một cấu trúc lồi trên X nếu  thỏamãn các điều kiện sau:

∅, X  L ,{x}Î L " Îx X và họ  ổn định với phép giao tùy ý, tức

là nếu F Ì L thì

C

CÎÎ

Một tập AÌ X được gọi là tập lồi nếu AÎ L

Cấu trúc lồi đơn giản và thường hay được xét trong không gian mêtric làcấu trúc lồi sinh bởi các hình cầu đóng trong X Khi đó họ  gồm tập X và

Khi ( , )X d là một không gian mêtric trắc địa thì ta có thể xét  là họ tất

cả các tập lồi trắc địa của X Trong các không gian CAT( )k ta luôn xétcấu trúc lồi  là cấu trúc lồi trắc địa

Nếu ( , )X d là một không gian CAT( )k thì mọi hình cầu đóng với bán

r X < k thì cấu trúc lồi trắc địa trên X

chứa cấu trúc lồi sinh bởi các hình cầu đóng trong X

Định nghĩa 2.1.4 Giả sử ( , )X d là một không gian mêtric với cấu trúc

lồi  Hệ số cấu trúc chuẩn tắc  ( )N X được xác định như sau

trong đó supremum lấy theo tất cả các tập C là tập con lồi, đóng, bị chặn

Để thiết lập đánh giá chặn trên cho cấu trúc chuẩn tắc  ( )N X cho cáckhông gian CAT( )k ta cần đến kết quả sau đây của U.Lang và

V.Schroeder

Định lý 2.1.1 (Lang-Schroeder [15], [16]) Giả sử X là một không gian

(i) Tồn tại duy nhất một điểm z C sao cho r CÎ z( )=r C( )=r ;

(ii) d C( )³ d r k( )>r, với d r k( ) xác định bởi

neáu neáu neáu 1

Từ kết quả của Lang và Schroeder ta suy ra

Định lý 2.1.2. Giả sử X là một không gian CAT( )k đầy đủ, bị chặn với

Định lý 2.1.3 (Kirk [13]) Giả sử C là một tập con lồi, compact yếu và

có cấu trúc chuẩn tắc của một không gian Banach ( , )X Khi đó, nếu

Bổ đề 2.1.4. Giả sử X là một CAT( )k đầy đủ và C là một tập con lồi

(trắc địa), đóng trong không gian với bán kính ( )

1 1

n n

mà x A( C ), yÎ 0p Î A( C ) q0 do { }0

1

n n

Chọn dãy đường chéo { 1}

1

n n n

³ gồm các tập đóng, bị chặn, khác rỗng,lồng nhau của C với d C( n n+1) ®0 khi n® ¥

Do X là không gian đầy đủ nên theo nguyên lý Cantor

Định lý 2.1.5. Giả sử X là một khơng gian CAT( )k đầy đủ và C là một

tập đĩng, lồi, trắc địa trong Xvới bán kính ( )

hệ bao hàm) CÌ sao cho T( K ) K0 Ì 0

Xét họ F= K C : K là tập con lồi, đóng, khác rỗng : T(K) K{ Ì Ì }.

Khi đĩ họ F ¹ Ỉ vì CỴ F Đưa vào trong F quan hệ " "£ như sau: Với K ,K1 2 Ỵ F , K1£ K2 Û K1É K 2

Ta sẽ chứng minh họ ( , )F £ thỏa mãn giả thiết của bổ đề Zorn

Giả sử {K : a a Ỵ I} là 1 tập con sắp thứ tự tồn phần của F Áp dụng kếtquả của Bổ đề 2.1.4 ta cĩ K I K a

Nên họ {K : a a Î I} có cận trên trong F Áp dụng Bổ đề Zorn, họ

là tập con lồi, đóng, khác rỗng cực tiểu của C theo quan hệ bao hàm

Vì vậy conv(T( K ))0 cũng là tập lồi, đóng chứa trong K0 và bất biến dưới

T Do tính cực tiểu của K0 nên ta có conv(T( K ))0 =K 0

2.2 Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT ( ) k

Lớp ánh xạ Lipschitz đều được đưa ra bởi K.Goebel và W.A.Kirk, là mởrộng cần thiết và tự nhiên của lớp ánh xạ không giãn

Định nghĩa 2.2.1 Giả sử C là một tập con của không gian mêtric

( , )X d Một ánh xạ T C:  C được gọi là một ánh xạ Lipschitz đều (hay

L – Lipschitz đều) nếu tồn tại hằng số L 1 sao cho tất cả các ánh xạ

0 1 2 , , , , , ,

ngặt trên [ (X ), ] e0 2 Do đó nếu đặc trưng lồi (X) e0 <1 thì phương trình

và đủ gần 1) trong không gian Banach có đặc trưng lồi e0(X)<1

Định lý 2.2.1. (Goebel – Kirk [10]) Giả sử X là không gian Banach có đặc trưng lồi (X ) e0 <1 và C là một tập đóng, lồi, bị chặn, khác rỗng của

X Khi đó, nếu : T C ® là một ánh xạ C L Lipschitz- đều với hằng số Lipschitz L<g0(X) thì T có điểm bất động trong C

2.2.1 Đặc trưng Lipschitz của không gian CAT ( ) k

Năm 1975 E A Lipschitz đã mở rộng kết quả của Goebel – Kirk sangkhông gian mêtric (không đòi hỏi cấu trúc lồi) bằng một cách tiếp cận hoàntoàn khác mà khi quy về trường hợp không gian Hilbert, kết quả củaLipschitz tốt hơn thực sự kết quả của Goebel – Kirk ở trên.

Định nghĩa 2.2.3. (Lifschitz [17]) Đặc trưng Lipschitz của không gianmêtric (X,d) là số k (X)xác định như sau:

Khi đó T có điểm bất động trong X.

Với không gian Hilbert Hta có k0(H)= 2>g0(H)= 5

2 , nên khi

quy về trường hợp không gian Hilbert, kết quả của Lipschitz tốt hơn thực

sự kết quả của Goebel – Kirk

Tiếp theo ta sẽ thiết lập các đánh giá cho đặc trưng Lifschitz của các không

Do đó ta nhận được kết luận của mệnh đề.

Kết hợp Mệnh đề 2.2.4 và Định lý Lipschitz ta nhận được kết quả:

Định lý 2.2.5. Giả sử k < và 0 X là một không gian CAT k( ) đầy đủ và

bị chặn Khi đó, nếu T : X ® X là một ánh xạ L Lipschitz- đều với

2

2.2.2 Tính chất ( P ) và Định lý Lim-Xu trong không gian

( )

CAT k

Năm 1985 E.Casini và E.Maluta đã đưa ra một cách tiếp cận khác đểchứng minh sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ Lifschitz đều trongkhông gian Banach có cấu trúc chuẩn tắc đều

Định lý 2.2.6. (Casini – Maluta[6]) Giả sử X là không gian Banach có cấu trúc chuẩn tắc đều N( X )µ <1và C là một tập đóng, lồi, bị chặn, khác

rỗng của X Khi đó, nếu T : C®C là một ánh xạ L Lipschitz- đều với

Kết quả của Casini – Maluta sau đó đã được T C Lim và H K Xu mởrộng sang không gian mêtric đầy đủ có cấu trúc chuẩn tắc đều đối với cấu

ngại đó, Lim – Xu đã đưa vào không gian mêtric một tính chất gọi là tínhchất ( P ) Đối với các không gian Banach phản xạ, tính chất ( P ) luônđúng.

Định nghĩa 2.2.4 Không gian mêtric ( X ,d ) (với cấu trúc lồi sinh bởi

các hình cầu đóng) được gọi là có tính chất ( P ) nếu với hai dãy bị chặn

lim sup d( z,x ) lim sup lim sup d( z ,x )

Định lý 2.2.7. (Lim – Xu[18]) Giả sử ( X ,d ) là không gian mêtric đầy

có cấu trúc chuẩn tắc đều N( X )µ <1 đối với cấu trúc lồi sinh bởi các hình

cầu đóng và có tính chất ( P ) Giả sử C là một tập con lồi, bị chặn của X

Do đó  ( u ) lim supn  j  ( z ), nj  Ta sẽ chứng tỏ dãy {u }n là Cauchy.

Giả sử ngược lại,   0, N , i, j N : d( u ,u )  i j . Do dãy

Chọn N đủ lớn sao cho ( u ) i  ( u ) j  với mọi i, j N Bây giờ xét

i  j N mà d( u ,u ) i j  Lấy m j[u ,u ], n i j   là trung điểm của

liminf cos( max{d(u ,x ),d(u ,x )} ),

0

Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của {u } j Do đó {u } n là một dãyCauchy Do đó  z X : lim n u n z Rõ ràng z n1C n



 Cuối cùng từtính liên tục của  và giả thiết ( u ) lim sup n  j ( z ), n j  ta nhận được

Kết hợp Định lý 2.2.8 và kết quả của Lim – Xu ta nhận được

Định lý 2.2.9. Giả sử X không gian CAT(1) đầy đủ và bị chặn với

đường kính

2

< Khi đó mọi ánh xạ L Lipschitz- đều T : X ® X