Toan THCS

Người giáo viên cần rèn luyện cho học sinh biết cách phát triển tư duy, biết biến đổi điều kiện của bài toán để được bài toán mới.. Không nhất thiết phải dạy cho học sinh giải nhiều bài

A- PHẦN MỞ ĐẦU

1) Cơ sở lý luận.

Để phát triển tư duy cho học sinh, người giáo viên cần quan tâm đến học sinh trong từng chi tiết nhỏ Nhân cách học trò được học hỏi, đúc rút từ nhiều người thầy, từ nhiều bộ môn khác nhau Giờ lên lớp của giáo viên đôi khi ít hoặc không chú ý đến vấn đề phát triển tư duy cho học sinh mà chỉ quan tâm đến vấn đề truyền tải hết tri thức khoa học

Với môn toán, nếu chỉ dạy cho học sinh về kiến thức toán học thôi thì chưa đủ Người giáo viên cần rèn luyện cho học sinh biết cách phát triển tư duy, biết biến đổi điều kiện của bài toán để được bài toán mới Không nhất thiết phải dạy cho học sinh giải nhiều bài toán trong cùng một thời gian Thay

vì thế, hãy giúp các em biết phát triển bài toán và giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau Nếu được như vậy tôi tin rằng những học sinh đó sau này sẽ biết tự biến đổi điều kiện cho phù hợp với bản thân chứ không sống như một cái máy biết nói

Vì vậy bản thân đưa ra đề tài “Phát triển tư duy cho học sinh lớp 7 qua bài toán tỷ lệ thức”.

Trong quá trình giảng dạy toán cần thường xuyên rèn luyện cho học sinh các phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn đối với việc học tập, rèn luyện và tu dưỡng trong cuộc sống của học sinh Đối với học sinh khá giỏi, việc rèn luyện cho các em tính linh hoạt, tính độc lập, sáng tạo, và cách khai thác bài toán, phát triển bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau Mỗi bài toán cần đưa ra, thêm bớt các các dữ kiện khác nhau để tạo thành các bài toán mới Hoặc dùng các câu hỏi khác nhau nhưng yêu cầu trả lời giống nhau Nhằm mục đích học sinh không bị bất ngờ trước các câu hỏi Từ đó giúp các em có thể tự lập phát triển bài toán hoặc đoán dạng toán và cách giải Đó là những điều kiện rất cần thiết trong việc học toán Chính vì vậy, việc dạy học sinh nói chung, việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi nói riêng không đơn thuần chỉ cung cấp cho các em

một số vốn thông qua việc làm bài tập càng nhiều, càng tốt, càng khó càng hay mà phải cần thiết rèn luyện khả năng sáng tạo toán học cho học sinh

2) Cơ sở thực tiễn.

- Qua 10 năm công tác giảng dạy và quản lý ở trường THCS Định Thành và các năm trước công tác tại huyện vùng cao Mường Lát, tôi nhận thấy việc học toán nói chung và bồi dưỡng học sinh khá giỏi toán nói riêng, muốn học sinh rèn luyện được tư duy sáng tạo trong việc học và giải toán thì bản thân mỗi người thầy cần phải đầu tư nhiều trong phương pháp Mỗi bài toán thầy đưa ra nên cung học sinh tìm tòi nhiều cách giải Từ đó có phương pháp và nhiều cách giải hay nhất

- Đặc biệt qua những năm giảng dạy thực tế ở trường trung học cơ sở Định Thành Một địa phương còn nhiều khó khăn trong kinh tế , điều đó ảnh hưởng không nhỏ đến việc nhận thức và đầu tư cho học sinh trong học tập Việc có được học sinh giỏi của môn Toán là một điều khó, đó là cả một sự nỗ lực của thầy và trò Tuy nhiên có nhiều nguyên nhân có cả khách quan và chủ quan

Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán tôi thấy phần kiến thức về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau là phần cơ bản và trọng tâm nhất trong chương trình Đại số lớp 7 Từ một tỷ lệ thức ta có thể chuyển thành một đẳng thức giữa 2 tích, trong một tỷ lệ thức nếu biết được 3 số hạng ta có thể tính được số hạng thứ tư Trong chương II, khi học về đại lượng tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức là một phương tiện quan trọng giúp ta giải toán

Trong phân môn Hình học, để học được định lý Talet, tam giác đồng dạng (lớp 8) thì không thể thiếu kiến thức về tỷ lệ thức

Mặt khác khi học tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỷ số bằng nhau còn rèn tư duy cho học sinh rất tốt giúp các em có khả năng khai thác bài toán, lập

ra bài toán mới

Vì vậy tôi tâm huyết với : “Phát triển tư duy cho học sinh lớp 7 qua bài toán tỷ lệ thức” Trong cả một thời gian dài kiểm nghiệm ở trường

của bản thân và đồng nghiệp

Với mục đích là rèn luyện khả năng sáng tạo Toán học, trước mỗi bài tập tôi

đã cho học sinh tìm nhiều cách giải, đồng thời người thầy giáo, cũng phải gợi

ý và cung cấp cho học sinh nhiều cách giải Trên cơ sở đó học sinh tự tìm ra cách giải hợp lý nhất Phát hiện ra được cách giải tương tự và khái quát phương phát đường lối chung Trên cơ sở đó với mỗi bài toán cụ thể các em

có thể khái quát hoá thành bài toán tổng quát và xây dựng các bài toán tương tự

Điều mong muốn thứ hai đó là mong muốn thay đổi phương pháp bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi từ trước đến nay Xây dựng một phương mới đó là rèn luyện khả năng sáng tạo Toán cho học sinh sao cho mọi lúc mọi nơi các em có thể tự phát huy năng lực độc lập sáng tạo của mình

B- PHẦN NỘI DUNG I.Cơ sở khoa học của đề tài

1 Định nghĩa, tính chất các tỉ lệ thức

a) Định nghĩa:

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số :

d

c b

a



Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, b và d gọi là trung tỉ

b) Tính chất

Tính chất 1 ( tính chất cơ bản):

Nếu a c

b  d thì ad = bc Tính chất 2 ( tính chất hoán vị)

Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức :

a

b c

d a

c b

d d

b c

a d

c b

a







Ta có thể minh hoạ bằng sơ đồ sau:

2) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

+ Từ tỉ lệ thức

d

c b

a

d b

c a d b

c a d

c b

a



















+ Mở rộng: từ dãy tỉ số bằng nhau

f

e d

c b

a





























f d b

e c a f d b

e c a f

e d

c b

a

( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

3.Chú ý:

b  d

ad = bc

c  a

+ Khi có dãy tỉ số

5 3 2

c b a



 ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5 ta cũng viết a:b:c = 2:3:5

+ Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức, từ tỉ lệ thức

d

c b

a

 , suy ra:

2 2

1 2

1 2

1 2

� � � �

� � � �

từ b a d c e f suy ra

3

;

� �

Thông qua việc giảng dạy học sinh tôi xin đút kết lại phần nội dung này gồm những dạng toán sau đây:

II Các dạng toán cơ bản:

Dạng 1. Tìm số hạng chưa biết

1.Tìm một số hạng chưa biết

a) Phương pháp: áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức

Nếu a c a d b c . a b c. ;b a d. ;c a d.

Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ

đã biết, muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết.

b) Bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Tìm x trong tỉ lệ thức sau ( bài 46 – SGK Đại số lớp 7)

0,52 : x = - 9,36 : 16,38

 

9,36 0.52.16,38 0,52.16,38

0,91 9,36

x x



�



�



Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể nâng mức độ khó hơn như sau :

a) 1 :2 1 :3 2

� � 

� �

� �

b) 0, 2 :11 2: 6 7

có thể đưa các tỉ lệ thức trên về tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi tìm x

Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13 a)

60 15

x

x







Giải : từ :

x

15





 Áp dụng phương pháp trên, ta có: x.x = (-15).(-60)

 x2 = 900

 x2 = 302

Suy ra x = 30 hoặc -30

Tương tự, giáo viên đưa ra hai ví dụ tương tự sau để học sinh rèn kỹ năng:

x

x

  ;

x

x

 



Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức

x x

 



Giải:

Cách 1: Từ: 3 5

x x

 



 (x – 3 ) 7 = (5 – x ) 5

 7x – 21 = 25 – 5x

 7x + 5x = 25 + 21

 12x = 46

 x =

6

5

3

x



Áp dụng tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

 

3 1

x

x



Bài tập 4: Tìm x trong tỉ lệ thức

       

�

�

�

Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do

đó sau khi biến đổi thì x2 bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

2.Tìm nhiều số hạng chưa biết

2.1)Xét bài toán cơ bản thường gặp sau:

Bài toán 1: Tìm các số x, y, z thoả mãn :

a  b c (1) và : x + y + z = d (2)

( trong đó a, b, c, a + b + c � 0 và a, b, c, d là các số cho trước)

Cách giải:

c

z b

y a

x





Từ đó suy ra: x = k.a = k.b = k.c

Thay vào (2), ta có : k.a + k.b + k.c

= d

a b c

 

Từ đó tìm được:

.

Cách 2: Áp dụng tính chất của dãy tỉ

số bằng nhau ta có

 

�

2.2).Hướng khai thác từ bài trên như sau:

+Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi điều kiện (2) như sau:

Bài toán 2: Tìm các số x, y, z thoả mãn :

a b c và x, y, z thoả mãn một trong các điều kiện sau :

* k x k y k z e1  2  3 

1 2 3

k x k y k z  f

*x.y.z = g

+Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) như sau:

Bài toán 3:

Tìm các số x, y, z thoả mãn :

x + y + z = d và x,y,z thoả mãn một trong các điều kiện sau :

a) a x1 a a y y2; 3  a z4

b) a x a y a y a z2  1 ; 4  3

c) b x b y b z1  2  3

d) b x b z1 3 b y b x2 1 b z b y3 2

e) 1 2 2 3 3

z b



+Thay đổi cả hai điều kiện

Bài toán 4: Tìm 3 số x, y, z biết

x  y z và x + y + z = 27

Giải:

Cách 1

Từ x + y + z = 27 ta suy ra

2k 3k 4k 27 � 9k 27 �k 3

Khi đó x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9;

z = 4.3 = 12

Vậy x = 6; y = 9; z = 12

Cách 2 áp dụng tính chất của dãy tỉ

số bằng nhau ta có :

3 9

27 4 3 2 4 3









x

 x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9;

z = 4.3 = 12

Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài toán sau:

Bài toán 5: Tìm 3 số x,y,z biết :

x  y z và 2x + 3y – 5z = -21

Giải:

- Cách 1: Đặt

x  y z=k

- Cách 2: Từ

x y z suy ra: 2 3 5

x  y  z

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

3 7

21 20

9 4

5 3 2 20

5 9

3 4

2





















x

Từ đó học sinh dẽ dàng tính được : x = 6 ; y = 9 ; z = 12

Bài toán 6: Tìm 3 số x, y, z biết

2x  3y  5z   405

Giải:

- Cách 1: Đặt

x  y z=k

- Cách 2: từ

x y z

Suy ra:

16 9 4

2 2

2 y z x







90

5 27

3 8

2x2 y2 z2





Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2 2 3 2 5 2 2 2 3 2 5 2 405 9

x  y  z  x  y  z   

Suy ra:

2

2 2

2

2

2

4

9

16

x

y

z

Vậy x = 6; y = 9; z = 12 hoặc x = -6; y = -9; z = -12

Bài toán 7: Tìm 3 số x, y, z biết

x  y z và x.y.z = 648

Giải:

- Cách 1: Đặt

x  y z= k

- Cách 2: Từ

 

3

3

3

648 27

8

x

� �

Từ đó tìm được y = 9; z = 12

Bài toán 8: Tìm x,y, z biết ;

x

  và x +y +z = 27

Giải: từ 6x 9y � 2x  3y

Từ

x � 

Suy ra

x  y z

Sau đó ta giải tiếp như bài tập 1

Bài toán 9: Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y+ z = 27

Giải: Từ 3 2

x y

x y� 

Từ 4 2

x z

x z� 

Suy ra

x  y z sau đó giải như bài tập 1

Bài toán 10: Tìm x, y, z biết 6x = 4y = 3z và 2x + 3y – 5z = -21

Giải: từ 6x = 4y = 3z 6 4 3

x  y z x  y z

Sau đó giải tiếp như bài tập 2

Bài toán 11: Tìm x, y, z biết 6 3 4 6 3 4

x z  y x  z y

và 2x +3y -5z = -21 Giải: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

0

 

�

Hay 6x = 4y = 3z sau đó giải tiếp như bài tập 6

Bài toán 12: Tìm x,y,z biết :

x  y  z

và x +y +z =27 Giải:

x  y  z

=k

- Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

1 9

18 27 9

18 4

3 2

8 6

4 4

8 3

6 2

4







































x

Nên ta có:

  1 

2

4

x

x = 6

  1 

3

6

y

y = 9

  1 

4

8

z

z = 12 Vậy x = 6; y= 9; z = 12

Dạng 2 : Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau

1) Các phương pháp :

Để Chứng minh tỷ lệ thức :a c

b d Ta có các phương pháp sau :

Phương pháp 1 : Chứng tỏ rằng : ad= bc

Phương Pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số a c;

b d có cùng một giá trị nếu trong đề bài

đã cho trước một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho

là k từ đó tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k

Phương pháp 3: Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau,

tính chất của đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh ) thành vế phải

Phương pháp 4: dùng tính chất hoán vị, tính chát của dãy tỷ số bằng nhau,

tính chất của đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh

2) Bài tập:

Bài tập 1

( Bài 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức: a c

b  d hãy suy ra tỷ lệ thức:a b c d

GIẢI:

Cách 1: Xét tích

 

  (1)(2)

a b c ac bc

a c d  ac ad

Từ a c ad bc(3)

b d � 

Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b).c=

a.(c-d) suy ra : a b c d

Cách 2: Đặt a c k a bk c dk,

b  d �  

Ta có:

 

 

(1),( 0)

b k

b

d k

d





Từ (1) và (2) suy ra: a b c d

Cách 3: từ a c b d

b d �a  c

Do đó: a b c d

Cách 4:

Từ







Cách 5: từ

a b c d

�

Bằng cách chứng minh tương tự từ tỉ lệ thức a c

b  d ta có thể suy ra các tỉ lệ

thức sau:

;

a b c d a b c d

�  �  (Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ)

Bài tập 2: chứng minh rằng nếu 2

a bc thì:

a) a b c a; )b a22 c22 c, (b 0)

(với a�b a c, � )

Lời giải:

a) - Cách 1: Xét tích chéo

- Cách 2: từ 2 a c

a bc

b a

Đặt a c k a bk c ak,

b  a �  

Ta có:

 

 

0 ,(2)

b k

b

a k

a





Từ (1) và (2) suy ra: a b c a

a b c a

- Cách 3: Ta có

 

 

2

2

a a b

do a bc

b c a c a

a b

b c a c a



Do đó: a b c a

a b c b

Ngược lại từ a b c a

a b c b

  ta cũng suy ra được a2 = bc

Từ đó ta có bài toán cho a b c a

a b c b

  chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều

khác 0 thì từ 3 số a, b, c có 1 số được dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức

- Cách 4: Từ a2 = bc

a b c a

a b c a

�

b)

- Cách 1: xét tích chéo ( a2 + c2)b = a2b + c2b = bc.b + c2b = bc (b +c)

= (b2 + a2)c = b2c + a2c = b2c + bc.c= bc ( b+c)

Do đó (a2 + c2)b = ( b2+ a2)c

2 2

2 2

�



- Cách 2: Từ a2 = bc a c

b a

�

Đặt a c k

b  a suy ra a = bk, c = ak = bk2

Ta có

 

   

2 2 2

2 2 2 2 2 4

2

2 2 2 2 2 2 2

2 2

1

1

k b

c k b

k



Do đó:

2 2

2 2



- Cách 3: từ a2 = bc a c

b  a

�

2 2 2 2

2 2 2 2 (1)



�



b a �b  b a� b �

Từ (1) và (2) suy ra:

2 2

2 2



2 2 2

b c



Do đó:

2 2

2 2



Bài tập 3: Cho 4 số khác 0 là a a a a thoả mãn 1, , ,2 3 4 2 3

a a a a a a chứng tỏ

3 3 3

1 2 3 1

3 3 3

2 3 4 4

Giải:

Từ

(1) (2)

a a

Từ (1) và (2) suy ra

3

3 3

3 3 3

2 3 4 2 3 4 2 3 4 4

(3)

a  a a �a a a a a a� �  a

áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

(4)

Từ (3) và (4) suy ra:

Ta cũng có thể chuyển bài tập 3 thành bài tập sau:

2 3 4

a  a a chứng minh rằng

3

1 2 3 1

2 3 4 4

Bài tập 4: Biết bz cy cx az ay bx

Chứng minh rằng x y z

a b c

Giải: Ta có bz cy cx az ay bx abz acy2 bcx baz2 cay cbx2

abz acy bcx bay cay cbx

 

abz acy bz cy

bcx baz2 0 bcx baz cx az z x(2)

Từ (1) và (2) suy ra: x y z

a  b c

Bài tập 5: Cho

c b a

z c

b a

y c

b a

x















z y x

c z

y x

b z

y

x

a















 2 2 4 4 (với abc 0và các mẫu đều khác 0)

Lời giải:

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

) 1 ( 9

2 2

2 4 4

4 2

2 2

2 4

2 4

4 2

z y x c b a c b a c b a

z y x c

b a

y c

b a

z c

b a

y c

b

a















































) 2 ( 9

2 ) 4 4 ( 2

4 2

2 4

2

2 4

4 2

z y x c b a c b a c b a

b y x c

b a

x c

b a

z c

b a

y c

b

a















































) 3 ( 9

4 4 4

4 ) 4 4 8 ( 4

8

4

4 4

4 4 8

4 4

8 4

4 4

4 2

2

c

z y x c b a c b a c

b

a

z y x

c b a

y c

b a

x c

b a

z c

b a

y c

b

a

x

























































Từ (1),(2),(3) suy ra

c

b y x b

z y x a

z y x

9

4 4 9

2 9













suy ra

z y x

c z

y x

b z

y

x

a















Các bài tập tham khảo

Bài tập 1: Cho 3 tỉ số bằng nhau là : a b c

b c c a  a b

Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó

Bài tập 2: Cho biểu thức P x y y z z t t x

z t t x x y z y

y z t  z t x t x y  x y z

Bài tập 3 :Cho a,b,c là ba số khác 0 thoả mãn điều kiện

a b c b c a c a b

.Hãy tính giá trị của biểu thức B 1 b 1 a 1 c

Bàitập 4: Cho dãy tỉ số bằng nhau :

2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d

Tìm giá trị của biểu thức M biết : M a b b c c d d a

Bài tập 6: Tìm x,y biết : 1 2 1 4 1 6 (1)

x