Về môđun và vành n nội xạ (tt)

LỜI CAM ĐOANTôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chư

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗    ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

LÊ THỊ MAI

VỀ MÔĐUN VÀ VÀNH n-NỘI XẠ

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60460104

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS TS LÊ VĂN THUYẾT

Thừa Thiên Huế, năm 2017

Demo Version - Select.Pdf SDK

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất

kì một công trình nào khác

Lê Thị Mai

Demo Version - Select.Pdf SDK

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo, GS TS

Lê Văn Thuyết Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và sự kính trọng đối với Thầy Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng như hoàn thành luận văn này

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy cô Khoa Toán, các Thầy ở Đại học Huế

và Viện Toán học đã dạy dỗ và truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP Huế, phòng Đào tạo sau Đại học, khoa Toán trường ĐHSP Huế đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt khóa học

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, các anh chị Cao học Toán khóa XXIII trường ĐHSP Huế chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số vì sự động viên, giúp đỡ trong quá trình học tập vừa qua

Ngày 5 tháng 10 năm 2017 Học viên thực hiện

Lê Thị Mai

Demo Version - Select.Pdf SDK

Mục lục

1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Môđun con cốt yếu 5 1.2 Dãy khớp 6 1.3 Linh hóa tử - Môđun trung thành 7 1.4 Môđun tự do, môđun chia được, môđun xoắn tự do, môđun đơn 8 1.5 Môđun xạ ảnh và môđun Nơte 11 1.6 Môđun và vành nội xạ-Bao nội xạ 14

2 Môđun và vành n-nội xạ 16 2.1 Môđun và vành n-nội xạ 16 2.2 Tính chất cơ bản của môđun và vành n-nội xạ 19

Demo Version - Select.Pdf SDK

BẢNG KÝ HIỆU

Ký hiệu : Nghĩa của ký hiệu

Z : vành các số nguyên

Q : vành các số hữu tỷ

MR : môđun phải trên vành R

A ⊆ B : A là tập con của B

A ⊂ B : A là tập con thực sự của B

A ≤ M : A là môđun con của M

A < M : A là môđun con thực sự của M

A ≤e M : A là môđun con cốt yếu của M

⊕

i∈I

Mi : tổng trực tiếp của họ các môđun Mi

Y

i∈I

Mi : tích trực tiếp của họ các môđun Mi

A ∼= B : A đẳng cấu với B

annR(X) : linh hóa tử của X trong R

E(M ) : bao nội xạ của môđun M

ACC : điều kiện đây chuyền tăng

Demo Version - Select.Pdf SDK

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết vành nói chung và lý thuyết vành kết hợp nói riêng đã xuất hiện khoảng 120 năm nay và đang được các nhà toán học tiếp tục quan tâm nghiên cứu Để nghiên cứu cấu trúc vành, chúng ta có thể đi theo hai hướng chính Hướng thứ nhất là nghiên cứu cấu trúc của vành thông qua các điều kiện bên trong (tức là nghiên cứu các iđêan) và hướng thứ hai là đặc trưng vành bằng các điều kiện bên ngoài (nghiên cứu các môđun trên chúng) Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu theo hướng thứ hai

Khái niệm môđun nội xạ được Baer đề xuất vào năm 1940 Theo đó, một môđun M đươc gọi là N -nội xạ nếu với mỗi môđun con A của N thì mọi đồng cấu f : A → M đều mở rộng được đến một đồng cấu g : N → M Môđun M được gọi là nội xạ nếu M là N -nội xạ với mọi môđun N Không chỉ đưa ra khái niệm môđun nội xạ, Baer còn đưa ra một tiêu chuẩn quan trọng để kiểm tra một R-môđun M khi nào là nội xạ Tiêu chuẩn đó mang tên ”Tiêu chuẩn Baer” và được phát biểu như sau: Môđun MR được gọi là nội xạ nếu với mọi iđêan phải I của R, mọi đồng cấu f : IR → MR đều mở rộng được đến đồng cấu

g : RR → MR

Một lớp môđun mở rộng của môđun nội xạ là môđun n-nội xạ, được F.Smith định nghĩa như sau; cho n là số nguyên dương, R-môđun phải X được gọi là n-nội xạ nếu với mỗi iđêan phải n-sinh A của R, mỗi đồng cấu θ : A → X mở rộng đến R Chú ý rằng, môđun 1-nội xạ được gọi là nội xạ chính hay P -nội

xạ Ngoài ra, một R-môđun phải X được gọi là F -nội xạ nếu mỗi iđêan phải hữu hạn sinh B của R, mỗi đồng cấu χ : B → X mở rộng đến R Rõ ràng một môđun là F -nội xạ nếu và chỉ nếu nó là n-nội xạ, với mọi số nguyên dương n

Demo Version - Select.Pdf SDK

Một vành R được gọi là nửa di truyền phải nếu mỗi iđêan phải hữu hạn sinh

là xạ ảnh Một mở rộng của vành nửa di truyền được Xiaoxiang Zhang and Jianlong Chen đưa ra vào năm 2007 [xem [15]]: Cho n là số nguyên dương, vành

R được gọi là n-nửa di truyền phải nếu mỗi iđêan phải n-sinh là xạ ảnh Vành

R là nửa di truyền phải nếu và chỉ nếu R là n-nửa di truyền phải, với mỗi số nguyên n Tương tự như môđun n-nội xạ thì mỗi vành (n + 1)-nửa di truyền phải là n-nửa di truyền phải, với mỗi số nguyên dương n Tuy nhiên n-nửa di truyền phải không phải là (n + 1)-nửa di truyền phải, chẳng hạn, ta có kết quả sau:

Cho F là một trường và n là số nguyên dương Cho T là một đại số trên F sao cho T là n-nửa di truyền phải nhưng không (n + 1)-nửa di truyền phải và P

là môđun con bất kì của T -môđun phải tự do Khi đó F -đại số R = [F, P : 0, T ]

là n-nửa di truyền phải nhưng không là (n + 1)-nửa di truyền phải

Với mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về các tính chất của môđun và vành n-nội xạ, về mối quan hệ giữa nội xạ và n-nội xạ với các vành khác, và được sự định hướng của thầy hướng dẫn GS.TS Lê Văn Thuyết, tôi đã chọn đề tài “Về Môđun và vành n-nội xạ” cho luận văn thạc sĩ thuộc chuyên ngành Đại số và

Lý thuyết số

Bây giờ, chúng tôi đi vào chi tiết của từng chương Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn chia làm hai chương Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của Đại số nhằm mục đích hỗ trợ cho chương 2 Chương 2 là chương chính của luận văn, gồm 4 mục Mục 2.1, chúng tôi trình bày về môđun

và vành n-nội xạ Tiếp theo, mục 2.2 trình bày các tính chất cơ bản của môđun

và vành n-nội xạ Trong mục 2.3, chúng tôi đưa ra mối quan hệ giữa n-nội xạ

và nội xạ Và cuối cùng, mục 2.4, chúng tôi chỉ ra các lớp vành có liên quan

Demo Version - Select.Pdf SDK