KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM Cho hàm số fx liên tục trên một khoảng a; b.. Hàm Fx được gọi là nguyên hàm của hàm số fx nếu F’x = fx và được viết là∫f x dx.. Với một giá trị cụ thể của C thì
Trang 1I NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức dy=df x( )= y dx' = f '( )x dx
Ví dụ:
d(x2
– 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx
d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx
Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau
2
3
x
x
ax
+
2
2
2
ax
2
+
ax
2
+
II KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM
Cho hàm số f(x) liên tục trên một khoảng (a; b) Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) và
được viết là∫f x dx( ) Từ đó ta có : ∫f x dx( ) =F x( )
Nhận xét:
Với C là một hằng số nào đó thì ta luôn có (F(x) + C)’ = F’(x) nên tổng quát hóa ta viết ∫f x dx( ) =F x( )+C , khi đó F(x) + C được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x) Với một giá trị cụ thể của C thì ta được một nguyên hàm của hàm số đã cho
Ví dụ:
Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x2
+ C, vì (x2 + C)’ = 2x
Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx
III CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM
Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục và tồn tại các nguyên hàm tương ứng F(x) và G(x), khi đó ta có các tính chất sau:
a) Tính chất 1: ( ∫f x dx( ) )′ = f x( )
Chứng minh:
Tài liệu tham khảo:
01 MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có ( f x dx( ) )′=(F x( ))′= f x( )⇒
b) Tính chất 2: ( ∫ [f x( )+g x dx( )] )=∫f x dx( ) +∫g x dx( )
Chứng minh:
Theo tính chất 1 ta có, ( f x dx( ) + g x dx( ) ) (′= f x dx( ) ) (′+ g x dx( ) )′= f x( )+g x( )
Theo định nghĩa nguyên hàm thì vế phải chính là nguyên hàm của f(x) + g(x)
Từ đó ta có ( ∫ [f x( )+g x dx( )] )=∫f x dx( ) +∫g x dx( )
c) Tính chất 3: ( ∫k f x dx ( ) )=k f x dx∫ ( ) ,∀ ≠k 0
Chứng minh:
Tương tự như tính chất 2, ta xét (k f x dx∫ ( ) )′ =k f x ( )→∫k f x dx ( ) =k f x dx∫ ( ) ⇒đpcm
d) Tính chất 4: ∫f x dx( ) =∫f t dt( ) =∫f u du( )
Tính chất trên được gọi là tính bất biến của nguyên hàm, tức là nguyên hàm của một hàm số chỉ phụ thuộc vào hàm,
mà không phụ thuộc vào biến
IV CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM
Công thức 1: dx x C∫ = +
Chứng minh:
Thật vậy, do (x+C)′=1⇒∫dx= +x C
Chú ý:
Mở rộng với hàm số hợp u=u x( ), ta được du∫ = +u C
Công thức 2:
n 1
n 1
+
+
∫
Chứng minh:
Thật vậy, do
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u=u x( ), ta được
1
1
n
n
+
+
∫
Ví dụ:
a)
3
2
3
x
x dx= +C
∫
5
x
x + x dx= x dx+ xdx= +x +C
c)
2
3
1
3
−
n
Trang 3e) ( )2010 1 ( )2010 ( ) (1 3 )2011
n
f)
2
du u
dx
+
Công thức 3: dx ln x C
∫
Chứng minh:
′
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u=u x( ), ta được du lnu C
∫
ln ax
1
dx
d ax b
dx
−
∫
∫
Ví dụ:
a)
4
4
ln 3 2
du u
dx
+
+
Công thức 4: sinx∫ dx= −cosx+C
Chứng minh:
Thật vậy, do (−cosx+C)′=sin x⇒∫sinxdx= −cosx+C
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u=u x( ), ta được sinu∫ du= −cosu+C
2
Ví dụ:
dx
−
5
2
x
dx
−
c) sin s inx sin 3
2
x
x dx
∫
Từ đó :
( ) ( )
Trang 41 1
x
Công thức 5: cos∫ xdx=sinx+C
Chứng minh:
Thật vậy, do (s xin +C)′=cosx⇒∫cosxdx=sinx+C
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u=u x( ), ta được cosu∫ du=sinu+C
2
Ví dụ:
x
−
x
Công thức 6: 2 tan
cos
dx
∫
Chứng minh:
1
dx
′
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u=u x( ), ta được 2 tan u
os
du
C
∫ +
( ) ( ( ) ) ( )
d ax b
+
Ví dụ:
dx
b)
2
( )
2
du
c)
2
os
3 2
tan 3 2
du
c u
dx
−
Công thức 7: 2 cot x
sin
dx
C
∫
Chứng minh:
1
sin
dx
′
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u=u x( ), ta được 2 cot u
sin
du
C
∫ +
( ) ( ( ) ) ( )
ax
+
Ví dụ:
Trang 5a)
6
b)
2
sin
1 3
du u
dx
−
2
2
du u
x d
Công thức 8: x x
e dx= +e C
∫
Chứng minh:
Thật vậy, do (e x +C)′=e x⇒∫e dx x = +e x C
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u=u x( ), ta được ∫e du u = +e u C
1
ax
1 2
∫
∫
Ví dụ:
3
2 1
cot 3 8
x
( )
3 2
sin 1 3
x
Công thức 9:
ln
x
a
∫
Chứng minh:
′
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u=u x( ), ta được ∫a du u =a u+C
Ví dụ:
a du
b) ( 1 2 4 3) 1 2 4 3 1 1 2 ( ) 3 4 3 ( ) 21 2 3 4 3
x
−
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
I =∫ x + x dx 2) I2 17 33 x5 dx
x
Trang 64) 4 3 2
5
x x
x
4
2x 3
x
+
=∫
7) ( )2
7
1
x
x
−
4
x
x
+
=∫
10)
x
2
11
x
3
13)
3
13
1
x
2
1
x
3 15
2x 3x
x
−
=∫
x
=
−
x
x
+
=
−
∫
19) 19 sin π
x
3
x
2
x
∫
x
23 cos
2
x
24 sin
2
x
26) 26 2
cos 4
dx
I
x
( )
dx I
x
=
−
29) I29 =∫tan4x dx 30) I30=∫cot2x dx 31)
( )
dx I
x
=
+
∫
32) 32
1 cos 6
dx
I
x
=
−
∫ 33) I33 x2 12 cot2x dx
x
∫ 34) 34 2 1 dx
x
+
∫
35) 35 sin2 1
2 5
x
−
∫ 36) 36 2dx
3
x I x
+
=
−
x
x
−
= +
∫
38) 38
6 5
x
x
=
−
2
39
11 3
x
+ +
=
+
2
40
1
x
− +
=
−
∫
41)
41
2
x
=
+
∫ 42)
42
x
=
+
2
43
x
=
+
∫
44) I44 =∫e− +2x 3dx 45) I45 =∫cos(1− +x) e3x−1dx 46) I46=∫x e − +x2 1dx
sin (3 1)
x
x
−
+
cos
x
x
−
∫ 49) ( 1 2 4 3)
50) 50 1
2x
7
x
x