Về kiến thức - Hiểu được định nghĩa đường elip - Hiểu được phương trình chính tắc và hình dạng của elip - Hiểu được mối liên hệ giữa đường tròn và đường elip 2.. Về kỹ năng - Lập được ph
Trang 1§3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP
I Mục tiêu bài học: Qua bài học, HS
1 Về kiến thức
- Hiểu được định nghĩa đường elip
- Hiểu được phương trình chính tắc và hình dạng của elip
- Hiểu được mối liên hệ giữa đường tròn và đường elip
2 Về kỹ năng
- Lập được phương trình chính tắc của elip khi biết hai trong ba yếu tố trục lớn, trục nhỏ và tiêu cự
- Từ phương trình chính tắc của elip xác định được trục lớn, trục nhỏ, tiêu cự, tiêu điểm, các đỉnh…
- Thông qua phương trình chính tắc của elip để tìm hiểu tính chất hình
và giải một số bài toán cơ bản về elip
3 Về tư duy, thái độ
- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác, trách nhiệm trong học tập
- Tích cực chủ động, sáng tạo trong học tập
- Thấy được mối liên hệ giữa toán học và thực tế
4 Định hướng phát triển năng lực
- Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề
- Năng lực tìm tòi, tư duy logic
- Năng lực hoạt động nhóm
- Năng lực ngôn ngữ
II Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
- Giáo viên: Đồ dùng và thiết bị dạy học, hai đinh và một đoạn dây
buộc vào nhau để vẽ hình elip
- Học sinh: SGK, đồ dùng học tập, tấm bìa cứng( 15*30), đóng sẵn hai
đầu đinh cách nhau 10cm và một sợi dây chỉ dài khoảng 35cm
III Tố chức hoạt động dạy học
1 Ổn đinh tổ chức lớp
Trang 22 Kiểm tra bài cũ
Đặt vấn đề vào bài mới: Quan sát hình ảnh cốc nước thủy
tinh Khi cốc nước đặt thẳng đứng thì đường giao giữa mặt nước và
thành cốc là đường gì ta đã được học? khi nghiêng cốc nước các em
quan sát nó có còn là đường tròn nữa không?
=> Đường có hình dạng như trên gọi là đường elip
+ Đưa thêm một số hình ảnh đường elip để HS quan sát: bóng của một
đường tròn trên mặt phẳng, quỹ đạo của các hành tinh chuyển động
quanh hệ mặt trời, bóng của một quả bóng dá trên mặt sân
+ Vậy đường elip được định nghĩa như thế nào? Và nếu đặt nó trong
hệ trục tọa độ Oxy thì phương trình của nó ra sao? Đó chính là nội
dung bài học ngày hôm nay
3 Bài mới
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng – Trình chiếu Hoạt động 1: Tìm hiểu định nghĩa đường elip
- Hướng dẫn học sinh vẽ
đường elip: Đóng hai chiếc
đinh cố định tại hai điểm F1
và F2 Lấy một vòng dây kín
không đàn hồi có độ dài lớn
hơn 2F1F2 Quàng vòng dây
đó qua hai chiếc đinh và kéo
căng tại một điểm M nào đó
Đặt đầu bút chì tại điểm M
rồi di chuyển sao cho dây
luôn căng Đầu bút chì vạch
nên một đường mà ta gọi là
đường elip
- Ba điểm M , F1, F2 lập thành
tam giác MF1F2
- Khi M thay đổi thì có nhận
- HS thực hiện vẽ
- HS quan sát và trả lời:
- Chu vi không đổi vì nó
I-Định nghĩa đường elip
Trang 3xét gì về chu vi tam giác M
F1F2?
- Tổng M F1+M F2 như thế
nào có thay đồi không? Tại
sao?
- NX: Tập hợp những điểm
M như thế sẽ tạo nên một
đường gọi là đường elip
- Một em phát biểu theo ý
hiểu định nghĩa đường elip
- Giáo viên nhận xét, chính
xác hóa định nghĩa
- Từ định nghĩa ta có 2 a>2 c
a>c>0
-Tại sao c >0?
- Tại sao a>c ?, nếu
a<cthì sao?
luôn bằng độ dài của sợi dây
- Tổng không đồi do khoảng cách F1F2 không đổi
- HS phát hiện định nghĩa đường elip
- HS phát biểu theo ý hiểu
-HS suy nghĩ trả lời
- Độ dài F1F2luôn dương
- a>c vì trong một tam giác tồng hai cạnh luôn
có độ dài lớn hơn cạnh còn lại Nếu a<c thì vi phạm bất đẳng thức tam giác
1 Định nghĩa:
Cho hai điểm cố định F1, F2 và
độ dài không đổi 2a lớn hơn
F1F2
F1, F2 : các tiêu điểm
F1F2=2 c gọi là tiêu cự
2 Chú ý:
+) a>c>0
Hoạt động 2: Tìm hiểu phương trình chính tắc của elip
HDTP1: GV giới thiệu
Phương trình tắc của đường
elip
- Cho elip ( E) có các tiêu
- HS quan sát chú ý nghe giảng, thao tác vẽ vào vở
II- Phương trình chính tắc của elip
Trang 4điểm F1, F2 M ∈ ( E)
F1M +F2M =2 a
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao
cho
F1=(−c , 0) và F2=(c , 0)
Khi đó với điểm M (x , y )
nằm trên ( E) ta sẽ tìm mối
liên hệ giữa x và y bằng cách
đi tính F1M theo hai cách
+) Tính F1M=√(x +c)2+y2
+) Tính F1M2−F2M2 rồi sử
dụng định nghĩa
F1M +F2M =2 a để tính
F1M−F2M từ đó suy ra
F1M =a+ cx
a , F2M=a− cx
a
Từ hai cách tính F1M rút ra
biểu thức liên hệ giữa x và y
Ta có
a =√(x+c)2+y2
¿
x2
a2+
y2
a2−c2=1
Đặt b2=a2−c2 ta được
x2
a2 +y2
Phương trình (1) gọi là
phương trình chính tắc của
elip
- Vì sao ta luôn đặt được
Cho elip ( E) có các tiêu điểm
F1M +F2M =2 a
Người ta chứng minh được rằng:
M (x , y )∈ ( E)
x2
a2+
y2
Trong đó b2 =a 2
Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip
Chú ý: a>b>0
Trang 5b2 =a 2
-Các em chú ý từ biểu thức
b2=a2−c2
=> c2=a2−b2
=>a>b>0
HDTP2: Nhận dạng và thể
hiện phương trình chính tắc
của elip
- Trong các phương trình sau
phương trình nào là phương
trình chính tắc của elip? tại
sao? Hãy xác định các hệ số
a , b ?
-GV nhận xét câu trả lời của
HS
- HS suy nghĩ, trả lời -Vì a>ca2
a2 −c 2
> 0
Vậy ta có thể đặt
b2=a2−c2
- HS dựa vào phương trình chính tắc của elip trả lời
+) a là phương trình chính tắc của elip
a2 =25= ¿a=± 5 Vì a>0
nên a=5
b2 =4= ¿b=± 2 Vì b>0 nên
b=2
+) b không là phương trình chính tắc của elip vì
a=4, b=6=¿a<b
+) c là pt chính tắc của elip
y2
VD 1: Trong các phương trình
sau phương trình nào là phương trình chính tắc của elip? Hãy xác định hệ số a , b ?
a) x2
y2
b) x2
y2
c)5 x2 +7 y 2 =35
Giải:+) Pt a là pt chính tắc của elip với a=5 , b=2
+) Pt b không là pt chính tắc của elip vì a=4, b=6=¿a<b
+) Pt c là pt chính tắc của elip
Trang 6- Vậy muốn viết phương trình
chính tắc của elip ta cần biết
những yếu tố nào?
- GV chia lớp làm 4 Nhóm 1:
Viết pt (E1):
Nhóm 2: Viết pt (E2):
Nhóm 3: Viết pt (E3):
Nhóm 4: Viết pt (E4):
-GV kiểm tra kết quả và
nhận xét
- HS: cần biết hai trong 3 yếu tố a , bvà c
- Các nhóm thảo luận:
Nhóm 1: a=6, b=4
Pt(E1): x2
y2
Nhóm 2:b=3, c=4
=> a2 =b 2 +c 2 =25
Pt(E2): x2
y2
Nhóm 3: a=7, c=5
=> b2=a2−c2=24
Pt(E3): x2
y2
Nhóm 4:b=5, c=3
=> a2=b2+c2=34
Pt(E4): x2
y2
VD2: Viết phương trình chính
tắc của elip (E1): a=6, b=4
(E2): b=3, c=4
(E3): a=7, c=5
(E4): b=5, c=3
Giải:
y2
+) (E2): 25x2+ y2
+) (E3): x2
y2
+) (E4): x2
y2
Hoạt động 3: Tìm hiểu hình dạng của elip
- GV hướng dẫn học sinh
nhận xét
- Điểm M (x , y )∈ ( E)
Các điềm M1(−x , y ), M2( x ,− y )
không?
- NX: quan hệ giữa M và M1
- HS quan sát, suy nghĩ trả lời
- Có, vì tọa độ đều thỏa mãn phương trình (1)
-M và M1 đối xứng nhau
3 Hình dạng của elip
Cho elip ( E) có phương trình:
x2
a2 +y2
b2 =1 (1)
Trang 7?
- NX: quan hệ giữa M và M2
?
- NX: quan hệ giữa M và M3
- Tìm tọa độ các giao điểm
của ( E) với các trục tọa độ?
+) Giao với trục Ox => y=0
thay vào pt (1) ta được gì?
Vậy ( E) cắt trục Ox tại mấy
điểm?
+) Giao với trục Oy =>
x=0 thay vào pt (1) ta được
gì? Vậy ( E) cắt trục Ox tại
mấy điểm?
- Tính độ dài A1A2, B1B2?
- GV: Từ phương trình chính
tắc chỉ ra a2, b2,
c2=?
- Tọa độ các đỉnh =?
- Độ dài các trục =?
-Tọa độ các tiêu điểm?
qua trục Oy
- M và M2 đối xứng nhau qua trục Ox
- M và M3 đối xứng nhau qua O
+) y=0 => x=± a => ( E) cắt trục Ox tại 2 điểm
+) x=0 => y=±b => ( E)
cắt trục Oy tại 2 điểm
+) A1A2=2 a
B1B2=2 b
- HS: a2 =9, b 2 =1
=> c2
=> a=3, b=1, c=2√2
- A1A2=6, B1B2=2
F2= ¿)
- F1F2=4√2
+) ( E) có các trục đối xứng là
Ox , Oy, tâm đối xứng là gốc O
+) A1A2=2 a gọi là trục lớn của ( E)
+) B1B2=2 b gọi là trục bé của ( E)
- VD 3: Cho ( E): x2
y2
Tìm tọa độ các đỉnh, độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tiêu cự của ( E)
Giải:
+) A1A2=6, B1B2=2
Trang 8-Tiêu cự F1F2=?
- GV hướng dẫn học sinh làm
ý a
+) phương trình chính tắc
của elip có dạng ?
+) thay tọa độ điểm A( 4;0)
và B( 3; √7
2 ) vào phương
trình (1) ta có hệ nào?
+) Vậy phương trình chính
tắc của elip có dạng như thế
nào?
- GV gọi một học sinh lên
bảng trình bày ý b
- GV nhận xét và chính xác
hóa nếu cần
- HS quan sát trả lời câu hỏi
+) x2
a2 +y2
b2 =1 (1)
+) { 4a22 + 0 2
b2 =1
a2+
(√27)2
{a2=16
b2 =4
+) x2
y2
- HS lên bảng trình bày
ta có a = 5, c = 3 => b2=a2−c2=25−9=16
=> (E) : x
2
y2
F2= ¿) +) F1F2=4√2
Ví dụ 4: Viết pương trình chính
tắc của elip biết:
a, Elip đi qua hai điểm A( 4;0) và B( 3; √27)
b, Độ dài trục lớn là 10, tiêu cự là 6
Giải:
a, Phương trình chính tắc của elip
có dạng x2
a2 +y2
b2 =1
( E) đi qua hai điểm A( 4;0) và B( 3; √7
2 ) nên ta có:
{ 4a22 + 0 2
b2 =1
a2+
(√27)2
{a2 =16
b2= 4
Vậy phương trình chính tắc của
elip là: x2
y2
b, Ta có a = 5, c = 3 => b2 =a 2
=> (E) : x
2
y2
Trang 9Hoạt động 4: Tìm hiểu mối liên hệ giữa đường tròn và đường elip
- GV hướng dẫn HS nhận xét
- Từ hệ thức
b2=a2−c2 khi tiêu cự của elip
càng nhỏ thì b càng gần bằng
a, tức là trục nhỏ càng gần
bằng trục lớn, có nhận xét gì
về hình dạng elip?
-Trong mặt phẳng Oxy cho
đường tròn (∁ ) có phương
trình
x2
M (x , y ) ∈(∁ ), xét phép biến
đổi M (x , y )→ M '(x' , y ') với
{ x '=x
y '=b
a y
-Ta có
M (x , y ) ∈ (∁ ) => x2
Vậy khi thay { x '
y '=b
a y
vào biểu thức trên ta được gì?
-HS quan sát trả lời câu hỏi
HS:
- Elip có dạng gần như đường tròn
HS:
M (x , y )∈ (∁ ) => x2+y2=a2
=> x '2+a2
b2 y
' 2
4.Liên hệ giữa đường tròn và đường elip
a) Tiêu cự cự càng nhỏ => ( E) có dạng gần như đường tròn
b) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (∁ ) có phương trình
x2+y2=a2
M (x , y ) ∈(∁ ), xét phép biến đổi
M (x , y )→ M '(x ' , y ') với { x '=x
y '
a y
Khi đó, tọa độ điểm M ' thỏa mãn phương trình
x ' 2
a2+
y ' 2
b2=1 là một elip Ta nói đường tròn (∁ ) co thành ( E)
Trang 10x ' 2
a2+
y ' 2
b2=1 là một elip Ta
nói đường tròn (∁ ) co thành
( E)
=> x ' 2
a2+
y ' 2
b2=1
=> M ' ∈ (E )
-HS chú ý chép bài vào vở
Hoạt động 5: Củng cố và dặn dò
Củng cố
-Để khăc sâu bài học ngày
hôm nay lớp mình sẽ trả lời
các câu hòi nhanh
HS suy nghĩ tổng hợp kiến thức trả lời
Câu 1: Elip (E) có tiêu cự
F1F2=2 c,M ∈ ( E) M F1+M F2=2 a
thì phương trình chính tắc của elip là …
ĐA: x2
a2 +y2
b2 =1 ( b2=a2−c2)
Câu 2: Cho ( E): x
2
a2 +y2
b2 =1
Đỉnh: A1 , A2… , B1… , B2…
ĐA:
Tiêu điểm: F1…, F2…
Tiêu cự: F1F2…
ĐA: F1F2=2 c
Độ dài trục lớn: … ĐA: A1A2=2 a
Độ trục dài trục nhỏ:…
ĐA: B1B2=2 b
Câu 3: Cho ( E)có phương trình
x2
y2
1, Tọa độ các tiêu điểm:
Trang 11- Vậy qua bài học ngày hôm
nay các em cần hiểu và nhớ :
+ Thế nào là đường elip, các
hình có dạng elip
+ Phương trình chính tắc của
elip
+ Các yếu tố của elip
+ Mối liên hệ giữa đường
tròn và đường elip
Dặn dò
- Học bài và Làm các tập
trong sgk( 88)
- Đọc bài đọc thêm “Ba
đường cô nic và quỹ đạo của
tàu vũ trụ”
- HS chú ý lắng nghe
ĐA: C
C) F1=(− 8,0) , F2=( 8,0)
2, Độ dài trục nhỏ là: ĐA: D
A, 20
B, 16
C, 6
D, 12
3, Độ dài trục lớn là: ĐA: A
A, 20
B, 16
C, 6
D, 12