skkn toán THCS

skkn toán THCS PHÂN TÍCH ĐA THỨC THAM KHẢO

MỤC LỤC:

A.MỞ ĐẦU

I Đặt vấn đề

1.Thực trạng của vấn đề đòi hỏi phải có giải pháp mới để giải quyết

2.Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới

3 Phạm vi nghiên cứu đề tài

I Mục tiêu: Nêu rõ nhiệm vụ của đề tài

II Mô tả giải pháp của đề tài

1 Thuyết minh tính mới

2 Khả năng áp dụng

- Thời gian áp dụng hoặc thử nghiệm có hiệu quả

- Có khả năng thay thế giải pháp hiện có

- Khả năng áp dụng ở đơn vị hoặc trong ngành

3 Lợi ích kinh tế xã hội

-Thể hiện rõ lợi ích có thể đạt được đến quá trình giáo dục ,công tác

-Tính năng kỹ thuật ,chất lượng ,hiệu quả sử dụng

-Tác động xã hội tích cực ,cải thiện môi trường , điều kiện lao động

C.KẾT LUẬN

- Những điều kiện ,kinh nghiệm áp dụng ,sử dụng giải pháp

-Những triển vọng trong việc vận dụng và phát triển giải pháp

- Đề xuất , kiến nghị

A.MỞ ĐẦU:

I.ĐẶT VẤN ĐỀ :

1 Thực trạng của vấn đề đòi hỏi phải có giải pháp mới để giải quyết :

Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những chuyên đề khó củachương trình toán THCS

Đặt thù loại toán này rất đa dạng và phong phú Tùy theo mỗi bài toán mà có cáchgiải khác nhau Nói chung đứng trước một bài toán phân tích đa thức thành nhân tửhọc sinh rất phân vân không biết lựa chọn cách giải nào phù hợp và vận dụng kiếnthức nào để giải rất dễ lang mang và dẫn đến bế tắc

Trong quá trình dạy học không những học sinh trung bình , yếu khó khăn khigặp loại toán này mà kể cả những học sinh khá giỏi cũng nhiều lúng túng nhất lànhững bài toán đòi hỏi linh hoạt vận dụng sáng tạo Đứng trước tình hình đó bản thântôi đã cố gắng tìm hiểu , tham khảo một số sách , chọn lọc,phân dạng hệ thống lại một

số phương pháp thường gặp để hướng dẫn học sinh giải bài tập ở loại toán này

2.Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới:

Tài liệu này viết xong đem ra áp dụng bước đầu thấy có kết quả , học sinh đãgiải được một số bài không phức tạp lắm và làm tư liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Qua

đó các em hứng thú học tập hơn ,góp phần phát triển tư duy phẩm chất trí tuệ ,giáodục đức tính tốt , chăm chỉ , cần cù , chịu khó ,kiên trì , nhẫn nại làm việc đến nơi đếnchốn đào tạo con người mới đầy phẩm chất tốt đẹp

3.Phạm vi nghiên cứu đề tài:

Về kiến thức : Kiến thức chương trình THCS cơ bản ,nâng cao và mở rộng

Về tài liệu nghiên cứu : Nghiên cứu một số sách tham khảo liên quan đến chủ đềphân tích đa thức thành nhân tử , một số bài tập tự tìm hiểu và hệ thống có lo gich theo từng nhóm để hướng dẫn học sinh mở rộng một số phương pháp mà sách giáo khoa chưa đề cập đến , mở rông một số bài tập tư duy cao hơn ở sách giáo khoa, nhưng không vượt quá tầm kiến thức toán THCS

Đặc thù môn toán ,nội dung chương trình sắp xếp theo một trật tự lo gich từ đầu đến cuối , từ thấp đến cao , từ đơn giản đến phức tạp Những điều như vậy khi giải quyết bài toán phải có sự lo gich chặt chẽ , tính liên tục để đi đến kết quả cuối cùng Tiếp thu một kiến thức giải một bài toán học sinh đã trải qua các thao tác tư duy :,phân tích , tổng hợp , trừu tượng hóa ,cụ thể hóa Do đó trong quá trình giải toán học sinh luôn suy nghĩ để hành động tìm ra giải pháp để giải quyết vấn đề Quá trình đó đã rèn học sinh khả năng phát triển tư duy trí tuệ

Phát triển được môn toán giúp các em vận dụng tốt vào các môn học khác như hóa học, vật lý …Qua giải toán rèn các em đức tính :chịu khó , cẩn thận ,tỉ mỉ , thận

trọng, chính xác ,suy luận chặt chẽ ,… có phương pháp làm việc khoa học , sắp xếp hợp lý trước sau để giải quyết vấn đề

Hướng dẫn học sinh giải một bài toán luôn ý thức có thể có nhiều cách giải khác nhau, nên nhìn bài tập ở nhiều khía cạnh khác nhau Từ đó phải linh hoạt trong suy nghĩ và hành động

Trong tình hình dạy học môn toán hiện nay , học sinh thường phân hóa hai đốitượng ở hai cực rõ rệt , hoặc đối tượng khá giỏi hoặc đối tượng yếu kém , học sinhtrung bình chiếm tỉ lệ thấp Có nghĩa là số em học được ngày càng tiến bộ thì vươnlên , ngược lại số em học không được ngày càng sa sút và đi đến chỗ không có khảnăng giải được bài tập với yêu cầu tối thiểu Điều đó người giáo viên đứng lớp cầnphải suy nghĩ , học toán các em gặp phải khó khăn gì , tìm mọi cách giúp các em vươnlên từng bước học sinh yếu vươn lên trung bình , học sinh trung bình dần dần vươnlên khá , học sinh khá vươn lên giỏi , phác hiện học sinh năng khiếu Đó là hiệu quảtốt nhất của người đứng trên bục giảng

Vì tính đa dạng trong việc giải bài tập toán , người học sinh cần có kỹ năng vậndụng kiến thức đã học một cách linh hoạt và sáng tạo Người ta thường nói vui : Conđường giải toán nhiều lúc thật là thiên biến vạn hóa , cùng một bài toán có thể cónhiều cách giải khác nhau , các em thường bối rối không biết lựa chọn con đường nàonhất là bài toán khó

Trong hoạt động dạy học , khi học qua mỗi phần , mỗi chương ,chúng ta cần hệthống lại chỉ ra các dạng toán thường gặp , các phương pháp điễn hình thường sửdụng để học sinh có kỹ năng giải toán như là một vũ khí trong tay khi ra chiếntrường

Khi dạy qua kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8 , đây là một chủ đề khóđối với học sinh , nhưng phần bài tập lại rất đa dạng và phong phú Nhiều lúc đứngtrước một bài tập học sinh không biết giải bằng con đường nào Đặc biệt học sinhthường gặp ở trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp trường , cấp huyện …

Bản thân đã tự tìm kiếm trong các sách tham khảo, phân dạng ,hệ thống lại , liệt

kê một số phương pháp thường gặp để giúp học sinh đồng thời cũng làm tư liệu bồidưỡng nâng cao năng lực giải toán cho học sinh

Thời gian qua tôi đã lấy chủ đề này dạy cho học sinh , thấy học sinh làm đượctương đối tốt Khi học xong các em làm được bài thấy rất phấn khởi hứng thú tronghọc tập

2.Các biện pháp tiến hành , thời gian tạo ra giải pháp

Trên cơ sở kiến thức cơ bản ở sách giáo khoa các em đã học , tôi hệ thống lại một cách trật tự, phương pháp vận dụng , vận dụng phù hợp cho từng dạng toán , mở rộng một số phương pháp ở sách giáo khoa chưa đề cập để bồi dưỡng học sinh khá giỏi chẳng hạn phương pháp dùng hệ số bất định , phương pháp sử dung định lý Bơ

Du , phương pháp đặt ẩn phụ… rất lợi ích trong chứng minh các bài toán chia hết , rútgọn … Đầu học kỳ I năm học 2015-2016 tôi nghiên cứu và biên soạn đề tài này trong thời gian hai tuần , sau đó tiến hành dạy cuối đợt kiểm tra và đánh giá mức độ tiếp thu của học sinh thấy có khả quan tiến bộ hơn nhiều cùng kỳ năm ngoái khi chưa biên soạn đề tài

B.NỘI DUNG:

I.MỤC TIÊU:

Nhiệm vụ của đề tài : Giải quyết vấn đề khó khăn khi học sinh đứng trước một

bài toán PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Chỉ cho các em một sốphương pháp thường gặp để các em biết lựa chọn phương pháp phù hợp từng dạngkhi gặp một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử hoặc bài toán cần phân tíchthành nhân tử để giải quyết một vấn đề khác ,chẳng hạn các bài toán chia hết,rút gọnmột biểu thức, giải phương trình tích… Chủ đề phân tích đa thức thành nhân tử làmột chủ đề khó trong chương trình toán THCS , thời gian dạy các em ít nhưng toánrất đa dạng và phong phú , các em thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi , cáccâu nâng cao ở học kỳ và là tiền đề cơ sở để học lên cấp THPT Do vậy việc biênsoạn đề tài này nhằm giúp các em có năng lực giải toán để từ đó học tập tiến bộhơn

II.MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI:

1.Thuyết minh tính mới :

Hệ thống : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ1.1)Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung AB+AC-AD=A(B+C-D)

1.2)Phương pháp 2:Nhóm hạng tử rồi đặt nhân tử chung

AB+AC-BD-CD=(AB+AC) - (BD+CD)=A(B+C) - D(B+C)=(B+C)(A-D)

(x64+y64) (x32+y32) (x16 +y16) (x8+y8) (x4+y4) (x2+y2)(x2 – y2)

=(x64+y64) (x32+y32) (x16 +y16) (x8+y8) (x4+y4) (x2+y2)(x+y)(x – y)

Bài 1 : Phân tích thành nhân tử A=ab(a-b)-ac(a+c)+bc(2a+c-b)

Hdẫn : khai triển A=ab(a-b)-a2c-ac2+2abc+bc2-b2c =ab(a-b)-c(a2-2ab+b2)-c2

(a-b)= = (a - b)(b – c)(a+c)

1.4)Phương pháp 4:Tách 1 hạng tử rồi nhóm

Ví dụ :x2-x-6 = x2+2x-3x-6 = x(x+2)-3(x+2) = (x+2)(x-3)

Bài 2: Phân tích thành nhân tử y4+4y2-5

 cách 1: tách -5=-1-4 và nhóm (y4-1)+(4y2-4)= =(y2+5)(y-1)(y+1)

 cách 2:tách -5=4-9 và nhóm (y4+4y2+4)-9=(y2+2)2-32= =(y2+5)(y-1)(y+1)Bài 3: Phân tích thành nhân tử x3-19x-30

 cách 1: tách -30=8-38 và nhóm (x3+8)-19x-38= (x+2)(x+3)(x-5)

=(x3+23)-19(x+2)= =(x+2)(x+3)(x-5)

 cách 2: -19x=-10x-9x và nhóm (x3-9x)-10x-30=

Bài 4: Phân tích thành nhân tử a3-7a-6

 cách 1:tách -7a=-a-6a và nhóm (a3-a)-6a-6= a(a-1)(a+1)-6(a+1)= (a+1)(a2-a-6)

= (a+1) (a-3) (a+2)

cách 2: a3-7a-6 = a3 +8 -7a -14 = … = (a+1) (a-3) (a+2)

kết quả = (x8+y8-x4y4)( x4+y4-x2y2) (x2+y2-xy) (x2+y2+xy)

Bài 8 : Phân tích thành nhân tử x4+6x3+7x2-6x+1

Hdẫn:tách hạng tử rồi nhóm lại để xuất hiện nhân tử chung x2+3x-1

E=[(a-y)-(x-y)]y3-(a-y)x3+(x-y)a3= =(a-y)(y3-x3)-(x-y)(y3-a3)=

=(a-y)(y-x)(y2+xy+x2-a2-ay-y2)=(a-y)(y-x)[y(x-a)+(x-a)(x+a)]=(a-y)(y-x)(x-a)

(x+y+a)

1.5)Phương pháp 5: Thêm,bớt cùng một hạng tử rồi nhóm

Phân tích thành nhân tử x4+4y4

Hướng dẫn : x4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x2y2=(x2+2y2)2-(2xy)2=(x2+2y2+2xy) (x2+2y2-2xy)Bài 10 : Phân tích thành nhân tử x8+4

Hướng dẫn: thêm bớt 4x4 và nhóm ( x8+4x4+4)- 4x4 rồi dùng hằng đẳng thức ,kết quả (4x4-2x2+2) (4x4+2x2+2)

Bài 11 : Phân tích thành nhân tử a4+b4

Hdẫn: thêm bớt 2a2b2 và dùng hằng đẳng thức

Bài 1 2 : Phân tích thành nhân tử 81x4+4

Hdẫn: chú ý 81x4+4=(9x2)2+22 có dạng a2+b2 nên ta thêm bớt 2ab rồi dùng hằng đẳng thức

Bài 1 3 : Phân tích thành nhân tử x5+x4+1

Hdẫn :thêm bớt hạng tử để làm xuất hiện nhân tư chung x2+x+1

 cách 1: x5+x4+1=( x5+x4+x3)-(x3+x2+x)+(x2+x+1)=x3(x2+x+1)-x(x2+x+1)+( x2+x+1) = (x3-x+1)( x2+x+1)

( x2+x+1)(x6-x4+x3-x+1)

Bài 1 5 : Phân tích thành nhân tử x8+x+1

 cách 1: thêm bớt x7,x6,x5,x4,x3,x2,x như cách 1 bài 17

a10+a5+1=(a10-a)+(a5-a2)+(a2+a+1)=a(a3-1)(a6+a3+1)+ a2(a3-1)+(a2+a+1)

=a(a-1) (a2+a+1) (a6+a3+1)+ a(a-1) (a2+a+1)+ (a2+a+1)

= (a2+a+1)[ a(a-1)(a6+a3+1)+a(a-1)+1]=> kết quả như trên

Bài 17 : Phân tích thành nhân tử a2b2(b-a)+b2c2(c-b)-a2c2(c-a) ( *)

 cách 1: chú ý c-b=-[(b-a)-(c-a)]

vậy (*) viết là a2b2(b-a)-b2c2[(b-a)-(c-a)]-a2c2(c-a)=[a2b2(b-a)-b2c2(b-a)]+

[b2c2(c-a)-a2c2(c-a)]=b2(b-a)(a-c)(a+c)+c2c)(ab+ac+bc)

(c-a)(b+a)(b-a)= =(a-b)(a-c)(b- cách 2:(*) viết là a2b2(b-a)+b2c3-b3c2-a2c3+a3c2= a2b2(b-a)+c3(b+a)(b-a)-c2(b3-a3)

=a2b2(b-a)+c3(b+a)(b-a)-c2(b-a)(b2+ab+a2)= =(b-a)[c2b(c- b)+c2b)-a2(c2-b2)= = kết quả

a(c-Bài 18 : Phân tích thành nhân tử Q=x(y2-z2)+y(z2-x2)+z(x2-y2)

 cách 1: =xy2-xz2+yz2-yx2+zx2-zy2=y2(x-z)+xz(x-z)-y(x2-z2)=(x-z)[y2y(x+z)]=(x-z)[z(x-y)-y(x-y)]=(x-z)(x-y)(z-y)

+xz- cách 2: chú ý y2-z2=-[(z2-x2)+(x2-y2)]

Q=-x[(z2-x2)+(x2-y2)]+y(z2-x2)+z(x2-y2)=-x(z2-x2)-x(x2-y2)+y(z2-x2)+ z(x2-y2) =(z2-x2)(y-x)-(x2-y2)(x-z)=(x-z)(x+z)(x-y)-(x-y)(x+y)(x-z)

 Chú ý:Nếu tam thức bậc 2 :ax2+bx+c có b2-4ac 0 thì ta tiếp tục phân tích ra thừa số được nữa.

VD: x2-x+2 có a=1,b=-1,c=2 (-1)2-4.1.2=1-8=-7<0 nên x2-x+2 không thể phân tích được nữaBài 19: Phân tích thành nhân tử a10+a5+1

 cách 3: đặt a5=x => a10+a5+1=x2+x+1

ta có x2+x+1= => a10+a5+1= = =

= thương =a8-a7+a5-a4+a3-a+1 => kết quả

Bài 2 0 : Phân tích thành nhân tử A=9(x2-x)2 -14(x2-x) + 24

Bài 2 2 : Phân tích thành nhân tử (x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8) +2x2

Hdẫn : đặt y= x2+4x+8 => y2+3xy+2x2=(y2+2yx+x2)+(xy+x2)=(y+x)2+x(y+x)= (y+x)

(y+x+x)= (y+x)(y+2x)= kết quả =(x2+5x+8)(x+2)(x+4)

Bài 2 3 : Phân tích thành nhân tử (x2+x+1)2+3x(x2+x+1)+2x2

tự giải: tương tự bài 26 =>kết quả (x+1)2(x2+3x+1)

Bài 2 4 : Phân tích thành nhân tử 27x3-27x2+18x-4

Hdẫn: đặt y=3x => y3-3y2+6y-4 có 1 nghiệm y=1

kết quả =(3x-1)(9x2-6x+4)

1.7)Phương pháp 7:phối hợp nhiều phương pháp

Bài 25 : Phân tích thành nhân tử a2-a-6

Bài 26 : Phân tích thành nhân tử y8+y4+4

Hướng dẫn: tách y4= 2y4- y4 và nhóm (y8+2y4+1)- y4 rồi dùng hằng đẳng thức

Bài 2 7 : Phân tích thành nhân tử B=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24

Hdẫn:nhận xét 1+4=2+3=5 nên ta nhóm (x+1)(x+4) và (x+2)(x+3),khai triển từ đó đặt

ẩn phụ rồi giải như bài 23 ở trên

ta có [(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]-24=(x2+5x+4)( x2+5x+6)-24

đặt t= x2+5x+4 => x2+5x+6=t+2

vậy t(t+2)-24=t2+2t-24= (t2+2t+1)-25=(t+1)2-52=(t+6)(t-4)

=> (x2+5x+4+6)( x2+5x+4-4)=( x2+5x+10)( x2+5x)=x(x+5)( x2+5x+10)

 chú ý: x2+5x+10 không thể phân tích được nữa vì ta có 52-10.4.1=25-40<0

Bài 2 8 : Phân tích thành nhân tử 4(x2+15x+50)(x2+18x+72)-3x2

vậy (1) viết thành

bc(b+c)+ac[(b+c)-(a+b)]-ab(a+b)=bc(b+c)+ac(b+c)-ac(a+b)-ab(a+b)=(b+c)(bc+ac)-(a+b)(ac+ab)=(b+c)c(a+b)-(a+b)a(c+b)=(a+b)(b+c)(c-a)

 cách 2: bc(b+c)+ac(c-a)-ab(a+b) =bc(b+c)+ac2-ac2-a2b-ab2=bc(b+c)-a(b-c)(b+c)-a2(b+c)=(b+c)(bc-ab+ac-a2)=(b+c)[c(a+b)-a(a+b)]= (a+b)(b+c)(c-a)

Bài 3 0 : Phân tích thành nhân tử M=x3(x2-7)2-36x

Hdẫn : đặt nhân tử chung ,áp dụng A2B2=(AB)2 và dùng hằng đẳng thức

Ví dụ : Phân tích thành nhân tử a2-a-6

Giải: ta viết a2-a-6=(a+m)(a+n) => a2-a-6= a2+(m+n)a+m.n => =>

m =-3, n=2

a2-a-6=(a-3)(a+2)

Ví dụ: Phân tích thành nhân tử B=x4-2x3-3x2+4x+4

dùng phương pháp hệ số bất định:

vì x4 có hệ số là 1 nên B=(x2+ax+b)2=x4+a2x2+b2+2ax3+2bx2+2abx

= x4+2ax3+2abx+b2+(a2+2b)x2

vậy x4-2x3-3x2+4x+4 = x4+2ax3+2abx+b2+(a2+2b)x2

đồng nhất hai vế ta được giải được a=-1,b=-2

vậy B=(x2-x-2)2

1.9)Phương pháp 9:sử dụng định lí Bơ –du :Nếu đa thức f(x) có nghiệm x=a thì f(x) chia hết cho (x-a)

Bài 3 1 : Phân tích thành nhân tử x3-19x-30

 cách 3: ta có x =-2 là nghiệm của đa thức : x2-19x-30 vì (-2)38+38-30=0

-19(-2)-30=-nên x3-19x-30 chia cho x+2 được thương là x2-2x-15

vậy x3-19x-30=(x+2)( x2-2x-15)

tiếp tục phân tích x2-2x-15= =(x+3)(x-5)

Bài 4: Phân tích thành nhân tử a3-7a-6

 cách 2:nhẩm a = -1 là 1 nghiệm của đa thức a3-7a-6 nên a3-7a-6=(a+1)(a2-a-6)=(a+1)( a2+2a-3a-6)= =(a+1)(a+2)(a-3)

Bài 32 : Phân tích thành nhân tử x3+4x2-7x-10

Hdẫn: thử với x =-1 thì x3+4x2-7x-10=0 nên

 cách 1: lấy x3+4x2-7x-10 chia cho (x+1) ta được thương là x2+3x-10 rồi tiếp tụcphân tích thương này

giải : x3+4x2-7x-10=(x+1)( x2+3x-10)=(x+1)(x2+5x-2x-10)= =(x+1)(x+5)(x-2)

 cách 2:trước hết hãy tách hạng tử của đa thức đã cho có nhân tử chung là x+1

x3+4x2-7x-10=x3+x2+3x2+3x-10x-10 nhóm từng cặp hạng tử,đặt nhân tử

chung

Bài 33 : Phân tích thành nhân tử a3-6a2+11a-6

Hdẫn : thử với x=1 thì a3-6a2+11a-6=0 giải như bài 14 ở trên,kết quả(x-1)(x-2)(x-3)Bài 34 : Phân tích thành nhân tử x4-x3-3x2+5x-2

Hdẫn: ta có x=1 là một nghiệm của đa thức đã cho vì (14-13-3.12+5.1-2=0)

Lấy x4-x3-3x2+5x-2 chia cho x-1 được thương x3-3x+2

Bài 3 5 : Phân tích thành nhân tử E=a(b+c)(b2-c2)+b(c+a)(c2-a2)+c(a+b)(a2-b2)

Hdẫn :xem đa thức đã cho như đa thức bậc 3 đối với a thay a=b ta được

E= b(b+c)(b2-c2)+b(c+b)(c2-b2)+c(b+b)(b2-b2)=b(b+c)(b2-c2)- b(b+c)(b2-c2)=0

do đó đa thức E chia hết cho a-b.vì a,b,c vai trò như nhau nên đa thức E cũng chia hếtcho b-c,c-a vậy E=(a-b)(b-c)(c-a).Q (*) trong đó Q là đa thức bậc nhất đối với a.vìvai trò a,b,c như nhau nên b,c cũng có mặt trong Q ở bậc nhất ,tức

Q=A.a+B.b+C.c,trong đó A,B,C là các số nào đó.rõ ràng A,B,C có vai trò như nhau nên A=B=C.do đó viết là E=A(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).để tính A,ta thay chẳng hạn a=2,b=1,c=0 =>-6A=-6,A=1 vậy E=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)

Bài 3 6 : Phân tích thành nhân tử C=4x2y2(2x+y)+y2z2(z-y)-4z2x2(2x+z)