Về môđun và vành nội xạ đếm ngược (tt)

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÂM THỊ QUỲNH TIÊN VỀ MÔĐUN VÀ VÀNH NỘI XẠ ĐẾM ĐƯỢC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHI

Trang 1

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÂM THỊ QUỲNH TIÊN

VỀ MÔĐUN VÀ VÀNH NỘI XẠ ĐẾM ĐƯỢC

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60460104

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS TS LÊ VĂN THUYẾT

Demo Version - Select.Pdf SDK

Trang 2

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất

kì một công trình nào khác

LÂM THỊ QUỲNH TIÊN

Trang 3

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo GS TS Lê Văn Thuyết, người đã hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này, người luôn tận tình dạy bảo, hướng dẫn và động viên tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu của mình

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy cô Khoa Toán, các Thầy ở Đại học Huế

và Viện Toán học đã dạy dỗ và truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP Huế, phòng Đào tạo sau Đại học, khoa Toán trường ĐHSP Huế đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt khóa học

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, các anh chị Cao học Toán khóa XXV trường ĐHSP Huế chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số vì sự động viên, giúp đỡ trong quá trình học tập vừa qua

Ngày 10 tháng 10 năm 2018 Học viên thực hiện Lâm Thị Quỳnh Tiên

Trang 4

Mục lục

1.1 Môđun con cốt yếu, môđun đơn và các phần tử đặc biệt 5

1.2 Môđun tự do, môđun chia được, môđun xoắn tự do 9

1.3 Môđun nội xạ, xạ ảnh 10

1.4 Môđun Artin, môđun Nơte 14

1.5 Vành Artin, Nơte và một số vành quan trọng khác 16

2 Môđun và vành nội xạ đếm được 21 2.1 Môđun và vành nội xạ đếm được 21

2.2 Tính chất cơ bản của môđun và vành nội xạ đếm được 24

2.3 Mối quan hệ môđun nội xạ đếm được và nội xạ 29

Trang 5

BẢNG KÝ HIỆU

Ký hiệu : Nghĩa của ký hiệu

RM : môđun trái trên vành R

MR : môđun phải trên vành R

A ⊆ B : A là tập con của B

A ⊂ B : A là tập con thực sự của B

A ≤ M : A là môđun con của M

A < M : A là môđun con thực sự của M

A ≤e M : A là môđun con cốt yếu của M

A ≤max M : A là môđun con cưc đại của M

⊕

i∈I

Mi : tổng trực tiếp của họ các môđun Mi

Y

i∈I

Mi : tích trực tiếp của họ các môđun Mi

A ∼= B : A đẳng cấu với B

annR(X) : linh hóa tử của X trong R

E(M ) : bao nội xạ của môđun M

J (R) : căn Jacobson của vành R

Zr : iđêan suy biến trái của vành R

C-nội xạ : C-nội xạ theo nghĩa của R Y C Ming

c-nội xạ : C-nội xạ theo nghĩa của E S Campos và F.Smith

Trang 6

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết vành và môđun đóng một vai trò quan trọng trong đại số kết hợp Với việc nghiên cấu trúc môđun và vành, chúng ta đã có được nhiều kết quả quan trọng, đặc biệt là lớp các môđun và vành nội xạ

Năm 1940 Baer đã đưa ra một khái niệm về môđun nội xạ Một môđun

M được gọi là N-nội xạ nếu với mỗi môđun con A của N thì mọi đồng cấu

f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N → M Môđun M được gọi

là nội xạ nếu M là N-nội xạ với mọi môđun N Hơn nữa, Baer còn đưa ra tiêu chuẩn để kiểm tra một R-môđun M là nội xạ Tiêu chuẩn Baer được phát biểu như sau: Môđun RM là nội xạ nếu với mọi iđêan trái I của R, mọi đồng cấu

f :RI →RM đều có thể mở rộng được đến đồng cấu g : RR →RM

Từ tiêu chuẩn Baer ta có rất nhiều mở rộng của nội xạ Một lớp môđun

mở rộng của môđun nội xạ là môđun n-nội xạ, được E S Campos và F.Smith định nghĩa như sau: Với n là số nguyên dương, R-môđun trái X được gọi là n-nội xạ nếu với mỗi iđêan trái n-sinh A của R, mỗi đồng cấu θ : A → X mở rộng đến R Lưa ý, môđun 1-nội xạ được gọi là nội xạ chính hay P -nội xạ Hơn nữa, một R-môđun trái X được gọi là F -nội xạ nếu mỗi iđêan trái hữu hạn sinh B của R, mỗi đồng cấu χ : B → X mở rộng đến R Rõ ràng một môđun

là F -nội xạ khi và chỉ khi nó là n-nội xạ Theo E S Campos và F.Smith, một R-môđun trái X được gọi là C-nội xạ nếu mỗi iđêan trái sinh đếm được C của

R, mỗi đồng cấu µ : C → X có thể mở rộng đến R Khi đó:

X là nội xạ ⇒ X là C-nội xạ ⇒ X là F -nội xạ ⇒ X là n-nội xạ

X là (n+1)-nội xạ ⇒ X là n-nội xạ với mỗi số nguyên dương n

Có một cách mở rộng nội xạ là mở rộng từ định nghĩa Trong R.Y.C Ming cũng đã đưa ra định nghĩa như sau: Một R-môđun trái M được gọi là

Trang 7

Ming (xuất bản 2007) đó đều là C-nội xạ, nhưng thực chất là hai khái niệm khác nhau hoàn toàn Vì chúng tôi dùng cả hai khái niệm trong luận văn này, nên sẽ giữ lại ký hiệu của R.Y.C Ming về C-nội xạ, còn C-nội xạ theo nghĩa của

E S Campos, chúng tôi sẽ ký hiệu lại là c-nội xạ

Dựa trên hướng tiếp cận của E S Campos và F.Smith (mở rộng theo tiêu chuẩn Baer) và R.Y.C Ming (mở rộng theo định nghĩa) về lớp các môđun nội xạ, từ đó đưa ra việc nghiên cứu mở rộng ra lớp các môđun nội xạ đếm được Một R-môđun trái M được gọi là nội xạ đếm được nếu với mọi R-môđun

N , R-môđun Q và với mọi môđun con N của Q là R-môđun đếm được sinh, mọi đồng cấu R-môđun N vào M có thể mở rộng đến Q vào M

Khi đó ta thấy rằng môđun nội xạ đếm được là mở rộng của môđun nội

xạ, do đó khi tìm hiểu, nghiên cứu lớp các môđun nội xạ đếm được cho ta các tính chất quan trọng

Với mong muốn được nghiên cứu, tìm hiểu cụ thể về môđun và vành nội

xạ đếm được, và được sự hướng dẫn của thầy giáo GS.TS Lê Văn Thuyết, tôi đã chọn đề tài "Về môđun và vành nội xạ đếm được" để tiến hành nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ thuộc chuyên ngành Đại số và lý thuyết số Tôi hy vọng sẽ tìm

ra được các tính chất mới nhằm góp thêm vào các kết quả trong lĩnh vực này Nội dung của luận văn được chia làm hai chương Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của Đại số nhằm mục đích hỗ trợ cho chương

2 Chương 2 là chương chính của luận văn, gồm 4 mục Mục 2.1, trình bày về môđun và vành nội xạ đếm được Tiếp theo, mục 2.2 trình bày các tính chất cơ bản của môđun và vành nội xạ đếm được Trong mục 2.3, mối quan hệ giữa nội

xạ đếm được và nội xạ Và cuối cùng, mục 2.4, chỉ ra các lớp vành có liên quan

Do hạn chế về mặt thời gian và kiến thức nên luận văn không tránh khỏi những sai sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Huế, tháng 10 năm 2018

Định dạng
Số trang	7
Dung lượng	195,1 KB