VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN I.. KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM Cho hàm số fx liên tục trên một khoảng a; b.. Hàm Fx được gọi là nguyên hàm của h
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
I NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức dy=df x( )= y dx' = f '( )x dx
Ví dụ:
d(x2 – 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx
d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′ dx = (cosx – 2sinx)dx
Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau
2
3
x
= = = ± = − −
x
= = = ± = − −
ax
+
2
2
2
ax
2
+
ax
2
+
= = − + → = −
II KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM
Cho hàm số f(x) liên tục trên một khoảng (a; b) Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) và
được viết là∫f x dx( ) Từ đó ta có : ∫f x dx( ) =F x( )
Nhận xét:
F(x) + C được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x) Với một giá trị cụ thể của C thì ta được một nguyên hàm của hàm số đã cho
Ví dụ:
Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x2 + C, vì (x2 + C)’ = 2x
Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx
III CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM
Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục và tồn tại các nguyên hàm tương ứng F(x) và G(x), khi đó ta có các tính chất sau:
a) Tính chất 1: ( ∫f x dx( ) )′ = f x( )
01 MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
Trang 2Chứng minh:
Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có ( f x dx( ) )′=(F x( ))′= f x( )⇒
b) Tính chất 2: ( ∫ [f x( )+g x dx( )] )=∫f x dx( ) +∫g x dx( )
Chứng minh:
Theo tính chất 1 ta có, ( f x dx( ) + g x dx( ) ) (′= f x dx( ) ) (′+ g x dx( ) )′= f x( )+g x( )
Theo định nghĩa nguyên hàm thì vế phải chính là nguyên hàm của f(x) + g(x)
Từ đó ta có ( ∫ [f x( )+g x dx( )] )=∫f x dx( ) +∫g x dx( )
c) Tính chất 3: ( ∫k f x dx ( ) )=k f x dx∫ ( ) ,∀ ≠k 0
Chứng minh:
Tương tự như tính chất 2, ta xét (k f x dx∫ ( ) )′ =k f x ( )→∫k f x dx ( ) =k f x dx∫ ( ) ⇒đpcm
d) Tính chất 4: ∫f x dx( ) =∫f t dt( ) =∫f u du( )
Tính chất trên được gọi là tính bất biến của nguyên hàm, tức là nguyên hàm của một hàm số chỉ phụ thuộc vào hàm,
mà không phụ thuộc vào biến
IV CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM
Công thức 1: dx x C∫ = +
Chứng minh:
Thật vậy, do (x+C)′=1⇒∫dx= +x C
Mở rộng với hàm số hợp u=u x( ), ta được du∫ = +u C
Công thức 2:
n 1
n 1
+
+
∫
Chứng minh:
Thật vậy, do
+) Mở rộng với hàm số hợp u=u x( ), ta được
1
1
n
n
+
+
∫
= − ⇒∫ = ∫ = + ←→∫ = +
= − ⇒∫ = − + ←→∫ = − +
Ví dụ:
a)
3
2
3
x
∫
5
x
c)
2
3
1
3
−
n
Trang 3e) ( )2010 1 ( )2010 ( ) (1 3 )2011
n
f)
2
du u
dx
+
Công thức 3: dx ln x C
∫
Chứng minh:
Thật vậy, do ( ) 1
′ + = ⇒∫ = +
+ Mở rộng với hàm số hợp u=u x( ), ta được du lnu C
∫
ln ax
1
dx
dx
∫
∫
Ví dụ:
a)
4
4
ln 3 2
du u
dx
+
+
Công thức 4: sinx∫ dx= −cosx+C
Chứng minh:
Thật vậy, do (−cosx+C)′=sin x⇒∫sinxdx= −cosx+C
+ Mở rộng với hàm số hợp u=u x( ), ta được sinu∫ du= −cosu+C
2
Ví dụ:
dx
−
5
2
x
dx
−
c) sin s inx sin 3
2
x
x dx
∫
Từ đó :
Trang 41 1
x
Công thức 5: cos∫ xdx=sinx+C
Chứng minh:
Thật vậy, do (s xin +C)′=cosx⇒∫cosxdx=sinx+C
+ Mở rộng với hàm số hợp u=u x( ), ta được cosu∫ du=sinu+C
2
Ví dụ:
x
−
x
Công thức 6: 2 tan
cos
dx
∫
Chứng minh:
1
dx
′
+) Mở rộng với hàm số hợp u=u x( ), ta được 2 tan u
os
du
C
∫ +)
+
Ví dụ:
dx
b)
2
2
tan 2 1 ln 5 4
du
c)
2
os
3 2
tan 3 2
du
c u
dx
−
Công thức 7: 2 cot x
sin
dx
C
∫
Chứng minh:
1
sin
dx
′
+) Mở rộng với hàm số hợp u=u x( ), ta được 2 cot u
sin
du
C
∫ +)
ax
+
Ví dụ:
Trang 5a)
6
b)
2
sin
1 3
du u
dx
−
2
2
du u
x d
Công thức 8: x x
∫
Chứng minh:
Thật vậy, do (e x +C)′=e x⇒∫e dx x = +e x C
+) Mở rộng với hàm số hợp u=u x( ), ta được ∫e du u = +e u C
1
ax
1 2
∫
∫
Ví dụ:
3
2 1
cot 3 8
x
3 2
sin 1 3
x
Công thức 9:
ln
x
a
∫
Chứng minh:
′
+) Mở rộng với hàm số hợp u=u x( ), ta được ∫a du u =a u+C
+) kx m 1 kx m ( ) 1 kx m
+ = + + = + +
Ví dụ:
a du
x
−
Trang 6Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
• 0dx∫ =C
• dx∫ = +x C
1
x
+
+
α
• 1dx ln x C
∫
e dx=e +C
∫
ln
x
a
∫
• cos∫ xdx=sinx C+
• sin∫ xdx= −cosx C+
∫
∫
• cos(ax b dx) 1sin(ax b) C a( 0)
a
∫
• sin(ax b dx) 1cos(ax b) C a( 0)
a
∫
• e ax b dx 1e ax b C a, ( 0)
a
∫
+
∫
LUYỆN TẬP TỔNG HỢP
Ví dụ 1: [ĐVH] Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết rằng
( ) (4 1)
x
x
4
( ) 4 tan 4 tan 3
c)
2 2
4 ( ) ln
3 2 ( )
x
F x
x x
f x
−
2 2 2 4
2 1 ( ) ln
2 1
( )
1
x x
F x
x x x
f x
x
−
Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm các nguyên hàm sau
1) x2– 3x 1 dx
x
∫
2)
4
2
x
dx
x
∫
3) x 21dx
x
∫
4)
2 2
2
( 1)
x
dx
x
x+ x+ x dx=
∫
6)
3
dx
∫
7) 2 sin2
2
x
dx=
∫
Trang 79) ∫cos2 xdx=
10) 2 1 2
sin x.cos x dx=
∫
11) 2cos 2 2 sin cos
x
dx
∫
12) 2 sin 3 cos 2∫ x xdx=
13) x( x– 1)
e e dx=
∫
14) 2 2
cos
x
x
−
∫
15) 3 1 2
1
x
+
Ví dụ 3: [ĐVH] Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
c)
2
3 5
x
−
2
x
x
+
2
1
1
x
3
2
x
i)
2
x
( ) sin ;
x
BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số g(x) Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
2
2
b) g x( )=xsinx x+ 2; ( )f x =xcos ;x F( ) 0π =
c) g x( )=xlnx x+ 2; ( ) ln ;f x = x F(2)= −2
Bài 2: [ĐVH]. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
a)
2
Tìm m
2 2
( )
Tìm m x
f x
+
=
Bài 3: [ĐVH]. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
Trang 8a)
2
Tìm a b c
2
x x
Tìm a b c
= −
Bài 4: [ĐVH]. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
a)
x x
Tìm a b c
−
−
2 2
x x
Tìm a b c
−
−
Bài 5: [ĐVH]. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
( ) cos
b)
2 2
( )
Tìm a b c
f x
x
=
−
Bài 6: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
x
= −
5
x x
= − +
x
4
2x 3
x
+
=∫
Bài 7: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
7
1
x
x
−
4
x
x
+
=∫
10)
3x 2x x 1
x
+ − +
2 11
x
3
= −
Bài 8: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
13)
3
13
1
x
= −
2
1
x
= +
3 15
2x 3x
x
−
=∫
(2 3)
x
=
−
( 3)
x
x
+
=
−
∫
Bài 9: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
19) 19 sin π
2 7
x
= +
3
x
2
x
= +
∫
22) 22 sin 3 π sin 1
x
= + −
23 cos
2
x
24 sin
2
x
Bài 10: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
26) 26 2
cos 4
dx
I
x
cos 2 1
dx I
x
=
−
28 tan 2
29 tan
30 cot
sin 2 3
dx I
x
=
+
Bài 11: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
32) 32
1 cos 6
dx
I
x
=
−
1 cot dx
x
= + +
34
1 dx
x
= +
+
∫
35) 35 sin2 1
2 5
x
−
3
x I x
+
=
−
x
x
−
= +
∫
Tính các nguyên hàm sau:
Trang 938) 38
6 5
x
x
=
−
2 39
11 3
x
+ +
=
+
2 40
1
x
− +
=
−
∫
41)
41
2
x
+ + +
=
+
42
x
+ −
=
+
2 43
x
+ +
=
+
∫
Bài 13: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
46 x
sin (3 1)
x
x
−
+
cos
x
x
−
49 2 x x
Bài 14: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
50) 50 1
2x
7
x
x
