GI I Đ THI TUY N SINH CAO H C THÁNG 8/2008Ả Ề Ể Ọ
MÔN C B N: Đ I S VÀ GI I TÍCHƠ Ả Ạ Ố Ả
Bài 1: Cho ánh x tuy n tính f : Rạ ế 4 → R3 xác đ nh b i ị ở
f(x1,x2,x3,x4)=(x1+x2,x2+x3,x3+x4) v i m i x=(xớ ọ 1,x2,x3,x4) ∈R4
M={ (x1,x2,x3,x4) ∈R4 : x1-x2=0 và x3-x4=0}
a Tìm ma tr n f trong c s chính t c c a Rậ ơ ở ắ ủ 4 và R3 xác đ nh Imf và Kerfị
b CM f(M) là không gian vect con c a Rơ ủ 3 tìm dimf(M)
Gi i : ả
• Tìm ma tr n f trong c s chính t c c a Rậ ơ ở ắ ủ 4 và R3
Trong R4 ta có e1=(1,0,0,0),e2=(0,1,0,0),e3=(0,0,1,0),e4=(0,0,0,1)
Trong R3 ta có e’1=(1,0,0),e’2=(0,1,0),e’3=(0,0,1)
Ma tr n f trong c s chính t c là ậ ơ ở ắ
=
=
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
4 3 2 1
4 3 2 1
4 3 2 1
)
(
),
/( 4 3
c c c c
b b b b
a a a a
A f e e
mà f(e1)=(1,0,0)=a1e’1+b1e’2+c1e’3 ta tìm được (a1,b1,c1)=(1,0,0)
• Xác đ nh Imf,Kerfị
• Kerf ={ x∈R4 : f(x)=0 }
Ta được h ệ
∈
−
=
=
−
=
⇔
= +
= +
= +
R x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
4
4 3
4 2
4 1
4 3
3 2
2 1
0 0
0
h có nghi m t ng quát là (-a,a,-a,a)ệ ệ ổ
H nghi m c b n là (-1,1,-1,1)ệ ệ ơ ả
V y dimKerf=1, c s c a Kerf =(-1,1,-1,1)ậ ơ ở ủ
• Tìm Imf
Ta có f(e1)=(1,0,0),f(e2)=(1,1,0), f(e3)=(0,1,1),f(e4)=(0,0,1)
Nên Imf=<f(e1),f(e2),f(e3),f(e4)>
Ta có
→
→
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
v y c s c a Imf là f(eậ ơ ở ủ 1),f(e2),f(e3) và dimf=3
b
Bài 2: Gi i và bi n lu n h phả ệ ậ ệ ương trình
Trang 2
= + +
+
= + +
+
= + +
+
1 1 1
4 3
2
1
4 3
2
1
4 3
2
1
x mx
x
x
x x
mx
x
x x
x
mx
Gi i ả : l p ma tr n các h sậ ậ ệ ố
−
−
−
−
−
−
→
→
→
=
m m
m m
m m
m m
m m m
m
m
A
1 1 2
0 0
0 0 1
1 0
1 1 1
1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
1 1
1 1
1
1 1 1 1
1 1 1 1
2
v y ta đậ ược
= + + +
=
− +
−
−
=
− + +
−
1
0 ) 1 ( ) 1 (
1 ) 1 ( ) 2 )(
1 (
4 3 2 1
3 2
4 3
x mx x x
x m x
m
m x
m x
m m
Bi n lu n:ệ ậ
V i m=1 h có vô s nghi m ph thu c 3 tham s xớ ệ ố ệ ụ ộ ố 2,x3,x4
nghi m c a h là (1-a-b-c,a,b,c) a,b,c ệ ủ ệ ∈R
v i m=-2 h có vô s nghi m ph thu c tham s xớ ệ ố ệ ụ ộ ố 3
nghi m c a h là (a,a,a,1) a ệ ủ ệ ∈R
v i m khác 1,-2 h có vô s nghi m ph thu c tham s xớ ệ ố ệ ụ ộ ố 4 và m
nghi m c a h là ệ ủ ệ
= +
−
= +
−
= +
−
=
a x m
a x
m
a x
m
a x
2 1 2 1 2 1
a ∈R
Bài 3: Cho chu i lu th a ỗ ỹ ừ
=
−
1
1
2
.
) 2 (
)
1
(
n n
n
x
a Tìm mi n h i t c a chu iề ộ ụ ủ ỗ
b Tính t ng c a chu iổ ủ ỗ
Gi i: ả
n
x x
U
2
) 2 ( ) 1 ( )
n x
U
n n
n
n n
=
+
=
+
=
∞
→
∞
2 2
2
1 )
lim
theo tiêu chu n côsi n u chu i h i t khi C<1 t c là ẩ ế ổ ộ ụ ứ
0 4
1
2
2 < ⇔ − < <
+
x x
t i x+2=2 và x+2=-2 ta có chu i ạ ỗ
0 1 ) 1 ( ) 1 ( 2
.
) 2
(
)
1
(
1 1
1
=
−
−
−
=
±
=
∞
=
−
n
n n n
n n
n
v y MHT là [-4;0]ậ
b
Bài 4: Cho a>0 và ( )
+
1 sin )
, (
2 2 2 2
y x
x y x
Trang 3Tuỳ theo giá tr c a a>0 xét s kh vi c a f t i (0,0), s liên t c c a f’ị ủ ự ả ủ ạ ự ụ ủ x,f’y t i (0,0)ạ
Gi i : ả Tính các đhr
• t i xạ 2+y2>0
( )a a
x
y x y
x
x y
x x
f
2 2 2
2
3 2
2
cos
2 )
(
1 sin
2
+ +
− +
=
a y
y x y
x
y x
f
) (
1 cos
2
2 2 2
2
2 '
+ +
−
=
• t i x=y=0ạ
=
−
=
f t f f
t
x
) 0 , 0 ( ) 0 , (
lim
0
'
=
−
=
f t f f
t
y
) 0 , 0 ( ) , 0 (
lim
0
'
• xét s kh vi c a f t i (0,0) C n xét :ự ả ủ ạ ầ lim ( , )
0 ,
t s
t s
ϕ
→
t s t
s, ) 1 ( , ) ( 0 , 0 ) x( 0 , 0 ) y( 0 , 0 )
2
+
= ϕ
N u ế lim ( , )
0
,
t s
t
s
ϕ
→ =0 thì hàm s kh vi t i (0,0) ngố ả ạ ượ ạc l i thì không kh viả
• xét s liên t c c a f’ự ụ ủ x,f’y t i 0(0,0) ạ
n u : ế lim, 0 x'( , ) x'(0,0)
y
f y x
→ , lim, 0 y'( , ) y'(0,0)
y
f y x
→ thì hàm s không liên t c t iố ụ ạ (0,0) ngượ ạc l i thì liên t c ụ
Bài 5: Cho (X,d ) là không gian Metric A ⊂X khác r ng ỗ
Cho f: X →R đ nh b i f(x)=d(x;A)=inf{d(x,y): yị ở ∈A}
a CM: f liên t c đi u trên Xụ ề
b Gi s A là t p đóng , B là t p compác ch a trong X và Aả ử ậ ậ ứ B =φ
Đ t d(A,B)= inf{ d(x,y),x ặ ∈A,y ∈B }
CM : d(A,B)>0
Gi i : ả
a đ CM f liên t c đi u trên X c n CM ể ụ ề ầ f(x) − f(x' ) ≤d(x,x' )
ta có d(x,y)≤ d(x,x’)+d(x’,y) l y inf 2 v ấ ế ⇒d(x,A)-d(x’,A) ≤ d(x,x’)
tương t thay đ i vai trò v trí c a x và x’ nhau ta suy ra ĐPCMự ổ ị ủ
v y f liên t c t i x’, do x’ tuỳ ý nên f liên t c đi u trên Xậ ụ ạ ụ ề
b Gi s trái l i d(A,B)=0ả ử ạ
Khi đó ta tìm được các dãy (xn) ⊂A, (yn)⊂B sao cho limd(xn,yn)=0
Do B comp c nên (yắ n) có dãy con (y ) n k k h i t ve yộ ụ 0 ∈B
Ta có d(x n k,y0) ≤d(x n k,y n k) +d(y n k,y0)
Mà lim ( , )=lim ( , 0)=0⇒lim ( , 0)=0
∞
→
∞
→
∞
→
y x d y
y d y
x d
k k
k
k
n k
n n k
Do A là t p đóng dãy ậ (x ) n k k ⊂A, (x n k)k→ y0 nên y0∈A
Đi u này mâu thu n v i gi thi t Aề ẩ ớ ả ế B =φ.V y d(A,B)>0ậ
GI I Đ THI TUY N SINH CAO H C THÁNG 9/2007Ả Ề Ể Ọ MÔN C B N: Đ I S VÀ GI I TÍCHƠ Ả Ạ Ố Ả
Bài 1: Tìm mi n h i t c a chu i lu th a ề ộ ụ ủ ổ ỹ ừ
Trang 4( ) n n
n
x n
0
2 3
2
+
+
=
Gi i ả : Đ t X=(x-2)ặ 2 đk X≥ 0
Ta tìm mi n h i t c a chu i ề ộ ụ ủ ổ n
n n
X n
n
=
+
+
0 2 3
1 xét
3 2
1
+
+
=
n
n
u n
Ta có
2
1 3 2
1
lim
+
+
=
=
∞
→
∞
n u
l
n
n n n
2
1 =
=
⇒
l
R nên kho ng h i t là (-2,2)ả ộ ụ
Xét t i X= 2, X= -2ạ
+
+
±
=
n n n
n
n
n
2 3 2
1 )
1 (
0
n n
n
n
n
=
+
+
±
2 2 ) 1 ( 0
1 3 2
2 2
lim
+
+
=
⇒
∞
→
∞
n u
n
n
n
v y mi n h i t theo X là (-2,2)ậ ề ộ ụ
⇒ mi n h i t theo x là ề ọ ụ x− 2 < 2 ⇔ 2 − 2 < x< 2 + 2
Bài 2: Cho hàm s ố
=
=
>
+
+
+
=
0 y x khi 0
0 y x khi
1 sin ) (
) , (
2 2 2
2 2
2
y x y
x y x f
Ch ng t r ng hàm s f(x,y)có đ o hàm riêng f’ứ ỏ ằ ố ạ x,f’y không liên t c t i 0(0,0)ụ ạ
Nh ng hàm s f(x,y)kh vi t i 0(0,0).ư ố ả ạ
Gi i : ả
Tính các đhr t i (x,y)ạ ≠(0,0) va t i (x,y)=(0,0) ạ
• T i (x,y)ạ ≠(0,0)
Ta có = 2 + 2 − 2 + 2 2 + 2
cos 2
1 sin 2
y x y
x
x y
x x
f x
+ +
−
+
cos 2
1 sin 2
y x y
x
y y
x y
f y
• T i (x,y)=(0,0)ạ
1 t
1 sin do 0
1 sin )
0 , 0 ( ) 0 , (
2 0
2 2
0 0
'
lim lim
=
→
→
→
t t
t t t
f t f f
t t
t
x
1 t
1 sin do 0
1 sin )
0 , 0 ( ) , 0 (
2 0
2 2
0 0
'
lim lim
=
→
→
→
t t
t t t
f t f f
t t
t
y
CM : f’x,f’y không liên t c t i 0(0,0) Ta CM : ụ ạ lim, 0 ' ≠0
y x
f và lim, 0 ' ≠0
y
f
Hay CM : lim, 0 x'( , ) x'(0,0)
y
f y x
→ , lim, 0 y'( , ) y'(0,0)
y
f y x
→
Ta có :
Trang 50 x khi , 2
2 1
cos
2 1
1 cos
0 x khi , 0 2
1 sin 2 , 1 y x
1 sin
,
1 cos 2 1
sin 2 )
, (
2 2 2 2 2
2 2
2
2 2
2 2 2
2 0 , 2 2 0
,
' 0
lim
→
∞
→
≤ +
≤ + +
⇒
≤ +
→
→
≤ +
⇒
≤ +
+ +
− +
=
→
→
→
x y x
x y
x y
x
x y
x
x y x x
y x y
x
x y
x x y
x f
y x y
x y
x
nên lim, 0 x'( , ) x'(0,0)
y
f y x
→
tương t ta CM : đự ược lim, 0 y'( , ) y'(0,0)
y
f y x
→
v y f’ậ x,f’y không liên t c t i 0(0,0)ụ ạ
• Ta CM : f(x,y)kh vi t i 0(0,0) ả ạ C n CM :ầ lim ( , ) 0
0 ,
=
→
t s
t s
ϕ
t s t
s, ) 1 ( , ) ( 0 , 0 ) x( 0 , 0 ) y( 0 , 0 )
2
+
= ϕ
) 1 t s
1 sin (do 0
1 sin )
,
0 , 0
+
= + +
=
→
t
s
ϕ
v y f(x,y)kh vi t i 0(0,0)ậ ả ạ
Bài 3: Cho ϕ :[ ]0 , 1 *R→R là m t hàm s liên t c ộ ố ụ
CMR : Hàm F: C[0,1]→R xác đ nh b i ị ở
∫
= 1
0
)) ( , ( )
F ϕ khi x(t)∈C[ ]0,1 là hàm s liên t c trên Cố ụ [0,1]
Gi i: ả C đ nh xố ị 0, CM f liên t c t i xụ ạ 0
Đ t M=1+supặ x0(t) , t∈C[ ] 0 , 1
Cho ε > 0
ϕ liên t c trên t p compac D= [0,1]*[-M,M] nên ụ ậ ϕ liên t c đ u trên Dụ ề
t n t i s ồ ạ ố δ 1>0 sao cho
ε ϕ
ϕ δ
<
−
⇒
∈
∀ (t,s), (t ,'s' ) D t t' 1,s s' 1 (t,s) (t ,'s' )
đ t ặ δ = min( 1 , δ1) : ∀x∈[ ]0 , 1 ⇒d(x,x0) < δ
mà x(t) −x0(t) < 1 ⇒ x0(t) ∈[−M,M]
ε ϕ
ϕ ( , ( )) − ( , ( )) < ⇒ ∫ ( , ( )) − ( , ( )) < ⇒ ( ) − ( 0) <
1
0
0
x t t
x
t
ta CM được ∀ε > 0 , ∃δ > 0 :d(x,x0) <δ ⇒d(F(x),F(x0)) <ε
v y F liên t c t i xậ ụ ạ 0
Bài 4: Cho ánh x tuy n tính ạ ế f :R4 →R3 xác đ nh b i ị ở
f(x1,x2,x3,x4)=(x1-2x2+x4,-x1+x2+2x3,-x2+2x3+x4)
1 Tìm c s và s chi u c a kerf, Imfơ ở ố ề ủ
2 f có ph i là đ n c u , toàn c u không?ả ơ ấ ấ
Gi i : ả 1
• Tìm c s và s chi u c a kerfơ ở ố ề ủ
V i x=( xớ 1,x2,x3,x4)
Trang 6Ta có : ker f ={x∈R4 : f(x) = 0}
f(x1,x2,x3,x4)=(x1-2x2+x4,-x1+x2+2x3,-x2+2x3+x4)=0
= + +
−
= + +
−
= +
−
⇔
0 2
0 2
0 2
4 3 2
3 2 1
4 2 1
x x x
x x x
x x x
l p ma tr n ậ ậ
−
−
→
−
−
−
→
−
−
−
=
0 0 0 0
1 2 1 0
1 0 2 1 1 2 1 0
1 2 1 0
1 0 2 1 1 2 1 0
0 2 1 1
1 0 2 1
A
v y Rank(A)=2ậ
ta có
∈
+
=
−
=
R x x
x x x
x x x
4 3
4 3 2
4 2 1
, 2
2
nên dimKerf=2
nghi m c b n là (1,1,0,1),(4,2,1,0) và là c s c a Kerfệ ơ ả ơ ở ủ
do dimKerf =2 ≠ 0 nên f không đ n c u ơ ấ
• Tìm c s , s chi u c a Im fơ ở ố ề ủ
Im f là không gian con c a Rủ 3 sinh b i h 4 vectở ệ ơ
f(e1)=(1,-1,0) v i eớ 1=(1,0,0,0)
f(e2)=(-2,1,-1) v i eớ 2=(0,1,0,0)
f(e3)=(0,2,2) v i eớ 3=(0,0,1,0)
f(e4)=(1,0,1) v i eớ 4=(0,0,0,1)
ta tìm h ng c a 4 vect trên ạ ủ ơ
xét ma tr n ậ
−
−
−
→
−
−
−
→
−
−
−
=
0 0 0
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 1 0
2 2 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
2 2 0
1 1 2
0 1 1
B
Rank(B)=2, , dim Imf =2 , c s c a Imf là f(eơ ở ủ 1),f(e2)
Do , dim Imf =2 nên f không toàn c u ấ
Bài 5: Cho f :V →V ,'g:V →V '' là nh ng ánh x tuy n tính sao cho ữ ạ ế ker f ⊂ kerg
H n n af là m t toàn c u CMR t n t i duy nh t m t ánh x tuy n tínhơ ữ ộ ấ ồ ạ ấ ộ ạ ế
'' '
h → sao cho h.f=g
Gi i: ả
Bài 6: Cho d ng toàn phạ ương trên R3
f(x1,x2,x3)=2x12 + 2x22 +x32 + 2x1x2 +ax1x3
a Đ a d ng toàn phư ạ ương v d ng chính t c b ng phề ạ ắ ằ ương pháp Lagrange
b V i giá tr nào c a a thì f xác đ nh dớ ị ủ ị ương, không âm
Gi i ả : a f(x1,x2,x3)= 1 2 1 3
2 3
2 2
2
3
2 2
3 2
2 3 2 1
6
1 6
2
3 4
2
− +
− +
Trang 7đ t ặ
=
+
=
−
−
=
⇔
=
−
=
+ +
=
3 3
3 2 2
3 2 1 1
3 3
3 2 2
3 2 1 1
6
3 2 6
4 2
y x
ay y x
ay y y x
x y
ax x y
ax x x y
ta đượ ơ ởc c s f chính t c là uắ 1=(1,0,0),u2=(-1/2,1,0),u3=(-a/3,a/6,1)
ma tr n trong c s chính t c là ậ ơ ở ắ
=
1 0
1 0
3 2
1 1
a
a
Tεu
b f xác đ nh dị ương khi 0 6 6
6
1 − a2 > ⇔ − <a<
f xác đ nh không âm khi ị 0 6
6 1
2
±
=
⇔
=
GI I Đ THI TUY N SINH CAO H C THÁNG 5/2007Ả Ề Ể Ọ
MÔN C B N: Đ I S VÀ GI I TÍCHƠ Ả Ạ Ố Ả
Bài 1: Cho u=u(x,y), v=v(x,y) là hàm n suy ra t h phẩ ừ ệ ương trình
=
− +
−
=
− +
−
+
0 2 1
.
0 1 2
x v
u e
y
uv e
x
v
u
v
u
tìm vi phân du(1,2), dv(1,2) bi t u(x,y)=0, v(x,y)=0ế
Gi i : ả lí thuy t : cho hàm n ế ẩ
=
=
0 ) , , , (
0 ) , , , (
v u y x G
v u y x F
xác đ nh b i u=u(x,y), v=v(x,y)ị ở Tính các đ o hàm riêng c a hàm n ạ ủ ẩ
= +
+ +
= +
+ +
0
0
' '
' '
' '
' '
v v u u y y x x
v v u u y y x x
d G d G d G d G
d F d F d F d F
=
=
⇔
+
=
−
−
+
=
−
−
v
u v
v u u y y x
x
v v u u y y x
x
d
d d
G d G d G d
G
d F d F d F d
F
' '
' '
' '
' '
Tính
=
=
) 2 , 1 (
) 2 , 1 (
v
u
d
d
Ta có :
Bài 2: Tìm mi n h i t c a chu i lu th a ề ộ ụ ủ ổ ỹ ừ
=
+
) 1 ( )
(ln
1
n
n
x n
n
Gi i : ả Đ t X= x+1 ta đặ ược ∑∞
= 2 (ln )2
1
n
n
X n n
)) 1 )(ln(
1 (
1 )
(ln
1
+ +
=
⇒
n n
u n
n
Trang 8Ta có : [ ]2
2 1
) 1 ln(
) 1 (
) (ln
lim
=
∞
→
+
∞
n n u
u L
n n
n n
ln 1 1
1 ).
1 ln(
2
1 ln 2 )
1 ln(
) (ln
lim lim
lim 2 tan
2
+
+
= + +
∞
n n n n n
n
n n
lopi n
1 1
1 )
1 ln(
ln
lim
+
∞
n
n n
n
n
lopi n
Nên = 1 = 1
L
R , kho ng h i t là (-1,1)ả ộ ụ
T i X=ạ ± 1 ta được chu i ổ ∑∞
=
±
) 1 ( ) (ln
1
n
n
n n
T đó ta có ừ = = → ∞ + [ + ] = ≠∞
+
∞
→
1 ) 1 ln(
) 1 (
) (ln
2
2 1
lim lim u u n n n n
L
n n
n n
Chu i phân kì , MHT theo X là (-1,1)ổ
MHT theo x là (-2,0)
Bài 3: Cho X là không gian metric compac f: X→X tho ả
d(f(x),f(y))<d(x,y) v i xớ ≠ y
a CM t n t i duy nh t xồ ạ ấ 0 ∈X sao cho f(x0)=x0
b Đ t Aặ 1=f(X),An+1=f(An), n ∈N và n
n
A
A ∞
=
=
1
CM: A≠ φ và f(A)=A
Gi i : ả a CM t n t i duy nh t xồ ạ ấ 0 ∈X sao cho f(x0)=x0
Đ t g(x)= d(x,f(x)), g: Xặ →R ,x ∈X
• Ta CM g liên t c ụ
Ta co g(x) −g' (x) = d(x,f(x)) −d(x,'f(x' )) <d(x,x' ) +d(f(x), f(x' )) = 2d(x,x' )
Mà lim d(x,x’)=0 nên g liên t c ụ
Do X là t p compac nên t n t i xậ ồ ạ 0 sao cho g(x0)=min(g(x))
Đ CM f(xể 0)=x0 ta đi CM g(x0)=d(x0,f(x0))=0
Ta CM b ng ph n ch ng ằ ả ứ
Gi s g(xả ử 0)=d(x0,f(x0))>0
Khi đó g(f(x0))=d(f(x0),f(f(x0)))< d(x0,f(x0))=g(x0)
Đi u này mâu thu n v i s ki n g(xề ẩ ớ ự ệ 0)=min(g(x))
V y g(xậ 0)=d(x0,f(x0))=0 hay x0=f(x0)
CM tính duy nhât c a xủ 0
Gi s có yả ử 0 ∈X sao cho y0=f(x0)
Khi đó d(x0,y0) =d(f(x0),f(y0))<d(x0,y0) n u xế 0 ≠y0
Đi u này vô lí v y xề ậ 0 t n t i và duy nh t ồ ạ ấ
b Đ t Aặ 1=f(X),An+1=f(An), n ∈N và n
n
A
A ∞
=
=
1
CM: A≠ φ và f(A)=A
• CM: A≠ φ
Trang 9Gi s An là t p compackhi đó Aả ử ậ n+1=f(An) là t p compacậ
V y Aậ n là t p compac khác r ng ậ ỗ ∀n∈N∗ nên An la t p đóngậ
H n n a do Aơ ủ 1=f(X) ⊂X nên A2=f(A1)⊂f(X)=A1
Gi s Aả ử n+1 ⊂ An ta có An+2=f(An+1)⊂ f(An)=An+1
V y Aậ n+1 ⊂ A n, ∀n∈N
{ }A n là h có tâm các t p đóng trong không gian compac ọ ậ
Theo tính ch t ph n giao h u h n ta có A=ấ ầ ữ ạ ∞ ≠ φ
n
A
1
• CM: f(A)=A c n CM : f(A)ầ ⊂A (1) , f(A)⊃A (2)
• CM : f(A)⊂A (1)
Do A ⊂ An nên f(A) ⊂ f(An)=An+1 v i m i n, là dãy gi m nênớ ọ ả
f(A) ⊂ A n A
n
=
+
∞
= 1 1
• f(A)⊃A (2)
l y tuỳ ý xấ ∈ A c n CM x ầ ∈ f(A)
vì x ∈ An+1 =f(An) v i m i n=1,2 … t n t i xớ ọ ồ ạ n ∈An: x=f(xn)
do X compact nên có dãy con (xnk)k : x n k a
k
=
∞
→
lim
khi đó f x n k x
k
=
∞
→
) (
lim , do f liên t c nên ụ f x n k f a
k
( ) (
∞
→ ) ta c n CM a ầ ∈ A
c đinh n ta có ố x n A n A n x n A n
k k
k ∈ ⊂ ⇒ ∈ khi nk≥ n
k
A a x
k = ∈
∞
→
lim
v y a ậ ∈An v i m i n=1,2 … ớ ọ
do a ∈ A, x=f(a) ∈f(A)
v y ta CM đậ ược f(A)=A
Bài 4: Gi i và bi n lu n h ả ệ ậ ệ
= + + +
= + + +
= + + +
1 1 1
4 3 2 1
4 3 2 1
4 3 2 1
x mx x x
x x mx x
x x x mx
Gi i : ả Ta có ma tr n m r ng ậ ở ộ
=
1 1 1
1
1 1 1 1
1 1 1 1
m m
m
A đ i ch dổ ổ 1, d3, bi n đ i ma tr n v d ng ế ổ ậ ề ạ
−
− +
−
−
−
=
1
1 )
2 )(
1 ( 0
0
0 0 1
1
0
1 1 1
1
m m
m m
m m
m A
bi n lu n ệ ậ
• n u m=1 h có VSN ph thu c 3 tham s xế ệ ụ ộ ố 2,x3,x4 và RankA=1
nghi m c a h là xệ ủ ệ 1=1-a-b-c, x2=a,x3=b,x4=c
• n u m=-2 h có VSN ph thu c tham s xế ệ ụ ộ ố 3 và RankA=3
Trang 10nghi m c a h là xệ ủ ệ 1=x2=x3=a,x4=1
• n u m ế ≠1và m ≠-2 thì h có VSN ph thu c vào tham s xệ ụ ộ ố 4 va tham s m ố nghi m c a h là ệ ủ ệ
2
1
−
=
m
a
2
1
−
=
m
a
2
1
−
=
m
a
x ,x4 =a,a∈R
B
ài 5: Trong R3 cho c s :ơ ở
u1=(1,1,1), u2= (-1,2,1), u3=(1,3,2)
cho ánh x tuy n tính f: Rạ ế 3 → R3 xác đ nh b iị ở
f(u1)= (0,5,3), f(u2)=(2,4,3), f(u3)=(0,3,2)
tìm ma tr n c a f trong c s đó là ma tr n chéo hoá đậ ủ ơ ở ậ ược
Gi i : ả b1 Tìm ma tr n c a f trong c s uậ ủ ơ ở
Ta có h ệ
+ +
=
+ +
=
+ +
=
) 3 ( )
(
) 2 ( )
(
) 1 ( )
(
3 3 2 2 1 1 3
3 3 2 2 1 1 2
3 3 2 2 1 1 1
u c u c u c u f
u b u b u b u f
u a u a u a u f
T (1) ta có (0,5,3)=aừ 1(1,1,1)+a2(-1,2,1)+a3(1,3,2)
=
=
=
⇔
= + +
= + +
= +
−
⇔
1 1 0 0
2
0 3 2
0
3 2 1
3 2 1
3 2 1
3 2 1
a a a a
a a
a a a
a a a
Tương t t ( 2) ta đự ừ ược b1=1,b2=0,b3=1
Tương t t (3) ta đự ừ ược c1=1,c2=1,c3=0
V y ma tr n A trong c s f là ậ ậ ơ ở
=
=
0 1 1
1 0 1
1 1 0
3 3 3
2 2 2
1 1 1 ) ( /
c b a
c b a
c b a
A A f u
B2 Tìm GTR- VTR c a A và c a f (GTR c a A chính là GTR c a f)ủ ủ ủ ủ
1 1
1 1
1 1
3
=
−
=
⇔
= + +
−
=
−
−
−
m
kep m
m m m
m m
A có 2 giá tr riêng, nên f có 2 giá tr riêng m=-1, m=2ị ị
Tìm VTR c a A t đó suy ra VTR c a fủ ừ ủ
0 0 0
0 0 0
1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 1 1
=
=
VTR c a A có d ng ủ ạ
=
=
−
−
=
−
−
=
⇔
∈
= + +
b x
a x
b a x x x R
x x
x x x
3 2
3 2 1
3 2
3 2 1
,
0
a,b∈R
D ng VTR c a A là (-a-b,a,b)ạ ủ
V y A có 2 VTR (-1,0,1),(-1,1,0)ậ
T đó VTR c a f có d ng n= xừ ủ ạ 1u1+x2u2+x3u3=(-a-b)u1+au2+bu3=
=(-a-b)(1,1,1)+a(-1,2,1)+b(1,3,2)=(-2a,a+2b,b)
v y f có 2 VTR ĐLTT v i a=1,b=0 : VTR là nậ ớ 1=(-2,1,0)
v i a=0,b=1: VTR là nớ 2=(0,2,1)
0 0 0
3 3 0
2 1 1 1 1 2
1 2 1
2 1 1 2 1 1
1 2 1
1 1 2
=
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−