Đặc biệt là dạy đội tuyển HSG lớp 6, bản thân và các đồng nghiệp luôn mong có được một tài liệu phù hợp trong quá trình giảng dạy... Đặc biệt, trong các giờ luyện tập, ôn tậ
Trang 1A – ĐẶT VẤN ĐỀ
I ) LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
- Trong quá trình giảng dạy toán ở bậc THCS, bản thân cùng các đồng nghiệp luôn trăn trở về cách dạy toán dạng tính tổng dãy số và tính tổng phân số theo quy luật Đặc biệt là dạy đội tuyển HSG lớp 6, bản thân và các đồng nghiệp luôn mong có được một tài liệu phù hợp trong quá trình giảng dạy
- Dạng toán này, ở lớp 5 chỉ các em học sinh đội tuyển học sinh giỏi mới được các thầy cô hướng dẫn Tuy nhiên, học sinh chỉ biết được các bài toán thầy cô đã dạy, nhưng không biết bản chất của dạng toán đó để biến đổi và phát triển bài toán đó Đặc biệt, là từ năm học 2014 – 2015 trở đi, học sinh lớp 5 không còn kỳ thi học sinh giỏi các cấp Vì vậy, sẽ rất khó khăn cho học sinh khi vào lớp 6
- Xuất phát từ khi bản thân kèm thêm cho con học Trong quá trình hướng dẫn, bản thân đã thâu tóm, chắt lọc những bài toán cơ bản để có tài liệu giúp cho quá trình dạy học sinh giỏi lớp 6 cũng như hướng dẫn con học ở nhà Từ thực tế trên, bản thân đã chọn lọc, chắt chiu xây dựng một đề tài:
“Phát triển kỹ năng giải bài tập dạng toán tính tổng cho học sinh lớp 6”
II) PHẠM VI , ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Học sinh khối lớp 6 trường THCS X huyện Yên Định các khóa học từ 2012-2013 đến nay Đề tài đã được thông qua tổ tự nhiên, đặc biệt là các thầy cô dạy toán nhận xét góp ý, chỉnh sửa và đưa vào áp dụng tại trường
“Phát triển kỹ năng giải bài tập dạng toán tính tổng cho học sinh lớp 6” với mục đích định ra hướng, phương pháp nhận biết, nhận dạng, phương
pháp giải đối với một dãy số nhất định Ngoài ra còn đưa ra cho học sinh phương pháp phân tích bài toán một cách nhanh chóng, đọc ra được quy luật của dãy số nhanh nhất, hợp lí nhất
III) PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH
Từ thực tế bài toán tính tổng đơn giản, giáo viên cần phát triển, định hướng
Trang 2cho các em giải được các bài toán phức tạp hơn Bằng cách biến đổi thêm bớt giữ kiện của mỗi bài toán Với dạng toán này, nếu học sinh chưa từng gặp sẽ dùng máy tính để làm Tuy nhiên, khi đó học sinh sẽ gặp trở ngại là máy tính chỉ tính được giá trị gần đúng và mất quá nhiều thời gian, thậm chí không giải được
Trong giờ học chính khoá tôi lồng ghép các bài tập cùng lời giải mẫu, cơ sở giải theo từng phương pháp để học sinh hình thành kỹ năng giải từng loại toán này Cho học sinh thực hành bài tập tương tự ngay tại lớp
Đặc biệt, trong các giờ luyện tập, ôn tập chương giáo viên tiếp tục cho học sinh giải các bài tập nâng cao Qua đó học sinh thấy được tầm quan trọng của loại toán này, tự rèn luyện tạo kỹ năng cho mình Bằng rèn luyện thực hành giải bài tập, học sinh cách giải các bài tập phức tạp hơn Các em được nâng cao kiến thức , hình thành kỹ năng phản xạ khi gặp các bài toán tương tự
B – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I) Bài toán mở đầu:
1) Bài toán 1 Tính tổng:
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100
Mỗi số hạng là tích của hai số tự nhên liên tiếp Để tính A ta biến đổi
A để xuất hiện các hạng tử đối nhau Muốn vậy ta cần tách một thừa số trong mỗi hạng tử thành một hiệu : a = b - c
Giải: Giáo viên hướng dẫn cho HS nhân với 3 cả 2 vế.
Ta có:
3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + 99.100.3
Chú ý hướng dẫn cách tách thừa số 3 ở mỗi tích thành hiệu ( như số in đậm)
3A = 1.2.3 + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + … + 99.100.(101 - 98)
= 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + … + 99.100.101 - 98.99.100
= 99.100.101 => 3A = 99.100.101
A = 33.100.101 = 333 300
Trang 3*) Bài toán tổng quát:
A=1.2 +2.3 + 3.4 +…+ n(n+1) =n(n13)(n2)
II) Khai thác bài toán 1
Trong bài toán 1 Các thừa số trong mỗi số hạng hơn kém nhau 1đơn vị Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử, ta có bài toán 2
Bài toán 2 Tính:
A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99
Giải
Khoảng cách giữa 2 thừa số của một tích là 2 Ta nhân cả 2 vế với 3.2
6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + … + 97.99.6
= 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) +… + 97.99(101 - 95)
= 1.3.5 + 1.3.1 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + …+ 97.99.101 –
-95.97.99 = 1.3.1 + 97.99.101= 3 + 97.99.101
A
2
Trong bài toán 1 ta nhân A với 3 (k = 3) Trong bài toán 2 ta nhân A với 6 (a = 6) Ta có thể nhận thấy để làm xuất hiện các hạng tử đối nhau ta nhân
A với 3 lần khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi hạng tử
3k n.(n + k) = n.(n + k).(n + 2k) - (n - k) n (n + k)
Thay đổi số các thừa số trong tích ta có bài toán 3
Bài toán 3 : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + … + 98.99.100
Hướng dẫn : tích của 3 số Ta nhân với 2 lần tổng khoảng cách: 4 = 2(1+1)
Giải :
4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + … + 98.99.100.4
= 1.2.3.4 + 2.3.4(5 - 1) + 3.4.5(6 - 2) + …+ 98.99.100(101 - 97)
= 1.2.3.4 + 2.3.4.5 -1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+…+ 98.99.100.101 -
Trang 4- 97.98.99.100 = 98.99.100.101; 4 A = 98.99.100.101
A = 98.99.25.101 = 24 497 550
Thay đổi khoảng cách giữa các thừasố trong mỗi hạng tử ở bài 3 ta có bài toán:
Bài toán 4 : Tính:
A = 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 95.97.99
Hướng dẫn : Tích của 3 số Ta nhân với 2 lần tổng khoảng cách: 8 = 2(2+2)
Giải :
8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + … + 95.97.99.8
= 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + … + 95.97.99(101 - 93) = 1.3.5.7 + 1.3.5.1 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + … + 95.97.99.101 - 93.95.97.99
= 1.3.5.1 + 95.97.99.101
A = 1.3.5958.97.99.101 = 11 517 600
Trong bài 3 ta nhân A với 4 (bốn lần khoảng cách) Trong bài 4 ta nhân A với 8 (bốn lần khoảng cách) Như vậy để giải bài toán dạng n
n 1
n(n k)(n 2k)
ta nhân với 4k (4 lần khoảng cách) sau để tách: 4kn(n + k)(n + 2k) = n(n + k)(n + 2k)(n + 3k) - (n - k)(n + k)n(n + 2k)
Bài toán 5 : Tính
A = 1.2 + 3.4 + 5.6 + … + 99.100
Giải
Ta tách thừa số thứ 2 trong tích của mỗi hạng tử :
Ta có : A = 1.(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) + … + 99(101 - 1)
= 1.3 - 1 + 3.5 - 3 + 5.7 - 5 + … + 99.101 - 99
= (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 99.101) - (1 + 3 + 5 + 7 + … + 99) Tổng 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 99.101 học sinh đã biết tính ở bài toán 2 Nên : A = 171650 – 2500 = 169150
Trang 5Trong bài toán này ta không nhân A với một số hạng mà tách ngay một thừa số trong tích làm xuất hiện các dăy số mà ta đă biết cách tính hoặc
dễ dàng tính được Làm tương tự với các bài toán:
Bài toán 6 : Tính
A = 12 + 22 + 32 + 42 + … + 1002
Giải :
A = 1 + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) + 4(3 + 1) + … + 100(99 + 1)
= 1 + 1.2 + 2 + 2.3 + 3 + 3.4 + 4 + … + 99.100 + 100
= (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100) + ( 1 + 2 + 3 + … + 100)
Tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100 học sinh đã biết ở bài toán 1 Nên :
A = 333300 + 5050 = 338350
Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số trong bài 6 ta có bài toán:
Bài toán 7: Tính: A = 12 + 32 + 52 + … + 992
Giải :
A= 1 + 3(2 + 1) + 5(2 + 3) + 7(2 + 5) + … + 99(2 + 97)
= 1 + 2.3 + 1.3 + 2.5 + 3.5 + 2.7 + 5.7 + … + 2.99 + 97.99
= 1 + 2(3 + 5 + 7 + … + 99) + (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99)
= 1 + 4998 + 161651 = 166650
Trong bài toán 5 và 7 có thể sử dụng : (n - a) ((n + a) = n2 - a2
n2 = (n - a)(n + a) + a2
a là khoảng cách giữa các cơ số
Bài toán 8 Tính
A = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 + … + 99.100.101
Giải :
Ta tách thừa số thứ 2 trong mỗi hạng tứ như sau:
A = 1.3.( 5 – 3) + 3.5.( 7 – 3) + 5.7.( 9 -3) + … + 99.101.( 103 – 3)
= (1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 99.101.103 ) – ( 1.3.3 + 3.5.3 + … + 99.101.3 )
Trang 6Tổng : 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 99.101.103 chính là bài toán 4 Nên: A = ( 15 + 99.101.103.105): 8 – 3( 1.3 + 3.5 + 5.7 +… + 99.101)
Tổng: 1.3 + 3.5 + 5.7 +… + 99.101 chính là bài toán 2
Vì vậy: A = 13517400 – 3.171650 = 13002450
Với cách khai thác như trên ta có thể khai thác, phát triển các bài toán trên thành rất nhiều bài toán hay mà trong quá trình giải đ ̣òi hỏi học sinh phải có sự linh hoạt, sáng tạo
Trong các bài toán trên ta có thể thay đổi số hạng cuối cùng của dăy bằng số hạng tổng quát theo quy luật của dãy
Sang học kỳ II, các em học sinh lớp 6 gặp dạng toán tính tổng dạng phân số Để làm dạng toán này người ta dùng phương pháp khử liên tiếp các số hạng
Bài toán 9 Tính tổng sau:
4 3
1 3 2
1 2
.
1
1
* Hướng dẫn cách tìm lời giải:
Bài toán này có tổng của các phân số có tử là 1 còn mẫu của các phân số là 1.2; 2.3; 3.4; 100.101
Như vậy mẫu của các phân số là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp Cách giải bài toán này là biến đổi mỗi phân số đã cho thành hiệu của 2 phân số, biến dãy tính công thành dãy tính cộng và trừ
Chẳng hạn:
2
.
1
1
= 1 12 ; 21.3.12 31; … ; 1001.101= 1001 1011
Mục đích là ta đi triệt tiêu các số hạng đối nhau
* Cách giải:
4 3
1 3 2
1 2
.
1
1
4
1 3
1 3
1 2
1 2
1
1
1
+) Bài toán tổng quát:
Trang 7Tính tổng: S = ( 1 1)
4 3
1 3 2
1 2 1
1
n n
4
1 3
1 3
1 2
1 2
1 1
1
n
n n
n n
Bài toán 10 Tính tổng: P= 99.2101
7 5
2 5 3
2 3 1
2
* Phương pháp tìm lời giải:
Ta thấy P là tổng của các phân số có tử là 2, còn mẫu của các phân số là tích của 2 chữ số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị, do đó ta có thể viết mỗi phân số đó là hiệu của 2 phân số, phân số bị trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ nhất, phân số trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ 2
VD: 12.3 11 31; 32.5 13 51; 52.7 51 71; … ; 99.2101991 1011
Nên ta dễ dàng tính được tổng đã cho
* Cách giải:
7 5
2 5 3
2 3
.
1
2
=
101
1 99
1
7
1 5
1 5
1 3
1
3
1
1
1
= 1 1011 100101
+) Bài toán tổng quát:
101 99
2
7 5
2 5 3
2 3 1
2
n
7
1 5
1 5
1 3
1 3
1 1
1
n
n
n n
Bài toán 11 Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy sau:
61 ; 661 ; 1761 ; 3361 ;
* Phương pháp tìm lời giải:
Ta thấy các số hạng trong dãy số trên có tử là 1 còn mẫu là:
6; 66; 176; 336; Vậy trước hết ta phải viết các mẫu đó thành tích của
2 số nào đó và phải đi tìm số hạng thứ 100 của dãy
Trang 8Ta nhận thấy: 6= 1.6
66= 11.6
176= 11.16
336= 16.21
Ta thấy mẫu của các phân số này có quy luật là:
Tích của hai số có số tận cùng là 1 và một số tận cùng là 6
Trong 2 thừa số của mẫu số có một thừa số hơn thừa số còn lại là 5 đơn vị Vậy mẫu số của số thứ n của dãy số có dạng: (5n-4)(5n+1)
=> Mẫu của số thứ 100 của dãy số: (5.100-4)(5.100+1)=496.501
16 11
1 11 6
1 6 1
1
Tương tự như bài trên ta tách từng phân số thành hiệu của 2 phân số, ta nhận thấy : 11 61 15.6 => ) 11.6
6
1 1
1 ( 5
1
Tương tự như vậy 61 111 6.511 => ) 6.111
11
1 6
1 ( 5
1
4961 5011 4965.501 => ) 4961.501
501
1 496
1 ( 5
1
Từ đó ta tính được tổng A một cách dễ dàng
* Cách giải:
336
1 176
1 66
1
6
1
16 11
1 11
6
1 6
.
1
1
6
1
1
1
(
5
1
+ )
11
1 6
1 ( 5
1
16
1 11
1 ( 5
1
501
1 496
1 ( 5
1
501
1 496
1
16
1 11
1 11
1 6
1 6
1
1
501
1
1 =51.501500=100501
*) Bài toán tổng quát:
16 11
1 11 6
1 6
.
1
1
n n
Trang 9= )
6
1
1
1
(
5
1
+ )
11
1 6
1 ( 5
1
) 1 5 (
1 4
5 (
1 ( 5
1
1 5
1 1
n =51.55 1
n n
=5 n n 1
Bài toán 12 Tính tổng B= 37.381.39
5 4 3
1 4 3 2
1 3 2 1
1
* Hướng dẫn: Ta thấy các phân số trong tổng B đều có tử là 1 còn mẫu
của các phân số là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp Ta viết mỗi số hạng của tổng thành hiệu của hai số sao cho số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau Ta tách phân số bị trừ có tử là 1 còn mẫu là 2 số tự nhiên liên tiếp đầu, phân số trừ có tử cũng là 1 còn mẫu gồm có 2 số tự nhiên liên tiếp sau ( có 1 số giữa trùng nhau)
Ta thấy: 11.2 21.3 1.22.3 12 11.2 21.3 1.21.3
231 31.4 2.32.4 21 21.3 31.4 2.13.4
371.38 381.39 37.382.39 21 371.38 381.39 37.381.39
Tổng quát ta có thể áp dụng: ( 1 1) ( 1)(1 2) ( 12)( 2)
n n
* Cách giải:
5 4 3
1 4 3 2
1 3
.
2
.
1
1
3 2
1 2
.
1
1
2
1
4 3
1 3 2
1 2
1
39 38
1 38 37
1 2 1
39 38
1 38 37
1
4 3
1 3 2
1 3 2
1 2
.
1
1
2
1
39 38
1 2
.
1
1
2
1
39 38
1 2
1 2 1
= .74138.391
2
= .38740.39 2
1
= .370741 2
1
=185741
* Bài toán tổng quát:
5 4 3
1 4 3 2
1 3
.
2
.
1
1
) 2 )(
1 (
1
n
) 2 ).(
1 (
1 2
1 2
1
n n
Trang 10=
) 2 ).(
1 ( 2
2 ) 2 ).(
1 (
.
2
1
n n
n n
=(n4(n1).(1n).(n2)2)2
III Một số ứng dụng:
1 Ví dụ 1 Tìm số tự nhiên x biết rằng:
2000
1998 )
1 (
2
10
1
6
1
3
1
x x
*) Hướng dẫn cách tìm lời giải:
Trước hết ta xét phân số x(x21) ta nhận thấy phân số này có tử là 2, có mẫu là tích của 2 số liên tiếp, nên có thể viết:
)
1
(
2
x
1
1 1 2
x x
Vấn đề đặt ra là ta có thể biến đổi các phân số: ;
10
1
; 6
1
; 3
1
về dạng phân số có tử là 2 và mẫu là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp được không?
Để có tử là 2 cho các phân số trên, ta còn áp dụng tính chất cơ bản của phân số, cụ thể là:
3 2
2 3
.
2
2
.
1
3
1
; 61 16..22 32.4. ; 101 101..22 42.5
Như vậy vế trái của đẳng thức gồm các phân số có dạng tử là 2 còn mẫu là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp Cần tính tổng của các phân số ở vế trái để đưa bài toán về dạng tìm x đơn giản mà ta đã biết
*) Cách giải: Tìm x,biết: ( 2 1) 19982000
10
1 6
1 3
1
x x
Ta có thể viết đẳng thức đã cho như sau:
3
.
2
2
+
4 3
2
+
5 4
2
+…+ x(x21)=
2000 1998
) 1 (
1
5 4
1 4 3
1 3
.
2
1
x
x = 20001998
1
1 1
5
1 4
1 4
1 3
1
2
1
x
x = 19982000
1
1 2
1
x = 19982000 21 11
x = 19982000 :2 21 11
x =2000999