Sổ tay luyện thi toán học tại nhà

Lúc đó có 3 điểm cực trị là A, B, C tạo thành tam giác cân tại đỉnh 24 Hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác vuông vuông cân có 3 nghiệm phân biệt và ABC là tam giác vuông tại 25 Hà

Trang 1

Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sưu tầm và biên soạn.

4 Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx : * Đẳng cấp bậc 2: Cách giải: i Xét

trường hợp ii Xét trường hợp , chia 2 vế cho ta được pt bậc 2 theo tanx:

, ta được pt bậc 2 theo .Kết luận nghiệm: gộp 2 trường hợp

hợp cosx=0 ii Xét trường hợp cosx≠0, chia 2 vế cho ta được p/trình bậc 3 theo tanx:

,.ta được pt bậc 3 theo Kết luận nghiệm: gộp 2 trường hợp

5 Phương trình đối xứng theo sinx và cosx

*

*CÔNG THỨC VÀ CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Trang 2

 Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ

 ĐƠN ĐIỆU 

Nếu thì hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định , hàm số đồng biến trên tập

hàm số nghịch biến trên tập Ex: Tìm m để các hàm số: a) luôn nghịch biến

 CỰC TRỊ 

2) Hàm số có cực trị có nghiệm và đổi dấu (nếu thì

3) Hàm số có 2 cực trị Hàm số có cđ, ct Hàm số có cực (nếu trị ) có 2 phân biệt

4) Để tính giá trị cực trị của hàm số ta có 2 cách: Giả sử , lúc đó Suy ra các giá trị cực trị của hàm số:

Nếu nghiệm của không được đẹp ( ) thì ta tính theo các bước sau:

+ Bước 1: Thực hiện phép chia cho ta có : (hay chia cho ta có: )

Thực ra, có công thức khó nhớ : + Bước 2: Do nên Từ đây đường thẳng đi qua CĐ, CT có phương trình : 5) Tìm m để hàm số có 2 cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng (D): bước 1: Viết phương trình đường thẳng qua 2 cực trị bước 2: cho đường thẳng vuông góc với (D), suy ra m bước 3: với m vừa tìm được ta kiểm tra xem trung điểm của 2 cực trị có thuộc vào đường thẳng (D) không là xong Ex 13: Tìm m để hs có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (D): ĐS:

6) Hàm số có 2 cực trị trái dấu (2 hoành độ cực trị trái dấu ) Hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu A và B nằm về 2 phía trục

2 +4 Tìm m để hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu A và B nằm về 2 phía trục tung (1< <2)

7) Hàm số có 2 cực trị cùng dấu (2 hoành độ cực trị cùng dấu ) Hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu A và B nằm về 1 phía trục tung phương trình có 2 nghiệm cùng dấu

8) Hàm số có 2 cực trị dương (đạt cực trị tại 2 điểm có hoành độ dương) Hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu A và B nằm về bên phải trục tung phương trình có 2 nghiệm dương

9) Hàm số có 2 cực trị âm (đạt cực trị tại 2 điểm có hoành độ âm) Hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu A và B nằm về bên trái trục tung phương trình có 2 nghiệm âm

10) Hàm số có 2 giá cực trị trái dấu Hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu A và B nằm về 2 phía trục hoành Hàm số có 2 cực

để có cực đại, cực tiểu và giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số trái dấu ĐS:

Trang 3

11) Hs có 2 giá trị cực trị cùng dấu Hs có 2 điểm cđ, ct A và B nằm về 1 phía trục Ox Hs có 2 c/trị và

12) Hsố có 2 giá trị cực trị dương Hsố có 2 điểm cđ, ct nằm phía trên Ox pt có 2 và

13) Hsố có 2 giá trị cực trị âm Hsố có 2 điểm cđ, ct nằm phía dưới Ox pt có 2 và

14) Hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu A và B cách đều trục tung có 2 nghiệm phân biệt và

15) Hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu A và B cách đều trục hoành có 2 nghiệm phân biệt và

(sử dụng định lý Viet) 16) Hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu A và B cách đều đường thẳng (D): có 2 nghiệm phân biệt và

Lưu ý nếu

18) đối xứng qua đường phân giác góc

20) Hàm số có 3 cực trị có 3 nghiệm phân biệt và đổi dấu 3 lần có 2 nghiệm phân biệt khác 0

( nếu thì hàm số có 2 cực tiểu 1 cực đại, nếu thì hàm số có 1 cực tiểu, 2 cực đại)

23) Nếu hàm số có 3 cực trị thì 3 hoành độ cực trị là : Từ đó tính được tung độ cực trị Lúc đó có 3 điểm cực trị là A, B, C tạo thành tam giác cân tại đỉnh

24) Hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác vuông (vuông cân ) có 3 nghiệm phân biệt và ABC là tam giác vuông tại

25) Hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác đều có 3 nghiệm phân biệt và ABC là tam giác đều có 2 nghiệm phân biệt khác 0 và (vì luôn cân tại )

26) Lưu ý nếu hàm số có 3 cực trị thì : (với I là giao điểm của AC với y’Oy)

27) Hàm số có cực trị có 2 phân biệt có 2 phân biệt khác –

Trang 4

 TIẾP TUYẾN  Cho hàm số

1) Tiếp tuyến tại có phương trình: (với )

2) Để viết phương trình tiếp tuyến đi qua ta xét đường thẳng (d) đi qua M có hệ số góc k có phương trình:

Điều kiện để (d) tiếp xúc với (C) là hệ : có nghiệm Nghiệm của hệ là hoành

độ tiếp điểm Thay (2) vào (1) ta giải được rồi thay x vào (2) ta được k , từ đó viết được phương trình tiếp tuyến

3) Để viết tiếp tuyến biết hệ số góc , ta giải pt: rồi viết phương trình các tiếp tuyến tại mỗi Đối với hàm bậc 3 và hàm bậc nhất trên bậc nhất thì số nghiệm của hệ chính là số tiếp tuyến của (C) Ex 1: Cho a) Viết phương trình tiếp tuyến qua Tìm trên đường thẳng các điểm kẻ được đến (C) 3 tiếp tuyến c) Tìm trên đường thẳng các điểm kẻ được đến (C) 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau HD:Xét đường thẳng đi qua A có hệ số góc k

Thay (2) vào (1) ta có:

4) Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ một tam giác vuông cân tiếp tuyến song song với đường thẳng hoặc

5) Tiếp tuyến tạo với 2 tiệm cận: đứng và ngang một tam giác vuông cân tiếp tuyến có hệ số góc

6) Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc (tạo với trục tung một góc tiếp tuyến có hệ số góc 7) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng một góc tiếp tuyến có dạng với hệ số góc thỏa mãn công

8) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng tiếp tuyến có hệ số góc

9) Tiếp tuyến song song với đường thẳng tiếp tuyến có hệ số góc

10) Tiếp tuyến cắt trục hoành và trục tung tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho: tiếp tuyến có hệ số góc 11) Đối với (H), tiếp tuyến của (H) tại có dạng: Lúc đó cắt tiệm cận

đứng tại cắt tiệm cận ngang tại Lúc đó ta có: * M là trung điểm của AB * Diện tích tam giác IAB không đổi hay IA.IB không đổi (với I là giao điểm 2 tiệm cận) * Tích khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận không đổi suy ra Điều kiện để chu

vi nhỏ nhất, bán kính đường tròn ngoại tiếp IAB nhỏ nhất, khoảng cách từ I đến tiếp tuyến lớn nhất, Ex : Cho hàm số :

Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M tạo với 2 tiệm cận của đồ thị (C) một tam giác có bán kính đường tròn

Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận, A và B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến với các đường tiệm cận của (C), khi đó:

Vì tam giác IAB là tam giác vuông tại I nên

ĐS:

Ex: Cho (C): gọi I là giao điểm 2 tiệm cận viết phương trình tiếp tuyến tạo với 2 tiệm cận 1 tam

giác có chu vi nhỏ nhất hoặc viết phương trình tiếp tuyến sao cho khoảng cách từ I đến ∆ là lớn nhất: Giải: Gọi tiếp điểm là điểm

M, lập luận như trên ta có: Chu vi:

Phương trình 2 tiếp tuyến

Trang 5

số giao điểm của và

, ( đang tìm) và phương trình hoành độ giao điểm của (C) nếu bậc 3 thì 99% có nghiệm Từ đó nhờ Hoocner ta đưa phương trình hoành độ giao điểm về dạng:

2) Lúc đó cắt (C) tại 3 điểm phân biệt pthđ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt có 2 nghiệm phân biệt khác

3) Lúc đó tọa độ giao điểm của (C) và là:

4) Đối với hàm phân thức có tập xác định hay nhận làm tiệm cận đứng

Giả sử đường thẳng (d): Lúc đó phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là: hoặc

(Nếu không là nghiệm pt này thì chỉ cần viết ) + Từ đó số giao điểm của (C) và (d) là số nghiệm của phương trình (*) thỏa

+ (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc hai nhánh của (C) có 2 nghiệm phân biệt thỏa:

+ (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của (C) có 2 nghiệm phân biệt thỏa:

+ (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh bên phải của (C) có 2 phân biệt thỏa:

+ (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh bên trái của (C) có 2 phân biệt thỏa:

+ (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thỏa có 2 nghiệm phân biệt thỏa:

5) Đặc biệt đối với hàm số bậc ba: ngoài việc đoán nghiệm ra, chúng ta có thể dùng tính chất cực trị để tìm số giao điểm của (C) với trục hoành hoặc với đường thẳng

(C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có cực đại, cực tiểu và 2 giá trị cực trị trái dấu có 2 nghiệm phân biệt

+ Điều kiện đủ: Thử giá trị của tham số kiểm tra phương trình có 3 nghiệm phân biệt là được

7) Đối với cấp số nhân thì làm tương tự: đồng nhất ở hệ số tự do ta có: ,

Ex:Tìm m để cắt Ox tại 3 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng.ĐS:m=1

Ex:Tìm m để cắt Ox tại 3 điểm phân biệt lập thành cấp số nhân.ĐS:m=2

Ex 15: Tìm điều kiện để (C): cắt Ox tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D sao cho

có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng

Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành: Đặt Phương trình (1) trở thành: (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có 4 nghiệm phân biệt có 2 nghiệm dương phân biệt Lúc đó gọi 2 nghiệm là: , suy ra 4 nghiệm của phương trình

Trang 6

Tóm lại, yêu cầu bài toán:

Ex 1: Cho (C) CMR mọi đường thẳng qua với hệ số góc đều cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B,

I sao cho I là trung điểm của AB Giải: Đường thẳng d qua với hệ số góc có dạng:

Ptrình hoành độ giao điểm của (C) và (d):

khác 1, tức là phương trình (1) luôn có 3 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm Nghĩa là khi thì d và (C) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt A, B, I, trong đó hoành độ của A, B là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (2)

Theo định lý Viet ta có Mặt khác A, B, I thẳng hàng (đều thuộc d) nên I là trung điểm của AB

Cho Tìm m để đường thẳng cắt (C) tại 2 phân biệt A, B sao cho AB nhỏ nhất

Giải: Pthđgđ của (C) và (d): (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B

(d) luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B Gọi 2 nghiệm của pt (2) là , Theo Viet ta có

Suy ra tọa độ 2 giao điểm là

1) Trên tồn tại 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua điểm I hệ sau có nghiệm x : phương

trình có nghiệm Lúc đó nghiệm của hệ là tọa độ cặp điểm đối xứng nhau qua I

2) Tìm trên 2 điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng Suy ra phương trình AB Lập phương trình hoành

độ giao điểm của AB với (C) Buộc điều kiện phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt Gọi 2 nghiệm phân biệt đó

Lúc đó A, B đối xứng nhau qua Thay vào pthđgđ suy ra x, suy ra A, B

Ex: Cho hàm số Tìm các cặp điểm trên đồ thị (C) đối xứng qua gốc tọa độ O ĐS

Ex: Cho Tìm cặp điểm trên đồ thị (C) đối xứng nhau qua đt (D) ĐS :

Ex: Cho Tìm m để trên đồ thị (C) có 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc O ĐS:

3) Ex: Cho hàm số , gọi I là giao điểm 2 tiệm cận, a) tìm sao cho có diện tích nhỏ nhất

4) Ex: Cho hàm số a) Tìm trên đồ thị hàm số tất cả các điểm có tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất b) Tìm 2 điểm A, B thuộc 2 nhánh sao cho AB nhỏ nhất ĐS: a)

Trang 7

 Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía dưới Ox ta sẽ có

Lưu ý : là hàm số không âm nên luôn nằm phía trên Ox

Cách vẽ : + Giữ nguyên phần (C) nằm bên phải Oy + Bỏ phần (C) bên trái Oy (nếu có) +Lấy đối xứng qua Oy phần (C) nằm phía

bện phải trục Oy ( tính chất hàm chẵn) ta sẽ có

Trang 8

x

1 1

x y

1

x y x

Trang 9

 ÔN TẬP ĐẠI SỐ CẤP TỐC  Để giải pt, hệ p/trình vô tỷ ta thường sử dụng các phương pháp phổ biến sau: bình phương 2

vế, đặt ẩn phụ ( 1 ẩn t hoặc 2 ẩn u, v, ), liên hiệp, đoán nghiệm (FX 570 ES), khảo sát hàm số, bất đẳng thức, sử dụng tính chất tích vectơ SAU ĐÂY LÀ 10 CÔNG THỨC CƠ BẢN NHẤT:

ĐS:

Trang 10

Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc

Trang 11

phương trình hệ quả (không tương đương) :

 Thử lại  ta thấy chỉ có thoả mãn pt

20) Hệ “đối xứng” “ đối xứng dọc thì trừ dọc, đối xứng ngang thì trừ ngang hoặc khảo sát:Ex:

Trang 12

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT Cho hàm số y=f(x) xác định trên [a;b]

Thay đoạn bởi tập khác ta có định nghĩa tương tự  Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: ta có thể có ba hai cách sau:

Sử dụng bất đẳng thức, tìm miền giá trị ,Lập bảng biến thiên rồi kết luận

Tìm các điểm tới hạn rồi so sánh (thường sử dụng đối với bài toán tìm GTLN, GTNN trên đoạn [a;b])

Ex:: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số TXĐ:

Cách 1: Sử dụng bảng biến thiên:

|| 0 ||

2

dụ phương trình có nghiệm khi , phương trình này có 2 nghiệm x

Ex:**: B 2010 Cho các số thực không âm Tìm GTNN của

2→ 2+ 2+ 2≥13 + + 2=13, Mặt khác từ giả thiết suy ra , , ∈0;1→ 2+ 2+ 2≤ + + =1→Đặ

Trang 13

Ex:: CĐ khối A,B,D 2010 Cho hai số thực dương thay đổi x, y thỏa: Tìm GTNN của biểu thức

Giải: Cách 1: Theo bđt Côsi ta có Từ giả thiết, theo Côsi 4 số suy ra

Lập BBT suy ra phương trình (1) có nghiệm

Lập BBT suy ra Lúc đó phương trình

có nghiệm Ta có:

hệ pt sau có nghiệm Cách 1: Từ (2) suy ra , thay vào (1) ta có:

Hệ

Trang 14

1 I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG (Viết tắt Ptđt)

* Trong mặt phẳng Oxy, phương trình tổng quát của có dạng:

Từ ptrình ta xác định được một vectơ pháp tuyến và một vectơ chỉ phương của đường thẳng :

* Ptđt đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến là:

3 PTCT của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là:

4 Ptđt đi qua 2 điểm là

5 Đường thẳng cắt trục Ox, Oy lần lượt tại và có ptrình:

7 Phương trình của đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc k là:

II VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG

III GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH:

1 Cho 2 đt có pt:

2 Khoảng cách từ 1 điểm đến được tính bởi công thức:

đường thẳng phân giác của gó tạo bởi là:

   PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN: * Dạng 1: , lúc đó tâm của đường tròn này là

tròn này là và bán kinh là ( thực ra hai dạng này tương đương nhau )

 Đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi (C) có tâm I(a;b) và bán kính

 Đường tròn (C) tiếp xúc với trục tung khi và chỉ khi (C) có tâm I(a;b) và bán kính

 Đường tròn (C) tiếp xúc với 2 trục tọa độ khi và chỉ khi (C) có tâm hoặc và bán kính

Trang 15

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH HỌC (Oxy)

Ex: Viết pt tiếp tuyến của (C): – – – biết tiếp tuyến qua điểm Giải:tâm I(2 ; 1), R=3 PT tiếp

Ta được 2 tiếp tuyến – và Ex: Viết pt tiếp

tuyến của : (C) : – , biết rằng tiếp tuyến hợp với đường thẳng (D): một góc Giải:

AH=2.IM; IH=3.IG

G

M H C

B A

BC và ngược lại Nếu đề cho phương trình AC, phương trình thì ta suy ra tọa độ điểm C và

5) Nếu giả thiết cho phương trình trung trực (d) của AC thì ta chỉ sử dụng được 2 điều kiện (2 phương trình) đó là trung điểm M của AC thuộc (d) và

6) Nếu giả thiết cho tọa độ trọng tâm G, trực tâm, trung điểm hoặc trọng tâm G thuộc đường thẳng nào đó có phương trình thì ta thu được 2 điều kiện (2 ptrình):

 BẢN CHẤT CỦA BÀI TOÁN GÓC GIỮA 2 TIẾP TUYẾN:

Giả sử tiếp tuyến MT, MT’, với T, T’ là 2 tiếp điểm, Lúc đó:

* Bài toán: Viết phương trình cạnh AB

của tam giác ABC nếu biết tọa độ 3 chân

đường vuông góc của 3 đường cao kẻ từ

Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	4,27 MB