00 mo dau ve nguyen ham baigiang

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Group thảo luận bài tập : www.facebook.com/groups/Thayhungdz I.. KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM Cho hàm số fx liên

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Group thảo luận bài tập : www.facebook.com/groups/Thayhungdz

I NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức dy=df x( )= y dx' = f '( )x dx

Ví dụ:

d(x2 – 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx

d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx

Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau

2

d x = dx⇒dx= d x

3

d x = dx⇒dx= d x

x

xdx d  d x d x a d a x

x

x dx d  d x d x a d a x

=  = = ± = − −

ax

+

2

2

ax b dx ax b d ax b d ax b xdx d x

2

ax

2

+

ax

2

+

II KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM

Cho hàm số f(x) liên tục trên một khoảng (a; b) Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) và

được viết là∫f x dx( ) Từ đó ta có : ∫f x dx( ) =F x( )

Nhận xét:

Với C là một hằng số nào đó thì ta luôn có (F(x) + C)’ = F’(x) nên tổng quát hóa ta viết ∫f x dx( ) =F x( )+C , khi đó F(x) + C được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x) Với một giá trị cụ thể của C thì ta được một nguyên hàm của hàm số đã cho

Ví dụ:

Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x2 + C, vì (x2 + C)’ = 2x

Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx

III CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM

Tài liệu bài giảng (Combo S.A.T)

01 MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM

Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95

Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục và tồn tại các nguyên hàm tương ứng F(x) và G(x), khi đó ta có các tính chất sau:

a) Tính chất 1: ( ∫f x dx( ) )′ = f x( )

Chứng minh:

Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có ( f x dx( ) )′=(F x( ))′= f x( )⇒

b) Tính chất 2: ( ∫ [f x( )+g x dx( )] )=∫f x dx( ) +∫g x dx( )

Chứng minh:

Theo tính chất 1 ta có, ( f x dx( ) + g x dx( ) ) (′= f x dx( ) ) (′+ g x dx( ) )′= f x( )+g x( )

Theo định nghĩa nguyên hàm thì vế phải chính là nguyên hàm của f(x) + g(x)

Từ đó ta có ( ∫ [f x( )+g x dx( )] )=∫f x dx( ) +∫g x dx( )

c) Tính chất 3: ( ∫k f x dx ( ) )=k f x dx∫ ( ) ,∀ ≠k 0

Chứng minh:

Tương tự như tính chất 2, ta xét (k f x dx∫ ( ) )′ =k f x ( )→∫k f x dx ( ) =k f x dx∫ ( ) ⇒đpcm

d) Tính chất 4: ∫f x dx( ) =∫f t dt( ) =∫f u du( )

Tính chất trên được gọi là tính bất biến của nguyên hàm, tức là nguyên hàm của một hàm số chỉ phụ thuộc vào hàm,

mà không phụ thuộc vào biến

IV CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM

Công thức 1: dx x C∫ = +

Chứng minh:

Thật vậy, do (x+C)′=1⇒∫dx= +x C

Chú ý:

Mở rộng với hàm số hợp u=u x( ), ta được du∫ = +u C

Công thức 2:

n 1

n 1

+

+

∫

Chứng minh:

Thật vậy, do

Chú ý:

+) Mở rộng với hàm số hợp u=u x( ), ta được

1

1

n

n

+

+

∫

+) Với n 2 dx2 1 C du2 1 C

= − ⇒∫ = − + ←→∫ = − +

Ví dụ:

a)

3

2

3

x

x dx= +C

∫

5

x

x + x dx= x dx+ xdx= +x +C

c)

2

3

1

3

−

n

n

f)

2

2 1

du u

d x dx

+

I =∫ x+ dx= ∫ x+ d x+ ⇒I = x+ + =C x+ +C

Công thức 3: dx ln x C

x = +

∫

Chứng minh:

Thật vậy, do ( ) 1

′

Chú ý:

+) Mở rộng với hàm số hợp u=u x( ), ta được du lnu C

u = +

∫

ln

1

ln 2

dx

x k C

d ax b

ax b C

dx

ax b a ax b a

k x C

k x







∫

∫

Ví dụ:

a)

4

2 ln 4

dx x

ln 3 2

du u

d x dx

+

d x

+

Công thức 4: sinx∫ dx= −cosx+C

Chứng minh:

Thật vậy, do (−cosx+C)′=sin x⇒∫sinxdx= −cosx+C

Chú ý:

+) Mở rộng với hàm số hợp u=u x( ), ta được sinu∫ du= −cosu+C

2

Ví dụ:

d x dx

−

5

2

cos ln 2 1

x

d x dx

−

c) sin sin sin 3

2

x

x x dx

∫

Ta có 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )

d  dx dx d  d x dx dx d x d x dx dx d x

Từ đó :

x

c x c x C

Công thức 5: cos∫ xdx=sinx+C

Chứng minh:

Thật vậy, do (s xin +C)′=cosx⇒∫cosxdx=sinx+C

Chú ý:

+) Mở rộng với hàm số hợp u=u x( ), ta được cosu∫ du=sinu+C

2

Ví dụ:

x

−

x

x+ x−x dx= xdx+ xdx− xdx= x− x− +C

x xdx= − dx=  − x dx = x− xd x = x− x+C

Công thức 6: 2 tan

cos

dx

x C

x = +

∫

Chứng minh:

1

dx

′

Chú ý:

+) Mở rộng với hàm số hợp u=u x( ), ta được 2 tan u

os

du

C

c u = +

∫

+)

d ax b

+

Ví dụ:

dx

b)

2

2

tan 2 1 ln 5 4

du

c)

3 2

tan 3 2

du

c u

dx

−

Công thức 7: 2 cot x

sin

dx

C

x = − +

∫

Chứng minh:

1

sin

dx

sin x x

′

Chú ý:

+) Mở rộng với hàm số hợp u=u x( ), ta được 2 cot u

sin

du

C

u = − +

∫

+)

d ax b

+

Ví dụ:

a)

6

b)

2

sin

1 3

cot 1 3 cot 1 3

du u

d x dx

−

2

2

du u

x d

 

 

Công thức 8:∫e dx x = +e x C

Chứng minh:

Thật vậy, do (e x +C)′=e x⇒∫e dx x = +e x C

Chú ý:

+) Mở rộng với hàm số hợp u=u x( ), ta được ∫e du u = +e u C

1

ax

1 2

e dx e C







∫

∫

Ví dụ:

3

2 1

cot 3 8

x

e− + x x C

e + +c − x dx= e + dx+ c − x dx= e + d x+ − c − x d − x

3 2

sin 1 3

x

Công thức 9:

ln

x

a dx C

a

∫

Chứng minh:

′

Chú ý:

+) Mở rộng với hàm số hợp u=u x( ), ta được ∫a du u =a u+C

+) kx m 1 kx m ( ) 1 kx m

a dx a d kx m a C

Ví dụ:

a du

I =∫ + dx=∫ dx+∫ dx= ∫ d x + ∫ d x → =I + +C

x

−

Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

• 0dx∫ =C

• dx∫ = +x C

1

x

+

+

α

• 1dx ln x C

∫

∫

ln

x

a

∫

• cos∫ xdx=sinx C+

• sin∫ xdx= −cosx C+

cos x dx = x C +

∫

sin x dx = − x C +

∫

a

∫

a

∫

• e ax b dx 1e ax b C a, ( 0)

a

∫

+

∫

Ví dụ 1: [Tham khảo] Điền vào chỗ trống ???

1) x2– 3x 1 dx

x

∫

2)

4

2

2 3

x

dx

x

∫

3) x 21dx

x

∫

4)

2

( 1)

x

dx

x

x+ x+ x dx=

∫

6)

3

1 2

dx

∫

7) 2 sin2

2

x

dx=

∫

8)∫tan2xdx=

cos xdx=

∫

10) 2 1 2

sin x.cos x dx=

∫

11) 2cos 2 2 sin cos

x

dx

∫

12) 2 sin 3 cos 2∫ x xdx=

13)∫e x(e x– 1)dx=

14) 2 2

cos

x

x

−

∫

15) 3 1 2

1

x

+

Ví dụ 2: [Tham khảo] Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:

a) f x( )=x3−4x+5; F(1) 3= b) f x( ) 3 5cos ;= − x F( ) 2π =

c)

2

3 5

x

−

2

x

x

+

2

1

1

x

 

 

3

2

x

i)

2

( 1)

x

( ) sin ;

x

 

Ví dụ 3: [Tham khảo] Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):

a)

2





F x =∫ x + x− dx=x + x − x c+ ⇒m=

b)

2 2

( )

Tìm m x

f x



+



=





2

3 5

2 3

d x x x

+

Ví dụ 4: [Tham khảo] Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):

a)

2





F x =∫ x− x − xdx= x − x ⇒a= b= − c=

b)

2

( ) ( 3)

x x

Tìm a b c



= −



F x =∫ x− e dx=xe − e ⇒a= b= c= −

Ví dụ 5: [Tham khảo] Cho hàm số g(x) Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:

a)  π

 

2

2

HD: f x( )=xsinx⇒F x( )=∫xsinxdx

Do ( ) 2 ( )

g x = x x + → x g x = x − x x + x

b) g x( )=xsinx x+ 2; ( )f x =xcos ;x F( ) 0π =

HD: f x( )=xcosx⇒F x( )=∫xcosxdx

Do ( ) 2 ( )

g x = x x + → x g x = x + x x + x

c) g x( )=xlnx x+ 2; ( ) ln ;f x = x F(2)= −2

HD: f x( )=lnx⇒F x( )=∫lnxdx

g x = x x + → x g x = x + + x

lnxdx g x 2x 1 xlnx x x x C xlnx x C

Suy ra ⇒ F x ( ) = x ln x − + x 2 ln 2

Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn