Lý thuyết sai số _ luyện thi cao học

Khi quan sát một vài sai số ngẫu nhiên đơn lẻ thì khó có thể phát hiện được quy luật xuất hiện của chúng; nhưng khi nghiên cứu một tập hợp nhiều sai số ngẫu nhiên trong cùng điều k

ĐỀ CƯƠNG HƯỚNG DẪN ÔN TẬP DỰ TUYỂN CAO HỌC

MÔN: LÝ THUYẾT SAI SỐ

(Ban hành kèm theo Quyết định số: /QĐ-TĐHHN ngày tháng năm 2018)

II Nội dung đề cương

1 Giá trị đo trong trắc địa, nguyên nhân gây ra sai số đo và phân loại sai số đo

- Giá trị đo trong trắc địa

2.1.1 Phép đo và sai số đo

Đo một đại lượng nào đó thực chất là so sánh nó với đơn vị đo cùng loại Cũng

có thể hiểu phép đo là một phép thử và kết cục của một phép thử là một trị đo.

Đo trực tiếp là so sánh trực tiếp đại lượng cần đo với đơn vị đo tương ứng Trong thực tế không phải lúc nào cũng tiến hành đo trực tiếp, nếu đại lượng cần đo phải xác định thông qua các đại lượng đo trực tiếp khác thì gọi là đo gián tiếp Khi đo trong điều kiện đo như nhau thì kết quả có cùng độ chính xác; ngược lại, kết quả đo sẽ không cùng độ chính xác nếu điều kiện đo khác nhau

Có thể hiểu sai số đo là hiệu số giữa trị đo với trị thực gọi là sai số thực (i ), hoặc hiệu số giữa trị đo với trị gần đúng nhất ( trị xác suất nhất) gọi là sai số gần đúng (vi ).

i = Li - X vi = Li - x

(2.1) Trong đó: Li - trị đo; X - trị thực ;

x - trị xác suất nhất ( trị gần đúng nhất)

- Nguyên nhân gây ra sai số đo

- Phân loại sai số đo

• Sai số sai lầm

• Sai số hệ thống

• Sai số ngẫu nhiên

1 Các đặc tính của sai số ngẫu nhiên

Sai số ngẫu nhiên sinh ra do ảnh hưởng tổng hợp của nhiều nguồn sai số, chúng luôn luôn tồn tại trong kết quả đo, xuất hiện biến thiên phức tạp cả về dấu và trị số

Khi quan sát một vài sai số ngẫu nhiên đơn lẻ thì khó có thể phát hiện được quy luật xuất hiện của chúng; nhưng khi nghiên cứu một tập hợp nhiều sai số ngẫu nhiên trong cùng điều kiện độ chính xác thì theo lý thuyết xác suất chúng xuất hiện theo bốn quy luật sau:

-Quy Luật giới hạn: Trong cùng điều kiện đo, trị số các sai số ngẫu nhiên không vượt qua một giới hạn nhất định, giới hạn này chỉ thay đổi khi điều kiện đo thay đổi

-Quy luật tập trung: Những sai số ngẫu nhiên có trị tuyệt đối nhỏ thường xuất hiện nhiều hơn những sai số ngẫu nhiên có trị tuyệt đối lớn

-Quy luật đối xứng: các sai số ngẫu nhiên âm và dương có trị tuyệt đối bằng nhau đều

có khả năng xuất hiện như nhau

-Quy luật triệt tiêu: Giới hạn của trị trung bình cộng các sai số ngẫu nhiên sẽ dần tới không khi số lần đo tăng lên vô hạn. 

n   n

2 Các tiêu chuẩn đánh giá độ chính xác.

- Phương sai và sai số trung phương

Sai số trung phương là giới hạn của căn bậc hai số trung bình cộng của bình phương các sai số thực độc lập khi số lần đo tăng lên vô hạn

1-5-3 Trong thực tế số lần đo không thể tăng lên vô cùng, mà chỉ là một số hữu hạn vì vậy trong thực tế thường dùng công thức gần đúng sau

1-5-4

- Sai số trung bình

Sai số trung bình là giới hạn của số trung bình cộng giá trị tuyết đối các sai số thực độc lập khi số lần đo n tiến đến vô cùng

1-5-1

Vì trong thực tế, vì n là một số hữu hạn nên người ta dùng công thức gần đúng sau đây để tính sai số trung bình

- Sai số xác suất

Sai số xác suất là giá trị của sai số ngẫu nhiên nào đó, mà các sai số có giá trị tuyết đối lớn hơn hoặc nhỏ hơn nó, đều có khả năng xuất hiện như nhau

- Cách tính sai số xác suất: Sắp xếp sãy sai số thực theo giá trị tuyệt đối tăng dần hoặc giảm dần nếu ký hiệu sai số xác suất là r ta có:

+ khi n là số lẻ:

1-5-5 + khi n là số chẵn:

1-5-6 Trong đó: ∆ là sai số thực, n là số lượng các sai sô thực dãy trị đo

- Sai số giới hạn

Trong một dãy trị đo nếu trị đo nào sai số vượt quá giới hạn thì trị đo đó không đảm bảo độ chính xác và không dùng để xử lý kết quả đo Giá trị của sai số giới hạn phụ thuộc chủ yếu vào điều kiện đo

Trong thực tế số lần đo là có hạn Sai số cá giá trị lớn hơn 3 lần sai số trung phương rất ít có khả năng xuất hiện vì vậy thường lấy 3 lần sai số trung phương làm sai số giới hạn Gọi ∆max là sai số giới hạn ta có:

Trong trường hợp yêu cầu độ chính xác cao người ta lấy:

 1   2    n

Nếu cho biết sai số giới hạn sẽ biết được khoảng cách xuất hiện sai số ngẫu nhiên và có thể tìm được sai số trung phương, trên cơ sở đó xác định phương pháp đo, máy móc dụng cụ đo để đảm bảo độ chính xác theo yêu cầu

- Hiệp phương sai và hệ số tương quan thực nghiệm

2.2.1 Sai số trung bình cộng

Là trị trung bình cộng các trị tuyệt đối các sai số thực thành phần, được xác định bởi công thức:

   [  ] 

n

 2 12  2    2 n

n

Trong đó các i là các sai số thực thành phần; n là số lần đo

2.2.2 Sai số trung phương

Là căn bậc hai của trị trung bình cộng của bình phương các sai số thực thành phần:

2.2.3 Sai số giới hạn

Ta biết giới hạn sai số đo phụ thuộc vào điều kiện đo Trị đo nào đó có sai số vượt qua giới hạn đó số sẽ được coi là không đảm bảo độ chính xác Qua khảo sát 1000 sai số ngẫu nhiên trong cùng điều kiện đo, chỉ có ba sai số ngẫu nhiên có trị số bằng ba lần sai số trung phương; điều đó có nghĩa là những sai số có trị số lớn như vậy xuất hiện rất hữu hạn Vì thế quy định sai số giới hạn là 6lim = 3m; trong trắc địa công trình 6lim = 2m

3 Sai số trung phương của hàm các đại lượng đo

- Hàm số dạng tuyến tính

- Hàm số dạng phi tuyến tính

4 Nguyên tắc ảnh hưởng bằng nhau

5 Xác định ma trận hiệp phương sai theo luật lan truyền hiệp phương sai

6 Khái niệm về đại lượng phụ thuộc và hệ số tương quan

7 Trọng số

- Định nghĩa trọng số

Trọng số là một đại lượng bổ trợ cho việc tính toán cùng một lúc kết quả đo không cùng độ chính xác, được tính bằng tỷ lệ nghịch với sai số trung phương

- Trọng số của trị đo

Trong đó: C là hằng số tự chọn ( C = 1) sao cho P thành con số tiện lợi nhất nhưng chọn thống nhất cho 1 dãy giá trị đo

Trị đo có sai số trung phương là thì trọng số của trị đo là:

1-6-2 Nếu chọn C = 2 thì: Pi = 1 gọi là tri đo có trọng số đơn vị

- Trọng số của hàm các trị đo

+ Hàm có dạng tổng quát:

F = f(x 1 ,x 2 ,x 3 ,…x n ) thì trọng số được xác định:

Trong đó: PF là trọng số của hàm, Pi là trọng số của đại lượng đo xi + Hàm có dạng tuyến tính:

Ta có:

Khi đó trọng số được xác định:

+ Hàm có dạng tổng hoặc hiệu:

Ta có:

Khi đó trọng số được xác định:

+ Trọng số của trị trung bình trọng số:

8 Trị trung bình và đánh giá độ chính xác dãy trị đo của cùng một đại lượng

- Xử lý dãy số liệu đo cùng độ chính xác

- Xử lý dãy số liệu đo không cùng độ chính xác

9 Đánh giá độ chính xác của dãy trị đo kép

- Đánh giá độ chính xác theo dãy trị đo kép cùng độ chính xác

- Đánh giá độ chính xác theo dãy trị đo kép không cùng độ chính xác

10 Bình sai điều kiện:

- Cơ sở lý thuyết;

Để xác định được tọa độ của các điểm trong lưới trắc địa mặt phẳng, độ cao các điểm trong lưới độ cao, người ta không chỉ đo đủ các yếu tố cần thiết như: lưới mặt bằng, lưới độ cao, để tính ra chúng Ngoài ra còn đo thêm nhiều hơn trị đo cần thiết để có trị đo thừa Các trị đo thừa tạo lên điều kiện để người đo đạc cá thể kiểm tra kết quả đo nâng cao

độ chính xác các yếu tố cần tìm

Khi xuất hiện một trị đo thừa ta có thể dựa vào quan hệ hình học giữa các yếu tố trong mạng lưới để lập một phương trình điều kiện toán học ràng buộc trị bình sai của trị đo

đó với bình sai các trị đo khác hoặc với số liệu gốc trong lưới Khi đó r trị đo thừa ta sẽ lập được r phương trình điều kiện Nhiệm vụ của bình sai là chỉnh lý kết quả đo để tìm giá trị xác xuất nhất của đại lượng đo thỏa mãn đồng thời tất cả các phương trình trên

- Xác định lượng trị đo thừa trong lưới trắc địa;

Giả sử trong tam giác đo 3 góc: góc1, góc 2, góc 3 góc 1’, góc 2’, góc 3’ là trị bình sai của 3 góc trong tam giác

Ta viết được góc 1’ + góc 2’ + góc 3’ = 180o

Vì các góc đo chưa sai số do vậy để tìm được giá trị xác suất nhất (trị sau bình sai) của các góc ta đi tìm số hiệu chỉnh của các góc đo vi

6

v1 + v2 + v3 + w = 0

Khi đó r trị đo thừa ta có r phương trình điều kiện số hiệu chỉnh Việc giải bài toán

để tìm số hiệu chỉnh vi theo nguyên tắc số bình phương nhỏ nhất tức là: [pvv] = min, đồng thời phải thỏa mãn r phương trình điều kiện Đó là thực chất của bài toán bình sai điều kiện

- Các dạng phương trình điều kiện (trong lưới độ cao và lưới mặt bằng);

• Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh dạng khép vòng:

Trong đó:

Ý nghĩa: tổng chênh cao sau bình sai của một phương trình thủy chuẩn khép kín phải bằng 0

Trong đó: sau chênh cao sau bình sai

• Phương trình điều kiện khép độ cao 2 điểm gốc

Trong đó:

– (

- Lập và giải hệ phương trình chuẩn số liên hệ;

- Tính sai số trung phương trọng số đơn vị và đánh giá độ chính xác trong bình sai điều kiện

11 Bình sai gián tiếp

- Cơ sở lý thuyết;

Trong thực tế chúng ta thường gặp những đại lượng cần tìm không phải là tị đo trực tiếp, mà là các hàm trị đo trực tiếp Nếu trong mạng lưới trắc địa tiến hành n trị đo Li để tiến hành bình sai gián tiếp ta chọn t ẩn số độc lập là các địa lượng cần tìm Có nhiều phương án để chọn số song các ẩn số được chọn phải đảm bảo tính độc lập và đủ Để xác định t ẩn số là x, y, …t chúng ta sẽ lập đi n quan hệ hàm số để biểu diễn giá trị bình sai của các đại lượng đo với giá trị ẩn cần nói trên Vd trong lưới độ cao ác ẩn số có thể chọn là bình sai của độ cao các điểm cần xác định còn trong lưới mặt bằng ẩn số thường được chọn là tọa độ X,Y của điểm cần xác định

- Các dạng phương trình số hiệu chỉnh (trong lưới độ cao và lưới mặt bằng);

• Trong lưới độ cao

1 Xác định số ẩn số

Số ẩn số trong lưới độ cao bằng số trị đo cần thiết, xác đinh theo công thức:

Lưới độ cao tự do: t = p – 1 với p là tổng điểm trong lưới

Lưới độ cao phụ thuộc: t = p - p* với p* là điểm đã biết độ cao

2 Thành lâp phương trình số hiệu chỉnh

- Lập và giải hệ phương trình chuẩn;

- Tính sai số trung phương trọng số đơn vị và đánh giá độ chính xác trong bình sai gián tiếp

III Tài liệu tham khảo

1 Đặng Nam Chinh, Nguyễn Xuân Bắc, Bùi Thị Hồng Thắm, Trần Thị Thu Trang,

Ninh Thị Kim Anh (2013), Giáo trình Lý thuyết sai số,Trường Đại học Tài nguyên và Môi

trường Hà Nội

2 Hoàng Ngọc Hà, Trương Quang Hiếu (2003), Cơ sở toán học xử lý số liệu Trắc địa, NXB Giao thông vận tải, Hà Nội.

8