ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒ THỊ LAN THUYỀN VỀ V -VÀNH VÀ MÔĐUN NỘI XẠ ĐƠN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN
Trang 1ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
HỒ THỊ LAN THUYỀN
VỀ V -VÀNH VÀ MÔĐUN NỘI XẠ ĐƠN
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60460104
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS TS LÊ VĂN THUYẾT
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 2LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất
kỳ một công trình nào khác
HỒ THỊ LAN THUYỀN
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 3LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo GS TS Lê Văn Thuyết, người đã hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này, người đã truyền cho tôi niềm đam mê khoa học, đã tận tình dạy bảo, hướng dẫn và động viên tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu của mình
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy cô Khoa Toán, các Thầy ở Đại học Huế
và Viện Toán học đã dạy dỗ và truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP Huế, phòng Đào tạo sau Đại học, khoa Toán trường ĐHSP Huế đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt khóa học
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, các anh chị lớp Cao học Toán khóa XXIV trường ĐHSP Huế chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số, vì sự động viên, giúp đỡ trong quá trình học tập vừa qua
Ngày 30 tháng 8 năm 2017 Học viên thực hiện
Hồ Thị Lan Thuyền
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 4Mục lục
1 Một số kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Môđun con cốt yếu 5 1.2 Môđun đơn 6 1.3 Môđun và vành nội xạ 8
2 Về V -vành và môđun nội xạ đơn 19 2.1 Môđun đơn - môđun nội xạ 19 2.2 Về V -vành và các tính chất 27 2.3 Mối quan hệ giữa V -vành và các lớp vành liên quan 34
Tài liệu tham khảo 44
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 5BẢNG KÝ HIỆU
Ký hiệu : Nghĩa của ký hiệu
RM : môđun trái trên vành R
MR : môđun phải trên vành R
A ⊆ B : A là tập con của B
A ⊂ B : A là tập con thực sự của B
A ≤ M : A là môđun con của M
A < M : A là môđun con thực sự của M
A ≤e M : A là môđun con cốt yếu của M
A ≤max M : A là môđun con cưc đại của M
J (R) : căn Jacobson của vành R
Z(R) : tâm của vành R
Tl(R) : iđêan suy biến trái của vành R
A ⊕ B : tổng trực tiếp của hai môđun A và B
A ⊗ B : tích tensor của hai môđun A và B
A ∼= B : A đẳng cấu với B
R ≈ S : vành R tương đương với vành S
Mn(R) : vành các ma trận cấp n × n trên vành R End(M ) : vành các tự đồng cấu của M
HomR(A, B) : nhóm các đồng cấu giữa các R -môđun A và B annR(X) : linh hóa tử của X trong R
I∗ : giao của các iđêan trái cực đại của R chứa I
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 6LỜI MỞ ĐẦU
Lý thuyết vành và môđun đóng một vai trò quan trọng trong đại số kết hợp
Do đó, việc nghiên cứu cấu trúc vành và môđun là bài toán cơ bản và quan trọng của Đại số, đặc biệt là lớp các môđun nội xạ trên các vành
Khái niệm về môđun nội xạ được Baer giới thiệu vào năm 1940 Theo đó, một môđun M được gọi là N -nội xạ nếu với mỗi môđun con A của N thì mọi đồng cấu f : A −→ M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N −→ M Môđun
M được gọi là nội xạ nếu M là N -nội xạ với mọi môđun N Không chỉ đưa ra khái niệm môđun nội xạ, Baer còn đưa ra một tiêu chuẩn quan trọng để kiểm tra khi nào thì một R-môđun M là nội xạ Tiêu chuẩn Baer được phát biểu như sau: Môđun RM là nội xạ nếu với mọi iđêan trái I của R, mọi đồng cấu
f : RI −→RM đều có thể mở rộng được đến đồng cấu g : RR −→ RM Kể từ khi khái niệm môđun nội xạ và tiêu chuẩn Baer ra đời, các khái niệm mở rộng của nó cũng như mối liên hệ giữa môđun nội xạ và các lớp môđun khác trên vành
R đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều tác giả Một trong những hướng tiếp cận như vậy là việc nghiên cứu lớp các môđun nội xạ đơn Nhắc lại rằng một môđun RM được gọi là đơn nếu M 6= 0 và M chỉ có hai môđun con
là 0 và M Từ đây, có thể thấy rằng môđun đơn là một môđun đặc biệt, do đó khi nghiên cứu lớp các môđun nội xạ đơn sẽ cho ta nhiều tính chất thú vị Lần đầu tiên, Rosenberg và Zelinsky đã giải quyết vấn đề về đặc trưng của vành R
mà các môđun đơn RM có bao nội xạ có độ dài hữu hạn Trong bài báo đó, họ cũng đưa ra một trường hợp rất đặc biệt thu được từ Kaplansky, đó là: nếu R giao hoán thì mọi R-môđun đơn là nội xạ khi và chỉ khi R là vành chính quy von Neumann Nhưng trong trường hợp R không giao hoán thì điều kiện cần và
đủ trong định lý Kaplansky là không đúng như C Faith và J Cozzens đã chỉ
ra Vài năm sau, Villamayor đã đặc trưng các vành R đó (R không nhất thiết
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 7vành R là một giao của các iđêan trái cực đại của R.
Với mong muốn được tìm hiểu thêm về V -vành và môđun nội xạ đơn, và được sự hướng dẫn của thầy giáo GS TS Lê Văn Thuyết, tôi đã chọn đề tài
"Về V -vành và môđun nội xạ đơn" để tiến hành nghiên cứu
Nội dung của luận văn được chia làm hai chương Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của Đại số kết hợp nhằm mục đích hỗ trợ cho chương 2 Chương 2 trình bày về V -vành và môđun nội xạ đơn Trong chương này, chúng tôi sẽ khảo sát môđun đơn - môđun nội xạ và trình bày đặc trưng chính của môđun nội xạ đơn (Định lý 2.1.4) và tính nội xạ như các R-môđun của các R/P -môđun (Định lý 2.1.6) Tiếp đó, chúng tôi sẽ trình bày về V -vành thông qua định nghĩa và một số tính chất, đặc biệt là định lý của Villamayor về đặc trưng của V -vành (Định lý 2.2.3) Một số kết quả khác về tính chính quy của tâm Z(R) (Bổ đề 2.2.5), tính bất biến Morita của vành R (Định lý 2.2.7)
và đặc trưng của vành nửa đơn Artin (Định lý 2.2.8) sẽ được trình bày Cuối cùng sẽ là mối liên hệ giữa V -vành và một số vành liên quan trong lớp các giao của các iđêan trái cực đại (Định lý 2.3.6, Định lý 2.3.13); đặc trưng của V -vành suy biến (Định lý 2.3.14); một số tính chất của vành chính quy (Hệ quả 2.3.9), chính quy mạnh (Hệ quả 2.3.10), vành nửa đơn Artin (Hệ quả 2.3.19) qua lớp các giao của các iđêan trái cực đại, điều kiện cần và đủ để vành chính quy là một V -vành (Hệ quả 2.3.15) cũng được trình bày
Do hạn chế về mặt thời gian và kiến thức nên luận văn không tránh khỏi những sai sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn
Huế, tháng 8 năm 2017
Hồ Thị Lan Thuyền
Demo Version - Select.Pdf SDK