PHÁT TRIỂN CHƯƠNG TRÌNH dạy học THEO CHỦ đề PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC lớp 11 CHO học SINH yếu kém

MỤC LỤC: I. Mở đầu1.1 Lời mở đầu1.2 Các khái niệm liên quan đến chuyên đề II. Nội dung2.1 Tìn hiểu chương trình dạy học 2.1.1 Mục tiêu dạy học theo chủ đề phương trình lượng giác lớp 112.1.2 Phân phối chương trình phần dạy học phương trình lượng giác lớp 112.1.3 Thức trạng dạy và học toán nội dung phần phương trình lượng giác ở trường THPT2.1.4 Những lưu ý khi dạy học phần phương trình lượng giác

CHỦ ĐỀ PHÁT TRIỂN CHƯƠNG TRÌNH DẠY HỌC THEO CHỦ ĐỀ PHƯƠNG

TRÌNH LƯỢNG GIÁC LỚP 11 CHO HỌC SINH YẾU KÉM

MỤC LỤC:

I Mở đầu

1.1 Lời mở đầu

1.2 Các khái niệm liên quan đến chuyên đề

II Nội dung

2.1 Tìn hiểu chương trình dạy học

2.1.1 Mục tiêu dạy học theo chủ đề phương trình lượng giác lớp 11

2.1.2 Phân phối chương trình phần dạy học phương trình lượng giác lớp 112.1.3 Thức trạng dạy và học toán nội dung phần phương trình lượng giác ở trường THPT

2.1.4 Những lưu ý khi dạy học phần phương trình lượng giác

2.2 Chương trình dạy học phương trình lượng giác

2.2.1 Hệ thống lý thuyết và các dạng bài tập phần phương trình lượng giác lớp 11

2.2.1.1 Hệ thống lý thuyết

a) Công thức lượng giác của các cung liên quan đặc biết

b) Các công thức lượng giác cơ bản

2.2.1.2 Hệ thống các bài tập lượng giác

a) Một số dạng bài tập cơ bản

b) Một số dạng bài tập khác

2.3 Những khó khăn và sai lầm mắc phải khi dạy và học phần phương trình lượng giác

2.4 Một số hình thức tổ chức dạy học phương trình lượng giác lớp 11

2.5 Một số giáo án phần phương trình lượng giác

- Một số sách hướng dần giải bài tập lượng giác cho học sinh,

- Ngoài ra tham khảo các thông tin truyền thông: internet,

I.MỞ ĐẦU

1.1 lời mở đầu.

Sau gần 30 năm đổi mới, Việt Nam đang bước vào giai đoạn đẩy mạnh công nghiệp hóa - hiện đại hóa và tích cực tham gia hội nhập quốc tế Việc chủ động, tích cực hội nhập quốc tế đã tạo ra cho Việt Nam rất nhiều thuận lợi để phát triển kinh tế -xã hội nhưng cũng đòi hỏi Việt Nam phải có một nguồn nhân lực dồi dào để đáp ứng cho sự hội nhập này.Đảng và nhà nước ta xác định giáo dục

là quốc sách hàng đầu và xem giáo dục là công cụ mạnh nhất tiến vào tương lai Hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng Sản Việt Nam ( khóa VII) đã chỉ ra “Giáo dục đào tạo phải hướng vào những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết các vấn đề thường gặp, qua đó gópphần tích cực thực hiện các mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh

xã hội công bằng, dân chủ văn minh.”

Luật giáo dục nước ta đã quy định rõ về phương pháp giáo dục phổ thông như sau: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kĩ năng vậndụng kiến thức vào thực tiễn tác động tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.”

Toán học có vị trí rất quan trọng trong nhà trường và trong cuộc sống vì tất cả các môn khoa học khác đều nghiên cứu dựa trên nền tảng của toán học Những kiến thức, kĩ năng của môn toán giúp học sinh phát triển năng lực tư duy như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa và rèn luyện tính cẩn thận, tỉ

mỉ, chính xác, phê phán , sáng tạo qua đó góp phần hình thành và phát triển nhân cách cho học sinh Do vậy, toán học là môn quan trọng Trong chương trình toán THPT phần nội dung kiến thức “ phương trình lượng giác”( Đại số và giải tích 11) là một nội dung quan trọng nhưng không dễ đối với học sinh đặc biệt là học sinh yếu kém

“Phương trình lượng giác” là một chủ đề khó , chưa gây được hứng thú học tập đối với học sinh THPT mà trong các đề thi quốc gia thường có nội dung

này.Đặc biệt, học sinh yếu kém có tâm lí ngại và sợ học chủ đề này dẫn tới hiệu quả của việc dạy và học chưa cao Để cải thiện tình trạng nói trên cần xây dựng một chương trình dạy học tích cực, phù hợp với năng lực của học sinh

1.2 Các khái niệm liên quan đến chuyên đề

- Chương trình (curriculum)

Theo thời gian, tùy thuộc vào quan điểm triết học, quan điểm về giáo dục trong nhà trường của mỗi người mà cách hiệu quả và giải thích về chương trình của họ

sẽ khác nhau.Chẳng hạn họ hiểu và giải thích chương trình là:

1)Những gì được giảng dạy trong nhà trường

Hilda Taba(1962) định nghĩa chương trình học là một bản kế hoạch học tậpTheo Tanner (1975) chương trình là các kinh nghiệm học tập được hướng dẫn

và kế hoạch hóa với các kết quả học tập được xác định trước và hình thành thông qua việc thiết lập kiến thức và kinh nghiệm một cách có hệ thống dưới sự

hướng dẫn của nhà trường nhằm tạo ra cho người nhằm tạo ra cho người học sự phát triển liên tục về năng lực xã hội - cá nhân.

Quan điểm của tác giả Ronald C.Doll(1996) về chương trình: “ Chương trình học của nhà trường là nội dung giáo dục và các hoạt động chính thức và không chính thức, quá trình triển khai nội dung hoạt động, thông qua đó người học thu nhận được kiến thức và sự hiểu biết, phát triển các kĩ năng, thái độ, tình cảm và các giá trị đạo đức dưới sự tổ chức của nhà trường.”

White(1995) cho rằng: “ Chương trình là một kế hoạch đào tạo phản ánh các mục tiêu giáo dục, đào tạo mà nhà trường theo đuổi.”

Có thể nói rằng chương trình trong lĩnh vực giáo dục là một khái niệm động, quan niệm về chương trình giáo dục được phát triển, mở rộng theo trình độ phát triển kinh tế - xã hội, khoa học , kĩ thuật và công nghệ thông tin

- Phát triển chương trình( curriculum development) là quá trình điều chỉnh

bổ sung cập nhật làm mới toàn bộ hay một số thành tố của chương trình giáo dục

-Năng lực toán học là khả năng nhận biết ý nghĩ, vai trò kiến thức toán học

trong cuộc sống khả năng vận dụng tư duy toán học để giải quyết các vấn đề trong thực tiễn đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tạ và tương lai một cách linh hoạt,khả năng phân tích, suy luận, lập luận khái quát hóa trao đổi thông tin một cách hiệu quả thông qua việc đặt ra, hình thành và giải quyết vấn đề toán học trong các tình huống, hoàn cảnh khác nhau.( theo tác giả Nguyến Hữu Châu)

-Thế nào là học sinh yếu kém môn toán? là những học sinh có kết quả học tập

toán thường xuyên dưới trung bình.Việc lĩnh hội kiến thức, rèn luyện kĩ năng cần thiết ở những học sinh này thường đòi hỏi nhiều công sức và thời gian so với những học sinh khác

II, Nội Dung.

2.1 Tìm hiểu chương trình dạy học.

2.1.1 Mục tiêu dạy học theo chủ đề phương trình lượng giác lớp 11.

- Giúp học sinh giải được các bài toán về phương trình lượng giác một cách thành thạo ,đạt hiệu quả.Qua đó phát huy tính tích cực ,tự giác chủ động của họcsinh , tác động đến tình cảm, đem lại niêm vui hứng thú học tập cho học sinh

- Thông qua đó giúp bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụngkiến thức vào thực tiễn

2.1.2 Phân phối chương trình phần dạy học phương trình lượng giác lớp 11.

Tiết 2 III Sự biến thiên và đồ thị của

giác cơ bản 2 Phương trình cos x = a.

Tiết 2 3 Phương trình tan x = a

Tiết 3 3.Phương trình đưa về phương

trình bậc hai đói với một hàm số lượng giác

Tiết 4 III Phương trình bậc nhất đói

với sin x và cos x

1 Công thức biến đổi biểu thức a

2.1.3 Thực trạng dạy và học toán nội dung phần phương trình lượng giác ở trường THPT.

Nhóm đã tiến hành khảo sát thông qua việc đặt câu hỏi cho giáo viên và học sinh tại trường PT Vùng Cao Việt bắc và từ đó rút ra được những kết luận sau:

- Do thời lượng tiết học trên lớp còn hạn chế mà kiến thức cần truyền tải tương đối rộng nên người giáo viên phải bố trí thời gian sao cho hợp lí và có những phương pháp giảng dạy phù hợp để học sinh dễ tiếp thu hơn

-Hầu hết học sinh đều thấy cần thiết phải học toán nhưng chưa có ý thức tự giác học, ít có hứng thú mà chủ yếu là do áp lực kiểm tra thi cử, gia đình

- Việc học của học sinh hầu như chỉ dừng lại ở việc học bài cũ và làm bài tập về nhà trong sách giáo khoa, rất ít em chịu khó tìm thêm những sách tham khảo và nâng cao để đọc

- Đối với phần đa số học sinh trừ một số em thích học phần lượng giác ra thì đềuthấy rằng kiến thức phần này là rất khó do công thức lằng nhằng khó nhớ, hơn nữa đây lại là phần kiến thức mới nên các em vẫn còn bỡ ngỡ

- Chính vì các em học sinh thấy khó ở phần này từ đó đâm ra có tâm lý nản và lười học dẫn tới học kém phần này

2.1.4 Những lưu ý khi dạy học phần phương trình lượng giác.

- Cần tạo động cơ , gây hứng thú say mê yêu thích học tập môn toán

- Tạo hứng thú sự yêu thích bộ môn toán thông qua việc cho học sinh thấy tầm quan trọng của môn toán trong chương trình phổ thông và cấp học trên vai trò vàtầm quan trọng của môn toán trong cuộc sống

- Tạo hứng thú cho học sinh bằng sự đổi mới phươg pháp, hình thức học tập

2.2 Chương trình dạy học phương trình lượng giác

2.2 1.Hệ thống lý thuyết và các dạng bài tập phần phương trình lượng giác lớp 11

2.2.1 1 Hệ thống lý thuyết

a) Công thức lượng giác của các cung liên quan đặc biệt

 Hai cung đối nhau: (α và -α)

 Ghi nhớ: cos đối, sin bù,phụ chéo, hơn kém π tan,cot

b) Các công thức lượng giác cơ bản

 sin2x+cos2x=1

 Sin(a ± b)= sina.cosb ± cosa.sinb

 Cos( a ± b)= cosa.cosb +´ ¿ ¿sina.sinb

 Tan( a ± b)= tan a± tanb

 Sin3a = 3sina –4sin3a

 Cos3a = 4cos 3a−3 cosa

* công thức biến đổi tổng thành tích

 Cosa + cosb = 2sosa+b2 cosa−b

 Sina – sinb = 2cosa+b2 sina−b

2

*công thức biến đổi tích thành tổng

 Cosa.cosb = 12{cos (a+b )+cos(a−b) }

 Sina.sinb = 12{cos (a+b )−cos (a−b )}

 Sina.cosb = 12{sin (a+b)+sin (a−b )}

* công thức nghiệm của phương trình lượng giác

 Dạng 1: phương trình sinx=m, |m|≤ 1

Nếu m là các giá trị đặc biệt tức là m€ {0;±1;±√22;± √23;±12}

Ta thay m=sinα ta được sinx=sinα  {x=π −α +k 2 π x=α+k 2 π k € Z

Nếu m không phải là các giá trị đặc biệt thì sinx = m {x=π −arcsinm+ k 2 π x=arcsinm+k 2 π

 Dạng 2: phương trình cosx=m, |m|≤ 1

Nếu m là các giá trị đặc biệt tức là m€ {0;±1;±√2

2 ;± √3

2 ;±12}

Ta thay m=cosα ta được cosx=cosα  x=± α+ k 2 π , k € Z

Nếu m không phải là các giá trị đặc biệt thì cosx = m  x=±arccos +k2π

 Dạng 3: phương trình tanx=m, m € R, điều kiện x≠π2+kπ

Nếu m là các giá trị đặc biệt m € { 0;±1;±√3;±√3

3 } Thì thay m = tanα ta được tanx=tanα  x=α+kπ, k € Z

Nếu m không phải là các giá trị đặc biệt thì tanx = m  x=arctanm+kπ

 Dạng 4: phương trình cotx=m , m € R, điều kiện x≠kπ

Nếu m là các giá trị đặc biệt m € { 0;±1;±√3;±√3

3 } Thì thay m = cotα ta được cotx=cotα  x=α+kπ, k € Z

Nếu m không phải là các giá trị đặc biệt thì tanx = m  x=arccotm+kπ,k €Z

 Các giá trị đặc biệt:

 Sinx=1  x= π2+k 2 π

√3 2

2

√2 2

1

2

−√2 2

sin 4x = sin4x−cos4x

sin 4x = ¿ ¿ ¿ = sin2x−cos2x

sin 4x

= sin2x−(1−sin2x )

sin 4x = 2

sin2x−¿ 1

sin4x = VPBài 2:Đơn giản biểu thưc

a, P = 2(sin ¿ ¿6 x +cos6x )−3(sin¿¿4 x +cos4x)¿ ¿

b,Q = , 1−cosx

sin2x −

1

1+cosx

Bài 3: Tính các giá trị lượng giác của góc α biết sinα=35 và α € (0;π2¿

Bài 4: Chứng minh rằng: Cosa cosb sin (a−b ) + sin (b−c)

Cosb cosc+

sin ( c−a)

Cosc cosa = 0

Dạng 2:Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Phương trình có dạng: at+b = 0, a,b ≠ 0,t là 1trong các hàm số lượng giácPhương pháp:chuyển vế và chia 2 vế của phương trình cho a ta được phương trình về phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1: giải các phương trình sau:

a, 3cosx+5 = 0

b,√3cotx – 3 =0

giải:

a, Từ 3cosx+5 =0, chuyển vế ta có:

3cosx = -5 cosx = -53 ,phương trình này vô nghiệm vì -53 < -1

b,√3cotx – 3 =0  √3cotx =3 cotx = √3

vì√3 =cotπ6 nên cotx = √3 cotx = cotπ6 x= π6 +kπ, k € Z

vậy phương trình có 1 nghiệm: x= π6 +kπ, k € Z

Bài 2:giải các phương trình sau:

a, 5cosx- 2sin2x = 0

b,8sinx.cosx.cos2x = -1

phương pháp:đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giácgiải:

a, 5cosx- 2sin2x = 0 5cosx- 4sinx.cosx = 0cosx(5-4sinx)=0

cosx=0 hoặc 5-4sinx = 0

Với cosx =0 x=π2+kπ

Với 5-4sinx = 0  sinx= 54 vô nghiệm (vì 54 >1)

Vậy phương trình có một nghiệm là: x=π2+kπ k € Z

b, tương tự

Dạng 3: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Phương trình có dạng: asin2x+b sin x+c=0(a≠ 0)

Phương pháp: Đặt ẩn phụ sin x = t ( |x|≤1) ta được : at2+bt+c =0

=> trả biến lại cho x

Ví dụ: Giải phương trình: 2sin2x+3sin x−2=0

Giải: Đặt sin x=t ,|t|≤ 1 ta được phương trình 2t2

Ví dụ 2: Giải phương trình cos2 x−sin x +2=0

Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc hai, ta có:

1−2 sin 2x −sin x+2=0 <=> −2 sin 2x −sin x+3=0

Áp dụng công thức lượng giác : 1

cos2x = 1 + tan 2x => Đưa về phương trình đối với 1 hàm số lượng giác là tan x

Ví dụ: Giải phương trình:

6sin2x+sin x cos x=2+cos2x (2)

Giải: + Nếu cos x=0 <=>sin x=± 1 thay vào phương trình (2) ta được

Bài tập: Giải phương trình

a, 2sin2x+sin x cos x−3 cos2x=0

b, 2cos 2x−3√3 sin 2 x−4 sin2x=−4

c, 2sin 3x+sin2x cos x−2 sin x cos2x−cos3x=0

- Kiểm tra điều kiện

- Chia cả hai vế phương trình (*) cho √a2+b2

Bước 2: Áp dụng công thức

cos (a+ b)=cosa cos b−sin a sin b

cos (a−b)=cos a cosb+ sin a sin b

sin(a+b)=sin a cosb+cos a sin b

sin(a−b)=sin a cosb−cos a sin b

Áp dụng 1 trong 4 công thức trên đưa phương trình đó về phương trình cơ bản

* Chú ý: Hai dạng phương trình sau vẫn áp dụng phương pháp giải trên

Dạng 1: asin x +b cos x=±√a2+b2sin 2 x (hoặc cos2 x)

Dạng 2: asin x +b cos x=a ' sin x +b ' cos x (trong đó √a2+b2=√(a '

c,2sin 12 x +√3 cos 2 x+ sin2 x=0

d,cos 7 x−sin3 x=√3(cos3 x+sin 7 x )

Dạng 6: Phương trình đối xứng với s∈x , cos x

Dạng: a(sin x +cos x) +bsin x cos x=c

Phương pháp giải: Đặt sin x +cos x = t, |t|≤√2

=> sin x cos x=t2−1

2

Dạng tương tự: a(sin x−cos x¿ +b sin x cos x =c

Phương pháp giải: Đặt t = sin x−cos x=√2 sin ¿ ¿) = −√2 cos ¿ ¿) , |t|≤√2 => sin x cos x

+sin x +cos x=√2 cos(x− π

4)=√2 sin¿ ¿ )

Ví dụ: Giải phương trình 5sin 2 x+12=12(sin x+cos x) (4)

Giải: (4) <=> 10sin x cos x+12=12(sin x+cos x)

Đặt t=sin x +cos x ,|t|≤√2 => sin x cos x =t2−1

Bài tập: Giải các phương trình sau

a, 2(cos x−sin x¿ +sin 2 x+5=0

b, sin x +cos x + 1

sin x+cos x1 = 103

c, sin x +sin2x +cos3x=0

d, (1−√2 ¿ (1+sin x−cos x )=sin 2 x

b) Một số dạng bài tập khác

Dạng 1: Phương trình chứa điều kiện ở mẫu

Ví dụ Giải phương trình (1+2 sin x)(1−sin x )(1−2 sin x)cos x =√3

Điều kiện: {1+2sin x ≠ 0 1−sin x ≠ 0 <=> {sin x ≠−1

<=>cos x−sin2 x=√3(cos 2 x +sin x)

<=>cos x−√3 sin x=√3 cos 2 x+sin 2 x

1+cot2x = √2 sin x sin 2 x

b, sin 2 x +2 cos x−sin x−1

tan x +√3 =0

c,2(sin6x +cos6x)−sin x cos x

√2−2 sin x = 0

Dạng 2: Phương trình chứa căn thức và giá trị tuyệt đối

Ví dụ: Giải phương trình: √5 cos x−cos2 x +2sin x=0(1)Điều kiện: 5cos x−cos2 x ≥ 0

(1) <=> √5 cos x−cos2 x = - 2sin x( 1’)

Để phương trình có nghiệm <=> - 2sin x ≥ 0≤¿sin x ≤ 0

Bình phương hai vế của (1’) ta có:

5cos x−cos2 x=4 sin2x <=> 5cos x−2cos2x +1−4(1−cos2x)=0

<=>2cos2x +5 cos x−3=0≤¿[cos x= cos x=−3 (loại )1

2≤¿x=±

π

3+k 2 π

Kết hợp với điều kiện: sin x<0 => Phương trình có nghiệm là x = -π3 + k2π

Bài tập : Giải các phương trình sau

a, sin3x+cos3x+sin3x cotx+cos3x tanx=√2sin 2 x

b, sin x +√3 cos x+√sin x +√3 cos x = 2

c, |cos3 x| = 1 -√3 sin 3 x

d, 3sin x +2|cos x|−2=0

Dạng 3: Phương trình lượng giác chứa tanx, cotx

Điều kiện của tanx : x≠ π

2+kπ

Điều kiện của cotx: x≠ kπ

Nếu điều kiện phương trình là {cotx tanx tức {x ≠ π

2+kπ

x ≠ kπ

<=> x≠ kπ

2

Đặt điều kiện xong ta đưa tanx , cotx về theo sinx , cosx

Ví dụ: Giải phương trình:cot x +sin x(1+tan x tan x

2)= 4(2)Giải: Điều kiện {x ≠ x ≠ kπ π

<=> cos x sin x+sin x ¿ ) = 4

<=> cos x sin x+sin x( cosx

sin x cos x = 4 <=> sin x cos x1 = 4

<=> 4sin x cos x=1≤¿2 sin2 x=1≤¿sin2 x=1

1+ tan x + sin2x −12 sin 2 x

b, tan2x cot22 x cot 3 x=tan2x−cot2x+cot 3 x

c, 3cot 2x+ 2√2 sin 2x=¿ )cos x

2.3 Những khó khăn và sai lầm mắc phải khi học phần phương trình lượng giác

* Về phía giáo viên:

-Thường nóng vội sợ mất thời gian nên kiểm tra không kỹ do đó không phát hiện ra nhầm lẫn của học sinh

- Thường tập trung làm việc nhiều với học sinh khá, giỏi mà không chú ý quan tâm giúp đỡ những học sinh trung bình, yếu nhằm phát hiện sửa chữa kịp thời những sai lầm

- Về phía học sinh: